最新人教版初中九年级数学上册《切线长定理》导学案

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九年级数学上册导学案：24.2.2.2切线长定理

范县濮城镇中学导学案九年级数学圆活页导学案导学案总编号37主备人叶慧审核人毕景昌审批人授课人授课时间班级姓名小组课题24.2.1切线长定理课型探究课课时1（提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。

如何找到这个圆心呢？）．并得出结论：与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条的交点，叫做三角形的内心。

四、反馈提升例1：如图△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm,求AF,BD,CE的长.五、达标测评1、如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是内心，求∠AOC的度数。

2、△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积。

（提示：设内心为O，连接OA,OB,OC）总结与反思学法指导栏学习目标1．知道切线长的概念2．理解切线长定理3．三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用学习重点知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念学习难点熟练掌握它的应用教师“复备栏”或学生“笔记栏”学习过程：一、情景引入或知识回顾知识准备三角形的外心：角平分线的性质定理：角平分线的判定定理：二、自主学习问题1：如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线po将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有说明关系？由探究得出结论：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的如上图，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP, OB⊥BP.又OA=OB, OP=OP,在Rt△AOP和Rt△BOP中∴Rt△AOP≌Rt△BOP（）∴PA=PB, ∠OPA=∠OPB.（）由此得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的 .三、问题探究如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？APB OB CA。

人教版九年级(上)数学导学案：24.2.2切线长定理

24.2.2切线长定理主备人：符后丽审核：数学备课组课型：新授课学习目标：1、掌握切线长定理，能利用切线长定理解决相关的计算和证明问题。

2、培养抓基本图形的能力，规范、严谨的书写计算和证明的过程。

学习重点：切线长定理的证明和应用学习过程：一复习回顾1、如图1，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是过A 点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么 ∠CAB= 时，AC 才能成为⊙O 的切线。

2、如图2，AB 切⊙O 于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠A=36°，则∠C=3、如图3，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上的一点，PA 切⊙O 于A ，若PA=3，PB=1，则⊙O 的半径为。

二新知探究1、画图：如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线，2、可以作条。

2、度量：圆外点P 到两个切点的距离是（填“相等”或“不相等”）；操作：将上面的图形沿着直线PO 折叠，你发现了，∠APO 与∠BPO 的大小（填“相等”或“不相等”）；3、根据你的度量和操作，你的猜想是。

4、你能证明你的猜想吗？5、归纳总结：如图所示，PA,PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B 。

直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C 。

（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的等腰三角形；（3）写出图中所有的全等三角形；图1 图2 图3（4）若∠APB=70°，你可求出哪些角的度数？6、基础训练（1）如图4，PA,PB 是⊙O 的切线，且∠APB=40°，下列说法不正确的是（）A PA=PB B ∠APO=20°C ∠OBP=70°D ∠AOP=70°（2）如图5，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA,PB ，切点分别为A ，B 。

如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（）A 4 B 8 C 34 D 38（3）如图6PA,PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B 。

人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理教案

此外，小组讨论的环节中，我发现学生们在讨论切线长定理的实际应用时，思路不够开阔。这可能是因为他们在日常生活中对几何图形的观察不够细致，或者是缺乏将理论知识应用到实际中的经验。我打算在之后的课程中，增加一些观察和分析实际几何图形的练习，帮助学生培养从生活中发现数学的能力。
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。

九年级数学：切线长定理导学案

OBAP九级班姓名：日期：编号：课题：切线长定理课型【新授课】一、【新课导入】:（2分钟）1．已知△ABC ，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？ 2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？ 3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？二、【学习目标】:（1分钟）1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。

2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点和难点）3、会作已知三角形的内切圆（重点）三、【学习流程】:辨——辨而激思）教师点拨（成果记录·知识生成）【导学1】基本概念定理生成1.自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题（1）通过自学教材P98页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？（2）通过自学教材P98页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．（3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明⊙O 的定理吗？如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线．求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ．证明：（4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。

（5）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。

（6）分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况。

【导学2】精选例题分析例.△ABC 的内切圆⊙ O 与AC.AB.BC 分别相切于点D,E,F, AB=5,BC=9,AC=6,求AE.BF.CD 的长小组互动一：对学：相互检查自学成果的完成情况，指点纠错。

《24.2.2 第3课时切线长定理》教案、导学案、同步练习

《第3课时切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

新人教版九年级数学上册《切线长定理》导学案

新人教版九年级数学上册《切线长定理》导学案课题切线长定理课型展示课执笔人审核人级部审核学习时间第周第导学稿教师寄语学习目标 1、理解切线长定理、三角形内心的性质。

2、能利用切线长定理、三角形内心的性质进行简单的计算与证明。

（重、难点）学生自主活动材料一.前置性自学1、自学内容：课本96-98页，把不明白的问题记录下来以便与老师、同学交流。

2、自学检测：（1）已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点。

写出三个以上正确结论: _____________________________________________________________________________________。

