浙教版八年级数学下册反证法
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柯桥区平水镇中学
数学浙教版 八年级下
一、教学目标： 1、了解反证法的含义和反证法的基本步骤； 2、会利用反证法证明简单命题； 3、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的 一条相交，那么和另一条也相交”、“在同一平面内，如果两条直 线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行” 。
这与“......”相矛盾
四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立
[能力测试]
写出下列各结论的反面： （1）a//b；
（2）a≥0；
（3）b是正数；
（4）a⊥b
a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b
应用新知
尝试解决问题
在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C，
二、重点：反证法的含义和步骤； 难点：课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传 递性的证明，有较高难度。
三、教学方法及手段：讨论法和练习法。
四：教学思路：情境引入，概念教学，例题讲解，小结， 提升拓展。
编写日期： 月 日 授课日期： 月 日
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
B班做 4.求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1, l2, l3在同一平面内,且l1∥l2, l3与l1相
交于点P.
求证: l3与l2相交.
l3
证明: 假设__l_3与__l2_不__相_交__._, 那么__l_3∥__l2____.
所以，李子是苦的
在证明一个命题时,先假设命题不成立， 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾，或者与定义、公理、定理等矛盾， 从而得出假设命题不成立是错误的， 即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
一、提出假设
假设待证命题不成立，或是命题的 反面成立。
二、推理论证 三、得出矛盾
以假设为条件，结合已知条件推理， 得出与已知条件或是正确命题相矛盾 的结论
分析：解题的关键是反证法的第一步否定结 论，需要分类讨论.
已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那 么只有两种情况：
(1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；
（1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°， 这与三角形内角和定理矛盾， ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.
推因理为已知___l_1_∥_l_2 __,
l3
P
l1
l2
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“经__过__直_线__外_一__点_,_有_且__只__有_一__条_直__线_与__已__
知矛_直_盾_线_平__行_______”矛盾.
命所题以成_假_立设__不__成__立_,即求证的命题正确.
P
l1
l2
因为已知___l_1_∥_l_2 __,
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“_经__过_直__线__外_一__点_,_有_且__只__有_一__条_直_ _线_平__行_于__已_知__直__线_”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
B班做
5、用反证法证明：等腰三角形的底角 必定是锐角．
Ａ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｂ
Ｃ
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角不小于600.
证明：
假设所求证的结论不成立，即 ∠Ａ＿＜＿60°， ∠Ｂ＿＜＿60°， ∠Ｃ＿＜＿60°
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ 1800
这于＿三＿角＿形＿三＿个＿内＿角＿的＿和＿等＿于＿1＿80＿°＿矛盾
所以假设＿不＿成＿立＿＿＿， 所以，所求证的结论成立．
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？
这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？
A
B C
证明：假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角，
D
则即∠∠ＡＡ＿＋＿∠9Ｂ0°＋，∠∠ＣＢ+∠＿D＿＿90＿°3，60∠°Ｃ，＿＿90°,∠D ＿＿90°
这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾
所以假设＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立．
点拨：至少的反面是没有！
练习：1.用反证法证明（填空）： 在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°
所以假设不成立， 即l3∥l2
练习2 :求证：在同一平面内,如果一条直线和两条
平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2相交.
证假明设: 假设__l_3与__l2_不__相_交__._,
那么__l_3∥__l2____.
