参数方程和普通方程的互化ppt课件
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2.3 参数方程和普通方程的互化 课件 (北师大选修4-4)
（为参数）
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为 普通方程 x a r cos , 如：①参数方程 消去参数 y b r sin .
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x t, （t为参数） y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0） 注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致。 否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
x= t 1 ( 1 ) ( t为 参 数 ) y 1 2 t
2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
x t2 A、 4 y t x sin t B、 2 y sin t x t C、 y t x t D、 2 y≥0， 在A、B、C中，x,y的范围都
x= sin cos (2) ( 为 参 数 ). y 1 sin 2
解： 因为x (1)
t 11
所 以 普 通 方 程 是 y 2 x （ x 1) 3
这 是 以 （1，） 为 端 点 的 一 条 射 线 （ 包 括 端 点 ） 1
( 2 )因 为 ： x sin cos 所 以 x 2, 2 所 以 普 通 方 程 是 x y, x 2 , 2 .
为参数。
x 3 1 t2 x －3 1 t2 （ 2） 参 数 方 程 是 或 y 2t y 2t
练习 1 .化下列参数方程为普通 x t 1 （1） y 1 2 t x sin t (3) 2 y sin t 1 x t (5 ) t y 2 方程 x t (2) 2 y t 1 t t x 2 (e e ) (4) y 1 (e t e t ) 2
参数方程与普通方程的互化 课件
解得 C1 与 C2 的交点为(1,0)，12，－ 23.
(2)C1 的普通方程为 xsin α－ycos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin2 α，－cos αsin α)， 故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为
x＝12sin2 α， y＝－12sin αcos α
(α 为参数)．
P 点轨迹的普通方程为x－142＋y2＝116. 故 P 点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆．
【例题 1】 将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．
x＝1－3t， (1) y＝4t
(t 为参数)；
x＝1＋4cos t， (2) y＝－2＋4sin t
(t 为参数，0≤t≤π)；
x＝2＋sin2 θ， (3) y＝－1＋cos 2θ (θ为参数)；
x＝sin θ＋cos θ， (4) y＝sin 2θ
－2y－7＝0 距离的最小值． 思维导引：先把题目条件中的参数方程转化为普通方程，然后根据普通方程解决
问题．
解析：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：6x42 ＋y92＝1.
C1 为圆心是(－4,3)，半径是 1 的圆． C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆．
• 思维导引：(1)将参数方程化为普通方程，解 方程组求交点．
• (2)由C1的普通方程求出点A的坐标，利用中 点坐标公式求出P的坐标可得参数方程，再 化为普通方程可知曲线类型．
解析：(1)当 α＝π3时，C1 的普通方程为 y＝ 3(x－1)，
C2 的普通方程为 x2＋y2＝1.
联立方程组yx＝2＋y32＝x－1，1，
程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数 方思维程导引？：(1)将普通方程化为参数方程的一般方法：
(2)C1 的普通方程为 xsin α－ycos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin2 α，－cos αsin α)， 故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为
x＝12sin2 α， y＝－12sin αcos α
(α 为参数)．
P 点轨迹的普通方程为x－142＋y2＝116. 故 P 点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆．
【例题 1】 将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．
x＝1－3t， (1) y＝4t
(t 为参数)；
x＝1＋4cos t， (2) y＝－2＋4sin t
(t 为参数，0≤t≤π)；
x＝2＋sin2 θ， (3) y＝－1＋cos 2θ (θ为参数)；
x＝sin θ＋cos θ， (4) y＝sin 2θ
－2y－7＝0 距离的最小值． 思维导引：先把题目条件中的参数方程转化为普通方程，然后根据普通方程解决
问题．
解析：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：6x42 ＋y92＝1.
C1 为圆心是(－4,3)，半径是 1 的圆． C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆．
• 思维导引：(1)将参数方程化为普通方程，解 方程组求交点．
• (2)由C1的普通方程求出点A的坐标，利用中 点坐标公式求出P的坐标可得参数方程，再 化为普通方程可知曲线类型．
解析：(1)当 α＝π3时，C1 的普通方程为 y＝ 3(x－1)，
C2 的普通方程为 x2＋y2＝1.
