高等数学习题课下(2)带答案

1 }， 2z
切平面方程为 1 ( X x) 1 (Y y) 1 (Z z)0 ，
x
y
z
即 X Y Z x y z 1 ， x yz
切平面在三个坐标轴上的截距分别为 x, y, z .
求条件极值问题：
max: st:
A xyz
，
x y z 1
设 F( x, y,z,) xyz( x y z 1) ，
S
时，
z( S )n ；
2
而当 x0,
2
yS 或xS,
y0 时,得z S n ( S )n ，
22
显然唯一驻点
(
S 2
,
S 2
)
只能是最小值点，z
min(
S 2
)n
，
故 xn yn Sn ( x y )n 。 2 22
4.已知a , b满足
b
|
x
|
dx
1
(a
0
b), 求曲线
a
2
y x2 ax与直线y bx所围区域的最大值与
Fa Fb
72
a2b 72
ab2
1 8a 0, 8b0,
(1) ( 2)
F 9a2 4b2 720, (3)
a2 4b2 ，代入(3)，得 9
b2 9, b3, a2，得唯一驻点(2, 3) ，
∵函数 S 必有最小值，且在定义域{(a,b) a0,b0} 内只有唯一驻点(2, 3) ，
7.求函数u xy2z3在点(1,2, 1)处沿曲面 x2 y2 5的外法向的方向导数。
∴在点(2, 3) 处面积 S 有最小值。
2.求中心在原点的椭圆 5x2 4xy8 y2 1 的长半轴
与短半轴的长度。 解：设 M( x, y) 为椭圆上的任一点，点 M 到原点的距离 d x2 y2 ，d 的最大值即为长半轴 a，d 的最小值即
为短半轴 b。
设 f ( x, y,)d 2 (5 x2 4 xy8 y2 1)
截距之积为最大，该切平面方程为X Y Z 1 。 3
5.设f (z) u( x, y) iv( x, y)为解析函数，若 u v ( x y)( x2 4xy y2 ),
求f (z),并单独用z表示之。
6.求解下列方程。 (1) z4 +a4 =0 (a 0为常数）； (2) ez 1 i 3.
设
xn yn z f ( x, y)
，
2
下面求 z 在 x yS 条件下的极值。
令 F ( x, y, ) x n y n ( x y S ) ， 2
Fx
n 2
x
n1
0
Fy
n 2
y
n1
0
(1)
(2) x y S ,得驻点 ( S , S ) .
2
22
F x y S 0
(3)
当
x
y
∴切线方程为 x1 y1 z2 , 8 10 7
法平面方程为 8( x1)10( y1)7(z2)0 ，
即 8 x10 y7z120 。
4．求曲面 x y z 1的一张切平面，使其在三个
坐标轴上的截距之积为最大。
解：曲面在第一卦限的点 M ( x, y,z) 处的法向量为
1
n1 { 2
, x
1, 2y
by 18
1
，化为截距式：
x
8
y
18
1
，
ab
设切线与原曲线及坐标轴所围成的面积为 S，则
S 1 818 1 18 8 ，即 S 723(a0,b0) 。
2a b 4
ab
求条件极值问题：
min:
S 72 3 ab
，
st: 9a2 4b2 720
令 F (a,b,) 723 (9a2 4b2 72) ， ab
4
2
由于最值必存在，故长半轴a 1 ，短半轴b 1 。
2
3
课后练习：已知曲面4x2 4 y2 z2 1与平面
x y z 0的交线在xy平面上的投影为一椭圆，
求此椭圆的面积。（ 2 ）
4
3．求证： n1, x0, y0 时成立不等式
xn yn ( x y )n 。
2
2
证明：令 x y S ( x0, y0) ，
最小值。
解：因为
b
|
x
|
dx
1
(a2
b2 )
1
,所以a2
b2
1.
a
2
2
两曲线所围面积为
S(a,b)
ba
(bx
x2
ax)dx
1
(b
a )3 .
0
6
应用拉格朗日乘数法，令
F (a,b, ) 1 (b a)3 (a2 b2 1),
6
解得驻点( 2 , 2 ),此时S 2 .
22
3
又因为S(0,1) 1 , S(1,0) 1 ,
6
6
所以所求面积的最大值为 2 ，最小值为 1。
3
6
练习
1． 设函数 f ( x, y) 在点 (0, 0) 附近有定义，且 f x (0,0)3 ，
f y(0,0)1 ，则（ C ）
（A） dz (0,0) 3dxdy ；
（B）曲面 z f ( x, y) 在点 (0,0, f (0,0)) 的法向量为{3, 1, 1}；
x2 y2(5x24xy8 y21) ，
令
f x 2x10x4y0 f y 2 y4x16y0
x(5x2 y)0 y(2x8 y)0
(1) (2)
f
5
x2
4
xy8
y2
10
5x2 4xy8 y2 10
(3)
由(1)得 x ，代入(2)化简得2 y2 3xy2x2 0 ， 5x2y
( y2x)(2 y x)0 ， y2x 或 y1 x . 2
Fx
yz
2
x
0
(1)
Fy
xz
2
y
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(2) x yz,
Fz
xy
2
0 z
(3) 代入(4)得 x yz 1 。 9
F
x
y
z 10 (4)
∵函数 A 必有最大值，且在定义域
{( x, y,z) x0, y0, z0} 内只有唯一驻点( 1, 1, 1 ) ， 9 99
∴曲面在点(1, 1, 1) 处的切平面在三个坐标轴上的 9 99
切线方程为 法平面方程为
， 。
解：两曲面在点 P(1,1,2) 的切平面的法向量为
n1{4x, 6 y, 2z} P {4,6,4}2{2,3,2}， n2 {6x, 2 y, 2z} P {6,2,4}2{3,1,2} ，
ijk
切线的方向向量
a n1n2
2
3
2 {8, 10, 7} ，
3 1 2
习题课二
一、例题
1．过曲线 9x2 4 y2 72在第一象限部分中哪一点作
的切线与原曲线及坐标轴之间所围成的图形面积最小？
解：设切点为(a, b)(a0,b0) ，
9x2 4 y2 72 x2 y2 1 ， 8 18
这是长半轴为 18 ，
y
18 (a,b)
短半轴为 8 的椭圆。
o 8x
切线方程为
ax 8
（C）曲线
z f y0
( x, y)
在点 (0,0,
f
(0,0)) 的切向量为{1,
0,
3} ；
（D）曲线
z f y0
( x, y)
在点 (0,0,
f
(0,0)) 的切向量为{3,
0, 1}。
2．函数 u( x y)2 (z x)2 2( yz)2 在点 M(1, 2, 2)
处方向导数的最大值为 2 6 .
3．曲线 C:2zx2233xy22yz22 9 在点 P(1,1,2) 处的
切线方程为
x1 y1 z2 8 10 7
，
法平面方程为 8x10 y7z120 。
4．求曲面 x y z 1的一张切平面，使其在三个 坐标轴上的截距之积为最大。
参考答案：
3．曲线 C:2zx2233xy22yz22 9 在点 P(1,1,2) 处的
把 y2x 代入(3)得5x2 8x2 32x2 10 ，
即 45 x2 1 ， x2 1 ， y2 4 ，
45
45
x2 y21 ，d1 .
9
3
把 y 1 x 代入(3)得5x2 2x2 2x2 10 ，
2
即 5 x2 1 ， x2 1 ， y2 1 ，
5
20
x2 y2 1 ，d 1 .