勾股定理专题复习及题型讲解

勾股定理复习

一、要点精练

（一)勾股定理

1、（填空题) 已知在Rt △ABC 中,∠C=90°。①若a=３,b=４,则ｃ＝_____＿_＿；②若a ＝40,b ＝9,则ｃ=_＿__＿＿＿_;

③若a=6，ｃ=１0,则ｂ=______＿；④若c=25,ｂ=1５,则a ＝_＿______。

2、(填空题)

已知在Ｒt △ABC 中，∠C ＝９０°,AB=10。①若∠A=3０°，则BC=_____＿，AC=___＿_＿_;②若∠A=45°,则BC ＝___＿__，AC=_______。

3、下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是( ）

（A ）1,2,3 （Ｂ）2,3,4 (Ｃ）3,4,5 (Ｄ）4,5,6

４、直角三角形的面积为S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长为( )

（A)22d S d + （Ｂ2d S d -

(Ｃ)222d S d + （Ｄ）22d S d +

解：设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =，12S ab =

. 由勾股定理，得222a b c +=.

所以()222222444a b a ab b c S d S +=++=+=+.

所以22a b d S +=+a b c ++=222d S d +．

故选（C)

５、直角三角形的三边是,,a b a a b -+，并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )

（A ）６１ (B)71 （C ）81 (D ）9１

解:因为a b a a b +>>-.根据题意,有()()22

2a b a b a +=-+．

整理,得24a ab =．所以4a b =.

所以3,5a b b a b b -=+=．

即该直角三角形的三边长是3,4,5b b b .

因为只有81是３的倍数.

故选(C ）

６、在Rt ABC ∆中,3,5a c ==，则边b 的长为_＿＿＿__.

7、直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是（ )

(A ）61 (B)71 （C ）81 (D ）91

(二)勾股定理的验证及其验证过程的相关应用

1、下图甲是任意一个直角三角形A ＢＣ,它的两条直角边的边长分别为ａ、b ，斜边长为ｃ.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形,放在边长为a +b 的正方形内.

①图乙和图丙中（1）（2)(３)是否为正方形?为什么?

②图中(1）(2）(3)的面积分别是多少？

③图中(1)(２）的面积之和是多少?

④图中（1)(2)的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么?

由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？

参考答案

①图乙、图丙中（１)（2)(3）都是正方形．易得（1）是以a 为边长的正方形，(2）是以b 为边长的正方形，（3)的四条边长都是ｃ，且每个角都是直角，所以(3）是以c 为边长的正方形.

②图中(1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2，(3）的面积为c ２.

③图中（1)(2)面积之和为a 2+b ２.

④图中（1）(2)面积之和等于（3)的面积.

因为图乙、图丙都是以ａ+b 为边长的正方形，它们面积相等，(1）（２）的面积之和与

（3)的面积都等于（a ＋b )2减去四个Rt △AB Ｃ的面积.

由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即勾股定理.

2、(１)请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢?

(2）请你观察下列图形,直角三角形A ＢC 的两条直角边的长分别为AC =7,B Ｃ=４，请你

研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于4２+７2？

参考答案

（1)边长的平方即以此边长为边的正方形的面积,故

可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外

做正方形,如右图：AC =４,BC =３,

S 正方形ＡBED ＝Ｓ正方形FCGH -4S Ｒt △A ＢC

=（3+４)2－４×21×3×4=72－2４=25 即AB ２=２5，又AC ＝4，ＢＣ=3,

ＡＣ２＋BC 2＝4２＋32＝25

∴ＡB 2＝ＡＣ2+ＢC 2

(2)如图（图见题干中图)

Ｓ正方形AB ＥＤ＝S 正方形KLCJ -4S Ｒt △ABC =（4＋7)2－4×

2

1×4×７=１21-5６=６5=４2+７2 ３、如图2，以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆,其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积,则此三角形的形状为____＿． 解:根据题意,有123S S S +=,即

222111222222a b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

. 整理，得222a b c +=.

故此三角形为直角三角形.

４、如图4,已知ABC ∆中,90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积,1281,225S S ==,则3_____.S = 解:由勾股定理,知222AC BC AB +=,即123S S S +=,所以3114S =．

5．如图５,已知，Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,210AD BE ==,则斜边AB 之长为______.

解:AD 、BE 是中线,设,BC x AC y ==，由已