平行四边形 (2)
平行四边形的性质(2)
课题：§19.1.1平行四边形的性质（第2课时）【学习目标】1． 探究平行四边形对角线互相平分的性质；2． 能应用平行四边形的性质解决一些简单的问题．【活动方案】活动一 探究平行四边形对角线的性质 1．如右图，猜想平行四边形的对角线之间有怎样的关系?你能用已经学过的知识证明以上猜想吗?已知：求证： 证明：2．通过以上证明可以得到平行四边形性质： 文字表述： ．符号语言：∵如图，四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ．思考：平行四边形的性质有哪些?这些性质的证明都是运用了什么知识解决的?活动二 平行四边形性质的运用例1 如图，已知□ABCD 的周长为30cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△AOD 的周长大5cm ，求这个平行四边形各边的长．变式 如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，□ABCD 的周长是30cm ，△AOB 与△AOD 的周长之和是42cm ，且AC :DB = 2:1，求AC 和BD 的长．例2． 如图，□ABCD 中，AB=10，AD=8，AC ⊥BC ，求□ABCD 的面积及BD 的长．A D CB OA D CB O O D O例3．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB 、CD 分别相交于点E 、F ．（1）求证：OE=OF（2）若△COF 的面积为2，△BOE 的面积为4，求□ABCD 的面积．例4．如图，AC 是□ABCD 的对角线，点E 、F 在AC 上，且四边形EBFD 也是平行四边形．求证：AE=CF【检测反馈】1．如图，在□ABCD 中，AD=10cm ，AC=8cm ，BD=14cm ，则△BOC 的周长为 cm ．2．如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为 ．(第1题) (第2题)3．如图，在□ABCD 中，AB=8，∠D 与∠A 的平分线交BC 于F 、E ，EF=6，求BC 的长．F E OB ACD B A C DF E A D C B OF C D B AE18.1平行四边形的性质（第2课时）（每日一练）姓名________________1．平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边平行B．对角线互相垂直C．对边相等D．对角线互相平分2．已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于O点，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB的长度是（）A．8cm B．15cm C．18cm D．19cm3．□ABCD的对角线AC，BD交于点O，△OBC的周长是59㎝，AD的长是28㎝，BD－AC=14㎝，那么对角线AC，BD的长分别是（）A．12cm、19cm B．24cm、38cmC．8.5cm、22.5cm D．15.5cm、29.5cm4．如图，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的（）A．B．C．D．第4题第5题第6题5．如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、F，若BF=DE，则图中的全等三角形最多有（）A．8对B．6对C．5对D．4对6．如图，在□ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为．7．在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=6，BD=10，则AD取值范围是．8．如图，E是□ABCD内任一点，若S□ABCD=6，则图中阴影部分的面积为．9．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2，则S1与S2的大小关系为．第8题第9题10．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O，并与AD，BC边交于E，F两点，若AB=4，BC=5，OE=1.5，求四边形EFCD的周长．AB C DE FO11．如图，在□ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF 的关系，并证明你的结论．12．如图，在□ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求四边形DEBF的周长和面积．13．如图，在□ABCD中，AC交BD于点O，AE⊥BC垂足为E，AB=3，AC=2，BD=4，求AE的长．14. 如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，（1）若AB=3，BC=4，则22AC BD+的值是多少？（2）拓展：若AB=a，BC=b，求22+的值（用a、b表示）AC BDA DOB C。
平行四边形的判定(2)(课件)-八年级数学下册(人教版)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵ AB∥CD
∴ ∠1=∠2
又∵ AB=CD，AC=CA
∴ △ABC≌△CDA (SAS)
∴ BC=DA
∴ 四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
15-2t
(3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形?
解:(3)∵AD//BC
∴当DP=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形.
∴12-t=2t
解得t=4
∴t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形.