（2）如图，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=（）A ．112.5°B ．112°C ．125°D ．55°（3）已知：如图，在△ABC 中，BC=14cm ，AC=9cm ，AB=13cm ，它的内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ，则AF=_________、BD=______________、CE=________________．二.小组反馈 1、若⊙O 的切线长和半径相等，则两条切线所夹角的度数为（）A.30°B.４5°C.60° D ．９0°2、若AB 、AC 分别切⊙O 于B 、C ，延长OB 到D 使BD ＝OB ，连AD ，∠DAC ＝78°，则∠ADO ＝（）A.56°B.3９°C.6４°D.78°3、如图：AB 、AC 切⊙O 于B 、C ，BC 交OA 于D ，则图中的直角三角形共有（） A.3 B.4 C.5 D.64、在三角形内，与三角形三条边距离相等的点，是这个三角形的（）A.三条中线的交点，B.三条角平分线的交点，C.三条高的交点，D.三边的垂直平分线的交点。

人教版数学九年级上册导学案：24.2.2.2-切线的判定

24.2.2.4 切线的判定定理教学目标：1．（知识与技能）：探究圆的切线的判定定理；能根据切线的判定定理进行简单的计算或证明；2.（过程与方法）：经历探究圆的切线的判定定理的过程；3．（情感、态度与价值观）：培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.教学重点：探究圆的切线的判定定理；能根据切线的判定定理进行简单的计算或证明．教学难点：能根据切线的判定定理进行简单的计算或证明．教学过程：一、探究新知：圆的切线的判定定理1. 如图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A 旋转时，（1）随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化? 直线l与⊙O的位置关系如何变化?（2）当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？2．圆的切线的判定定理：经过外端，并且的直线是圆的切线.注意：①必过；②直线半径.3.（如图）几何语言：∵ OA是⊙O的半径，OA⊥CD∴ .二、范例分析：例1如图，已知：直线AB过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O 的切线.OC1 / 3方法总结：若有圆上一点，则需连接，证，得 .例2已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作⊙O. 求证：AC是⊙O的切线.方法总结：若无半径、无垂直，则需作，证，得.三、达标练习：1. 如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A,C两点.∠BAD=∠B=30°，直线BD交⊙O于点D.求证：BD是⊙O的切线.2. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；四、小结：你在本节课的学习中有哪些收获？五、作业布置：A组：如图，△ADC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，且∠EAC=∠D.求证：AE是⊙O的切线.B组：如图，在△ABC中，∠A=90︒，以AC为直径作半圆O，交斜边于D，OE∥BC 交AB于点E，连接DE.求证：DE是⊙O的切线.A组题图 B组题图3 / 3。

配套K12九年级数学上册 24.2.2 切线长定理导学案(无答案)(新版)新人教版

.
CA
（2) 若点 O 是⊿ABC 的内心，则∠BOC=
.
4、从圆外一点向半径为 3 的圆作切线，已知切线长为 6，•则这点到圆心的距离为
。
O
P
【巩固练习】5、如图 3，PA、PB 是⊙O 的切线，切点为 A、B，BC 为⊙O 的直径，连接 AB、AC、OP。
B 图3
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学求证：AC∥OP
【小结】1、_与三角形各边都相切的圆__叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的_ 内心_。三角形叫做圆的外切三角形，内心_是三角形各内角平分
线____的交点， 2、三角形的内心到三角形各边的距离相等。
【针对性练习 2】3、在⊿ABC 中，∠A=50°，（1）若点 O 是⊿ABC 的外心，则∠BOC=
拓展应用 ﹡7、如图 6，AB 是⊙O 的直径，BC 和⊙O 相切于点 B，弦 AD∥OC，求证：DC 是⊙O 的切线
【小结】切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学 2、切线常用的 6 条性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心。（6）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 3、三角形内心的性质：①三角形的内心是三角形角平分线的交点 ②三角形的内心到三边的距离相等【整理学案】1、你的疑惑是： 2、易错点是：【教与学反思】

2.5.3 切线长定理导学案

*2.5.3 切线长定理导学案【学习目标】1、理解切线长的概念。

2、掌握切线长定理，会利用切线长定理进行简单的计算。

【学习过程】一、课前抽测1、如图1所示，PA 切⊙O 于点A ，若∠APO=30°，OP=2，则⊙O 半径是。

2、如图2所示，已知OA 是⊙O 的半径，延长OA 到B ，使OA=AB ，BC 切⊙O 于C ，则∠B= 。

3、如图3所示，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C=36°，则∠ABD= 。

4、全等三角形的判定方法：、、、；直角三角形还可以用判定全等。

二、问题探究探究：切线长定理例1、如图,PA 、PB 分别切⊙O 于A,B,连接PO 与⊙O 相交于C,连接AC 、BC,求证:AC=BC 。

例2、如图,已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O 的半径为2,梯形的腰AB 为5,则该梯形的周长是。

