扭摆法测定材料的切变模量与刚体转动惯量

实验二 材料的切变模量与刚体转动惯量的测定（扭摆法）

【实验目的】

本实验通过用扭摆法测量钢丝及铜丝材料的切变模量，了解测量材料切变模量的基本方法，进一步掌握基本长度量和时间测量仪器的正确使用方法，同时还可以用扭摆法测量各种形状刚体绕同一轴转动的转动惯量以及同一刚体绕不同轴转动的转动惯量，加深对转动惯量的概念及对垂直轴定理和平行轴定理的理解。 【仪器和用具】

1、切变模量与转动惯量实验仪

2、仪器使用方法

（1）取下仪器上端夹头，并把它拧松，将钢丝一端插入夹头孔中，然后把夹头拧紧，再把夹头放回横梁上。用同样的方法，把钢丝的下端固定在爪手的夹头上。

（2）转动上端的“扭动旋钮”（9）使爪手一端的铷铁硼小磁钢（5）对准固定在立柱上的霍耳开关（4）。同时调整霍耳开关的位置，使之高度与小磁钢一致。

（3）调节立柱的两个底脚螺丝。使小磁钢靠近霍耳开关，并使它们之间相距为8毫米左右。

（4）转动横梁上的“标致旋钮”（8），使它的刻线与“扭动旋钮”（9）上的刻线相一致 当旋转“扭动旋钮”（9）一个角度后，即刻又恢复到起始位置。此时爪手将绕钢丝作摆动。

（5）爪手有多种功能。圆环可水平放在爪手上面作振动。也可以垂直装在爪手下面作

图 2-1 切变模量与转动惯量实验仪简图 （其中2表示环状刚体垂直和水平二种状态放置） 1

2

2

3 8

4

5

6

7

1、爪手

2、环状刚体

3、待测材料

4、霍耳开关

5、铷铁硼小磁钢

6、底座

7、数字式计数计时仪

8、标志旋钮

9、扭动旋钮

9

振动。爪手还可以安置条形棒或柱形棒作振动，以测得不同的周期值，并求出钢丝材料的切变模量或刚体的转动惯量。

3、数字式计数计时仪使用

（1）开启电源开关，使仪器预热10分钟。

（2）按住上升键，使预置计数值达到实验要求。

（3）使爪手作扭转振动。当铷铁硼小磁钢靠近霍耳开关约1.0cm距离时，霍耳开关将导

通，即产生计时触发脉冲信号。

（4）数字式计数计时仪有延时功能。当扭摆作第一周期振动时，将不计时，计数为0。当计数显示1时，才显示计时半个周期。

（5）计数计时结束,可以读出由于爪手振动在霍耳开关上产生计时脉冲的计数值和总时间，其中计数2次为一个周期。要查阅每半个周期时间，只要按一次下降键即可。

4、另外，还需要螺旋测微仪，游标卡尺，米尺，电子天平（公用）。

图2-2 实验装置实物照片

【实验原理】

材料在弹性限度应力同应变的比值是度

量物体受力时变形大小重要参量。正应力同线

应变的比值，称为氏模量；剪应力同剪应变的

比值，称剪切弹性模量，又简称切变模量。与

氏模量相似，切变模量在各行各业有着广泛的

O

O ’

P

P ’

0φ

α

L

R

图2-4

应用。直至和人民大众日常生活密切相关的 建筑物抗震等性能都与切变模量参量有关。

设有某一弹性固体的一个长方形体积元，顶面（底面）面积为A ，它的顶面固定，如图2-3所示。在它底面上作用着一个与平面平行而且均匀分布的切力F ，在这个力作用下，两个侧面将转过一定角度α，见图3，通常称这样一种弹性形变为切变。在切变角α较小的情况下，作用在单位面积上的切力/F A 与切变角α成正比。

αG A

F

= （2-1） 式中G 是一个物质常数，称为切变模量。G 的单位为2

Nm -，大多数材料的切变模量约为氏模量的1/3到1/2，在实验中，待测样品是一根上下均匀而细长的钢丝或铜丝，从几何上说，就是一个细长圆柱体，如图4所示。设圆柱体的半径为R ，高为L ，其上端固定，下端面受到一个外加扭转力矩的作用，于是圆柱体中各体积元（取半径为r 、厚为dr ,高为L 的圆环状柱体为体积元），每个体积元上端固定，下端受一扭转力矩作用，根据公式（2-1），每个体积元受到的外力矩为

2d 22M r G rdr Gr dr αππα==外 (2-2)

设圆柱体底部绕轴转动了0φ角，如果1α<︒，则弧长

s L α≈,而0s r φ=,所以

L

r

ϕα= （2-3） （2-2）式代入（2-3）式，得到

302r dr

dM G L

πϕ=外 （2-4）

对（2-4）式积分，可等到总力矩

43

00022R

G R M r dr G L L

ππϕϕ==⎰外 （2-5）

圆柱体的弹性力矩为0M ，平衡时有0M M =-外

令L

R

G

D 4

2

π

=

，则有0M D φ=-外 对于一定的物体D 是常数，称为扭转系数。

扭摆的结构如图2-5所示，爪手及圆环安放位置如图2-5所示，若使爪手绕中心轴转过某一角度0φ，然后放开，则爪手将在

弹性扭转力矩M 作用下作周期性的自由振动，这就构成一个扭摆。若钢丝（或铜丝）在扭转振动中的角位移以φ表示，爪手整个装置对其中心轴的转动惯量为0I ，根据转动定律则有

202d M D I dt ϕϕ=-= 即 002

2=+ϕϕI D

dt

d 上述方程是一个常见的简谐振动微分方程，它的振动周期应是

02T = （2-6） 由图2-6所示，将一个已知外半径、厚度和质量的环状刚体、分别水平放在爪手上及垂直放在爪手上，绕同一轴（钢丝）转动测得的振动周期分别为T 1和T 2。而环状刚体在绕轴（环心）作水平转动时转动惯量为1I ，环状刚体处于垂直状态绕同一直径作转动时转动惯量为

2I ，爪手绕中心轴转动

时转动惯量为0I ，那么由(2-6)式可以知道，

22

1

014()T I I D π=+ ; 22

2024()T I I D

π=+

从两式中消去0I ，并将代入，可以得到切变模量G 的 表达式为

12

4

22

128.T I I L G R T π-=

- （2-7） 由理论计算可知，环状刚体绕中心轴作水平转动的转动惯量1I ,环状刚体绕任一直径转动的转动惯量2I 分别为

22

1m 2

b c I += （2-8）

2222m 412b c d I ⎛⎫

+=+ ⎪⎝

⎭) （2-9） 上式中，b 为环的半径，c 为环的外半径，m 为环的质量。d 为环状刚体的厚度。因此，

根据公式（2-8）、（2-9）计算得到1I 、2I 。测量出12T T 、，通过公式（2-7）就能得到材料的切变模量G 。

爪手

螺丝

扎具

O

O ’

(a)

(b)

圆环

图2-5

图2-6