平行四边形判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
t
12-t
AP=_________cm；DP=_________cm；
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
2t
15-2t
(1)用含t的代数式表示:
12-t
t
AP=_________cm；DP=_________cm；
2t
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
4.如图，在□ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，有下列条件:
①AE//CF;②BE=FD;③∠1=∠2;④AE=CF.若要添加其中一个条件，使四边
形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是( B )
A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
5.已知四边形ABCD，有以下四个条件:①AB//CD;②AB=CD;③BC// AD;④
22.2 平行四边形(2)课件
AD上的点，且AE∥CF
求证：∠BAE ＝ ∠DCF
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC (平行四边形的定义)
∠BAD＝∠DCB
(平行四边形的对角相等）
又∵AE∥CF
是否还有其
∴四边形AECF是平行四边形 （平行四边形的定义）
他的方法？
得∠1＝∠2（平行四边形的对角相等）
∵∠3＝∠BAD－∠1
在□ABCD中，
∴AO=CO，BO=DO（平行四边形的两条对角线互相平分） 性质定理4： 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交 点. 2.解平行四边形题目的关键是，要在复杂的图形中找到中心 对称的全等三角形，利用平行四边形的性质证明线段相等
布置作业 练习册 习题22.2(2)
A
B
SAOD SAOB
适时小结：平行四边
10 1 6 1 4 12cm 22
形中有四组面积相等 的三角形。
答： ΔAOD的周长为12cm， ΔAOD和ΔAOB的面积相等。
课堂练习
2.在平面直角坐标系中，□ABCD的对角线的交点
正好与坐标原点重合，且点A、B的坐标分别为A (3，2)、B (– 2，1)，试写出C、D两点的坐标.
有4对.
D
C
△AOD≌△COB
O
△ABD≌△CDB
A
B
Hale Waihona Puke △ACD≌△CAB△AOB≌△COD
学习新知
问2：由这些三角形全等，可得平行四边形的 对角线什么特点？
D
O
A
B
性质定理3： 平行四边形的两条 对角线互相平分.
C
答：AO＝CO,BO＝DO
符号语言：
平行四边形(2)判定
6.下列命题中正确命题的个数有（ ） ①一组邻角互补的四边形是平行四边形 ②邻角都互 补的四边形是平行四边形 ③两组对角分别相等的四 边形是平行四边形 ④一组对角相等的四边形是平行 四边形 A.4 B.3 C.2 D.1 7.下列条件能组成一个平行四边形的是( ) A.相邻的两边分别是5 cm和7 cm，一条对角线长是 13 cm B.两组对边分别是3 cm和4 cm C.一条边长是7 cm，两条对角线长分别是3 cm和 4cm D.一组对角都是135° ,另一组对角都是40°
二选择题： 1.以下条件中，能判定四边形是平行四边（ A. 一组对边相等，另一组对边平行 B. 一组对边平行，一组对角相等 C. 一组对边相等，一组邻角相等 D. 一组对边平行，一组邻四边形的题设是（ ). A. AB = CD, AD = BC B. AB DC C. AB = CD, AD∥BC D. AB∥DC,AD∥BC
3.下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平 行四边形的是( ) A.AB∥CD，AD=BC B.AB=AD，CB=CD C.AB=CD，AD=BC D.∠B=∠C，∠A=∠ D
4.在给定的条件中，能画出平行四边形的是（ ） A.以50 cm为一条对角线，18 cm和30 cm为两条邻边
B.以8 cm、12 cm为对角线，10 cm为一边
三.填空： 8.延长△ABC的中线AD到E，使AE=2AD，则四边形 ABEC是__________. 9 .如果一个四边形以其对角线交点为中心，在平面内 旋转180°，与原四边形重合，则这个四边形是 __________。 10.四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD为平 行四边形，需要增加条件_________.(只需填一个你认 为正确的条件即可)
平行四边形证明(二)
平行四边形证明（二）一.截长补短例1.在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，F为CD边上一点，满足BF=BC=BE. （1）如图1，若BC=12，CD=13，求DE的长.（2）如图2，过点G做DG//BE交BF于点G，求证：BG=AE+DG.例2．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC交BC于点E，且DE＝AD，F为DC上一点，且AD＝FD，连接AF与DE交于点G．（1）若∠C＝60°，AB＝2，求GF的长；（2）过点A作AH⊥AD，且AH＝CE，求证：AB＝DG+AH．例3.如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF=45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD.（1）若BG=1，EF的长度；=.（2）求证：CE AB例4．（2017•大渡口区模拟）如图1，菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E、F分别是边AB、AD上两个动点，满足AE=DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图2，连接BD，求∠BGD的度数；（2）如图3，作CH⊥BG于H点，求证：2GH=DG+BG．课堂小练1.如图，已知平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE＝AD，CE＝3，AB＝5．（1）求线段CF的长度；（2）求证：AB＝DG+CE．2.在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG＝FB．（1）若CD＝6，AF＝3，求△ABF的面积；（2）求证：BE＝AG+CE．3.在平行四边形ABCD中，以线段CD为边在平行四边形内作等边△CDE，连结AE．（1）如图1，若点E在对角线AC上，且△ABC=75º，，求AE的长；（2）如图2，若点F是AE的中点，且BF△AE，过点E作MN△BF，分别交BC、AD于点M、N，求证：BM+ME=CM．4.平行四边形ABCD中，DE⊥BC于E，且DE=AD，DG=EC，过G作GF⊥AB于F，连接EF. 求证：-2.FBFE=FG二.线段特殊倍数关系例5.如图，在□ABCD 中，对角线DB⊥AB，DB=DC，BE⊥BF分别交CD，AD于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G.（1）如图1，若tan∠DBE=31，DE=2，求FG的长（2）如图2，点M，N分别为AD，AB上两点，连接MN交BF于点P，若AM=DF，MN//BE，求证：FG=21 BN.例6.如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，BCAE⊥于点E，F为EA延长线上一点，且EFBE=，连接CF.（1）如图1，若ACAB⊥，4=AB，3=AC，求AF的长度；（2）如图2，若CFCD⊥，求证：AFACAD+=2.图1图2例7.如图，在平行四边形ABCD 中，∠D=30°，AC=AD ，AF ⊥CD ，CM ⊥AN ，BN ⊥AN ，点E 在AN 上，且∠CEM=30°.（1）若AF=3，求AB 的长； （2）求证：AE BN CM =+33232.5.如图，在平行四边形ABCD 中，∠ACB=45°，AE ⊥BC 于点E.过点C 作CF ⊥AB 于点F ，交AE 于点M.点N 在边BC 上，且AM=CN ，连结DN. （1）若AB=10，AC=4，求BC 的长； （2）求证：AD+AM=2DN.MND FECBA6.如图1，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE 、CE ，满足BC ＝BE ＝CE . （1）已知∠ABC ＝90°，BC ＝4，求AC 的长；（2）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，交CE 于点G ，连接EG ，在BG 上取点M ，使得∠AMG ＝60°，延长AM 交BC 于点N ，求证：CN ＝2AE .7.8.如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E.（1）若BC=BD ，tan ∠ABE=3，DE=16，求平行四边形ABCD 的周长.（2）若∠DBC=45°，对角线AC 、BD 交于点O ，F 为AE 上一点，且AF=2EO ，求证：CF=2CD.8.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，过点D 作DE ⊥AD 交直线AC 于点E ，点O 是对角线AC 的中点，点F 是线段AD 上一点，连接FO 并延长交BC 于点G. （1）如图1，若AC=4，cos ∠CAD=54，求△ADE 的面积； （2）如图2，点H 为DC 延长线上一点，连接FH ，若∠H=30°，DE=BG ，求证DH=CE+FH 23OGEFDCBAHOG EFDCBA平行四边形证明（二）1.如图，在▱ABCD中，CE⊥AD于点E，且CB=CE，点F为CD边上的一点，CB=CF，连接BF交CE于点G．（1）若∠D=60°，CF=2，求CG的长；（2）求证：AB=ED+CG．2.在▱ABCD中，点E为AB边上一点，且AE=AD，连接DE，过A作AH⊥BC于点H，交DE于点G，且AH=AD，过D作DQ⊥AD，使得DQ=HB，连接AQ．（1）如图1，若∠B=60°，AQ=2，求GE的长度；（2）如图2，过A作AF⊥AQ，交BC于点F，求证：AB=AG+BF．3.在▱ABCD中，对角线BD⊥BC，G为BD延长线上一点且△ABG为等边三角形，∠BAD、∠CBD的平分线相交于点E，连接AE交BD于F，连接GE．（1）若▱ABCD的面积为9，求AG的长；（2）求证：AE=BE+GE．4.在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上任意一点，连接BE.（1）如图①所示，若∠EBC=30°，∠BCE=45°，AD=3，求线段BE的长；（2）如图②所示，延长BE至F，使得EF=EB，连接CF、FD，求证：CE=AE＋FD.5.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E点，点E为BC的中点，tanB=2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF．（1）若AD=4，求AE的长；（2）求证：AF+EF=DF．6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BDC=45°，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，在DC上取DE=CH，延长BH至点F，使FH=CH，连接DF、EF.（1）若AB=2，AD=10，求BH的值；（2）求证：AC=2EF.7.在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连接CE，交对角线BD于点F，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点G，过B作BH垂直于CE，垂足为点H，交CD于点P，21290∠+∠=︒．（1）若PH=2，BH=4，求PC的长；（2）若BC=FC，求证：GFPC8.如图，在□ABCD中，∠A=60°，E为直线CB上一点，CD=CE，连接DE，F为DE上一点，且∠FBC=45°，过点F作FG⊥DE交AD于点G，连接BG.(1)若EF=3，求BE的长；(2)若BG=BF，求证：EF+GD=2BF.GF E DCB A。
平行四边形的性质(2)
10 B
∴BC=AD=8，CD=AB=10
又∵AC⊥BC
●
A 8 O
D
C
∴△ABC是直角三角形 2 2 2 2 ∴ AC AB BC 10 8 6 1 又∵OA=OC ∴ OA 2 AC 3 ∴S ABCD = BC×AC=8×6=48
小结
1、平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分；
解 过点A作AE⊥BC于点E、过点D作DF⊥BC 交BC的延长线于点F． ∵AD∥BC， AE⊥BC，DF⊥BC， ∴AE = DF（平行线之间的距离处处相等）， ∴ 1 BC AE 1 BC DF
即S△ABC= S△DBC ．
2
2
演练
考考你IQ
如图，若直线l1∥l2,则△ABC的面积和△DBC的面 积相等，你能说明理由吗？你还能在这两条平行线 l1、 l2之间画出其他与△ABC面积相等的三角形1吗 A ? D l1 结论：
§16.1.2平行四边形的性质(二)
学以致用
在笔直的铁轨上, 夹在两 根铁轨之间的枕木是否一 样长 ? 想一想
§16.1.2平行四边形的性质(二)
学以致用 做一做：在方格纸上画两条互相平行的直线，在 其中一条上任取两点A 、 C ，分别过这两点作另 一条直线的垂线，交于B 、 D （1）线段AB、CD有怎样的位置关系？ （2）比较线段AB、CD的长短.
5 则CD=______.
2.如图,在
A
B
D O
C
3．平行四边形ABCD中，AB= 5 2 cm，
BE⊥CD于E，且BE= 7 3 cm，求平行四边形
ABCD的面积．
35 6cm2
4.从平行四边形的一个锐角的顶点做两条高线，
19.2平行四边形的定义、性质(2)
1.请同学们根据以下描述作图 步骤一：请任意作两条平行线。
A B
步骤二：请在其中一条直线上任找 C D A、B两点。 步骤三：过A、B两点作两条平行线，与另外一条直线分别交 于C、D两点。能得到什么结论？
2.有两条直线平行，你能画图表示出一条直线上的点 到另一条直线的距离吗？那么这一条直线上所有的 点到另一条直线的距离呢？他们有什么关系？ 推论1：夹在两条平行线间的平行线段相等。 推论2：平行线间的距离处处相等。
变式：学校买了4棵树，准备栽在花园里，已经栽了 三棵（如图），现在学校希望这四棵树能够组成一 个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里呢？ 请你在图中画出可能的位置．
A
B
C
例3 ：如图，在□ABCD中，∠C的平分线交AB于点E 交DA延长线于点F，且AE=5cm，EB=5cm， 求□ABCD的周长．
复习
B
A D
C
定
义
两组对边分别平行的四边形叫做 平 行 四 边形。其不相邻的两个顶点连成的线段叫 它的对角线。 平行四边形ABCD, 记为“□ABCD”, 读作 “平行四边形ABCD”, 其中线段AC, BD称 为对角线。 1.平行四边形的两组对边分别平行;
表示方法
性
质
2.平行四边形的对边相等，
3.平行四边形的对角相等， 相邻两角互补。
课外作业： 1、学校有一个三角形的花坛，顶点处各有一个石 柱，现在想把花坛的面积扩大一倍，而不移动石柱， 请你设计一个改建方案。
例题分析：
例1如图，AB∥CD，DF∥BE，AE∥CF ；图中有几个 平行四边形？将它们表示出来，并说明理由。
A
F
D
B
E C
平行四边形的边长公式(二)
平行四边形的边长公式(二)
平行四边形的边长公式
1. 周长公式
•平行四边形的周长等于它的四条边之和。
•公式：周长 = 边长1 + 边长2 + 边长3 + 边长4
•例子：若一个平行四边形的边长分别为3、5、3、5，则它的周长为3 + 5 + 3 + 5 = 16。
2. 对角线长度公式
•平行四边形的对角线互相平分，且长度相等。
•公式：对角线长度= √(边长1^2 + 边长2^2 + 2 * 边长1 * 边长2 * cos(夹角))
•例子：若一个平行四边形的边长分别为4和6，夹角为60°，则它的对角线长度为√(4^2 + 6^2 + 2 * 4 * 6 * cos(60°)) = √(16 + 36 + 48) = √100 = 10。
3. 高度公式
•平行四边形的高度是一个垂直于底边的线段，连接底边与对角线的交点。
•公式：高度 = 对角线长度 * sin(夹角)
•例子：若一个平行四边形的对角线长度为10，夹角为45°，则它的高度为10 * sin(45°) = 10 * ≈ 。