三、知识归纳1、切线长：经过圆外一点作圆外的切线，这一点与切点之间的线段的长，叫做切线长。

2、切线长定理：过圆外一点所画两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。

如图：切线长为、。

如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点根据切线长定理可得出： = ； = 。

图3 C P四、课堂检测1、如图所示，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论中，错误的是( )A 、∠1＝∠2B 、PA ＝PBC 、AB ⊥OPD 、PC ＝OC23、如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点为A 、B,若OP=4,PA=AOB 的度数为( )A 、60゜B 、90 ゜C 、120 ゜D 、无法确定4、如图，四边形ABCD 四条边都和⊙O 相切，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为（）A 、50B 、52C 、54D 、565、如图8所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别是A 、B 。

九年级数学《切线长定理》导学案

九年级数学《切线长定理》导学案学习目标：1、了解切线长的定义，掌握切线长定理2、能利用切线长定理解决问题学具准备：圆规、直尺、三角板、量角器等作图工具及练习本学习过程：一、复习旧知切线的判定和性质是什么？二、课堂导学阅读书上99页，完成以下问题：1、切线长定义：过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的，这一点和圆心的连线。

三、课内探究：〔一〕探究切线长的定义：过⊙O外任意一点P，画出⊙O的所有切线。

·OP引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

区别切线切线长〔三〕探究切线长定理：1、猜测上图中，PA与PB、∠APO与∠BPO有什么数量关系？2、尝试通过测量或对折验证猜测。

3、推理证明。

得到：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的，这一点和圆心的连线。

4、定理用几何语言表达为∵∴5、衔接中考：如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，假设∠C＝65°，〔1〕求∠P的度数；〔2〕假设AO＝3，OP=5,求PB的长；〔四〕拓展提升如图：〔见ppt〕假设PA、PB是⊙O的两条切线A、B为切点，直线OP交⊙O于D、E，交AB于点C(1)请写出图中所有相等的线段(2)请写出图中所有的垂直关系(3)请写出图中与∠APO相等的角(4)请写出图中所有的等腰三角形(5) 请写出图中所有的全等三角形(五)课堂小结畅所欲言，查漏补缺四、课后作业如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°。

〔1〕求∠APB的度数；〔2〕当OA=3时，求AP的长。

人教版初三数学上册24.2.2切线长定理学生导学案

《切线长定理》导学案一、复习提问1.如图，已知⊙O的半径O A⊥直线l于点A，则直线l是⊙O的2.OA是⊙O半径,直线l切⊙O于点A，则OA与直线l的位置关系是3．判断：（1）过半径的外端的直线是圆的切线（）（2）与半径垂直的直线是圆的切线（）（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）二、探究新知【一】经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？【二】观察、猜想、证明，形成定理1、切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长即时训练：P A D C B E①过任意一点总可以作圆的两条切线（）②从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。

（）如图，已知AB ，BC, AC 分别与圆O 相切于点D, E, F,则点A 到圆O 的切线长是线段的长；点B 到圆O的切线长是线段的长；点C 到圆O 的切线是线段的长。

2、观察:由学生动手实验和利用PPT 来展示点P 位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．3、猜想:引导学生直观判断，猜想图中PA 与PB ，∠OPA 与∠OPB 有什么关系？4、证明猜想，形成定理．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【三】讲解例题例1：如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，DE 分别交PA ，PB 于D 、E ，已知PA= 8CM ，求Δ PDE 的周长。

【四】拓展新知练习:如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，直线OP 交弧AB 于点C,连接AB 交OP 于点M,你能得到什么新的结论？请说明理由。

如图，若再连接OA,OB，你又能得出什么新的结论？请说明理由？小组讨论，然后填空：(1)写出图中所有的垂直关系；(2)写出图中所有的全等三角形；(3)写出图中所有的等腰三角形．【五】巩固新知1、如图，△ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D, E, F;如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm, AC= cm, AB= cm2、已知PA,PB与圆O相切于点A, B,圆O的半径为2，（1）若四边形OAPB的周长为10，则PA=( 2 )若∠APB=60°，则PA= ∠AOB=3、如图，PA,PB是圆O的切线，A,B为切点，AC是圆O的直线，若∠P=46°，则∠BAC= 。

