单自由度系统的振动阻尼
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
实验11：单自由度系统强迫振动的幅频特性、固有频率及阻尼比的测定
2.5kg，上下都可以放，由于速度传感器不能倒置，只能把
质量块放到梁的下面，传感器安装在简支梁的中部。
2、 开机进入 DASP2000 标准版软件的主界面，选择单通道按
钮。进入单通道示波状态进行波形和波谱同时示波。
3、 把 ZJ-601A 型振动教学试验仪的频率按钮用手动搜索一下
梁当前的共振频率，调节放大倍数到“1”档，不要让共振
无量纲的加速度响应，将上式对时间 t 再微分一次，
������0���⁄���̈������=- ������������2 sin(������������ − ������)=- β∝ sin(������������ − ������)
振动幅度最大的频率叫共振频率������������、������������，有阻尼时共振频 率为
������������=������√1 − ������2 或������������ = ������√1 − ������2 ω、f— —固有频率； D——阻尼比。 由于阻尼比较小，所以一般认为：������������ = ω 根据幅频特性曲线：
在
D<1
时，共振处的动力放大系数|������������������������ |=2������√11−������2
有阻尼的强迫振动，当经过一定时间后，只剩下强迫振动部分，
有阻尼强迫振动的振幅特性：������
=
√(1−������2
1 )2+4������2
������2=������������������������
当干扰力确定后，由力产生的静态位移������������������就可随之确定，而强迫
振动的动态位移与频率比 u 和阻尼比 D 有关，这种关系即表现为幅
单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定-实验报告
4、根据相频特性的测试数据，在同一图上绘出几条相位差频率（ 特性曲线，由此分析阻尼的影响并计算系统的固有频率及阻尼比。
5、根据实验现象和绘制的幅频、相频特性曲线，试分析对于不同阻尼的振动系统，几种固有频率和阻尼比测量方法的优劣以及原因。
首先，在水平振动台面上不加任何重物，测量系统在自由衰减振动时的固有频率；之后在水平振动台面上放置一个质量已知的砝码，再次测量系统在自由振动时的固有频率。记录两次测得的固有频率，并根据其估算水平振动台面的等效质量。
4、测定自由衰减振动特性：
撤去水平振动台面上的砝码，调整励磁电流至0.6A。继续使用“自由衰减记录”功能进行测试。操作方法与步骤3基本相同，但需按照数据记录表的提示记录衰减振动的峰值、对应时间和周期数i等数据，以计算系统的阻尼。
假设实验使用的单自由度振动系统中，水平振动台面的等效质量为 ，系统的等效刚度为 ，在无阻尼或阻尼很小时，系统自由振动频率可以写作 。这一频率容易通过实验的方式测得，我们将其记作 ；此时在水平振动台面上加一个已知质量 ，测得新系统的自由振动频率为 。则水平振动台面的等效质量为 可以通过以下关系得到： 。
、 的意义同拾振器。但对激振器说， 的值表示单位电流产生的激振力大小，称为力常数，由厂家提供。JZ-1的力常数约为5N/A。频率可变的简谐电流由信号发生器和功率放大器提供。
4、计算机虚拟设备：
在计算机内部，插有A/D、D/A接口板。按照单自由系统按测试要求，进行专门编程，完成模拟信号输入、显示、信号分析和处理等功能。
6、教师签名的原始数据表附在实验报告最后，原始数据记录纸在实验课上提供，必须每人交一份，可以采用复印、拍照打印等方式进行复制。原始数据上要写清所有人的姓名学号，不得使用铅笔记录。
单自由度阻尼比计算公式
单自由度阻尼比计算公式在振动系统中，自由度是指系统中独立运动的个数。
而阻尼比则是描述振动系统中阻尼效应的一个重要参数。
在单自由度振动系统中，阻尼比可以通过以下公式进行计算：阻尼比= (2 × 阻尼系数) / 临界阻尼其中，阻尼系数是指振动系统中阻尼力与速度的比值，临界阻尼是指在没有外力作用下，振动系统从任何位置开始振动后，恢复到平衡位置所需的时间最短，且不再发生振动的阻尼状态。
在实际工程中，阻尼比的计算对于设计和分析振动系统的性能至关重要。
阻尼比的大小直接影响振动系统的响应特性，包括振幅、频率和相位等。
阻尼比的计算公式基于振动系统的动力学方程，通过对振动系统进行建模和求解，可以得到该公式。
在实际应用中，可以通过实验测量阻尼比，或者通过数值模拟和计算来获得阻尼比的数值。
阻尼比的大小对于振动系统的稳定性和响应特性有重要影响。
当阻尼比小于临界阻尼时，振动系统会出现过阻尼的现象，振动衰减缓慢，且振动系统的响应时间较长。
当阻尼比等于临界阻尼时，振动系统达到最快的响应速度，但不会产生振动。
