高考数学选择题解题技巧(按方法编排)

高考数学选择题解题技巧专题复习选择题在高考试卷中所占比例较大，具有题小、量大、基础、快速、灵活的特征.所以选择题解答的好坏，直接影响到整份试卷的得分情况.下面对高考选择题的解法作一些归纳，以期对同学们有所帮助.一、解答选择题的基本策略高考数学选择题的特点是：①提供了供选择的多个选择支(只有一个正确项)；②不要求写出解答过程；③对解题速度有更高的要求.所以解答选择题的基本策略是尽量“不择手段”的采用最简捷方法快速准确的作答，一是要充分挖掘各选择支的暗示作用，二是要巧妙有效的排除迷惑支的干扰.快速解答选择题要靠基础知识的熟练和思维方法的灵活以及科学、合理的巧解，应尽量避免小题大做，否则将导致后面的解答题没有充裕的时间思考而后悔惋惜.二、选择题常用解题方法由于高考数学选择题四个选项中有且只有一个结论正确，因而解选择题大体上不外乎是沿着以下两个途径思考：一是否定3个结论；二是肯定一个结论.第一课时1.直接法：从题设条件出发，运用数学知识通过推理或计算得出结论，再对照各选项作出判断的方法称为直接法.直接法的思路是肯定一个结论，是将选择题当作解答题求解的常规解法.对一些为考查考生的逻辑推理能力和计算能力而设计编拟的定量型选择题常用直接法求解.例1：设F 为抛物线24y x =的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则||||||FA FB FC ++等于()A.9B.6C.4D.3解：焦点F(1,0)，设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则由FA FB FC ++=0得1231110x x x -+-+-=，即1233x x x ++=.而||||||FA FB FC ++可转化为A、B、C 三点到准线的距离，即||||||FA FB FC ++=123111x x x +++++=6.故选B.评析：本题考查抛物线及向量的基本知识，解题的关键是将向量运算转化为坐标运算，再结合抛物线的性质将点到焦点的距离转化为点到准线的距离.◆例2：已知定义域为R 的函数f(x)在区间(8,)+∞上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则()A.(6)(7)f f > B.(6)(9)f f > C.(7)(9)f f > D.(7)(10)f f >解1：∵(8)y f x =+为偶函数，∴(8)y f x =+图像关于y 轴对称，而(8)y f x =+的图像是由()y f x =向左平移8个单位所得，所以()y f x =的图像关于x=8对称，因为f(x)在区间(8,)+∞上为减函数，所以(6)(10)f f =＜(9)(7)f f =，故选D.解2：∵(8)y f x =+为偶函数，∴(8)(8)f x f x -+=+，所以()y f x =的图像关于8x =对称，以下同解法1.评析：求解抽象函数不等式要注意三点：1.要确定函数的定义域，必须使每一个函数都有意义；2.不等号两边必须是“f(x)”型；3.确定函数的单调性.本题的对称轴作用就是确定“等值”，到对称轴等距离的点的函数值相等.通过本题要体会到考题对于基础知识考查和应用可谓是“细致入微”.2.筛选法(排除法)：当题目题设条件未知量较多或关系较复杂，不易从正面突破，但根据一些性质易从反面判断某些答案是错误的时候，可用筛选法排除不正确的选项，得到正确答案.筛选法思路是否定三个结论，有些问题在仔细审视之后，凭直觉可迅速作出筛选.◆例3：函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是A.2(,)33ππ B.(,)62ππ C.(0,3π D.(,)66ππ-解：2()cos (1cos )f x x x =-+=2cos cos 1x x --,则1()624f π=--＞()3f π=54-，排除B；(0)1f =-＞()3f π=54-，排除C；(0)1f =-＞1()624f π=--，排除D.故选A.评析：本题是一道小型综合题，若用直接法求解则耗时费力，而用筛选法则是明智的选择.◆例4：已知两点5(1,)4M ,5(4,4N --,给出下列曲线方程①4x+2y-1=0;②223x y +=;③2212x y +=;④2212x y -=，在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是()A.①③B.②④C.①②③D.②③④解：12MN k =，MN 的中点坐标为3(,0)2-，则满足|MP|=|NP|的方程l ：32(2y x =-+，即l ：210x y ++=，显然它与①平行而无交点，应排除A、C；而根据B、D 选项可知l 与②④一定有公共点，故只要判断l 与③是否有公共点即可，而易判断l 与③有公共点，选D.例5：如图所示，OM∥AB，点P 在由射线OM，线段OB 及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)，且OP xOA yOB =+，则实数对(x,y)可以是()A.13(,44B.22(,33-C.13(,)44-D.17(,55-解：OA 、OB 、OP满足平行四边形法则，故x＜0时，点P 在阴影部分，排除A；将三组点的坐标代入，分别在平面内确定点P 的位置，实际上为方向及长度，如23OA - 与OA 反向，模为||OA 的23的向量.作图可排除B、D.故选C.3.特例法：有些选择题涉及的数学问题具有一般性，而提供的选择支往往互相矛盾(即任意两个选择支不能同时成立)，这类选择题要严格推证比较困难，此时不妨从一般性问题退到特殊性问题上来，通过取适合条件的特殊值、特殊图形、特殊位置等进行分析，往往能简缩思维过程、降低难度而迅速得解.