人教版初中初三年级九年级数学上册切线长定理及三角形的内切圆精品导学案

第二十四章圆24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时切线长定理及三角形的内切圆学习目标：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.3.认识三角形的内切圆及其有关概念,会作一个三角形的内切圆,掌握内心的性质.重点：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.认识三角形的内切圆及其有关概念,会作一个三角形的内切圆,掌握内心的性质.难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明.一、知识链接1.切线的判定定理和性质定理是什么？2.角平分线的判定定理和性质定理是什么？二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示),如果点P是圆外一点,又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线,可以作几条？要点归纳：切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．问题2 P A为⊙O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B．图中OB是⊙O 的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？P A、PB有何关系？⊙APO和⊙BPO有何关系？要点归纳：过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.推理验证已知,如图P A、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点.求证：P A=PB,⊙APO=⊙BPO.想一想：若连接两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.典例精析例1 已知：如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.变式训练如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为______．例 2 为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺,按如图所示的方法得到相关数据,进而可求得铁环的半径,若三角板与圆相切且测得P A=5cm,求铁环的半径．方法总结：切线长定理包括线段相等和角相等两个结论,解题时应有选择地应用,它是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.练一练P A、PB是⊙O的两条切线,A,B是切点,OA=3.(1)若AP=4,则OP= ；(2)(2) 若⊙BP A=60°,则OP= .探究点2：三角形的内切圆及作法互动探究小明在一家木料厂上班,工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？问题1 如果最大圆存在,它与三角形三边应有怎样的位置关系？问题2 如何求作一个圆,使它与已知三角形的三边都相切？(1) 如果半径为r的⊙I与⊙ABC的三边都相切,那么圆心I应满足什么条件？(2) 在⊙ABC的内部,如何找到满足条件的圆心I呢？做一做已知：⊙ABC.求作：和⊙ABC的各边都相切的圆.要点归纳：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.探究点3：三角形的内心的性质问题1 如图,⊙O是⊙ABC的内切圆,那么线段OA,OB,OC有什么特点？问题2 如图,分别过点O作AB、AC、BC的垂线,垂足分别为E、F,G,那么线段OE、OF、OG之间有什么关系？要点归纳：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等.例3 如图,⊙ABC中,⊙ B=43°,⊙C=61 °,点I是⊙ABC的内心,求⊙ BIC的度数.例 4 (教材P100例2)⊙ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=9,BC=14,CA=13,求AF、BD、CE的长.方法总结：关键是熟练运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程.比一比：三、课堂小结1.如图,PA、PB是☉O的两条切线,切点分别是A、B,如果AP=4,∠APB= 40°,则∠APO= ,PB= .第1题图第2题图2.如图,☉O为△ABC的内切圆,AC=10,AB=8,BC=9,点D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O 的切线,则△CDE的周长为________.3.如图,在△ABC中,点I是内心,(1)若∠ABC=50°, ∠ACB=70°,∠BIC= .(2)若∠A=80 °,则∠BIC = 度.(3)若∠BIC=100 °,则∠A = 度.(4)试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？4.如图,在△ABC中,∠B＝90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC 相切于点D.求证：DE∥OC.5.如图,△ABC中,I是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.当堂检测参考答案自主学习一、知识链接1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径2.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.课堂探究二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1：连接OP,以OP的中点为圆心,OP的一半为半径作圆,与⊙O交于点A,B,连接P A,PB,直线P A,PB即为所求做的切线.过圆外的一点,可以作圆的两条切线.问题2：OB是☉O的一条半径,PB是⊙O的切线,P A=PB,⊙APO=⊙BPO.推理验证：证明：⊙P A、PB是☉O的两条切线,⊙ OA⊙P A,OB⊙PB.⊙OA=OB,OP=OP,⊙Rt⊙OAP⊙Rt⊙OBP,⊙P A=PB,⊙APO=⊙BPO.想一想解：OP垂直平分AB.证明：⊙P A,PB是⊙O的切线,点A,B是切点⊙P A = PB ,⊙OP A=⊙OPB⊙⊙P AB是等腰三角形,PM为顶角的平分线.⊙OP垂直平分AB.例 1 证明：⊙AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H,⊙ AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH.⊙ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.⊙AB+CD=AD+BC.变式训练50例2解：设铁环的圆心为O,AB与⊙O相切于点Q,连接OP、OA、OQ.⊙AP、AQ为⊙O的切线,⊙AO为⊙P AQ的平分线,即⊙P AO=⊙QAO.又⊙P AQ＝180°－60°=120°,⊙⊙P AO＝⊙QAO＝探究点2：三角形的内切圆及作法问题1 最大的圆与三角形三边都相切问题2 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.作三角形任意两个角的平分线,其交点即为所求作的圆心I.做一做作法：1.作⊙B和⊙C的平分线BM和CN,交点为O.2.过点O作OD⊙BC,垂足为D.3.以O为圆心,OD为半径作圆O.⊙O就是所求的圆.探究点3：三角形的内心的性质问题1 线段OA,OB,OC分别是⊙CAB,⊙ABC,⊙BCA的平分线.问题2 OE=OF=OG例3 解：连接IB,IC.⊙点I是⊙ABC的内心,⊙BI,CI分别是⊙ABC,⊙ACB的平分线,在⊙IBC中,⊙BIC=180°-（⊙IBC+⊙ICB）=180°-12(⊙ABC+⊙ACB)=180°-12（43°+61°）=128°.例4 解：设AE=x,则AF=x.⊙CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14,解得x=4.⊙ AF=4,BD=5,CE=9.名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．内心：三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分⊙BAC、⊙ABC、⊙ACB3.内心在三角形内部．当堂检测1.20° 42.113.（1）120 （2）130 （3）20 （4）⊙BIC=90°+12⊙A4.方法一证明：连接BD,⊙AC切⊙O于点D,BC切⊙O于点B,⊙DC=BC,OC平分⊙DCB．⊙OC⊙BD．⊙BE为⊙O的直径,⊙DE⊙BD．⊙DE⊙OC．方法二证明：连接OD,⊙AC切⊙O点D,⊙OD⊙AC,⊙⊙ODC=⊙B=90°.在Rt⊙OCD和Rt⊙OCB中, OD＝OB,OC＝OC,⊙Rt⊙ODC⊙Rt⊙OBC（HL）.⊙⊙DOC=⊙BOC.⊙OD=OE,⊙⊙ODE=⊙OED.⊙⊙DOB=⊙ODE+⊙OED,⊙⊙BOC=⊙OED,⊙DE⊙OC．5.证明：连接BI.⊙I是⊙ABC的内心,⊙⊙BAD=⊙CAD,⊙ABI=⊙CBI.⊙⊙CBD=⊙CAD,⊙⊙BAD=⊙CBD.⊙⊙BID=⊙BAD+⊙ABI,⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD,⊙⊙BID=⊙IBD.⊙BD=ID．。