当阻尼比大于临界阻尼时，振动系统会出现欠阻尼的现象，振动衰减迅速，但可能会产生持续的振动。
阻尼比的大小还与振动系统的材料和结构特性有关。
不同的材料和结构对振动的阻尼效应有不同的影响。
例如，在建筑结构中，阻尼比的大小可以通过增加结构的阻尼材料来调节，以改善结构的抗震性能。
在工程实践中，根据振动系统的要求和性能指标，可以选择合适的阻尼比。
通常情况下，阻尼比的选择需要考虑振动系统的稳定性、响应速度和振动衰减等方面的要求。
单自由度阻尼比计算公式是工程领域中重要的计算公式之一。
通过计算阻尼比，可以评估振动系统的响应特性和稳定性，为设计和分析振动系统提供重要的依据。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的阻尼比，以满足振动系统的性能要求。
第三讲单自由度系统的振动(阻尼)解读
nt i
两端取自然对数得 其中
ln ln e nTd
nT
δ称为对数减缩系数
Td
2
0 1 2
c 0 2 m k
n
对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：
n
2
0 1
2
2 1
2
2
（ 2<<1 ）
上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼
x
这种振动的 振 幅 是 随 时 间 A x0 不断衰减的， 称为衰减振动。 衰减振动的运 动图线如图所 示。 d
Ae nt
衰减曲线的包络线
A1
A2
A3
t
Td
x
由衰减振动的表达式：
Ae
A x0
nt
x Ae
nt
sin(d t )
A1
A2
A3
这种振动不符合周期振 动 f (t ) f (t nT ) 的定
机械振动学
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随
时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响
nt 2 2 x Ae sin( n t ) 由衰减振动运动规律： 0
Ae-nt相当于振幅
设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有: 经过一个周期 Td ，系统到达另一个 比前者略小的最大偏离值Ai+1
振动系统的自由度和阻尼对振动的影响如何
振动系统的自由度和阻尼对振动的影响如何一、振动系统的自由度振动系统的自由度是指系统在空间中独立运动的数量。
在物理学中，一个自由度通常指的是一个物体在某个参考系下可以独立运动的程度。
对于振动系统来说，自由度决定了系统的复杂程度和可能的状态。
1.单自由度系统：指系统在空间中只能沿一个方向或一个轴进行振动。
例如，一根弹簧振子就是一个单自由度系统。
2.多自由度系统：指系统在空间中有多个方向或多个轴可以进行振动。
例如，一个弹簧-质量系统，如果它可以在三维空间中的任意方向振动，则它是一个三自由度系统。
二、阻尼对振动的影响阻尼是振动系统中能量耗散的机制，它会使振动的振幅逐渐减小，直至振动停止。
阻尼对振动的影响主要表现在以下几个方面：1.阻尼比：阻尼比是描述阻尼特性的一个参数，定义为阻尼力与恢复力的比值。
阻尼比越大，系统的振动衰减越快，振幅减小得越迅速。
2.阻尼对振动幅值的影响：在初始阶段，阻尼对振动幅值的影响较小，但随着振动时间的增加，阻尼作用逐渐明显，振幅逐渐减小。
3.阻尼对振动周期的影响：阻尼对振动周期没有直接影响，振动周期仅与系统的弹性特性和质量有关。
4.阻尼对振动稳定性的影响：适当的阻尼可以提高振动的稳定性，防止系统发生过度振动或共振。
然而，过大的阻尼可能会导致系统过早地停止振动，影响某些应用中的振动性能。
三、自由度和阻尼的相互作用自由度和阻尼的相互作用表现在以下几个方面：1.自由度越多，系统可能出现的振动状态越多，同时阻尼对振动的影响也越复杂。
2.在多自由度系统中，各个自由度之间的振动可能会相互耦合，使得系统的振动特性更加复杂。
3.阻尼的存在可能会影响自由度之间的耦合关系，从而改变系统的振动特性。
综上所述，振动系统的自由度和阻尼对振动的影响是多方面的，它们相互作用决定了系统的振动特性。
了解这些知识点有助于我们更好地分析和解决实际问题。
习题及方法：1.习题：一个单自由度弹簧振子在无阻尼状态下做简谐振动，其质量为m，弹簧常数为k，振动的初始位移为A。
第三讲单自由度系统的振动(阻尼)
解：振动衰减曲线的包络线方程为
x Ae
nt
设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有
xP e nNTd xR
当
2<<1时
2π N 1 2
ln
ln 2π N ln 2π N
此式对估算小阻尼系统的 ζ值是很方便的。例如， 经过10个周期测得P、R两点的幅值比 r=2，将N=10、 r=2代入上式，得到该系统的阻尼比：
t
