第1讲 数的整除(1)-学生讲义

第1讲数的整除

一、知识点

1.整除的概念：整数a 除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，则称a能被b

整除（或者说b能整除a），记作b|a，其中a叫做b的倍数，b叫做a的因数。

注意：我们讨论的整除性均在正整数范围内。

2.数的整除特征

（1）一个数的个位数字是0，2，4，6，8中的某一个，那么这个整数就能被2整除。（2）一个数的个位数字是0或者5，那么这个整数就能被5整除。

（3）一个数各数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除。（4）一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。（5）一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。（6）一个数既能被2整除，又能被3整除，则这个数能被6整除，反之一个数能被6整除，则这个数一定能被6的因数（1,2,3,6）整除。

（7）能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。（8）能被7（11或13）整除的特征：一个数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。

3.数整除的性质

（1）如果两个整数a、b都能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被数c整除（2）如果数a能被数b整除，c是整数，那么ac也能被数b整除。

（3）如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么数a也一定能被数c整除。（4）如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。

二、典例剖析

例1.周老师为全班28名同学买了价格相同的钢笔（每人一支），共付人民币9□.2□元。已知□处数字相同，请问钢笔每支多少元

练一练1.

老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数□□元，回校后发现有两个数字已经看不清了，你能帮助补上这两个数字吗

例2.已知292x y 能被36整除，求所有满足条件的五位数。

练一练2. 已知一个五位数a691b 能被55整除，那么符合题意的五位数有哪些

例3.如果39位数19555

5L 123个□19999L 123个9

能被7整除，那么中间方格内的数字是几

练一练3.

在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除且

使这个整数尽可能大。

例4.已知，四位数abcd 是11的倍数，且b+c=a ，bc 为完全平方数，不同的字母

代表着不同的数字，求此四位数。

练一练4.

a 、

b 和

c 都是二位的自然数，a 、b 的个位分别是7与5，c 的十位是1，如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c 的和是多少

例5.如果012005200520052005

个n 能被11整除，那么n 的最小值是几

练一练5. 有一个九位数A1999311B 能被72整除，试求A 、B 两数的差（大减小）。

例6.求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56整除

练一练6.

在1969的前面或后面加一个三位数得到一个七位数，使这个七位数能被这个三位数整除，求这个三位数.

例7.一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍，求这个三位自然数。

练一练7.

已知三个不同的数字（其中没有零），由它们组合而成的所有三位数都相加，得到的和为2664，且最大的三位数与最小的三位数的差为693，求符合条件的三个数

三、课后练习

15ABC能被36整除，而且所得的商最小，求A、B、C．

1．要使六位数6

2．如果以5、6、7、8、9五个数字中，选出四个数字组成一个四位数，它能被

3、5、7都整除，求这些数中最大的四位数．

3．试在523…后面续上三个数字，使得所得的6位数可被7、8、9整除．