感 受 则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
反 这与 已知AB≠AC
矛盾．
证 假设不成立．
法: ∴ ∠B ≠ ∠ C
．
A
B
C
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确
例1 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角。
已知：四边形ABCD 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
例2、求证：在同一个平面内，如果两条直线都和第三条
直线平行，那么这两条直线也会互相平行。 l1
l2
P
l3
已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥l1，
求证证明：：l3∥l2
假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P
而l1∥l2,l3 ∥l1
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行”相矛盾，
3 求证:两条不重合的直线相交只有一个交点。
已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不
妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经 a
● A，
过点A和A’的直线有且只有一条，这与
A●
与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。 b
数学浙教版 八年级下
一、教学目标： 1、了解反证法的含义和反证法的基本步骤； 2、会利用反证法证明简单命题； 3、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的 一条相交，那么和另一条也相交”、“在同一平面内，如果两条直 线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行” 。
这与“......”相矛盾
四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立
[能力测试]
写出下列各结论的反面： （1）a//b；
（2）a≥0；
（3）b是正数；
（4）a⊥b
a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b
应用新知
尝试解决问题
在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C，
二、重点：反证法的含义和步骤； 难点：课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传 递性的证明，有较高难度。
三、教学方法及手段：讨论法和练习法。
四：教学思路：情境引入，概念教学，例题讲解，小结， 提升拓展。
编写日期： 月 日 授课日期： 月 日
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
B班做 4.求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1, l2, l3在同一平面内,且l1∥l2, l3与l1相
交于点P.
求证: l3与l2相交.
l3
证明: 假设__l_3与__l2_不__相_交__._, 那么__l_3∥__l2____.
所以，李子是苦的
在证明一个命题时,先假设命题不成立， 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾，或者与定义、公理、定理等矛盾， 从而得出假设命题不成立是错误的， 即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
一、提出假设
假设待证命题不成立，或是命题的 反面成立。
二、推理论证 三、得出矛盾
以假设为条件，结合已知条件推理， 得出与已知条件或是正确命题相矛盾 的结论
分析：解题的关键是反证法的第一步否定结 论，需要分类讨论.
已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那 么只有两种情况：
(1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；
（1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°， 这与三角形内角和定理矛盾， ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.
推因理为已知___l_1_∥_l_2 __,
l3
P
l1
l2
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“经__过__直_线__外_一__点_,_有_且__只__有_一__条_直__线_与__已__
知矛_直_盾_线_平__行_______”矛盾.
命所题以成_假_立设__不__成__立_,即求证的命题正确.
P
l1
l2
因为已知___l_1_∥_l_2 __,
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“_经__过_直__线__外_一__点_,_有_且__只__有_一__条_直_ _线_平__行_于__已_知__直__线_”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
B班做
5、用反证法证明：等腰三角形的底角 必定是锐角．
Ａ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｂ
Ｃ
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角不小于600.
证明：
假设所求证的结论不成立，即 ∠Ａ＿＜＿60°， ∠Ｂ＿＜＿60°， ∠Ｃ＿＜＿60°
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ 1800
这于＿三＿角＿形＿三＿个＿内＿角＿的＿和＿等＿于＿1＿80＿°＿矛盾
所以假设＿不＿成＿立＿＿＿， 所以，所求证的结论成立．
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？
这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？
A
B C
证明：假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角，
D
则即∠∠ＡＡ＿＋＿∠9Ｂ0°＋，∠∠ＣＢ+∠＿D＿＿90＿°3，60∠°Ｃ，＿＿90°,∠D ＿＿90°
这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾
所以假设＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立．
点拨：至少的反面是没有！
练习：1.用反证法证明（填空）： 在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°
所以假设不成立， 即l3∥l2
练习2 :求证：在同一平面内,如果一条直线和两条
平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2相交.
证假明设: 假设__l_3与__l2_不__相_交__._,
那么__l_3∥__l2____.
感 受 则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
反 这与 已知AB≠AC
矛盾．
证 假设不成立．
法: ∴ ∠B ≠ ∠ C
．
A
B
C
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确
例1 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角。
已知：四边形ABCD 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
例2、求证：在同一个平面内，如果两条直线都和第三条
直线平行，那么这两条直线也会互相平行。 l1
l2
P
l3
已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥l1，
求证证明：：l3∥l2
假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P
而l1∥l2,l3 ∥l1
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行”相矛盾，
3 求证:两条不重合的直线相交只有一个交点。
已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不
妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经 a
● A，
过点A和A’的直线有且只有一条，这与
A●
与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。 b