当n＞ω0(ζ ＞1)时，称为大阻尼情形。此时阻尼系数c＞ cc ;在这 种情形下，特征方程的根为两个不等的实根，即：
2 r1 n n 2 0
2 r2 n n 2 0
微分方程的解为
x e
nt
(C1e
2 n 2 0 t
C2 e
2 n 2 0 t
微分方程的解 x C1er1t C2er2t 可以表示为：
2 x Ae nt sin( 0 n2 t ) 或
x Ae
nt
sin(d t )
其中：A和φ为两个积分常数，由运动的初始条件确定
d n
2 0
2
称有阻尼自由振动的圆频率
x Ae
nt
c c m
f (t )
k
m
xs
k
kx
cx
m
o x x
x
m x
o x
振动过程中作用在物块上的力有： （1） 恢复力 Fk kx ；方向指向平衡位置O；
dx （2）粘性阻尼力 Fc c cx ；方向与速度方向相反。 dt
cx m x 根据达朗贝尔原理，质量块的微分方程为：
《理论力学 动力学》 第九讲 单自由度系统的无阻尼受迫振动
单自由度系统的受迫振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、单自由度系统的无阻尼受迫振动2、单自由度系统的有阻尼受迫振动1、单自由度系统的无阻尼受迫振动受迫振动在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。
km简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力。
简谐激振力随时间的变化关系可写成：)sin(j w +=t H F 其中：H 称为激振力的力幅，即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；j 是激振力的初相角。
（1）振动微分方程m 取物块的平衡位置为坐标原点，x 轴向下为正。
物块的受力为恢复力F e 和激振力F 。
F e F方程两边同除以m ，并令, 得到：m k =20w H h m=)sin(d d 2022j w w +=+t h x tx ——无阻尼受迫振动微分方程的标准形式解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。
齐次方程的通解可写为：)sin(01q w +=t A x 特解可写为：2sin()x b t w j =+将x 2 代入微分方程，得到:)sin()sin()sin(22j w j w w j w w +=+++-t h t b t b 解得：220ww -=hb 微分方程的全解为：)sin()sin(2200j w ww q w +-++=t ht A x 结果表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。
第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。
第一部分会逐渐衰减，而第二部分则是稳定的。
0sin()A t w q +220sin()ht w f w w+-1、单自由度系统的无阻尼受迫振动（2）受迫振动的振幅2220sin()hx t w j w w=+-系统的受迫振动为简谐振动，振动频率也等于激振力的频率，振幅大小与运动的初始条件无关，而与振动系统的固有频率ω0、激振力的频率ω、激振力的力幅H 相关。
单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定-实验报告
1
DC 输出:0~30V,2A
PAB 32~2A KIKUSUI（日本）
7
微型计算机
1
内部有 A/D、D/A 插卡
通用型
-3-
五．实验步骤
1. 打开微型计算机，运行进入“单自由度系统”程序。 2. 单击“设备虚拟连接”功能图标，进入设备连接状态，参照图六对显示试验设备进行联
线。连线完毕后，单击“连接完毕”，如连接正确，则显示“连接正确”，即可往下进 行，否则重新连接，直至连接正确。 3. 接通阻尼器励磁及功率放大器电源，调励磁电流为某一定值（分别为������ = 0.6A, 0.8A, 1.0A） 4. 测定自由衰减振动： 单击“自由衰减记录”功能图标，进入如图七显示界面。单击 (Start)键，开始测试。由 一电脉冲沿水平方向突然激励振动台，微机屏幕上显示自由衰减曲线。用鼠标调节光标 的位置，读出有关的数据。改变周期数 i 的数值，即可直接显示相应的周期和频率。 5. 测定幅频特性和相频特性： 单击“简谐激励振动”功能图标，按图八所示，单击“信号输入显示框中的频率，将弹、 出一个对话框，可以直接输入激励频率。也可单击频率的单步步进键进行激励调节。单 击 (Start)键，开始测试，开始强迫振动幅频特性和相频特性测量，其中2Hz~15Hz内大致 相隔1Hz设一个测点；15Hz~30Hz 内每隔5Hz设一个测点。 在显示检测框显示力信号和相应信号波形，以便观察信号的质量。幅值比显示振动位移
