关于对第一宇宙速度的理解_范秀丽

mg=G
Mm R地2
，
那么物体绕地球做匀速圆周运动需要的向心力大小也就等于物体所重
力的大小，
即 mg=m v12 ， R地
因此可得 v= 姨gR 地
（g 为
即： v′=2v=2×8km/s=16 km/s.由此选项 A 正确. 总 结 ： 计 算 第 一 宇 宙 速 度 有 两 种 方 法 ： （1） 由
姨 GMm/r2＝mv2/r ，由此可得卫星的速率为：v= GM r
G=6.67×10－11N·m2/kg2、 M=6×1024kg 代入上式可解
得地球上的第一宇宙速度为： v1=7.9km/s.
若卫星的周期为 T=80min， 则卫星绕地球做匀速
圆 周 运 动 的 线 速 度 为 ： v= 2πR 地 = 2×3.14×6.4×106 ≈
1024kg 和 R=6.4×106m 代 入 （1） 式 可 解 得 地 球 上 第 一 宇 宙 速 度 为 ：
姨 v1=
GM R
=7.9km/s．
图1
这就是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时所必须具有的速度.
方法二： 物体在地球表面附近物体的重力大小相近等于物体所受万有引力的大小，
即：
五、 第一宇宙速度的典型应用
典型应用一： 利用第一宇宙速度确定某卫星能否 发射成功
例 3.可 否 发 射 一 颗 周 期 为 80 分 钟 的 人 造 地 球 卫 星 ？ 并 说 明 你 的 理 由 . 已 知 地 球 半 径 R =6.4 ×103km. （结果要求二位有效数字） .
解析： 设卫星绕地球运转的环绕速度为 v， 根据 万有引力定律和牛顿第二定律有：
在天体的表面有
mg1=G
M 地球 m R2
地球
当一质量为 m 的卫星在小行星赤道表面附运行
时同样有
mg2=G
M 小行星 m R2
小行星
由以上四式可得： g1 ＝ R1 ① g2 R2
某天体上的第一宇宙速度可表示为 v=姨gR ，所以
地球上的第一宇宙速度与小行星上的第一宇宙速
度之比为： v1 = 姨R1g1 ② v2 姨R2g2
Mm R2
=m v2 R
中若式中所对应
的速度为某天体的第一宇宙速度， 则此时卫星的轨道
半径可近似地认为是某天体的半径.
跟踪练习：1990 年 3 月， 紫金山天文台将 1965 年 9
月 20 日发现的第 2752 号小行星命名为吴健雄星， 其直
径为 R2=32km.如该小行星的密度和地球相同，则对该小
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点拨
所以将使卫星进入轨道， 所需的发射速度 v0≥7.9km/s. 即人造地球卫星的最小发射速度是 7.9km/s.
通过上面的分析可知第一宇宙速度它有三层含义： ①第一宇宙速度是人造地球卫星在地球表面附近 环绕地球做匀速圆周运动时所具有的速度. ②第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球做匀速 圆周运动的最大环绕速度. ③第一宇宙速度是发射人造地球卫星进入最低轨 道所必须具有的最小速度. 例 2.关于第一宇宙速度， 下列说法正确的是 A. 它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B. 它是人造地球卫星绕地球飞行的最大速度 C. 它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度 D. 它是卫星绕地球飞行轨道上近地点的速度 解析： 根据第一宇宙速度的三层含义可知选项 BC 正确. 思维总结： 在分析第一宇宙速度的时候一定要理 解它所表示的三层具体含义.
当卫星在地球的表面附近运行时， 如图 1 所示， 可认为此时的轨道半径 r 近似等于 地球的半径 R： r≈R=6.4×106m， 此时卫星所受地球的万有 引 力 与 卫
姨 星的重力相差不大，则有：GMm/R2＝mv2/R 由此可解得：v= GM (1) R
r R
已 知 万 有 引 力 常 数 G=6.67×10－11N·m2/kg2， 地 球 的 质 量 M =6 ×
量 （结果要求二位有效数字） .
解析： 设卫星质量为 m， 它在地面附近作圆周运
动时圆半径可取为地球半径 R， 根据万有引力定律和
牛顿第二定律有：
G
Mm R2
=m v2 R
解得： M= v2R = （7.9×103）2×（6．4×106） ＝6.0×1024kg
G
2 ×10－10
3
思维总结：
在公式
G
例 1. 若取地球的第一宇 宙 速 度 为 v=8.0km/s， 某
的圆轨道上做匀速圆周运动， 设其运行速率为 v， 根
据万有引力定律和牛顿第二定
律有： GMm/r2＝mv2/r.
r
由此可得卫星的速率为：
姨 v= GM r
（2）
R
比 较 （1） （2） 两 式 ， 由 于 r＞
行星的质量是地球质量的 6 倍， 半径是地球半径的
R，所以有 v＜v1=7.9km/s.
1.5 倍， 那么这行星的第一宇宙速度约为
可见卫星绕地球做匀速圆
图2
A. 16 km/s
B. 32 km/s
周运动的轨道半径越大， 运行速率就越小， 即人造地
C. 4 km/s
D. 2 km/s
解：
由万 有 引 力 定 律 的
G=
Mm R2
=m v2 R
，
由此可得
姨v= GM . R 因为行星 的 质 量 M′是 地 球 质 量 M 的 6 倍 ， 半 径
球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度为
7.9km/s.