人教版九年级数学上册第3课时切线长定理(导学案)

24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理一、新课导入1.导入课题：情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B. 问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题).2.学习目标：（1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.（2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.（3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.3.学习重、难点：重点：切线长定理及其运用.难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条.②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长，如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长.③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.∴PA = PB,OP平分∠APB .2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明.②差异指导：根据学情确定指导方案.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：（1）切线长定理及它的证明.（2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O的半径长吗？解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.解得r=3. 即⊙O的半径长为3.1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想.(4)自学参考提纲：①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I.因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上；因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上；所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点.a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I；b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求.②三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫三角形的内心.它是三角形三条角平分线的交点，它到各条边的距离都相等.③已知：如图，在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长.设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系.（2）生助生：生生互动，交流，研讨.4.强化：(1)三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.(2)如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数. 解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12∠ABC+12∠ACB=12×（50°+75°）＝62.5°.∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题方法？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果及存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（C）A.3cmB.4cmC.5cmD.9cm2.(10分) 如图，点O 是△ABC 的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=（C ）A.172°B.130°C.133°D.100°3.(10分)如图，已知VP 、VQ 为⊙T 的切线，P 、Q 为切点，若VP=3cm ，则VQ=3cm.若∠PVQ ＝60°，则⊙T 的半径PT .4.(20分)如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC=25°，求∠P 的度数. 解：∵PA 是⊙O 的切线.∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.∵OA ＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.∵PB 是⊙O 的切线，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°. ∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.5.(20分)如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m, 并且x Y ⊥WY,这个油桶底面半径是多少? 解：设圆心为O ，连接OW,O x . ∵YW,Y x 均是⊙O 的切线， ∴OW ⊥WY ,O x ⊥x Y ，又∵x Y ⊥WY ,∴∠OWY ＝∠O x Y ＝∠WY x ＝90°，∴四边形OWY x 是矩形，又∵OW=O x . ∴四边形OWY x 是正方形.∴OW=WY=1.65m. 即这个油桶底面半径是1.65m. 二、综合应用（15分）6.(15分)△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积.（提示：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ）解：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC. 则ABCAOBBOCAOCSSSS=++()AB r BC r AC r AB BC AC r lr =++=++=1111122222. 三、拓展延伸（15分）7.(15分)如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，且AB ∥CD ，BO ＝6cm ，CO ＝8cm ，求BC 的长.解：∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切，则OB 平分∠EBF ，DC 平分∠FCG.∵AB ∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=180°-12(∠EBF+∠GCF)=90°. ∴在Rt △BOC 中，BC=OB2+OC2=62+82=10（cm ）.。

人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计

人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》是九年级数学中的一个重要知识点。

切线长定理是指：圆的切线长等于半径的长度。

这个定理在几何学中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象力有重要作用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的相关概念和性质有所了解。

但是，对于切线长定理的证明和应用，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解切线长定理的证明过程，并通过例题让学生掌握切线长定理的应用。

三. 教学目标1.让学生理解切线长定理的定义和证明过程。

2.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。

四. 教学重难点1.切线长定理的证明过程。

2.切线长定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过探究问题来理解切线长定理。

2.使用多媒体课件，直观展示切线长定理的证明过程。

3.通过例题和练习题，让学生巩固切线长定理的应用。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.练习题和测试题。

