固体物理第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
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*4-6 德.哈斯-范.阿尔芬效应
5.1 准经典运动
晶体中电子的运动严格地讲是量子的，但在这里采取准经典近似。
1. 波包和电子速度：
所有动量和坐标有近似数值，由测不准原理限制。 波包是指该粒子空间分布在r0附近r范围, 动量取值在 k
在量子力学中一个态的经典描述近似成立，用波包来代表该态。
近 k 范围内， k r / 2 ，波包中心r0为粒子的位置， 中心 k 0 称粒子的动量。
1 ( k E ) k 0
线度 2/a, 则波包线度2/ 远大于
原胞尺度，只有在这个限度内把电 子看作准经典粒子。 因子 u (r )
k0 2
只使得波包出现精细结构。
电子看作准经典粒子，其速度为k0时的平均速度。带顶和带 底电子速度为零, 不同于自由电子速度随k增大单调增大。
2. 外力作用下状态的变化和准动量
第五章：晶体中电子在电场和磁场中的运动
在前面四章基本理论的基础上，从本章开始研究晶体的 电学、磁学和光学性质等。后面几章的内容属于专题和应用的 性质。本章从内容上分为： 4-1 准经典运动 4-2 恒定电场电场作用下电子的运动 4-3 导体、半导体和绝缘体的能带论解释 4-4 恒定磁场中电子的运动
*4-5 回旋共振
vk
( k E)k
dt
( k ) F
dk E(k) dv d 1 E(k) 1 1 ( ) ( ) 2 dt dt k dt k k
2 F k k E(k)
2E 2E 2E k 2 k x k y k x k z x vx 1 2E 2E 2E vy 2 2 k y k x k y k z k y v z 2E 2E 2E k k k z k y k 2 z x z
5.4 在恒定磁场中晶体中电子的运动
两种描述方式：（1）准经典理论：图象清晰，分析问题方便 （2）量子理论：给出量子结果, 求解磁场存在时的薛定谔方程, 但存在很大的难度，因为周期性势场的存在使问题复杂！ 1. 恒定磁场中准经典运动 基本运动方程： 1 dk
vk ( k E)k
2 2kz 2m
) ( y )
简化为简谐振动方程：
2 2 m [ 0 2 ( y y0 )2 ] ( y ) ( y ) 2m y 2 2
其中：
qB 0 m
y0 kx qB
kz E 2m
2
2
谐振子的波函数为：
n ( y y0 ) e
Fx Fy F z
与牛顿定律类比：
dv 1 F dt m
二阶张量代替 效质量张量：
m*
2
1
m*
称二阶张量为倒有效质量张量。引入有
若 沿主轴方向， 倒有效质 量对角化，有效质量是张
2E , ,=x,y,z k k
2 2 2
u k0 ( r )e
E( k 0 ) i[ k 0 r t]
2 2
dk x dk y dk z e
2
2 2
2 2 sin u ( r, t) u k0 ( r ) u
sin v v
1 E ( ) k0 t k y
2
sin w 6 w
2
其中
u x
1 E ( ) k0 t k x
v y
w z
1 E ( )k t k z 0
事实：
u
1 1 E [x ( )k t] 2 k x 0
v
1 1 E [y ( )k0 t] 2 k y
组成波包时k限制在
k 2 2
,
波包函数为：
[ 取u k0 k (r) u k0 (r)]
2 2 ( k E)k0 t ik [ r ]
( r, t) 2 dk x 2 dk y 2 dk z k0 k ( r, t)
2. 导体和非导体的模型
部分填充的带，没有外电场平衡时 电流相互抵消，在外电场下分布不对称， 产生电流。 电场不对称的原因? 外电场的方向: E