4. 面积公式
•平行四边形的面积等于底边长度乘以高度。
•公式：面积 = 底边长度 * 高度
•例子：若一个平行四边形的底边长度为8，高度为6，则它的面积为8 * 6 = 48。
以上是平行四边形的边长公式，包括周长、对角线长度、高度和面积四个方面的公式和例子。
在解决平行四边形相关问题时，可以根据需要选择适用的公式进行计算。
平行四边形的性质(二)
第六章平行四边形１. 平行四边形的性质（二）一、学生起点分析学生经历了对平行四边形性质探索的过程，掌握了平行四边形对边、对角的性质特征，并能简单应用，所以对平行四边形具有了一定的观察分析的水平和合情推理水平,具备了自行得出平行四边形对角线的性质的基础。
二、学习任务分析本节的学习任务主要是进一步掌握平行四边形的性质，所以教学目标为：1．进一步掌握平行四边形对角线互相平分的性质,学会应用平行四边形的性质；2．在应用中进一步发展学会合情推理水平，增强学生逻辑推理水平，使学生掌握说理的基本方法。
3．通过解决问题，探究并归纳：“平行线间的距离处处相等”这个性质。
教学重点：平行四边形性质的应用教学难点：发展合情推理及逻辑推理水平教学方法：启发诱导法，探索分析法三、教学过程设计本节课分5个环节第一环节回顾思考，引入新课第二环节探索发现，灵活使用第三环节观察分析，理性升华第四环节巩固反馈，总结提升第五环节评价反思，目标回顾第一环节回顾思考，引入新课活动内容：以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四这形的性质。
温故知新。
1．平行四边形都有哪些性质？2．回顾思考选择题（1）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°（2）平行四边形ABCD的周长为40cm，三角形ABC的周长为25cm, 则对角线AC长为（）A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm（3）平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，则全等三角形的对数有参考答案：1．C．2．A．3．4对．活动目的：1．通过（1）~（3）的问题串，反馈学生对平行四边形的对边、对角性质的理解和简单应用，同时总结结论：平行四边形对角线互相平分。
活动效果：能真实客观反馈学生对上节“平行四边形性质”的情况，并有针对性的在本节补救强化。
第二环节探索发现，灵活使用活动内容：一、探索问题1在上节课的做一做中,我们发现平行四边形除了边、角有特殊的关系以外，对角线还有怎样的特殊关系呢？A．（学生思考、交流）得出：平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的性质(2)
变形：如图，OE=OF,还成立吗？
做一做，比一比
1.判断： ①平行四边形是轴对称图形 （ ╳ ） ②平行四边形的边相等 （ ╳ ） ③平行四边形的内角相等 （ ） ╳ ④对边平行的四边形叫平行四边形 （ ╳ ） 2.选择：平行四边形具有而一般四边形不具 有的特征是（ B ） A、不稳定性 B、对边平行且相等 C、内角的为360度 D、外角和为360度
O B A
3、平行四边形不具有的性质有哪（ B、E ）
A、对边平行 B、对角互补
C、对边相等
D、对角线互相平分
E 、对角线互相垂直
五、课堂小结：
图 名 文字语言 形 称 定 两组对边分别 义 平行的四边形
图形语言
符号语言
Ｄ Ａ Ｄ
Ｃ ∵AB∥CD,AD∥BC Ｂ Ｃ ∵四边形ABCD是平
∴…是平行四边形
19.1 平行四边形 的 性质(2)
同桌互相提问： 平行四边形的定义和性质
归纳： 用文字和几何语言叙述平行四边形的性质
平行四边形的对边相等
平行四边形的对边平行 平行四边形的对角相等
AB=CD；AD=BC
AB∥目标
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质． 2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证 明题． 3． 经历探索平行四边形的有关概念和性质， 发展学生的探究意识和合情推理 的能力。 教学重点： 掌握平行四边形对角线互相平分的性质 教学难点： 运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题
一、情境导入：
为迎接“五一”旅游黄金周的到来，某风 景区正在精心“装扮”，静待佳客来临。 打算在风景区的入口处建一个形状如图所 示的花坛 请你来设计 现在想在花坛里种上四种不同颜色的花并且这四 种花正好将花坛分成面积相等的四块，你能帮忙 划分吗？把你的划分方案向大家展示一下好吗？
平行四边形的性质PPT精品课件2
老二 老三 老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地 少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
老人分地合理吗？
A
老大 老二
●
D O
M 老三
老四BLeabharlann C故四人的土地面积相同，老人分地合理。
引申思考
小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井， 为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可 以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明 的小明是怎么帮妈妈分的吗？
O
D
C
看一看
A
D O ●
B 再看一遍
C
看一看
A
D O ●
B
C
你有什么猜想？
结论
●
1.