◆例6：若0＜x＜2π，则下列命题中正确的是()A.sinx＜3x π B.sinx＞3x π C.sinx＜224x π D.sinx＞224xπ解：取特殊值x =6π代入验证，可立即排除A、B、C 而选D.例7：(2007年辽宁卷)已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当x=0时的函数值为0，且()f x ≥()g x ，那么下列情形不可能出现的的是()A.0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值；B.0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值；C.0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值；D.0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值.解：取2()f x x =-与2()2g x x =-适合条件，但0是()f x 与()g x 的极大值，故A 可以出现，排除A；取2()2f x x =与2()g x x =适合条件，则0是()f x 与()g x 的极小值，故OABM PB 可以出现，排除B；取()2||f x x =与()g x x =满足题意，则0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值，故D 可以出现，排除D.所以选C.评析：上述两题中的结论都具有一般性，若直接求解则繁琐且易错，而通过特例法则能迅速作出判断，大有四两拨千斤之效，对考生的直觉思维能力和策略创造能力是一个很好的检测.◆例8：若f(x)和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程[()]0x f g x -=有实数解，则[()]g f x 不可能是()A.215x x +-B.215x x ++C.215x -D.215x +解1：设0x 为方程[()]0x f g x -=的一个实根，则00[()]f g x x =，设00()g x t =，则00()f t x =，所以000()[()]g x g f t t ==，即00[()]0g f t t -=，这说明方程[()]0g f x x -=至少有一个实根0t ，而对于选项B，当21[()]5g f x x x =++时，方程215x x x ++=无实根，故选B.解2：特殊函数法.令()f x x =，即可把题意改写为()0x g x -=有实数解，()g x 不可能是哪个式子.A、C、D 均可使()0x g x -=有实数解，只有B 不能使()0x g x -=有实数解，故选B.例9：如图，O,A,B 是平面上三点，向量OA =a ,OB=b .在平面AOB 上，P 是线段AB 垂直平分线上任意一点，向量OP=p ,且|a |=3,|b |=2,则p ⋅(a -b )的值是()A.5B.52C.3D.32解：∵P 是线段AB 垂直平分线上任意一点，不妨设P 在AB 的中点上，所以有OP =p =12(a +b ),∴p ⋅(a -b )=221(||||)2a b - .∵|a |=3,|b |=2,∴p ⋅(a -b )=52.选B.OPAB b ap例10：过抛物线2y ax =(0)a >的焦点F 作一直线交抛物线于P,Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p,q,则11p q+等于()A.4aB.2aC.aD.12a 解：若用常规方法，运算量很大，不妨设PQ∥x 轴，则12p q a ==，∴11p q+=4a .故选A.第二课时4.数形结合法：对于一些具有几何背景的数学问题，如能构造出与之相应的图形进行分析，往往能在数形结合、以形助数中获得形象直观的解法.◆例11：设()f x =()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[0,)+∞，则()g x 的值域是()A.(,1]-∞-∪[1,)+∞B.(,1]-∞-∪[0,)+∞C.[0,)+∞D.[1,)+∞解：画出()f x 的图象如图，要使()y f μ=的值域为[0,)+∞，则μ可取(,1]-∞-∪[0,)+∞.又()g x μ=是二次函数，其图像是开口向上或向下的抛物线，故()g x 的值域不可能同时取(,1]-∞-和[0,)+∞，再结合各选项知只能选C.评析：本题考查复合函数的定义域、值域、图像和性质，对考生分析解决问题的能力要求较高.结合图形能形象直观的迅速得解，但注意淘汰掉(,1]-∞-是正确解答的突破口.◆例12：若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为m ,则m 的取值范围是()A.(1,2)B.(2,+∞)C.[3,)+∞ D.(3,+∞)解1：数形结合：因为钝角三角形三内角的度数成等差数列，所以其x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1，1–11–1yxo600中一个角为060，如图，当三角形为直角三角形时，2m =,所以当三角形为钝角三角形时，有2m >.选B.解2：应用极限思想：设三内角060A θ=-，060B =，060C θ=+0(060)θ<<.090C →，则030A →，从而sin sin c C a A =→2，又因为090C >时，030A <，从而2c a>，选B.5.验证法：将题目所提供的各选择支或特值逐一代入题干中进行验证，从而确定正确的答案.有时可通过初步分析，判断某个(或某几个)选项正确的可能性较大，再代入检验，可节省时间.◆例13：(2007年全国卷Ⅰ)下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于表示的平面区域内的点是()A.