* 非导体 电子恰好填满最底的一系列能带，再 高的能带全空，非导体分为半导 体和绝缘体，取决于带隙宽度。 *导体 除全部填满的一系列能带，还 存在部分填充能带 * 半金属：导带和价带交叠或导带底价带顶重合 3. 近满带和空穴 1）近满带的电流 满带缺少少量电子，要处理大量电子运动很麻烦，但处理电子 空位就要容易得多。假设只有一个k态没有电子，满带电子的电 流 为零, 显然近满带的电流为k态对应电子电流的负值：即： I=qv(k) 。 近满带的电流相当于带正电q的粒子，速度为空态k 电子速度引起的。这就是所谓空穴的概念！（空的状态）
2 2E / 0 0 2 k x m xx 0 0 2E 0 m yy 0 0 2 / 0 2 k y 0 0 m zz 2E 0 0 2 / 2 k y
量，加速度与外力方向可
无磁场，电子哈密顿量为： H
p2 2 2 2m 2m
B 存在磁场，引进矢量势A， A , 用p+qA取代p, 则波动方程: 1 2
H 2m ( p qA )
如果B沿z轴，矢量势A=(By,0,0), 则： 1 ˆx ˆy ˆ2 H [( p 2 qBy ) 2 p 2 pz ] 2m H中不含x, z，则
以不同，有效质量把周期 性势场的影响包含 在其中。
有效质量在带顶和带底化
为标量。
5.2 恒定电场作用下晶体中电子的运动
以紧束缚近似为例，一维简单近似下：
E i (k ) i J 0 2J1 coska
如果J1>0, k = 0点为带底
k = /a点为带顶 电子速度
v(k ) 1 dE 2 J 1a sin ka dk
外力在dt内对电子做的功为：F v k dt ,引起电子内能的变化为：
k E dk ，则： k E dk F v k dt
将 k E vk
在平行v
代入，得：
d ( k ) F dtv k 0 dt
在垂直方向有类似的关系 ，则
在恒定外力作用下，电子在k 空间做匀速运动，与经典规律相比， 具有动量 k 性质，称准动量，不同于动量，因不是动量算符 的本征值。 基本的方程: 1 d
3. 加速度和有效质量
A. 加速度dv/dt为：
Ee
g
qE
5.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释
1. 满带不导电
v 能带对称性中 En(k)=En(-k) ， k ( k E)k 则：v(k)=-v(-k) 在满带中，每个电子有电流i = -qv(k),但k和-k态电子的电流 抵消，总电流为零。 dk F 一维晶体在外场中，电子在力F=-qE下以相同速度 dt h 在轴上运动，从B.Z.一端移走的电子 从另一端移进，带总是 满带 满带不能导电！ 1
可以简化为谐振子方程： 2 2 1 [ (k x qBy)2 ] ( y ) ( E 2m y 2 2m 及：
2 2kz 2m
) ( y )
2 2 m qB 2 [ ( ) ( k xy y ) 2 ] ( y ) ( E 2m y 2 2 m qB
ˆ p x i x
与
ˆ p z i
z
对易，相应的波函数：
ˆ ˆ px k x , pz kz
总的波函数：
e i ( k
x x kz z )
( y)
代入波动方程：
H E
则，
(y)满足的方程为：
1 ˆy [( k x qBy)2 p 2 2 k 2 ](y) E(y) z 2m
m 0 ( y y0 )2 ] 2
H n ( y y0 )
晶体中用Block波组成波包，包含不同E态，Bloch波表示为：
0
附
k ' ( r , t) e
' E( k ' ) ik [ r t]
u k' ( r )
用k0附近的k组成波包，令k’=k0+k, k很小， E(k’)按k展开：
' E(k ) E(k0 ) k (k E)k0
dI(k ) 1 q {qE [qv(k ) B]} * dt m
空态k 常在满带顶附近，对应电子的有效质量 m*<0, 将上式：
近满带电流的变化相当于带正电荷q具有正效质量为
m*
的
粒子，这个假想的粒子称空穴。电子和空穴通称载流子。空穴 为K空间电子空的状态。不同于晶格中的空位。
2k m
dk q [v(k) B] dt m
回转角频率： qB/ m 0