一颗质量为 m 的卫星在地球表面附近被发射并
进 入 运 行 轨 道 ，假 设 发 射 速 度 为 v0=v1，根 据 万 有 引 力
定 律 和 牛 顿 第 二 定 律 有 ：GMm/R2＝mv02/R
由①、
②两式得：
v2=
R2 R1
v1=
32 6400
×8×103=40m/s.
（作者单位： 阳山县阳山中学）
责任编校 李平安
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r
80×60
8.4×103m/s.
理综高参
可见卫星的运行速度大于第一宇宙速度， 显然不
可能发射一颗周期为 80 分钟的人造地球卫星.
思维总结：在知道某两个运行速度和轨道半径大小的
前提下，可以比较两颗卫星绕同一天体运动周期的大小.
典型应用二： 利用第一宇宙速度求天体的质量
例 4.地球质量为 M， 半径为 R， 万有引力恒量为
理综高参
点拨
第一宇宙速度是人类在探索太空发射卫星时的一个重要概念， 那么你对这个概念又
关
了解多少呢？ 下面我们以地球的第一宇宙速度为例来加以说明， 从而真正理解第一宇宙 速度的含义：
于 对 第
一、 地球的第一宇宙速度的定义 地球的第一宇宙速度就是物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度， 这个 速度也叫环绕速度. 特别提醒：对于该概念的理解要从以下几个角度考虑： 第一：物体的运动情况是做匀速圆周运动；第二：该定义明确指出了物体是在地球的表
（2）运 行 速 度 ：是 指 卫 星 在 进 入 运 行 轨 道 后 绕 地 球 做匀速圆周运动的线速度．当卫星“贴着”地面运行时，
运行速度等于第一宇宙速度．根据 v= 姨GM/R 可知，人 造卫星距地面越高（即轨道半径 r 越大），运行速度越 小． 实际上， 由于人造卫星的轨道半径都大于地球半 径，所以卫星的实际运行速度一定小于发射速度．
行星的第一宇宙速度是多少？已知地球半径 R1=6400km，
地球的第一宇宙速度 v1=8km/s，重力加速度为 g1.
解析： 设小行星上的第 一 宇 宙 速 度 为v2， 其 重 力
加速度为 g2.
地球的质量：
M
地球＝
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4 3
πR13·ρ，
小行星的质量：
M
＝ 小行 星
4 3
πR23·ρ，
设一质量为 m 的卫星在地球赤道表面附近运行，
（3）
R′是地球半径 R 的 1.5 倍.即 M′=6M，R′=1.5R，由 此 可
即卫星恰好绕地球的表面附近做匀速圆周运动，
姨姨 姨 得
：
v′ v
=
GM′ R′ = GM R
M′R MR′
=2.
若 v0＜v1=7.9km/s， 则由 （3） 式可得： GMm/R2＞mv02/R， 即卫星所受到的万有引力大于卫星做匀速圆周运动所 需要的向心力， 此时卫星将会靠近球心而落到地面，
如图 2 所示， 一颗质量为 m 的卫星在距地心 r
姨 宙速度有两种表达方式: v=
GM R
或 v=姨gR 地 ， 在运
用的时候要根据条件进行分析. 从以上两种表达可以看
出，不同的天体，在其上面发射人造卫星的第一宇宙速
度也不同，因此在说第一宇宙速度时一定要明确指出是
某一个天体的第一宇宙速度，否则就是毫无意义的.
一 宇 宙 速 度 的■
范
理秀 丽
解
面，这就相当于指出了物体的轨道半径 r 近似为地球的半径 R，即：r=R.
二、 第一宇宙速度的两种推导方法：
方法一： 设地球和卫星的质量分别为 M、 m， 卫星到地心的距离为 r， 卫星运动的 速度为 v.将卫星绕地球的运行看成是匀速圆 周运动,由万有引力提供向心力,根据 牛 顿 第 二定律有： GMm/r2＝mv2/r.
地球表面的重力加速度） 将 g=9.8m/s 和 R=6.4×106m 代 入 上 式 可 解 得 地 球
姨 G
Mm R2
=m v2 R
得：v=
GM R
；（2）由
mg=m v2 R
得：v=姨gR
.
上的第一宇宙速度为： v=7.9km/s.
三、 第一宇宙速度的三层含义
特别提醒：由以上两种推导方式可以看出,第一宇
G， 发 射 一 颗 绕 地 球 表 面 附 近 做 圆 周 运 动 的 人 造 卫
星， 卫星的速度称为第一宇宙速度， 若已知地球第一
宇 宙 速 度 的 大 小 为 v =7.9km/s， 地 球 半 径 R =6.4 ×
103km， 万有引力恒量 G= 2 ×10-10N·m2/kg2， 求地球质 3
四、 第一宇宙速度与发射速度、 运行速度的区别
（1） 发射速度： 所谓发射速度是指被发射物在地 面附近离开发射装置时的初速度， 并且一旦发射后就 再无能量补充， 被发射物仅依靠自己的初动能克服地 球引力上升一定的高度， 进入运动轨道．要发射一颗 人造地球卫星， 发射速度不能小于第一宇宙速度．若 发射速度等于第一宇宙速度， 卫星只能 “贴着” 地面 近地运行．如果要使人造卫星在距地面较高的轨道上 运行， 就必须使发射速度大于第一宇宙速度．