注：由于实验时间所限，加之读数难度较大，在������������ 附近没有加密测量相频点。这是实验中的失误。
-5-
七．实验数据处理
1. 根据自由衰减振动记录的有关数据，分析计算系统的固有圆频率������������及阻尼比ζ。
03-单自由度系统：阻尼自由振动
整理得：
2W 2 2 T1 T gAT 1 T
μ的物理意义是单位面积的阻尼系数。
23
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
24
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
25
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
例
习题课—单自由度系统阻尼简谐振动
解
26 Theory of Vibration with Applications
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言
粘性阻尼－若物体以较大速度在空气或液体中运 动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘 性介质中运动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以 认为阻尼与速度成正比。
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
Fc cx
4 Theory of Vibration with Applications
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言
• 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。 • 最常见的阻尼是
2 2
xe
nt
(C1e
n2 - p2 t
C2 e
n2 - p2 t
)
临界阻尼(n = p )情形 r1 r2 n
Theory of Vibration with Applications
x e nt (C1 C2 t )
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第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
单自由度体系自由振动
单自由度体系自由振动一、无阻尼振动单自由度体系自由振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。
在模型建立过程当中，可以直接进行建立。
在运行时，只需将c=0即可。
ω增加，单位时间内振动次数增加。
无阻尼振动是简谐振动，振幅和初相位仅取决于初位移和速度。
初始干扰反映了外部初始赋予体系能量的大小。
由于不考虑振动过程中体系能量的耗散，因而体系的总能量保持不变，这就表现为振幅Ａ保持不变，永不衰减。
于是振动一旦发生便永不停息，但这仅是一种理想状态。
二、对阻尼自由振动的讨论当阻尼系数ｃ不为０时，体系做阻尼运动。
由于有能量的耗散，体系的运动幅度会逐渐减小，最终停止振动。
有阻尼单自由度体系，自由振动的运动方程为ωξωm c m k t ky t y c t y m 2,0)()()(2===++∙∙∙， 则原式可变为022=++∙∙∙ωξωy y 。
解微分方程有如下结果：2.1 当1<ξ时，即小阻尼运动，方程的解为：)sin(A )sin cos ()(000ϕωωωξωωξωξω+=++=--t e t y v t y e t y d t d d d t 其中2200201)(ξωωωξω-=++=d d y v y A可画出小阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：是一条逐渐衰减的波动曲线2.2 当1>ξ时，即大阻尼的情况，方程的解为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+=-t ch y t sh v y e t y o t ωξωξξξωωξ11)1()(20220 上式不含有简谐振动的因子，是因为体系受干扰后偏离平衡位置所积蓄起来的初始能量在恢复平衡位置的过程中全部消耗克服阻尼，由于阻尼很大，不足以引起振动。
当初始速度，初始位移都大于０时，可画出大阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：2.3 当1=ξ时，即临界阻尼的情况，方程的解为：[]t v t y e t y t 00)1)(++=-ωω（当初始速度，初始位移都大于０时，可画出临界阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如下图所示；当体系在临界阻尼时，其运动衰减的最快，即他能在最短时间内无振动的回到平衡位置。