在实空间电子做螺旋运动。
qB dv x dt m v y qB dv y vx m dt dv z dt 0
2. 近自由电子的量子理论：
2）电磁场的作用 假设向近满带放入一个电子形成满带。电磁场作用下满带电流 dI(k ) d 仍为零，则
作用在k态电子的外力为：F q{E [v(k) B]}
则：
dt
q
dt
v(k )
dI(k) q2 * {E [v(k) B]} dt m
有效质量
d 2 E 1 m* (k ) 2 ( ) 2 dk 2 ( 2 J 1a 2 cos ka) 1
dk F 在恒定电场作用下： dt
１）电子在k空间做匀速运动， 设力沿轴正方向。经典理论中电 子运动限制在带内，E(k)随时间 周期变化 ２）电子速度随时间振荡 ３）m*>0, 外力大于周期 势场的作用，外力使 电子速度增大
dt q(v (k ) B)
分析得：沿磁场方向k分量不变 电子在k空间等能面上运动， E(k)不随时间变化 以自由电子为例： 2k 2
Ek 2m
qB dk x v( k ) dt m k y dk qB y kx 选B沿kz方向， B=(0,0,B),则运动方程： dt m dkz 0 dt Kz保持不变，在Kx—ky平面做匀速圆周运动
m*<0, 外力小于周期势场的作用，电子速度减小
m,外力与周期场作用力相等，加速度为零，电子速度最 大
４）速度振荡意味着电子在实空间振荡
外力作用在周期势场上附加了一部分，发生能带的倾斜。
经典理论中电子在带内跃 迁，在带顶遇到势垒，发 d 生反射，由 A—B—C—A B Eg 相当于电子从带 底—带 顶—带底的运动 振荡现象缘于电子完 成一个周期振荡之前受到散射，难于观察到 量子理论电子有一定几率穿过势垒， Eg 几率: 2 1/ 2 ( 2 mE ) ( )
w
1 1 E [z ( )k0 t] 2 k z
在此，公式中可以没有
！,只是为了表示的方便？
sin x 当x 0, 1 波函数主要集中在u = v = w = 0，即 x
1 波包中心在 r0 ( k E)k 0 t 把波包看作一个粒子，其速度为：
vk 0
前面很小，指远小于布里渊区的
5.1 准经典运动
晶体中电子的运动严格地讲是量子的，但在这里采取准经典近似。
1. 波包和电子速度：
所有动量和坐标有近似数值，由测不准原理限制。 波包是指该粒子空间分布在r0附近r范围, 动量取值在 k
在量子力学中一个态的经典描述近似成立，用波包来代表该态。
近 k 范围内， k r / 2 ，波包中心r0为粒子的位置， 中心 k 0 称粒子的动量。
1 ( k E ) k 0
线度 2/a, 则波包线度2/ 远大于
原胞尺度，只有在这个限度内把电 子看作准经典粒子。 因子 u (r )
k0 2
只使得波包出现精细结构。
电子看作准经典粒子，其速度为k0时的平均速度。带顶和带 底电子速度为零, 不同于自由电子速度随k增大单调增大。
2. 外力作用下状态的变化和准动量
第五章：晶体中电子在电场和磁场中的运动
在前面四章基本理论的基础上，从本章开始研究晶体的 电学、磁学和光学性质等。后面几章的内容属于专题和应用的 性质。本章从内容上分为： 4-1 准经典运动 4-2 恒定电场电场作用下电子的运动 4-3 导体、半导体和绝缘体的能带论解释 4-4 恒定磁场中电子的运动
*4-5 回旋共振
vk
( k E)k
dt
( k ) F
dk E(k) dv d 1 E(k) 1 1 ( ) ( ) 2 dt dt k dt k k
2 F k k E(k)
2E 2E 2E k 2 k x k y k x k z x vx 1 2E 2E 2E vy 2 2 k y k x k y k z k y v z 2E 2E 2E k k k z k y k 2 z x z
5.4 在恒定磁场中晶体中电子的运动
两种描述方式：（1）准经典理论：图象清晰，分析问题方便 （2）量子理论：给出量子结果, 求解磁场存在时的薛定谔方程, 但存在很大的难度，因为周期性势场的存在使问题复杂！ 1. 恒定磁场中准经典运动 基本运动方程： 1 dk