(1,1)B.(1,1)- C.(1,1)-- D.(1,1)-解：将点(1,1)代入1x y +-中得1+1-1=1＞0，排除A；将(-1,1)代入1x y -+得-1-1+1=-1＜0，排除B；D 中的点(1,-1)到直线10x y -+=≠2，故排除D.正确选项为C.例14：数列{}n a 满足11a =，223a =，且11112n n na a a -++=(n≥2)，则n a 等于()A.21n + B.123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭C.23n⎛⎫ ⎪⎝⎭D.22n +解：先代入求得312a =，再对照给出的选择支，分别验证11a =，223a =，312a =即可得出结论，选A.6.估算法：有些问题不易(有时也没有必要)进行精确的运算和判断，则可以进行粗略估算.估算是一种数学意识，它以正确的算理为基础，通过合理的观察比较、猜想推理或验证，从而作出正确的选择.例15：如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF∥AB,EF=32,EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为()x +y –1＜0x –y +1＞0BACD EFA.92B.5C.6D.152解：连BE、CE，则ABCDEF V =E ABCD V -+E BCF V -.又E ABCD V -=1923⨯⨯=6，所以ABCDEF V ＞6.而在选择支中，只有152＞6，故选D.7.特征分析法：通过对题干和选择支的关系进行分析，挖掘出题目中的各种特征，如结构特征、数字特征、取值范围特征、图形特征、对称性特征、整体特征等，从而发现规律，快速辨别真伪.◆例16：四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为1234,,,h h h h ，则它们的大小关系正确的是()A.2h ＞1h ＞4hB.1h ＞2h ＞3hC.3h ＞2h ＞4hD.2h ＞4h ＞1h 解：根据酒杯特征进行定性分析.前面三个酒杯都是上大下小，故饮酒一半后所剩酒的高度应该都在中点以上，且下方越小，所剩酒的高度就越高，第四个酒杯饮酒一半后所剩酒的高度正好在中间，故选A .评析：本题考查几何体的体积与高度的关系，情景新颖，对观察能力、分析探究问题的能力是一个很好的检测.◆例17：如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是()A.点H 是△1A BD 的垂心B.AH 垂直平面11CB D C.AH 的延长线经过点1C D.直线AH 和1BB 所成的角为045解：由A—1A BD 和111C B D C -都是正三棱锥，且平面1A BD ∥平面11B D C 知，若A 成立，必有B、C 成立，即A B C ⇒⇒；反之，也有C B A ⇒⇒.A BCDB 1C 1D 1A 1H所以A B C ⇔⇔，故可排除A、B、C，选D.例18：设△ABC 的三边a 、b、c 满足等式cos cos cos a A b B c C +=，则此三角形一定是()A.以a 为斜边的直角三角形B.以b 为斜边的直角三角形C.等边三角形D.其它三角形解：观察题设可看出等式是关于a 、A 与b、B 的对称式，于是选择支A、B 等价，可同时排除；又若C 正确，则原式即为2=1，于是又排除C，故只有选D.评析：以上两例中抓住各选择支的蕴含与等价关系的特征，根据逻辑原理进行筛选.因高考选择题四个结论中只有一个正确，①若选择支满足关系式甲⇒乙，则可排除甲；②若选择支甲与乙等价，则可同时排除甲、乙；③若选择支中甲与乙对立矛盾，则甲和乙必一真一假，可排除其余的选择支.8.利用极限思想：极限思想是一种基本而重要的数学思想.当一个变量无限接近一个定量，则变量可看作此定量.对于某些选择题，若能恰当运用极限思想思考，则往往可使过程简单明快.◆例19：已知01x y a <<<<，则有()A.log ()0a xy < B.0log ()1a xy << C.1log ()2a xy << D.log ()2a xy >解：当x a -→时，由题意y a -→，此时2xy a →，log ()2a xy →，可排除A、B；当0y +→，由题意0x +→，此时0xy +→，又01a <<，则log ()a xy →+∞.故选D.例20：P 是双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右分支上一点，1F 、2F 分别是左右焦点，且焦距为2c，则△12PF F 的内切圆圆心的横坐标为()A.aB.bC.cD.a b c+-解：当点P 沿双曲线向右顶点无限接近时，△12PF F 的内切圆越来越小，直至“点圆”，此“点圆”应为右顶点，内切圆圆心的横坐标为a ，故选A.评析：上述两题虽然与极限无关，但用运动变化的观点，灵活的用极限思想来思考，避免了复杂的运算，优化了解题过程，降低了解题难度.例21：正三棱锥S —ABC 的底面边长是2a ，E 、F 、G 、H 分别是SA 、SB 、BC 、AC 的中点，则四边形EFGH 面积的取值范围是()SABCEFG HA.(0,+∞)B.2(,)3a +∞C.2,)6a +∞ D.21(,)2a +∞解：易知四边形EFGH 是平行四边形，考虑顶点S 的两种极限状态.①当顶点S →底面正△ABC 的中心O 时，则EFGH S=23a (如图2所示，俯视图).②当顶点S →无穷远处时，EFGH S →+∞.故选B.要利用最优化思想处理选择题，如果对每一道选择题都能采用简捷的方法来解，则可以节省很可观的时间用于后面解答题的求解.所以要对选择题的解法不断进行总结，努力掌握灵活多样的解法，提高解题能力，这样才能在高考中取得好成绩.ABCSHEFG 图2。