单自由度系统固有频率和阻尼比的测定
单自由度系统固有频率和阻尼比的测定实验一、实验内容1、 学习分析系统自山衰减振动的波形；2、 验证固有频率的存在；3、 山衰减振动波形确定系统固有频率和阻尼比;二、实验设备(1)式中，a )= yi K/M 为系统固有频率，H = C/2M 为阻尼系数，g = (co 勿阻尼比。
3 W “ A M 一 +C 一 + Kx = O dr dt右〕〃 3 c d 兀 2 c 111 ——+ 2n 一 + a)x = 0 dr dt振动与控制实验设备、位移传感器、测振仪、计算机与分析软件(10)则:对于小俎尼情形M < 1,其方程有解如下:设t=0时，系统的位置和速度分别为xo 和切，则A = hV °少一卩I~T ⑷x( ^y/2 -ir tan (p = (5)其衰减振动有如下特点：1、 振动周期大于无阻尼时的自由振动周期，即TigT _ 2龙一 2礼2龙_T1①J/—询]一§2 J]_§2系统固有频率为：⑹fo = L =........ > • T 片口 (7)2、 振幅按指数函数衰减'设相邻两次振动的振幅分别为Ai 和Ai+i.则减幅系数为:“二字二严 4+1对数减幅系数 J = ln;； = n7； 另外，相隔•个周期的两次振动，城幅之比设为卩，则(8)⑼x = Ae ,,f,i sin (6?/ + A o ) (2)式中人■系统初始振il 喘，%・初相位，①■衰减振动圆频率°并且有：© = -jar -n 1 = (3)q = In 7 = j/z7]四、实验步骤1.试验1:采用1个质量块，施加较小的力使得悬臂梁产生自由衰减振动。
2.试验2：釆用1个质量块，施加较大的力使得悬臂梁产生自由衰减振动。
3.设定周期数j,此试验取30,读出j个波形所经历的时间t,记录其波形的幅值。
4.计算系统阻尼比纟和固定频率厶五、数据处理与实验结果分析表5-1原始数据记录试验2试验2XI10.36XI29.60Y1116.75Y1123.11X214.14X233.40Y2110.48Y211&04dX 3.78dX 3.80dYI-6.27dYI-5.09试验1（单个质量块，力F较小）：山试验所测数据计算得到的周期为：7 = 3.78/30 = 0.126$,九二 * = 7.936H?振幅之比设为仍，则30} - In 〃 j = In(1.60) = 0.47q = In 行二In(1.28) = 0.25為则有㈠务X , =49.86 *1.60 」4+j10.48 0 47歸莎”124,则有7；.= ——=0.126$ 30x0.124沖+（洁）+2.487x,o_3试验2（单个质量块，力F 较大）：山试验所测数据讣算得到的周期为：7 = 3.80/30 = 0.126$,九二丄=7.936 血 振幅之比设为〃门则A. 23.11_ ”厂石 18.04= 1,28III以上数据处理结果可以得到/试验2和试验2在不同大小的作用力下，悬3臂梁的固有频率一致，均为7.69HZO试验3 （两个质量块）：【」」试验所测数据讣算得到的周期为：r = 3.94/ 30 = 0.1315,/o= 1 =7.6\4H 乙姑宀已严992+ （需）-7.96V 7；A -=£222 = 2.06x10- 〜e 47.96 六、试验思考1＞试验过程较为简单，只是通过给悬臂杆一个外力后让其振动，测量到它的振 动波形图就行了。
单自由度系统的无阻尼自由振动固有频率
结论：在线性系统的振动分析中,可以忽略作
用于系统上的恒力及其引起的静态位移.
2.3 单自由度线性系统的无阻尼自由振动
燕山大学
Yanshan University
单自由度系统的运动微分方程： m x ( t) c x ( t) k( t) x F ( t)
自由振动：当F<t>=0时,系统所产生的振动.
2.1.2 阻尼器
阻尼器的性质：阻尼器在外力作用下的 响应为其端点产生一定的运动速度.
燕山大学
Yanshan University
阻尼器所产生的阻尼力Fd是速度的函数： Fd f(x) 阻尼力的方向和速度方向相反.
假设与说明： <1>假设阻尼器的质量忽略不计. <2>阻尼器消耗能量,以热能、声能等方式耗散系统的机械能.
由运动微分方程所要解决的问题： <1>由m、c、k所决定系统的固有特性； <2>在激励F<t>作用下,系统会具有什么样的响应,即x<t>=？
静位移对系统运动微分方程的影响
燕山大学
Yanshan University
当弹簧与阻尼器水平放置时,无重力影响.系 统静平衡位置与弹簧未伸长时的位置一致.
运动微分方程：m x (t) c x (t) k(t)x F (t)
图中,弹簧k1、k2是"共位移"的,为并联弹簧. 系统的等效刚度：keq=k1+ k2
是并联弹簧？ 还是串联弹
簧？
弹簧串并联等效刚度实例
例2 确定图示混联弹簧的等效刚度.
