高二数学解三角形试题及答案
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.ABC中,已知,则ABC的形状为【答案】直角三角形【解析】略2.在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）利用内角和为，所以,再利用同角基本关系式求;（2），那么利用正弦定理，,求边，最后，试题解析：（1） ,,因为,所以，．（2），那么利用正弦定理，,代入数值，，所以．【考点】1．两角和的三角函数；2．正弦定理．3.（本题满分13分）已知中，点，动点满足（常数），点的轨迹为Γ．（Ⅰ）试求曲线Γ的轨迹方程；（Ⅱ）当时，过定点的直线与曲线Γ相交于两点，是曲线Γ上不同于的动点，试求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用椭圆定义求动点轨迹，注意定义的条件要完整，不要少，另外要注意三角形中三顶点不共线，对轨迹要去杂（Ⅱ）求面积的最大值，首先要表示出面积，这要用到底乘高的一半，其中底为直线与椭圆的弦长，高为点到直线的距离，而由椭圆的几何性质知当直线与平行且与椭圆相切时，切点到直线的距离最大，因此还要求椭圆的切线，其次利用直线方程与椭圆方程联立方程组，再结合韦达定理可得弦长及切线，最后根据面积的表达式求最值，这要用到导数试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以（定值），且， 2分所以动点的轨迹为椭圆（除去与A、B共线的两个点）．设其标准方程为，所以， 3分所以所求曲线的轨迹方程为．4分（Ⅱ）当时，椭圆方程为．5分①过定点的直线与轴重合时，面积无最大值．6分②过定点的直线不与轴重合时，设方程为：，，若，因为，故此时面积无最大值．根据椭圆的几何性质，不妨设．联立方程组消去整理得：， 7分所以则．8分因为当直线与平行且与椭圆相切时，切点到直线的距离最大，设切线，联立消去整理得，由，解得．又点到直线的距离， 9分所以， 10分所以．将代入得：，令，设函数，则，因为当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以．故时，面积最大值是．所以，当的方程为时，的面积最大，最大值为．13分【考点】椭圆定义，直线与椭圆位置关系4.函数的图象的一条对称轴的方程是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据余弦函数的图像和性质，可知，解得，，可知当时得到，故选D．【考点】余弦函数的图像和性质．5.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C 的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东100B．北偏西100C．南偏东100D．南偏西100【答案】B【解析】由题意知, ．由数形结合可得灯塔在灯塔的北偏西．故B正确．【考点】数形结合．6.已知函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，向左平移个单位长度得：，因为关于原点对称，所以，因此的最小正值为，选C．【考点】三角函数图像与性质7.角的终边上有一点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】三角函数定义8.三角形ABC中．．则A的取值范围是．【答案】【解析】由已知不等式结合正弦定理得则A的取值范围是【考点】正余弦定理解三角形9.已知是锐角的外心，．若，则A．B．C．3D．【答案】A【解析】取AB的中点D，连接OA，OD，由三角形外接圆的性质可得OD⊥AB，∴．，代入已知，两边与作数量积得到由正弦定理可得：，化为cosB+cosCcosA=msinC，∵cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，∴sinAsinC=msinC，∴m=sinA．∵，∴【考点】1．向量的线性运算性质及几何意义；2．正弦定理；3．三角函数基本公式10.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小．若，，,则的最大值是（仰角为直线AP与平面ABC所成角）【答案】【解析】仰角最大时即为面ACM与面ABC所成的角．过B作BC的垂线交CM于点P,过B作连接PN,则为所求的角，【考点】1、二面角的平面角；2、线面垂直的应用．【易错点晴】本题主要考查的是二面角的平面角的应用，属于中档题．本题容易犯的错误是过B作认为为所求角，从而出错．题中说目标P沿线MC运动，面ACM是确定的，仰角的最大值就是二面角M-AC-B的平面角，再应用三垂线法做出二面角的平面角．11.如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数，时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧．（1）试确定A，和的值；（2）现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设（弧度），试用来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）【答案】（1）；（2）造价，，在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．【解析】（1）由“五点法”可求得；（2）由（1）求出点坐标，得半圆的半径，用表示出弦长和弧长，由题意可得造价，，下面用导数的知识求出的最大值．试题解析：（1）因为最高点B（-1，4），所以A=4；，因为代入点B（-1，4），，又；（2）由（1）可知：，得点C即，取CO中点F，连结DF，因为弧CD为半圆弧，所以，即，则圆弧段造价预算为万元，中，，则直线段CD造价预算为万元所以步行道造价预算，．由得当时，，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减所以在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．……16分【考点】“五点法”，的解析式，导数与最值．12.已知面积为，，则BC长为．【答案】【解析】由三角形面积公式可知【考点】三角形面积公式13.在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,则sinB=（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由正弦定理得【考点】正弦定理解三角形14.