知识点32 洛必达法则求极限

极限不能用洛必达法则.
(B)由于 lim x( arctan x) lim 2
x

arctan x 1 x
2
x
lim

x
1 1 x 2 1 ，极限可用洛必达 1 2 x
法则求出. (C)由于 lim
1 cos x ( x sin x) ' 1 cos x ，而 lim 不存在，因此(C)中极限不 lim x x 1 cos x ( x sin x) ' 1 cos x
x 0
解析：本题属于求“ ”型极限，先通分化为“ ”型极限，再利用等价无穷 小代换与洛必达法则求解即可.
1 cos 2 x x 2 sin 2 x cos 2 x lim 解： lim( 2 2 ) lim x 0 sin x x 0 x 0 x x 2 sin 2 x 1 2 x sin 4 x 1 cos 4 x 2 lim lim 3 x 0 x 0 4x 6x2 1 (4 x) 2 4 lim 2 2 . x 0 6x 3 1 x 2 sin 2 2 x 4 x4
= eln 9 9 .
1 ln 1 x 例32.5(难度系数0.2) 求极限 lim . x arc cot x 0 解析：本题属于“ ”型极限，通过等价无穷小代换和洛必达法则求解即可. 0
1 1 2 2 x x lim 1 x 1 . 解：原式 lim lim x arc cot x x x 1 x2 2 1 x
1 2 3 2ln 3 ln 9 ， ln 3 lim x x 1 1 3
x
所以 lim (3 9 ) = lim e
x x x
1 x x
1 ln(3x 9c ) x
=e
x
lim
ln(3x 9 x ) x
x x 1 1 ln(3x 9c )
”型极限后利用洛必
=e
x
lim
ln(3x 9 x ) x
，
ln(3x 9 x ) 3x ln 3 9 x ln 9 3x 2 9 x lim lim ln 3 x x x x 3x 9 x 3x 9 x lim

x
1)
e0 1 .
1
例32.12(难度系数0.2) 求 lim x
x 0+
ln( e x 1)
.
”型极限利用等价无
解析：本题属于“ 00 ”型极限，通过 u v ev ln u 换底，化为“ 穷小代换和洛必达法则求解即可.
1 x ex e x 1
1
解： lim x
x 0
ln 2 x 2 1) ln x = lim x ln x lim lim x 0 x 0 x 0 1 x
2ln x 1 x2
1 x
1 ln x x 0. = 2 lim 2 lim x 0 x 0 1 1 x x2
则 lim x ( x
x 0
x
2
(C) lim
x sin x x x sin x
(D) lim
x sin x x x2
1 1 1 ( x 2 sin ) ' 2 x sin cos x lim x x ， lim cos 1 不存在，因此对(A)中 解析：(A)由于 lim x 0 x 0 (sin x ) ' x 0 x cos x
0 0
4
arctan 1 x
1 1
1 1 arctan x lim 4 1 t t 0 t
lim
t 0
1 1 1 1 2 (1 t ) 2 2 1 ( ) 1 t
x
例32.11(难度系数0.4) 求极限 lim x ( x
x 0
1)
.
”型极限利用等价无
解析：本题属于“ 00 ”型极限，通过 u v ev ln u 变换，化为“ 穷小代换和洛必达法则求解即可.
解： lim x ( x
x 0