解： k1、k2为并联,再与k3串联：
1 11
keq k1 k2 k3
keq
单自由度体系的有阻尼振动
m
m
令 c
k11
2m
m
y(t) 2y(t) 2 y(t) 0
其特征方程的根为 (- 2 1)
根据 取值不同，微分方程的解可分三种情况进行讨论
（1）<1，称为低阻尼的情况
特征根为两共轭复根。令c 1 2 则 ic
此时微分方程式的解为 y(t) et (C1cosct C2sinct)
从上式中可以看出，有阻尼的纯强迫振动仍为简谐振动， 其频率和周期都与阻尼无关。但位移比荷载滞后一个相位 角，当动荷载最大或最小时，位移并不是最大或最小，这 与无阻尼情况不同。
2
(4.488s1 )2
2）求阻尼比 及阻尼系数c。
1 ln A0 1 ln 0.005m 0.04
2π A1 2π 0.0039m
c
2m
2W g
2
9730.84103 N 9.8m s2
4.488s1
0.04
356506.2N s m
3）求振动5个周期后的振幅A5
A5
A e 5Tc 0
y(t) y(t) y*(t)
y(t) et (C1 cosct C2 sinct)
y (t) 可由待定系数法确定，设其形式为
y*(t) D1 cost D2 sint
则有
y*(t) D1 sint D2 cost
y*(t) D1 2 cost D2 2 sint
将它们代入微分方程，整理并分别令等号两边cost 和 sint 的相应系数相等，可得
结构力学
单自由度体系的有阻尼振动
一、阻尼与阻尼力
结构在振动过程中会受到周围介质的阻碍。例如，结构与支座 及构件之间各连接部位的摩擦，变形时材料内部的摩擦等等。 这些因素会引起振动能量的耗散，阻滞体系持续振动，我们把 这些因素称为阻尼。阻碍体系中质点运动的力称为阻尼力。
二、单自由度系统阻尼自由振动解析
cc 2 km 2mn
阻尼比
▪ 令 c c c ，称为阻尼比或者相 cc 2 km 2mn
对阻尼系数。是一个无量纲的数， 是一个重要
振动参数。
▪ 表征一个振动系统阻尼的大小：
▪ 1 表示大阻尼，
▪ 1 表示临界阻尼，
▪ 1 表示小阻尼。
微分方程和解的表达方式
▪由
n
k m
，和
c m
c cc
cc m
2mn
m
2n
▪ 原来的微分方程可以改写成：
x 2n x n2x 0
▪ 特征根：s1,2 2 1 n
大阻尼情况的讨论
▪ 当 1，方程的特征根 s1,2 2 1 n ， 均为实数，方程的通解为：
x e Ae A e nt
2 1nt
1
2 1nt
2
▪ A1, A2 与初始条件 x0 , x0 有关，
A1,2
1 2
x0
x0
n x0 2 1 n
大阻尼系统的运动特点
▪ 可以证明，x e Ae A e nt
2 1nt 1
2 1nt 2
越过平衡位置的次数至多有一次。
x
·x0
x
·x0
x
x0
x0
t
x0
·x0
x0
n d
x0
tan1 x0 n x0 d x0
小阻尼的运动曲线
▪ 如图所示的为衰减振 5
动。在 cos(dt ) 1 4
的时候，物体的运动 3
2
曲线和曲线：
1
振幅
x Aent
相切， 0 -1
在切点的x值的绝对 -2
第三章单自由度有阻尼系统的振动
由（3-8）式得
N·s/cm
所以C= N·s/cm。
3—3在简谐激扰力作用下的强迫振动
单自由度粘性阻尼系统强迫振动的力学模型如图3-4所示。设系统中除了有弹性恢复力及阻尼力作用外，还始终作用着一个简谐扰力F（t）=F0sinωt，其中ω为激扰频率。由牛顿运动定律，直接写出系统的运动微分方程为：
式中P、f、T是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。
由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的周期增大、频率减小，但在一般工程问题中n都比P小得多，属于小阻尼的情况。例 =n/p=0.05时，fd=0.9990f，Td=1.00125T；而在 =0.20时，fd=0.98f，Td=1.02T，所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显著，阻尼使振幅随着时间不断衰减，其顺次各个振幅是：t=t1时，A1=Ae-nt1；t=t1+Td时，A2=A ；t=t1+2Td时，A3=A ，…..。而相邻两振幅之比是个常数。即
s是待定常数。代入（3-1）式得 ，要使所有时间内上式都能满足，必须 ，此即微分方程的特征方程，其解为
（b）
于是微分方程（3-1）的通解为
（3-2）
式中待定常数c1与c2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式 是实数、零、还是虚数。对应的根s1与s2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若s1与s2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为cc，即cc＝2mp。引进一个无量纲的量 ，称为相对阻尼系数或阻尼比。
阻尼器阻尼比计算公式
阻尼器阻尼比计算公式
阻尼器阻尼比的计算公式可以根据所涉及的物理系统的特定情
况而有所不同。
一般来说，在振动系统中，阻尼比通常表示为ζ
（希腊字母zeta）。
对于简单的单自由度振动系统，阻尼比可以通
过以下公式计算：
阻尼比ζ = c / (2 √(k m))。
其中，c表示系统的阻尼系数，k表示系统的弹簧刚度，m表示
系统的质量。
这个公式适用于线性阻尼器的情况。
对于其他类型的阻尼器，比如非线性阻尼器或者涉及复杂动力
学特性的系统，阻尼比的计算公式可能会更加复杂。
在这种情况下，需要根据具体的系统特性和动力学方程来确定阻尼比的计算方法。
总的来说，阻尼比的计算公式是根据特定系统的物理特性和动
力学方程来确定的。
针对不同的系统，可能需要采用不同的计算方
法来确定阻尼比。
希望这个回答能够帮助到你。
第03课 单自由度系统：阻尼自由振动
式(2.3-1)可以写成
2 ɺɺ + 2ζω n x + ωn x = 0 ɺ x