vk ( k E)k
2 2kz 2m
) ( y )
简化为简谐振动方程：
2 2 m [ 0 2 ( y y0 )2 ] ( y ) ( y ) 2m y 2 2
其中：
qB 0 m
y0 kx qB
kz E 2m
2
2
谐振子的波函数为：
n ( y y0 ) e
Fx Fy F z
与牛顿定律类比：
dv 1 F dt m
二阶张量代替 效质量张量：
m*
2
1
m*
称二阶张量为倒有效质量张量。引入有
若 沿主轴方向， 倒有效质 量对角化，有效质量是张
2E , ,=x,y,z k k
2 2 2
u k0 ( r )e
E( k 0 ) i[ k 0 r t]
2 2
dk x dk y dk z e
2
2 2
2 2 sin u ( r, t) u k0 ( r ) u
sin v v
1 E ( ) k0 t k y
2
sin w 6 w
2
其中
u x
1 E ( ) k0 t k x
v y
w z
1 E ( )k t k z 0
事实：
u
1 1 E [x ( )k t] 2 k x 0
v
1 1 E [y ( )k0 t] 2 k y
组成波包时k限制在
k 2 2
,
波包函数为：
[ 取u k0 k (r) u k0 (r)]
2 2 ( k E)k0 t ik [ r ]
( r, t) 2 dk x 2 dk y 2 dk z k0 k ( r, t)
2. 导体和非导体的模型
部分填充的带，没有外电场平衡时 电流相互抵消，在外电场下分布不对称， 产生电流。 电场不对称的原因? 外电场的方向: E
* 非导体 电子恰好填满最底的一系列能带，再 高的能带全空，非导体分为半导 体和绝缘体，取决于带隙宽度。 *导体 除全部填满的一系列能带，还 存在部分填充能带 * 半金属：导带和价带交叠或导带底价带顶重合 3. 近满带和空穴 1）近满带的电流 满带缺少少量电子，要处理大量电子运动很麻烦，但处理电子 空位就要容易得多。假设只有一个k态没有电子，满带电子的电 流 为零, 显然近满带的电流为k态对应电子电流的负值：即： I=qv(k) 。 近满带的电流相当于带正电q的粒子，速度为空态k 电子速度引起的。这就是所谓空穴的概念！（空的状态）
2 2E / 0 0 2 k x m xx 0 0 2E 0 m yy 0 0 2 / 0 2 k y 0 0 m zz 2E 0 0 2 / 2 k y
量，加速度与外力方向可
无磁场，电子哈密顿量为： H
p2 2 2 2m 2m
B 存在磁场，引进矢量势A， A , 用p+qA取代p, 则波动方程: 1 2
H 2m ( p qA )
如果B沿z轴，矢量势A=(By,0,0), 则： 1 ˆx ˆy ˆ2 H [( p 2 qBy ) 2 p 2 pz ] 2m H中不含x, z，则
以不同，有效质量把周期 性势场的影响包含 在其中。
有效质量在带顶和带底化
为标量。
5.2 恒定电场作用下晶体中电子的运动
以紧束缚近似为例，一维简单近似下：
E i (k ) i J 0 2J1 coska
如果J1>0, k = 0点为带底
k = /a点为带顶 电子速度
v(k ) 1 dE 2 J 1a sin ka dk
外力在dt内对电子做的功为：F v k dt ,引起电子内能的变化为：
k E dk ，则： k E dk F v k dt
将 k E vk
在平行v
代入，得：
d ( k ) F dtv k 0 dt
在垂直方向有类似的关系 ，则
在恒定外力作用下，电子在k 空间做匀速运动，与经典规律相比， 具有动量 k 性质，称准动量，不同于动量，因不是动量算符 的本征值。 基本的方程: 1 d
3. 加速度和有效质量
A. 加速度dv/dt为：
Ee
g
qE
5.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释
1. 满带不导电