ABCD绕它的中心O旋转180°后 与自身重合，这时我们说 ABCD是 中心对称图形，点O叫对称中心。
猜一猜
你能证明 它吗?
根据刚才的旋转，你知道平行四边形 的对角线有什么性质吗？
●
平行四边形的对角线互相平分.
10 B
∴BC=AD=8，CD=AB=10
又∵AC⊥BC
●
A 8 O
D
C
2
∴△ABC是直角三角形
C ∴A 又∵OA=OC
∴S
A B B C
2 2
ABCD = BC×AC=8×6=48
1 0 8 6 1 ∴ OA 2 AC 3
2
说一说,练一练
如图，在 ABCD中，
B A O D
BC=10cm, AC=8cm,
O﹑B﹑D的坐标如图所示，则顶点C的
坐标为（ C ）
A. (3,7) C. (7,3) B. (5,3)
人教版平行四边形的判定(2)
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形 的第三边，并且等于第三边的一半。
在△ABC中，
∵D，E分别是边AB，AC的中点， D
∴DE∥BC，且DE= 1 BC。 2
B
A
E C
6
基础训练
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，D， E，F分别是BC，AC，AB的中点，则四边形AEDF的周 长为____1_8___；Rt△ABC的中位线分别是__D__E_，__D_F___； 斜边上的中线是___C__F__，其长为___5___。
A
D B
E
F C
11
课后作业
如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
且AC+BD=36，AB=11，求△OCD的周长。
A
D
O
B
C
12Biblioteka 谢谢13三角形中位线定理： 连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等于 第三边的一半。
我们既可以用三角形知识研究平行四边形的问题， 又可以用平行四边形知识研究三角形的问题。
10
课后作业
如图，在△ABC中，D，E，F分布是AB，BC， CA的重点，以这些点为顶点，在图中，你能画出 多少个平行四边形？为什么？
平行四边形的判定
第三课时
1
本课是在学习完平行四边形的性质和判定后， 运用这些知识探索和证明三角形中位线定理。在前 面研究平行四边形中，采用了化四边形问题为三角 形问题的思想；本节课，则是化三角形问题为平行 四边形问题。这说明，知识之间是相互联系的。
2
学习目标： 1．理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位
A
E
F
C
D
B
平行四边形的性质(2)
2.你会证明它们吗？证明这些命题需要哪些步骤？ 你会证明它们吗？证明这些命题需要哪些步骤？ 你会证明它们吗 (1)理解题意，画出图形。 (2)结合图形，把命题的条件写成“已知”，把命题的结果写成“求 证”。 (3)分析题意,探索证明思路 (4)写出证明过程
BБайду номын сангаас
C
怎样证明四边形是平行四边形？ 怎样证明四边形是平行四边形？
定理： 定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形
A D
o
B C
∵OA＝OC，OB＝OD ＝ ， ＝ 四边形ABCD是平行 ∴四边形 是平行 四边形
回顾
思考
定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 A D ∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形.
B A
1 4 3 2
D C
定理： 定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
A D
∵AB=DC，AD=BC ， 四边形ABCD是平行 ∴四边形 是平行 四边形
B
C
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 求证:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 分析:要证明四边形ABCD是平行四边形.可转化证明两 组对边分别相等,从而作辅助线,用全等三角形来证明 相应的边相等. 证明:连接AC. A D ∵ AB∥CD, 1 2 ∴ ∠1=∠2. B C ∵AB=CD,AC=CA, ∴△ABC≌△CDA(SAS) ∴BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定(2)++课件+2022—2023学年人教版数学八年级下册++
∥
=
∥ =
四边形是平行四边形
平行四边形
的判定
应用新知
基础
训练
平行四边形的性质与判定
. 如图，在平行四边形中，是对角线，过、两点分别
作 ⊥ ， ⊥ ，、为垂足.