(2.3-3)
根据 ζ 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
粘性阻尼振动系统
（1） ζ < 1 ，此时为弱阻尼（欠阻尼，underdamped）情况，此时特征值 为二共轭复根
2 2 s1, 2 = (− ζ ± i 1 − ξ 2 )ωn c k c k c − ± − > 方程（2.3-3）的通解为 2m 2m m 2m m 2 −c i 1−ξ ω t −ζ − i 1−ξ ω t k ζ + + B e c x(t= − ) = B1e s1,2 2 = 2m 2m m =−ζω t (A1 cos 1 − ξ 2 ω n t + A2 sin ω n t ) = Ae −ζω t cos(ω d t − ϕ ) e 2 2 k c k c −1 - c2 ω±叫做阻尼固有频率。粘性阻尼系统的自由振动，其位 − < 式中 ωd = ζ n i 2m m 2m 2m m 移是一个具有振幅随时间按指数衰减的减小振动。 实际阻尼小于临界阻尼的系
πd 2
2
d c = 4πLµ D
2
粘性阻尼
若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻 尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在 粘性介质中运动（包括两接触面之间有润滑 剂时）可以认为阻尼与速度成正比。
粘性阻尼振动系统
在线性振动理论中规定， 由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大小 与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数 c 为常数。单 自由度系统阻尼振动的模型如图所示,与阻尼自由振动相比，增加 一个阻尼器。按照前面讲述的建立系统运动微分方程的方法可得
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无阻尼固有频率：0
kb2 ml 2
b l
k m
c
a b l
ca
ca 2 ml 2
20
ca 2
2ml 20
ca2 2mlb
m k
阻尼固有频率： d 0
1
2
1 2ml 2
4kmb2l 2 c2a4
m k
m
k b ml
1
cc
2bl a2
mk
t
当n＞ω0(ζ ＞1)时，称为大阻尼情形。此时阻尼系数c＞ cc ;在这种 情形下，特征方程的根为两个不等的实根，即：
r1 n n2 02
r2 n n2 02
微分方程的解为
x ent (C1e n2 02t C2e ) n2 02t
其中C1、 C2为两个积分常数，由运动起始条件来确定，运动图
当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正 比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此 研究。
设振动质点的速度为为v，则粘性阻尼的阻力FC可表示为：
F
cv
负号表示方向
比例常数c称为粘性阻尼系数
振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件c表示。
一般的机械振动系统都可以简化为：
x 2nx 02 x 0 （1）
其解可设为：
x ert
代入（1）式，得到特征方程：r 2 2nr 02 0
两个特征根为： r1,2 n n2 02
该方程通解为： x C1er1t C2er2t
特征根 r1,2 n n2 02 为实数或复数时，运动规律有很大 不同，因此下面按n<ω0，n>ω0和n=ω0三种不同情形分别进行讨论。
其中
Td
0
2 1 2
n c 0 2 mk
对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：
n 2 2 2 0 1 2 1 2
（ 2<<1 ）
上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼 特性的一个参数。
例 在欠阻尼（ <1）的系统中，在振幅衰
减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的
3.小阻尼情形
当 n<ω0 时 ， ；其中
n c 2m
阻尼较小，称为小阻尼情形。
特征根 r1,2 n n2 02 为共轭复数，即：
r1 n i 02 n2 r2 n i 02 n2
微分方程的解 x C1er1t C2er2t 可以表示为：
x Aent sin( 02 n2 t ) 或 x Aent sin(dt )
设cc为临界阻尼系数，由于ζ =n/ω0 =1，即
x
cc 2nm 20m 2 km
＝1
cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由
>1
c 2nm n
cc 20m 0
t
ζ 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是ζ 称为阻尼比的原因。
具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。 因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动， 临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现 反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而 且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然， 只有临界阻尼器才能满足这种要求。
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响 由衰减振动运动规律： x Aent sin( 02 n2 t ) Ae-nt相当于振幅