联立方程组yx＝2＋y32＝x－1，1，
程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数 方思维程导引？：(1)将普通方程化为参数方程的一般方法：
参数方程与普通方程的互化 PPT精选文档
参数方程与普通方程的互化
1
教学目标：
知识目标:能通过消去参数将参数方程化为普通 方程，由普通方程识别曲线的类型 。
情感目标:通过活动、质疑培养学生合作交流、 自主探究的数学学习习惯和反思意识
能力目标:感受探索性问题的研究方法，培 养学生的创新意识
重点:参数方程和普通方程的等价互化为参数
)
5
xycosisn3(为参)数
(x3)2 cos2
y2 sin2
(x3 )2y2co 2 ssi2n
(x3)2y21
表示(圆 3,0)半 ,心径 1的 为 .圆
6
预习自测：
把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各
表示什么曲线？
(1)
x y
t 1
1
(
2t
t
为参数）
(2)
x 2 co y sin
s
(
为参数）
1、通过什么样的途径，能从参数方程得 到普通方程？
2、在参数方程与普通方程互化中，要注 意哪些方面？
7
预习自测： 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各 表示什么曲线？
(1)
x y
t 1
1
(
2t
t
为参数）
y=-2x+3
(2)
x
2c y si
o n
（1） x t 1(t为参数) y12 t
展示、点评组：3组
（2） xys1insicn2os(为参) 数
展示、点评组：4组
10
解：（ 1）由x t 11有 t x1 代入y 12 t, 得到y 2x3(x1) 这是以 (1,1)为端点的一条(射 包线 括端)点
y
(1,1)
1
教学目标：
知识目标:能通过消去参数将参数方程化为普通 方程，由普通方程识别曲线的类型 。
情感目标:通过活动、质疑培养学生合作交流、 自主探究的数学学习习惯和反思意识
能力目标:感受探索性问题的研究方法，培 养学生的创新意识
重点:参数方程和普通方程的等价互化为参数
)
5
xycosisn3(为参)数
(x3)2 cos2
y2 sin2
(x3 )2y2co 2 ssi2n
(x3)2y21
表示(圆 3,0)半 ,心径 1的 为 .圆
6
预习自测：
把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各
表示什么曲线？
(1)
x y
t 1
1
(
2t
t
为参数）
(2)
x 2 co y sin
s
(
为参数）
1、通过什么样的途径，能从参数方程得 到普通方程？
2、在参数方程与普通方程互化中，要注 意哪些方面？
7
预习自测： 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各 表示什么曲线？
(1)
x y
t 1
1
(
2t
t
为参数）
y=-2x+3
(2)
x
2c y si
o n
（1） x t 1(t为参数) y12 t
展示、点评组：3组
（2） xys1insicn2os(为参) 数
展示、点评组：4组
10
解：（ 1）由x t 11有 t x1 代入y 12 t, 得到y 2x3(x1) 这是以 (1,1)为端点的一条(射 包线 括端)点
y
(1,1)
参数方程和普通方程的互化 课件
练习2:已知圆方程 x2 y2 2x 6 y 9 0
，将它化为参数方程。
解：把 x2 y2 2x 6y 9 0 化为标准
方程，即 (x 1)2 ( y 3)2 1
∴参数方程为
x 1 cos
y
3
sin
(为参数)
练习3:
曲线 y=x2 的一种参数方程是（ D ）
A 、
(为参数）
(5)
x=1+4 cos t y= -2+4sint
(t为参数，
0
t )
(6)
x=
t +1 (t为参数）
步骤（1）消参 （2）求定义域。
y=1-2 t
小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参 过程常见方法有三种：
1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代 入消去参数
2.三角法：利用三角恒等式消去参数
1
所以点M的轨迹是圆心在(3，0)，半径为1的圆。
一.把参数方程化为普通方程
如：①参数方程
x a r cos ,
y
b
r
sin
.
消去参数
可得圆的普通方程 (x-a)2+(y-b)2 = r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数 t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
参数方程和普通方程的互化
圆的参数方程的一般形式
圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程：
x
y
r cos r sin
(为参数)
x2 y2 r2
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时， OM0转过的角度。
参数方程参数方程和普通方程的互化ppt
参数方程和普通方程的优缺点比较
03
参数方程和普通方程的应用场景
03
电磁学
在研究电磁场时，参数方程可以用来描述电场和磁场的变化。
物理问题中的参数方程应用
01
运动学
参数方程常用于描述物体的运动轨迹，例如，物体质点的位置随时间的变化。
02
波动
参数方程可以用来描述波的传播，例如，振幅随时间的变化。
解析几何
参数方程通常用于描述具有某些特定变化规律的问题，如运动轨迹、物理实验数据等。
参数方程的定义
普通方程又叫直角坐标方程，它是一种以x、y坐标轴为基准的平面图形表示方式，通过x、y坐标轴上点的坐标来表示图形上的点。
普通方程通常用于描述几何图形、函数图像等平面图形。
普通方程的定义
将参数方程转化通方程更加直观易懂。
案例二：圆方程的参数形式
椭圆方程的参数形式通过使用两个参数，描述椭圆在坐标系中的位置和形状。
总结词
椭圆方程的一般形式是 (x - a)2/b2 + (y - c)2/d2 = 1，其中 (a, c) 是椭圆中心的坐标，b 和 d 是椭圆的长半轴和短半轴
详细描述
案例三：椭圆方程的参数形式
05
总结与展望
2023
参数方程参数方程和普通方程的互化
目录
contents
参数方程和普通方程的基本概念参数方程和普通方程的互化方法参数方程和普通方程的应用场景参数方程和普通方程的案例分析总结与展望
01
参数方程和普通方程的基本概念
参数方程是一种描述某一变化过程的数学表达方式，其中包含一个或多个参数，这些参数是变化的，而参数的变化规律则由参数方程来描述。
参数方程的优势
参数方程与普通方程互化39页PPT
参数方程与普通方程互化
41、俯Байду номын сангаас终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
41、俯Байду номын сангаас终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
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(t为参数)
11
利用参数思想解题
编辑课件
已知 x、y 满足 x2＋(y－1)2＝1，求： (1)3x＋4y 的最大值和最小值； (2)(x－3)2＋(y＋3)2 的最大值和最小值.