3.黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些与圆和切线有关的图片，引发学生的兴趣。

然后提出问题：“圆的切线长和半径有什么关系？”让学生思考。

2.呈现（10分钟）讲解切线长定理的定义和证明过程。

首先，解释切线的概念，然后说明切线与半径的关系，最后证明切线长等于半径的长度。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试证明一个圆的切线长等于半径的长度。

每组派代表进行讲解，老师点评并给予指导。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、选择题和解答题，涵盖切线长定理的证明和应用。

5.拓展（10分钟）让学生思考：切线长定理在实际生活中有哪些应用？可以举例说明。

鼓励学生发表自己的观点和想法。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行简要回顾，强调切线长定理的定义和证明过程，以及其在实际问题中的应用。

九年级数学上册 24.2.2 切线长定理导学案(无答案)(新版)新人教版

最新中小学教案、试题、试卷
1
最新中小学教案、试题、试卷
求证：AC∥OP
A E B F O C D
C D A A O B
C D O
B
图4 三、达标测评图5 图6 图6 基础达标 6、如图 4，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，∠OAB=30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当 OA=3 时，求 AP 的长．
A O
图4
P
A O B 图2
B 图1
P
若 PO 与圆相分别交于 C、D,接 AB 于 PO 交于点 E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，哪些相等的弧？哪些互相垂直的线段？哪些全等的三角形。【小结】切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_切线长_相等，这一点和圆心的连线平分_两条切线的夹角_．【针对性练习 1】1、在 Rt△ABC 中，∠B=30°，BC=4cm，以点 C 为圆心，以 2cm 长为半径作圆，则⊙C 与 AB 的位置关系是如图 2，PA,PB,分别切⊙O 于点 A,B,点 E 是圆上一点，且∠AEB=70°，∠P 等于。探究 2 三角形内心的性质通过尺规作图，找出三角形内心的特性【小结】1、_与三角形各边都相切的圆__叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的_ 内心_。三角形叫做圆的外切三角形，内心_是三角形各内角平分线____的交点， 2、三角形的内心到三角形各边的距离相等。 C A 【针对性练习 2】3、在⊿ABC 中，∠A=50°，（1）若点 O 是⊿ABC 的外心，则∠BOC= . （2) 若点 O 是⊿ABC 的内心，则∠BOC= . P O 4、从圆外一点向半径为 3 的圆作切线，已知切线长为 6，•则这点到圆心的距离为。【巩固练习】5、如图 3，PA、PB 是⊙O 的切线，切点为 A、B，BC 为⊙O 的直径，连接 AB、AC、OP。