设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有: Ai Aenti
经过一个周期Td，系统到达另一个
比前者略小的最大偏离值Ai+1
Ai
Ai1 Aen(ti Td )
机械振动学
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时 间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能量， 使振幅不断地减小，直到最后振动停止。
振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
以不是周期振动。
Td
d
A3 t
但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特点。 我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需的时 间称为衰减振动的周期，记为Td ，如上图所示。
阻尼对周期的影响
2
Td
d
2
2
2
02 - n2
0
1 ( n )2
0
0 1 2
其中： n c 0 2 mk
r1 n；r2 n
得到振动微分方程的解为 x ent (C1 C2t)
其中C1和C2为两个积分常数，由运动的起始条件决定。
上式表明：这时物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置， 因此运动已不具有振动的特点。
临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统
的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。
经过10个周期测得P、R两点的幅值比r=2，将N=10、
r=2代入上式，得到该系统的阻尼比：
ln 2 0.011 20
4.临界阻尼和大阻尼情形
当n=ω0（ζ=1）时，称为临界阻尼情形。这时系统的阻尼系数 用cc称为临界阻尼系数。
从式
n c 0 2 mk
cc 2 mk
在临界阻尼情况下，特征根 r1,2 n 为n2两个02相等的实根，即：
（2）粘性阻尼力
Fc
c
dx dt
cx；方向与速度方向相反。
根据达朗贝尔原理，质量块的微分方程为： mx cx kx 0
- mx kx cx 0
两端除以m，并令：
kx cx
o
02
k m
2n c m
n称为衰 减系数
x
m
x
mx
整理得： x 2nx 02 x 0
有阻尼自由振动微分方程的标准形式,它是一个二 阶齐次常系数线性微分方程
Ai+1
这两个相邻
振幅之比为:
Ai Ai1
Aenti Aen(ti Td )
enTd
η称为振幅系数。任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减振动
的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。
由
Ai Ai1
Aenti Aen(ti Td )
enTd
两端取自然对数得 ln ln enT nTd δ称为对数减缩系数
解： 求出对数减缩率:
ln Ai
Ai1
ln 100 0.0202 98
阻尼比为:
0.003215 2
系统的临界阻尼系数为:
kc O
m x
cc 2 mk 2 0.05 2000 20N s / m 阻尼系数: c cc 0.0643N s / m
Fk
Fc
m
x
达朗贝尔原理
*例：阻尼缓冲器
其中：A和φ为两个积分常数，由运动的初始条件确定
d 02 n2 称有阻尼自由振动的圆频率
x Aent sin(dt )
当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v= x;可0 求得有阻尼自由
振动中的振幅和相位：
A
x02
(x0 nx0 )2
02 n2
x
arctan x0 n2 n2
x0 nx0
这种振动的振
Aent 衰减曲线的包络线
幅 是 随 时 间 不 A x0 断衰减的，称
A1
运
动图线如图所 示。
Td
d
x
由衰减振动的表达式：
Aent
x Aent sin(dt ) A x0 A1
A2
这种振动不符合周期振
动 f (t) f (t的 定nT义) ，所
k
平衡位置 0 x0 x
c
设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：
x(t)
02 x0 d
e 0t1
sin d t1
0
t1
d
即经过半个周期后出现第一个振幅 x1
x1 x(t1 ) x0e0t1 x0e 1 2
x1 x(t1 ) x0e0t1 x0e 1 2
由题知 解得：
x1
e
1 2
10%
x0
0.59
例：
小球质量 m 刚杆质量不计
c a
b
求：
l
（1）写出运动微分方程
（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率
m k
解：广义坐标 ； 受力分析；
力矩平衡：ml l ca a kb b 0 ml 2 ca2 kb2 0
mx cx kx 0 x 20 x 02 x 0
静载荷 P 去除后质量块越过平衡位 置的最大位移为初始位移的 10％
求：
缓冲器的相对阻尼系数
P m
k
平衡位置 0 x0 x
c
解：
由题知 x(0) 0 设 x(0) x0
x(t)
e 0t
( x0
cosd t
x0
0 x0 d
sind t)
求导 ：
x(t)
02 x0 d
e 0t
sind t
P m
两点P、R的幅值之比xP/xR=，如图所示， 试确定此振动系统的阻尼比。
解：振动衰减曲线的包络线方程为
x Aent
设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有
xP e nNTd
xR
2π N ln 1 2
当 2<<1时
2π N ln
ln
2π N
此式对估算小阻尼系统的ζ值是很方便的。例如，
c
k 由惯性元件（m）、弹性元件（k）、阻
尼元件（c）组成的系统。