(整理)微积分习题之无穷级数
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[填空题] 1．数项级数
∑∞
=+-1
)12)(12(1n n n 的和为 21
。 2．数项级数∑∞
=-0
)!2()1(n n
n 的和为 1cos 。
注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是
将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。
3．设1))1((lim ,1,01
=->>∞
→n n
p
n n a e n p a 且，若级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，则p 的取值范围是
),2(+∞。
分析：因为在∞→n 时，)1(1
-n
e 与n
1是等价无穷小量，所以由1
))1((lim 1
=-∞→n n p
n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与1
1-p n
是等价无穷小量。由因为级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，故
∑∞
=-1
1
1
n p n
收敛，
因此2>p 。
4．幂级数∑∞
=-0
2)1(n n n
x a
在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。
分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径为1。由因为在
0=x 时，级数∑∑∞
=∞
==-0
02)
1(n n n n
n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。
5．幂级数∑∞
=-+12)
3(2n n
n
n x n 的收敛半径为 3。
分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因为
22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n n
n
n n n n n =-+-+++++∞→，
所以，根据比值判敛法，当3
6．幂级数
n
n n x n n ∑∞
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+2
2
1ln 1
的收敛域为 )1,1[-。 分析：根据收敛半径的计算公式，幂级数
n
n x n n ∑∞
=2
ln 1收敛半径为1，收敛域为)1,1[-；幂级数
n
n n
x ∑∞
=2
2
1
收敛域为)2,2(-。因此原级数在)1,1[-收敛，在），）21[1,2( --一定发散。有根据阿贝尔定理，原级数在),2[]2,(+∞--∞ 也一定发散。故应填)1,1[-。
7．已知),(,)(0
+∞-∞∈=
∑∞
=x x a
x f n n n
，且对任意x ，)()(x f x F ='，则)(x F 在原点的幂
级数展开式为 ),(,)0(1
1+∞-∞∈+
∑∞
=-x x n a F n n
n 。
分析：根据幂级数的逐项积分性质，及),(,)(0
+∞-∞∈=
∑∞
=x x a
x f n n n
，得
∑⎰∑⎰
∞
=+∞=+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-010
00
1)()0()(n n n x
n n n x
x n a dt t a dt t f F x F ，
故应填),(,)0(1
1+∞-∞∈+
∑∞
=-x x n a F n n
n 。 8．函数x
xe x f =)(在1=x 处的幂级数展开式为 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∑∞=1)1(!1)!1(11n n
x n n e 。
分析：已知∑∞
==
!1n n
x
x n e )),((+∞-∞∈x ，所以 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+--=+-=∑∑∞=∞
=--001
1
)1(!1)1(!1)1(])1[(n n n n
x x x
x n x n x e e
e
x e xe
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∑∞=1)1(!1)!1(11n n
x n n e 。 根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求。
9．已知]1,0[,1)(∈+=x x x f ，)(x S 是)(x f 的周期为1的三角级数的和函数，则
)21(),0(S S 的值分别为 23，2
3
。
10．设⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<-≤≤=,
121
),1(2,210,)(x x x x x f ),(,cos 2)(1
+∞-∞∈+=∑∞
=x x n a a x S n n π，
其中 ),2,1,0(cos )(21
==⎰
n xdx n x f a n π，则=-)25(S 4
3
。
[选择题]
11．设常数0>α，正项级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，则级数
∑∞
=-+-1
2
12)
1(n n n
n a α
[ ]
(A)发散。 (B)条件收敛。 (C)绝对收敛。 (D)敛散性与α的值有关。
答 C 分析：因为
∑∑-==-≤
1
21
1
1
2n k k
n k k a
a
，且正项级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，所以
∑∞
=-1
1
2n n a
收敛。又因为
⎪⎭
⎫
⎝⎛++≤
+---αα
212212121)1(n a n a n n n
， 所以原级数绝对收敛。 12．设),3,2,1()11ln(cos =+
=n n
n a n π，则级数[ ]
(A)
∑∞
=1n n
a
与
∑∞
=1
2
n n
a
都收敛。 (B)
∑∞
=1n n
a
与
∑∞
=1
2n n
a
都发散。
(C) ∑∞
=1
n n
a
收敛，
∑∞
=1
2n n
a
发散。 (D)
∑∞
=1
n n
a
发散，
∑∞
=1
2n n
a
收敛。
答 C
分析：因为)11ln()1()11ln(cos n
n
n a n
n +
-=+
=π，所以级数∑∞
=1
n n a 是满足莱布
尼兹条件的交错级数，因此
∑∞
=1
n n
a
收敛。因为 )1
1(ln 2
2n
a n +
=在∞→n 时与n 1
是等价无