求证：四边形是平行四边形
∵ = ∥
∴ 四边形是平行四边形
平行四边形
的判定
应用新知
基础
训练
平行四边形的性质与判定
. 已知：如图四边形和四边形都是平行四边形.
求证：四边形是平行四边形.
证明： ∵
∴
∵
平行四边形
∴
的性质
∴
∴
四边形是平行四边形
∥
=
D
B
C
学习新知
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的任意一组对边平行且相等
已知：在四边形中， ∥ ， = .
求证：四边形是平行四边形.
证明：连接
∵ ∥
∴ ∠ = ∠
又 ∵ = =
∴ △ ≌△
∴ =
18.1.2平行四边形的判定
第二课时
第十八章
平
行
四
边
形
作业
. 如图，将平行四边形的对角线向两个方向延长至
点和点，使 = .
求证：四边形是平行四边形．
O
证明：连接AC交EF于点O
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ = =
∵ =
∴ + = +
∵ = =
∴ 四边形是平行四边形
A
D
1
平行四边形的性质 (2)
A D
D C
例1 如图， ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂
足分别为E，F．求证：AE=CF． D
FC
A E
B
1、平行四边形ABCD中,BC=3cm,
∠A= 48°则: ∠B＝__1_3_2_°, ∠C＝ ___4_8_°, AD＝_3__c_m___.
B BC=3 cm C
简抬头仰望夜空。天空很美。很 清澈，有成千上万的星星照耀在她的头顶。 How strange,"she says. "Where are the aeroplanes?" “真奇怪，”她说。“飞机在哪里？” 'Aeroplanes?HTom looks surprised. “飞机？"汤姆 • 看起来很惊讶。 "Yes. Theplanes landing and taking off at the airport.""是的。飞机在机场起飞。” "Whatairport?" "什么机场？ ” 'Apsworth, ofcourse." “当 然是，阿普斯沃思。” Jan can see thatTom doesn't know what
to the river andalong the road towards the old part of Port Prime. Jan looks up at the nightsky. The sky is beautiful. It's clear and there are thousands of stars shiningabove her. 简站起来,默 默地跟着汤 怒。他们穿过树林，一直走到河边，沿着这条路向 首相港的老地 方走去。
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平行四边形一【知识梳理】（一）平行四边形1.平行四边形是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、角相等和直线平行的根据之一．2.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
3平行四边形的性质：4.平行四边形的判定：ABCD两组对边分别平行且相等两组对角分别相等对角线互相平分两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等两组对角分别相等对角线互相平分四边形平行四边形5.平面的密铺定义：把形状、大小完全相同的一种或几种平面图形拼接在一起，使得平面上不留空隙，不重叠，这就是平面图形的密铺，也叫平面图形的镶嵌．对于限于用一种图形密铺的问题，有三角形、四边形和正六边形，如果能实现平面图形的密铺，在每个顶点集中的顶角要刚好拼成一个周角．（二）特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形1. 矩形性质与判定：矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．2.菱形的性质与判定：菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．3.正方形的性质与判定：正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．方法与建议： ①注意从“边、角、对角线”等方面理解特殊四边形的性质和判定；②特殊四边形的判定要分清是在哪种图形的基础上做出判断的。
③注意性质与判定的互逆关系（三）面积计算：（1）平行四边形：S=底×高；（2）矩形：S=长×宽（3）菱形：1212S l l =⋅（12l l 、 是对角线）正方形：S=边长2 （四）平行四边形与特殊平行四边形的关系二【课前练习】1. 请在能够进行平面图形的密铺的图形后打“√”若不能打“ ×”（1）正方形（ ）； （2）正七边形（ ）； （3）正六边形（ ）；（4）正三角形与正十边形（ ）； （5）正方形与 正八边形（ ）；（6）正三角形、正方形与正六边形（ ）；（7）任意四边形（ ）；（8）任意三角形（ ）．2. 下列四个命题中，假命题是（ ）A ．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形B ．菱形的一条对角线平分一组对角C ．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形D ．等腰梯形的两条对角线相等3以不在同一直线上的三点作平行四边形的三个顶点，则可作出平行四边形（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4如图，□ABCD 中，对角线AC 和 BD 相交于点O ，如果AC=12，BD=10，AB=m ，那么m 的取值范围是（ ）第11题图 第12题图 第13题图 A ．1＜m ＜11；B ．2＜m ＜22；C ．10＜m ＜12；D ．5＜m ＜65.给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）．（A ）AB ∥CD ，∠A ＝∠C （B ）AB ＝BC ，CD ＝DA（C）AB ∥CD ，AD ＝BC （D ）∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D6.如图，ABCD 中，∠A ＝30°，AB ＝6，AD ＝2，则ABCD 的面积是（ ）．（A ）23 （B ）3 （C ）6 （D ）127. n 边形的每个内角等都等于120○，则n 等于_____.8.一个正多边形的每个外角都是36○ ，则这个多边形是_________边形．9.师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行（1）如图，先裁出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD ，EF= GH ；（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是____．（3）将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)说明窗框合格，这时窗框是_________，根据的数学道理是______________10．