【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最 小值问题来解决．
12
编辑课件
【自主解答】 由圆的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圆的参数方程为
阶
阶
段
段
一
三
第2课时 参数方程和普通方程的互化
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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编辑课件
1．了解参数方程化为普通方程的意义． 2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．(难点) 3．掌握参数方程化为普通方程的方法．(重点)
2
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[基础·初探] 教材整理 参数方程和普通方程的互化 阅读教材 P24～P26，完成下列问题． 1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通 过 消去参数 而从参数方程得到普通方程．
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其中tan φ＝－34， 且φ的终边过点(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值为36，最小值为16.
14
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1．参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起 着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁．通过参数θ， 间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过 程．它是研究解析几何问题的重要工具．
8
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1．将圆的普通方程化为参数方程： (1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为
x＝rcos θ y＝rsin θ
(θ为参数)；
(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为xy＝ ＝ab＋ ＋rrcsions
θ θ
(θ为参数)．
9
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2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x＝f(t)，再计算y＝g(t))， 并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝ g(t)调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值 范围保持一致．
[小组合作型] 普通方程化为参数方程
曲线的普通方程为x－312＋y＋522＝1，写出它的参数方程． 【思路探究】 联想sin2θ＋cos2θ＝1可得参数方程． 【自主解答】 设x－31＝cos θ，y＋52＝sin θ， 则yx＝＝－1＋2＋3co5ssiθn，θ (θ为参数)，即为所求的参数方程．
2．运用参数思想解题的关键在于参数的选择．选择参数时，应注意所选 择的参数易于与两个坐标产生联系．由于三角函数的巨大作用，常选择角为参 数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数．
15
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3．(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后 转化为求三角函数的最大值和最小值问题．
(2)注意运用三角恒等式求最值： asin θ＋bcos θ＝ a2＋b2sin(θ＋φ)． 其中tan φ＝ba(a≠0)，且φ的终边过点(a，b)．
16
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[再练一题] 2．若本例条件不变，如何求yx＋ ＋21的取值范围？
17
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【解】 由于yx＝＝1co＋s sθi，n θ (θ∈[0,2π))，
∴k＝yx＋ ＋21＝13＋＋csoins
θ， θ
∴sin θ－kcos θ＝k－3，
即 1＋k2sin(θ＋φ)＝k－3(φ由tan φ＝－k确定)，
)
A．y＝x－2
B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
D．y＝x＋2(0≤y≤1) 【解析】 消去sin2θ，得x＝2＋y，
又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.
【答案】 C
5
2．圆x2＋(y＋1)2＝2的参数方程为( )
x＝2cos θ A.y＝1＋2sin θ
(θ为参数)
x＝ 2cos θ B.y＝1＋ 2sin θ
10
[再练一题]
编辑课件
Байду номын сангаас
1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．
【解析】 把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝1＋4tt2，y＝14＋t2t2，
∴参数方程为xy＝＝114＋ ＋4tt2tt22，
(t为参数)．
【答案】
x＝1＋4tt2 y＝14＋t2t2
(θ为参数)
x＝2cos θ C.y＝－1＋2sin θ
(θ为参数)
x＝ 2cos θ D.y＝－1＋ 2sin θ
(θ为参数)
编辑课件
6
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【解析】 由x＝ 2cos θ，y＋1＝ 2sin θ知参数方程为
x＝ 2cos θ， y＝－1＋ 2sin θ
(θ为参数)．故选D.
【答案】 D
7
编辑课件
20
编辑课件
探究2 将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？ 【提示】 (1)代入法．先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变 量表示)，再代入另一个方程．教科书例3(1)用的就是代入法． (2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．教科书例3(2)就用此法．例
3
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2．如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普 通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t) ，那么xy＝ ＝fgtt， 就是曲线的 参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的 取值范围 保持一致．
4
编辑课件
1．将参数方程xy＝ ＝2si＋n2θsin2θ (θ为参数)化为普通方程为(
∴sin(θ＋φ)＝
k－3 1＋k2.
18
依题意，得
k1－＋3k2≤1，
∴
k1－＋3k22≤1，解得k≥43，
即yx＋ ＋21的取值范围是43，＋∞.
编辑课件
19
[探究共研型] 参数方程化为普通方程
编辑课件
探究1 参数方程为什么要化为普通方程？
【提示】 参数方程直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，如果将参数 方程转化为熟悉的普通方程，就容易判断了．
x＝cos θ， y＝1＋sin θ
(θ∈[0,2π))．
(1)3x＋4y＝3cos θ＋4sin θ＋4
＝4＋5sin(θ＋φ)，
其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4,3)．
∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，
∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，
∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.
13
(2)(x－3)2＋(y＋3)2 ＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2 ＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)．