第四节 随机事件的概率与古典概型(知识梳理)

第四节随机事件的概率与古典概型

复习目标学法指导

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概

率的意义,了解频率与概率的区别.

2.了解互斥事件的概率加法公式.

3.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 1.了解频率与概率的关系,能把复杂事件分解为几个彼此互斥事件的和或找出它的对立事件是求随机事件概率的关键.

2.求解古典概型的关键是利用列举法或排列、组合求出基本事件数.

一、事件的概念与性质

1.事件的相关概念

(1)必然事件:在一定条件下,一定会发生的事件;

(2)不可能事件:在一定条件下,一定不会发生的事件;

(3)随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.

2.频率与概率

(1)频率

在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数,称事件A出现的比例为事件A出现的频率.

f n(A)=A n

n

(2)概率

对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率f n(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.

3.事件的关系与运算

件

) 互斥

事件若A∩B为不可能事件,那么称事件A与事件B互斥

A∩

B=∅

对立事件若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件

A与事件B互为对立事件

A∩

B=∅且

A∪B=

Ω

4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率P(E)=1.

(3)不可能事件的概率P(F)=0.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).

②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).

1.概念理解

(1)随机试验的所有结果是明确可知的,但不止一个,每次试验总是出现这些结果中的一个.

(2)频率是随机的,而概率是一个确定的值,概率是大量重复试验事件发生频率的期望值,常常通过做大量重复试验用频率来估计概率. (3)互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的.在一次试验中,两个互斥的事件有可能都不发生,也可能有一个发生;而两个对立的事

件则必有一个发生,但不可能同时发生.所以,两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥.也就是说,两事件对立是两事件互斥的一种特殊情况.

(4)并(和)事件包含三种情况:①事件A 发生,事件B 不发生;②事件A 不发生,事件B 发生;③事件A,B 都发生. 2.概率加法公式的推广 若事件A 1,A 2,…,A n 彼此互斥,则

(1)P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ); (2)P(1

2

U UL U n

A A A )=1-P(A 1)-P(A 2)-…-P(A n ).

二、古典概型 1.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型

(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型.

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个基本事件出现的可能性相等. (2)计算公式:P(A)= A 包含的基本事件的个数基本事件的总数

.

概念理解

(1)判断一个试验是否是古典概型,关键看这个试验是否具有有限性和等可能性两个特征.

(2)使用古典概型概率公式时,首先判断是否为古典概型,再计算.

1.装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( D )

(A)“至少有一个黑球”与“都是黑球”

(B)“至少有一个黑球”与“都是红球”

(C)“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

(D)“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

解析:A选项中的两个事件是包含关系;B中的两个事件是对立事件;C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D 中的两个事件是互斥而不对立的关系.

故选D.

2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,两人下成和棋的概率为50%,那么乙不输的概率是( B )

(A)20% (B)70%

(C)80% (D)30%

3.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b≥a的概率是( C )

(A)4

5(B)3

5

(C)2

5

(D)1

5

解析:所有的选法共有5×3=15种,其中满足b ≥a 的选法有1+2+3=6种,故b ≥a 的概率是615

=25

.

4.若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人,这5人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( D ) (A)23

(B)25

(C)35

(D)910

解析:甲、乙都未被录用的概率为3

3

35C C =1

10,所以甲或乙被录用的概率为

1-110=910.

5.下列说法正确的是( C ) (A)任一事件的概率总在(0,1)内 (B)不可能事件的概率不一定为0 (C)必然事件的概率一定为1 (D)以上均不对

解析:任一事件的概率总在[0,1]内,所以A 错. 不可能事件的概率一定为0,所以B 错. 必然事件的概率一定为1,C 正确. 故选C.

6.(2019·宁波市高三上期末联考)新春将近,为了迎接新年,小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡,设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入,则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为 . 解析:为了迎接新年,五人写好心愿卡随机放入一个漂流瓶的基本事件总数为N=5

5

A =120种,事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”