切线长定理导学案

第三章圆《切线长定理》教学设计说明一、教学目标是：1. 使学生理解切线长定义.2. 使学生掌握切线长定理，并能初步运用.二、教学设计分析本节课设计了六个教学环节：一、创设情景，引入新课→二、合作学习，探究新知→三、应用新知，体验成功→四、梳理小结，盘点收获→五、延伸思考，提升层次→六、推荐作业，巩固拓展.第一环节创设情景，引入新课活动内容：问题:有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?这里让学生们小组讨论,那么,该如何测量这个锅盖的半径呢?学生们众说纷纭,可能会利用90°的圆周角所对的弦是直径来作答,也有可能会利用曲尺的两边与圆构造正方形来解答, 哪一种方法更好呢?教师引导学生发现A 、B 分别为⊙O 与PA 、PB 的切点，连结OB,OA,则四边形OBAP 是正方形,所以，圆的半径为A 点或B 点的刻度，PA=PB.如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA=PB ？第二环节合作学习，探究新知（一）、切线长定义ABOPABOPC D1、板书定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段的长度叫做圆的切线长2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句.（线段的长叫做切线长）（2）定义中的“线段”具有什么特征？① 在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点.3、在图形中辨别：（1）已知：如图1，PC 和⊙O 相切于点A ，点P 到⊙O 的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA ）图1PAOBOAP图2（2）已知：如图2，PA 和PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，点P 到⊙O 的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA 或线段PB ）（3）如图2，思考：点P 到⊙O 的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？（4）既然点P 到⊙O 的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题1，从而进入定理教学. （二）、切线长定理：1、探索问题1：从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，那么线段PA 和PB 之间有何关系？探索步骤：（1）根据条件画出图形；（2）度量线段PA 和PB 的长度；（3）猜想：线段PA 和PB 之间的关系；（4）寻找证明猜想的途径；（5）在图3中还能得出哪些结论？并把它们归类.（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由.3、剖析定理：（1）指出定理的题设和结论；（2）用符号语言表示定理：∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，点A 、B 分别为切点，（PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ）∴PA=PB ，∠APO=∠BPO. (3)切线和切线长区别.切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，而切线长是线段，指过圆外一点做圆的切线，该点到切点的距离.活动目的：此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也使学生了解切线长与切线的关系，4.拓展：（1）图3是轴对称图形吗？如图4，连结图3中的两个切点AB 交OP 于点C ，OP 所在的直线交⊙O 于点D 、E ，又能得出什么结论？并把它们分类.（2）如图5，已知⊙O 的两条切线互相平行，A 、B 两点为切点，如果连接两切点AB ，则AB 是⊙O 的直径吗？数学来源于生活，又应用于生活，请同学们再思考下，它们在我们的日常生活中各有什么应用？答：⑴图3是轴对称图形，连接AB ，结论① △PAB 是一个等腰三角形，并且存在等腰三角形的三线合一定理.②AB ⊥OP ，出现了圆的垂径定理.,AD BD AE BE ==图3OPB A⑵AB 是⊙O 的直径.我们的日常生活中,球放在墙角，V 形架中放入一个圆球等.如图7 可以应用于解决日常生活中测量球体的直径.图7FEDCBAO（4）如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？.图8OO O（5）老师有一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能最大？答：只要作出这个三角形的内切圆便是这个三角形中取出的用料. 活动目的：此环节让学生指出切线长定理的题设和结论，并让学生熟练掌握定理的三种几何语言（符号语言、文字语言、图形语言）的表示.学生在总结出切线长定理的同时，又通过观察图形发现了圆心和这一点的连线为圆的对称轴，利用对称性还可得到更多的边等、角等、弧等的结论.接着让学生观察三角图4OPEDCBAO图5EB FA形的内切圆从而发现其中也存在切线长定理.问题的引入自然流畅，层层递进不仅符合学生认知规律，也激发了学生进一步研究的兴趣，达成本节课知识目标的教学.最后，通过在三角形铁皮上裁下一个最大的圆的实际问题的探究，帮助学生从实际中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题，提高他们数学的应用意识和解决问题的能力.（三）圆的外切四边形的性质.请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O 的四条切线，再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证.图9ODCBA结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.活动目的：学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，总结的出圆外切四边形的性质，学生再次应用本节核心知识发现新的结论.这样教学，教师不只是让学生“见到树木，也看到了他们所在的森林”.第三环节应用新知，体验成功活动内容： (一)例题学习1.例题：已知如图，Rt △ABC 的两条直角边AC =10，BC =24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F ，求⊙O 的半径.例题1图AFBDE OC变式一：由于切线长定理的运用是本节的难点，为了化解难点，在例题完成后，将例题加以变式训练，将 Rt △ABC 变为一般△ABC .即：课本96页知识技能第2题已知：如图5，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA,AB 分别相切于点 D ，E ，F ，且AB =9cm,BC =14cm,CA =13cm,求AF,BD,CE 的长.第2题OFED CB A变式二：在变式一完成后，将变式一再加以变式训练，将切线AC 平移到圆的另一侧，即知识技能第1题例1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 与PB 分别⊙O 切于A 、B 两点，DE 也是⊙O 的切线，切点为C ，PA =PB =5cm ，求△PDE 的周长.让学生分析问题后，提出问题：1、从图中可得出哪些结论？请说明理由.2、求△PDE 的周长时，应如何利用已知条件？提出引导问题的目的让学生对所学的知识加以归纳，形成知识系统，问题2是解决本题的关键，可以引导学生寻找思路，请一学生板演完成此题，并让学生进行题后小结.活动目的：本环节利用由简入深的变式，充分发挥学生的主体地位，加深学生对本课内容的学习与了解，加强数学思想的渗透力，从而提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通！（二）巩固练习1.填空：如图10，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，（1）若PB =12，PO =13，则AO = （2）若PO =10，AO =6，则PB = ；（3）若PA =4，AO =3，则PO = ；PD = ；OA BD CE PD图10O PB A2.已知,如图10，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，PO 与⊙O 相交于点D ，且PA =4c m,PD =2cm.求半径OA 的长.现在让我们回到锅盖的半径问题上，如何解决这个问题呢？3.为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，若测得PA =5cm ，则锅盖的半径长是多少？（引导学生连结OA 、OB 、OP ，利用切线长定理解答）第四环节梳理小结，盘点收获活动内容：1、你的学习心得、体会是什么？2、你有哪些好的经验可推广？3、你还存在哪些困难、疑问？提醒学生注意由切线长可得到一个等腰三角形．这一点和圆心的连线不但平P A B O分两切线的夹角，还垂直平分两切点间的线段．让学生自由提问，同时也可利用这个机会，辅导有困难的学生，从而使每个学生都能达标.第五环节延伸思考，提升层次活动内容：这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切线呢？这些问题有待于我们课后去研究 .第六环节推荐作业，巩固拓展活动内容：A 层：1.已知：如图5，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，（1）图中共有几对相等线段？（2）若AF =4，BD =6，CE =8，则△ABC 的周长是；（3）若AB =9，BC =15，AC=12，则AF = ，BD = ，CE = .第1题OFED CB A 第2题图2.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 是AB 上任意一点，过C 作⊙O 的切线，交PA 及PB 于D 、E 两点，已知∠P =50°，PA=PB=6cm ，则∠DOE = ，△PDE 的周长是 . B 层：1、如图，过⊙O 外一点作⊙O 的切线PA 、PB ，A 、B 为切点，C 为AB 上一点，设∠APB =α . 求证：∠ACB =α2190+︒.APCOA B PDOEC分析：本题主要运用切线的性质和圆周角定理及四边形的内角和进行解答. 2．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，PO 交AB 于E ，等式①AE =BE ；②AO 2=OE ·OP ；③∠OAB =21∠APB ；④PA =PB 中，成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个BOAPE。