v 能带对称性中 En(k)=En(-k) ， k ( k E)k 则：v(k)=-v(-k) 在满带中，每个电子有电流i = -qv(k),但k和-k态电子的电流 抵消，总电流为零。 dk F 一维晶体在外场中，电子在力F=-qE下以相同速度 dt h 在轴上运动，从B.Z.一端移走的电子 从另一端移进，带总是 满带 满带不能导电！ 1
可以简化为谐振子方程： 2 2 1 [ (k x qBy)2 ] ( y ) ( E 2m y 2 2m 及：
2 2kz 2m
) ( y )
2 2 m qB 2 [ ( ) ( k xy y ) 2 ] ( y ) ( E 2m y 2 2 m qB
ˆ p x i x
与
ˆ p z i
z
对易，相应的波函数：
ˆ ˆ px k x , pz kz
总的波函数：
e i ( k
x x kz z )
( y)
代入波动方程：
H E
则，
(y)满足的方程为：
1 ˆy [( k x qBy)2 p 2 2 k 2 ](y) E(y) z 2m
m 0 ( y y0 )2 ] 2
H n ( y y0 )
晶体中用Block波组成波包，包含不同E态，Bloch波表示为：
0
附
k ' ( r , t) e
' E( k ' ) ik [ r t]
u k' ( r )
用k0附近的k组成波包，令k’=k0+k, k很小， E(k’)按k展开：
' E(k ) E(k0 ) k (k E)k0
dI(k ) 1 q {qE [qv(k ) B]} * dt m
空态k 常在满带顶附近，对应电子的有效质量 m*<0, 将上式：
近满带电流的变化相当于带正电荷q具有正效质量为
m*
的
粒子，这个假想的粒子称空穴。电子和空穴通称载流子。空穴 为K空间电子空的状态。不同于晶格中的空位。
2k m
dk q [v(k) B] dt m
回转角频率： qB/ m 0
在实空间电子做螺旋运动。
qB dv x dt m v y qB dv y vx m dt dv z dt 0
2. 近自由电子的量子理论：
2）电磁场的作用 假设向近满带放入一个电子形成满带。电磁场作用下满带电流 dI(k ) d 仍为零，则
作用在k态电子的外力为：F q{E [v(k) B]}
则：
dt
q
dt
v(k )
dI(k) q2 * {E [v(k) B]} dt m
有效质量
d 2 E 1 m* (k ) 2 ( ) 2 dk 2 ( 2 J 1a 2 cos ka) 1
dk F 在恒定电场作用下： dt
１）电子在k空间做匀速运动， 设力沿轴正方向。经典理论中电 子运动限制在带内，E(k)随时间 周期变化 ２）电子速度随时间振荡 ３）m*>0, 外力大于周期 势场的作用，外力使 电子速度增大
dt q(v (k ) B)
分析得：沿磁场方向k分量不变 电子在k空间等能面上运动， E(k)不随时间变化 以自由电子为例： 2k 2
Ek 2m
qB dk x v( k ) dt m k y dk qB y kx 选B沿kz方向， B=(0,0,B),则运动方程： dt m dkz 0 dt Kz保持不变，在Kx—ky平面做匀速圆周运动
m*<0, 外力小于周期势场的作用，电子速度减小
m,外力与周期场作用力相等，加速度为零，电子速度最 大
４）速度振荡意味着电子在实空间振荡
外力作用在周期势场上附加了一部分，发生能带的倾斜。
经典理论中电子在带内跃 迁，在带顶遇到势垒，发 d 生反射，由 A—B—C—A B Eg 相当于电子从带 底—带 顶—带底的运动 振荡现象缘于电子完 成一个周期振荡之前受到散射，难于观察到 量子理论电子有一定几率穿过势垒， Eg 几率: 2 1/ 2 ( 2 mE ) ( )
w
1 1 E [z ( )k0 t] 2 k z
在此，公式中可以没有
！,只是为了表示的方便？
sin x 当x 0, 1 波函数主要集中在u = v = w = 0，即 x
1 波包中心在 r0 ( k E)k 0 t 把波包看作一个粒子，其速度为：
vk 0
前面很小，指远小于布里渊区的