2020届新高考艺术生数学复习冲关训练：第七章 第6节双曲线

第七章 第6节

1．(2018·高考浙江卷)双曲线x 23－y 2

＝1的焦点坐标是( )

A ．(－2，0)，(2，0)

B ．(－2,0)，(2,0)

C ．(0，－2)，(0，2)

D ．(0，－2)，(0, 2)

解析：B

[∵c 2＝3＋1＝4，∴双曲线

x 23

－y 2

＝1的焦点坐标是(－2,0)，(2,0)．] 2．已知双曲线C ：x 23－y 2

＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支

相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( )

A ．43 B.1433 C ．53 D.16 3

3

解析：D [因为⎩⎨⎧

|PF 1|2－|PF 2|2＝4c 2＝16，

|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23

∴|PF 1|＋|PF 2|＝

83

3

，所以△PF 1Q 的周长为 2(|PF 1|＋|PF 2|)＝

163

3

，故选D.] 3．(2018·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1，(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x

轴的直线与双曲线交于A 、B 两点．设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )

A.x 24－y 2

12＝1 B.x 212－y 2

4＝1 C.x 23－y 2

9

＝1 D.x 29－y 2

3

＝1 解析：C [设双曲线的右焦点坐标为F (c,0)(c >0)， 则x A ＝x B ＝c ，由c 2a 2－y 2b 2＝1可得：y ＝±b 2

a ，

不妨设：A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2

a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b

2

a ， 双曲线的一条渐近线方程为：bx －ay ＝0，

据此可得：d 1＝|bc －b 2|

a 2＋

b 2＝b

c －b 2c ，

d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b 2

＝bc ＋b 2c ，则d 1＋d 2＝2bc

c ＝2b ＝6，则b ＝3，b 2＝9，

双曲线的离心率为：e ＝c a ＝

1＋b 2a

2＝1＋9

a

2＝2， 据此可得

a 2＝3，则双曲线的方程为

x 23－y 2

9

＝1.

本题选择C 选项．]

4．(2019·晋城市一模)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，点P 在

双曲线C 的右支上，如果|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线C 离心率的取值范围是( )

A ．(1,2]

B ．[2，＋∞)

C ．(1,3]

D ．[3，＋∞)

解析：A [设|PF 2|＝t ，|PF 1|＝3|PF 2|，则|PF 1|＝3t ，∴3t －t ＝2a ，∴t ＝a ，

可得⎩⎪⎨⎪⎧

3a ＋a ≥2c 3a －a ＜2c

，解得1＜c a ≤2，即e ∈(1,2]．故选：A.]

5．(2018·佳木斯市三模)椭圆C ：x 24＋y 23＝1与双曲线E ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ，b >0)有相同的焦点，且

两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为( )

A.12

B.22

C.3

3

D.3

2

解析：D [椭圆C ：x 24＋y 23＝1的焦点坐标(±1,0)，离心率为12.双曲线E ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ，b >0)的

焦点(±1,0)，c ＝1，双曲线的离心率为2.可知a ＝12，则b ＝3

2，双曲线渐近线y ＝±3x 的倾斜角的

正弦值为

3

2

.故选D.] 6．(2016·高考浙江卷)设双曲线

x 2－

y 2

3

＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．

解析：如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，

由于△PF 1F 2为锐角三角形，

结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧

(m ＋2)2＜m 2＋42，42＜(m ＋2)2＋m 2，

解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案：(27，8)

7．(2018·高考北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2

n 2＝1.若双曲线N 的两

条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．

解析：①如图：连接AF 1，由正六边形的性质可知，△AF 2F 1为直角三角形，且∠AF 2F 1＝60°，

∠AF 1F 2＝30°.

所以在△AF 2F 1中，|AF 2|＝c ，|AF 1|＝3c .

又由椭圆的定义可知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c . ∴(1＋3)c ＝2a ，∴e ＝c a ＝2

1＋3＝3－1.

②由正六边形的性质可知，∠AOF 2＝60°， tan ∠AOF 2＝3＝n

m ，又由双曲线的性质可知：

∴e ＝

1＋⎝⎛⎭⎫n m 2

＝

1＋(3)2＝2.

答案：3－1 2

8．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2

m ＝1的焦距等于4，则n ＝________.

解析：因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2

－m ＝1，

即

a 2＝－3m ，

b 2＝－m ，所以

c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得

m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n

＋x 2

＝1，

且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．

答案：5

9．已知椭圆D ：x 250＋y 2

25＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两

条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．

解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5,0)，(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.