如图，在ABCD 中，BD 是对角线，E 、F 是对角线上的两点，要使△BCF ≌△DAE ，还须添加一个条件（只须添加一个条件）是___________．11.已知如图，在ABCD 中，∠ABC 的平分线与AD 相交于点P ．求证：PD ＋CD ＝BC ．12．已知：如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线与AD 、BC 分别相交于点E 、F ．求证：OE ＝OF ．13．已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，F 、G 是AB 边上的两个点，且FC 平分∠BCD ，GD 平分∠ADC ，FC 与GD 相交于点E ．求证：AF ＝GB ．14.在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长纸条倾斜地 重叠着，并问同学，重叠部分是一个什么样的四边形？甲同学说：这是一个平行四边形．乙同学说：这是一个菱形．请问：你同意谁的看法要解决此题，需建构数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决，即已知：如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，边CD 与边BC 上的高相等，试判断四边形 ABCD的形状．15.用三种不同的方法把平行四边 形面积四等分．（在所给的图形图如图1－4－78中，画出你的设计方案，画图工具不限）．第10题图A BC D O E16.如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由，添加的条件__________，理由：三【课后训练】1.平行四边形一组对角的平分线（ ）A ．在同一条直线上；B ．平行；C ．相交；D ．平行或在同一直线上2.如图，在□ABCD 中，如果点M 为CD 中点，AM 与BD 相交于点N 那么S ΔDNM ：S □ABCD 为（ ）A ．1：12B ．1：9C ．1：8D ．1：6 3.如图，延长正方形ABCD 的一边BC 至E ，使CE ＝AC ， 连结AE 交CD 于F ，则∠AFC 的度数是（ ）A 、112.5°B 、120°C 、122.5°D 、135° 4.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．四个角都是直角；B ．对角线相等；C ．对角线互相平分；D ．对角线互相垂直5.如图，在周长为20cm 的□ABCD 中， AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）D(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm6.如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰 好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于（A ）（A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）８ 7（2007浙江义鸟）在下列命题中，正确的是（ ）A ．一组对边平行的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8（2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 ( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形9（2007浙江绍兴）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，则下列式子中一定成立的是（ ）A ．AC=2OEB ．BC=2OEC ．AD=OED ．OB=OE10.如图（1），在平面四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A =∠，则BCE =∠（ ）BＡ．55 Ｂ．35 Ｃ．25 Ｄ．30 ADF E C B A B C DE F A E B C D 图（1）A B CD E O 11（2007天津）已知矩形ABCD ，分别为AD 和CD 为一边向矩形外作正三角形ADE 和正三角形CDF ，连接BE 和BF ，则BFBE 的值等于 。
12（2007甘肃陇南）如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 ．3 13.已知□ABCD 的周长为30㎝，AB ：BC=2：3，那么AB=___________㎝.14.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，且AE=CF ，请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一个点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．（只需说明一组线段相等即可）（1）连接_______；（2）猜想________（3）说明理由.15.菱形ABCD 的对角线交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，求证：四边形OCED 是矩形。
16.如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点 O ，且CA ：BD=l ： 3 ,若AB=2，求菱形ABCD 的面积．17 .如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，对角线AC 上有一个动点P（不包括点A 和点C ）．设AP ＝x ，四边形PBCD 的面积为y ．（1）写出y 与x 的函数关系，并确定自变量x 范围．（2）有人提出一个判断：“关于动点P ，⊿PBC 面积与ΔPAD 面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由18.检查你家（或教室）的门框（或方桌面）是不是矩形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？并解释其中的道理。
19.（2007甘肃陇南）四边形ABCD 、DEFG 都是正 方 形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想． 20.（2007山东青岛）将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．21（2007福建晋江）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝4，AD ＝3，动点M 、N 分别从D 、A B C D EF D ′ DA D E CB O 第15题图B 同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M 沿DA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动。
过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于点P ，连结MP 。