x
1)Βιβλιοθήκη Baidu
lim e( x
x 0
x
1) ln x
.
x 0
lim ( x x 1) ln x lim (e x ln x
x 0
x
能用洛必达法则求出. (D)由于 lim x 2 ，而 lim x sin x 不存在，因此(D)中极限也不能用洛必达法
x
x
则求出.故应选(B).
注：不能用洛必达法则求出的极限未必就不存在，本例的三个不能用洛必达 法则计算的极限可用其他方法计算：
1 x lim x lim x sin 1 1 0 0 . (A) lim x 0 sin x x 0 sin x x 0 x x 2 sin sin x x sin x x 1 .(D) lim x sin x lim sin x lim 1 sin x 0 . (C) lim lim x x x x x x sin x x sin x x2 x 1 x 1
0 0
lim
1 1 x 2 cos x (1 x 2 ) cos 2 x 1 1 x 2 cos x lim lim x 0 cos 2 x 1 x 2 x 0 x 0 sin 2 x x 2 1 x2
1 (1 x 2 ) cos 2 x 1 1 sin 2 x x 2 cos 2 x . lim lim x 0 x 0 sin 2 x x 2 2 x 0 sin 2 x x 2 1 1 x 2 cos x
0 0
例32.8(难度系数0.4) 若 lim
x 0
(A)0
(B)6
sin 6 x xf ( x) 6 f ( x) 0 ，则 lim 的值为( ). 3 x 0 x x2 (C)36 (D)
解析：将所求极限通过添加变量使其出现已知极限，然后再利用洛必达法则 ，求解过程如下：
lim 6 f ( x) 6 x xf ( x) 6 x sin 6 x xf ( x) sin 6 x lim lim 2 3 x 0 x 0 x 0 x x x3 lim 6 x sin 6 x xf ( x) sin 6 x 6 x sin 6 x 0 6 6cos 6 x lim lim lim 3 3 3 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x 3x 2 3(6 x) 2 lim 36 . x 0 3 x 2
+
ln( e x 1)
e
x 0+ ln( e
lim
ln x
x
x 0 +
lim
1)
e
e
x 0 +
lim
e x 1 xe x
e x0+ xe e x0+ e e .
x x
lim
x
lim
0
解：(C). 例32.9(难度系数0.4) 设 lim
ln(1 x) (ax bx 2 ) 2 ，则( ). x 0 x2
5 2 5 (C) a 0, b 2
(A) a 1, b
(B) a 0, b 2 (D) a 1, b 2
解析：对已知极限利用洛必达法则求解可得
1 a 2bx ln(1 x) (ax bx ) 1 x ， 2 lim lim x 0 x 0 x2 2x
2 0 0
由此可见 lim(
x 0
1 a 2bx) 1 a 0 ，故 a 1 ； 1 x
1 1 1 2b a 2bx a 1 1 2bx 0 0 1 2b (1 x) 2 1 x 1 x lim 又 2 lim ，则 lim x 0 x 0 x 0 2 2 2x 2x 5 b . 2
0 0
例32.3(难度系数0.4) 求极限 lim
x 0
arcsin x sin x . arctan x tan x
解析：本题属于“ ”型极限，先利用洛必达法则求解，整理后再利用分式有理 化即可.
cos x 2 arcsin x sin x 1 x 解： lim lim x 0 arctan x tan x x 0 1 1 2 1+x cos 2 x 1
解析：本题属于“ ”型极限，两次利用洛必达法则求解即可. 解： lim
e x esin x cos x 0 e x esin x cos 2 x esin x sin x e x esin x 0 lim lim x 0 x 0 x 0 x sin x 1 cos x sin x 0 x sin x 3 0 e e cos x 3esin x sin x cos x esin x cos x lim 1 . x 0 cos x
解：(A).
x 例32.10(难度系数0.2) 求极限 lim x arctan . x 4 x 1
解析：本题属于“ 0 ”型极限，将其转化为“ ”型极限，利用倒代换，结合洛 必达法则求解即可.

x 解： lim x arctan lim x x 1 x 4
n2
1 例32.6(难度系数0.2) 求极限 lim n tan . n n
解析：将数列极限的问题转化为函数极限的问题，再利用倒代换、重要极限 以及洛必达法则求解即可.
1 解： lim x tan x x
1
x2
（倒代换 t ）

sec2 t 1 3t 2
e
tan 2 t lim 2 t 0 3 t
e 3 ， （洛必达法则）
n2
1
1 1 根据函数极限与数列极限的关系,得 lim n tan e 3 . n n
例32.7(难度系数0.2) 求极限 lim
0 0
e x esin x . x 0 x sin x
lim
sin 2 x cos 2 x 2 1 1 x lim 2 x 0 sin x 2 2 1 x2
例32.4(难度系数0.2) 求 lim (3x 9 x ) x .
x
1
解析：本题属于“ 0 ”型极限，通过 u v ev ln u 换底，化为“ 达法则求解即可. 解： lim (3x 9 x ) x = lim e x
解：(B). 温馨提示:对于洛必达法则,需要注意“瞻前顾后”，“瞻前”指在用前确认是“ ”或“
”未定式,不是以上未定式不能用, 0 0
“顾后”指的是用后极限存在或为 ,否则失效.
1 cos 2 x ). 2 sin x x2
例32.2(难度系数0.2，2004年数学二真题) 求 lim(
tan t t t3
1 x
t tan t t tan t t tan t t lim tlim 1 t 0 0 t t
2
（第二个重要极限）
e
t 0
lim
tan t t t3
e
t 0
lim
学科：高等数学
第三章 微分中值定理与导数的应用
知识点32
相关概念、公式定理或结论
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洛必达法则求极限
定义 ** 定理 ** 结论 **
考频：5
知识点32 配套习题
例32.1(难度系数0.4) 下列极限中能用洛必达法则的有( ).
x 2 sin sin x 1 x
(A) lim
x 0
(B) lim x( arctan x)