新人教版九年级数学上册24.2.2切线的判定导学案

优质文档新人教版九年级数学上册24.2.2切线的判定导学案学习目标：1.理解切线的判定定理的内容和推出过程；2.会用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线. 学习重点：切线判定方法的应用难点：两种判定方法的区别一、预习导学：1．圆的直径是15cm ，如果圆心到直线的距离分别是（1）5.5cm （2）7.5cm (3)8cm 那么直线和圆的位置关系分别是（1）（2）（3）简记 2．你有哪几种方法判断一条直线是圆的切线？二、学习研讨：1．作图：在⊙O 中，经过半径OA 的外端点A 作出直线l ，并且使直线l ⊥OA ，已知OA=2cm 。

思考：（1）圆心O 到直线l 的距离是多少？（2）直线l 和⊙O 有什么位置关系？为什么？ 2．由此得切线的判定定理：此定理包含两个要素：（1）直线过（2）直线垂直于以上图为例，此定理的推理形式为： 3．总结：到此为止学习的切线的判定方法共有（1）（2）（3）例题如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，求证：直线AB 是⊙O 的切线.练习：已知O 为∠BAC 平分线上一点，OD ⊥AB 于D ，简记OOA以O 为圆心，OD 为半径作⊙O 。

求证：⊙O 与AC 相切.三、课堂小结：若证直线是圆的切线①当该直线过圆上一点时，则连接，再证， ②当没有指明该直线过圆上一点时，则过作，再证。

四、当堂达标已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，AC ＝CD ，点C 在圆上，∠CAB ＝30°，求证：DC 是⊙O 的切线.五、学后反思 .BCDOAOBDC。

人教版九年级上册数学导学案：24.2.2切线长定理

切线长定理导教案学习目标 :认识切线长的观点 ,掌握切线长定理并能应用 .学习过程 :一.自主学习自学课本 93 页,解决以下问题 :1. 如图 :从圆外一点 P 作圆 O 的切线 ,能够作条.并画出切线 .2.什么叫切线长 ?3.如上图指出点 P 到圆 O 的切线长O4.切线和切线长有什么差别 ?二.导学沟通：合作研究切线长定理如图， PA、PB 为⊙O 的两条切线，切点分别为A、B猜想 : PA、PB 有何关系？∠APO 和∠ BPO 有何关系？证明 :概括切线长定理：文字语言：A符号语言：三．当堂检测：O1，如下图， PA，PB 是⊙ O 的切线，且∠ APB=40°，以下说法不正确的选项是（）BA．PA=PB B．∠ APO=20° C．∠ OBP=70° D．∠ AOP=70°1题2题3题PP P2，如图，PA、PB 是⊙ O 的两条切线， A 、B 是切点，若∠ APB=60°，PO=2，则⊙ O 的半径等于 ______．3．如图，从圆 O 外一点 P 引圆 O 的两条切线 PA，PB，切点分别为A，B．假如∠ APB=60°，PA=8，那么弦 AB 的长是（）C． 4D． 8家庭是少儿语言活动的课本、报刊重要环境，杂志中的成为了与家长语、名言警配合做好幼句等俯首皆A．4B．8儿阅读训练是,但学生写工作，孩子作文运用到一入园就召文章中的甚开家长会，少,即便运用给家长提出也很难做到初期抓好幼恰到好处。

儿阅读的要为何?还求。

我把幼是没有完全儿在园里的“记死”的缘阅读活动及故。

要解决阅读状况及这个问题,方时传达给家法很简单,每长，要求孩天花3-5分子回家向家钟左右的时长朗读儿间记一条成歌，表演故语、一则名事。

我和家言警语即长共同配可。

能够写合，一道训在后黑板的练，少儿的“累积专栏”阅读能力提上每天一换,高很快。

能够在每天课前的 3分钟让学生轮流解说 ,也可让学生个人收集 ,每天往笔录本上抄写,教师按期检查等等。