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a、b、c成等比数列且c＝2a，则cosB ＝（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由a、b、c成等比数列且c＝2，知：，所以，故选A．【考点】1、等比数列性质；2、余弦定理．15.已知中,角，所对的边分别是，且．（1）求的值；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由条件的特点，可以考虑余弦定理求，再由半角公式求解；（2）由面积公式知，需求的最值，利用均值不等式即可．试题解析：（1）（2）又当且仅当时，△ABC面积取最大值，最大值为【考点】1、余弦定理；2、半角公式；3、基本不等式．【方法点晴】本题主要考查的是余弦定理、半角的正弦公式和三角形的面积公式及基本不等式，属于中档题．解题时一定要注意所给条件的结构特征，能主动联想余弦定理得角的余弦值，然后利用半角公式变形求解．由面积公式分析面积的最大值即求的最大值，因为考虑基本不等式来处理，注意等号成立的条件，这是易错点．16.已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若＝（－cos，sin），＝（cos，sin），a＝2，且·＝．（1）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值．（2）求b＋c的取值范围．【答案】（1）b＋c＝4,（2）【解析】（1）由已知及余弦定理可求cosA=-，结合范围三角形内角的取值范围A∈（0，π），可求A．又由三角形面积公式可求bc，利用余弦定理即可解得b+c的值．（2）由正弦定理及三角形内角和定理可得b+c=4sin（B＋），根据范围0＜B＜，利用正弦函数的有界性即可求得b+c的取值范围试题解析：（1）∵＝（－cos，sin），＝（cos，sin），且·＝，∴－cos2＋sin2＝，即－cosA＝，又A∈（0，π），∴A＝．又由S＝bcsinA＝，所以bc＝4，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos＝b2＋c2＋bc，△ABC∴16＝（b＋c）2，故b＋c＝4（2）由正弦定理得：＝＝4，又B＋C＝π－A＝，∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin（－B）＝4sin（B＋），∵0＜B＜，则＜B＋＜，则＜sin（B＋）≤1，即b＋c的取值范围是．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式．【方法点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式．（3））在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．17.要得到函数y = sin的图象，只要将函数y = sin2x的图象A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】，因此只需将函数y = sin2x的图象向左平移个单位【考点】三角函数图像平移18.在中，，则边的长为（）A．B．3C．D．7【答案】A【解析】由三角形的面积公式，得，解得；由余弦定理，得，即；故选A．【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理．19.在中，若，则的形状为．【答案】等腰三角形【解析】法一:由正弦定理可将变形为，，即．，．所以三角形为等腰三角形．法二: 由可得，整理可得，解得，即．所以三角形为等腰三角形．【考点】正弦定理，余弦定理．【方法点睛】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理，属于容易题，本题利用正弦定理把边转化为角，变形后为正弦的两角和差公式．或是利用余弦定理将角转化为边再变形整理．即解此类题的关键是边角要统一．20.在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．【答案】AB=．【解析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC==，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=．【考点】余弦定理；正弦定理．21.（2015秋•醴陵市校级期末）正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为．【答案】【解析】先求导函数，利用导函数在x=处可知切线的斜率，进而求出切点的坐标，即可求得切线方程．解：由题意，设f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx当x=时，∵x=时，y=∴正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为即故答案为：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．22.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= ．【答案】30°【解析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°【考点】正弦定理．23.在△ABC中，所对的边分别为，且，则．【答案】【解析】由得【考点】正弦定理24.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（）A．B．2C．D．【答案】D【解析】先根据正弦定理求出角C的正弦值，进而得到角C的值，再根据三角形三内角和为180°确定角A=角C，所以根据正弦定理可得a=c．解：由正弦定理，∴故选D．【考点】正弦定理的应用．25.在中, 角的对边分别是，且则的形状是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】，三角形为直角三角形【考点】余弦定理及二倍角公式26.已知中，角所对的边分别，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】对于问题（Ⅰ），首先根据余弦定理把关于边的问题转化为关于角的问题，再结合降次公式以及三角函数的诱导公式，即可求得；对于问题（Ⅱ）可以根据（Ⅰ）的结论并结合基本不等式和三角形的面积公式即可求得面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）（Ⅱ）且，，又，，，面积的最大值注：求法不唯一，只要过程、方法、结论正确，给满分。
【高二】高二数学解三角形的实际应用举例综合测试题(含答案)
【高二】高二数学解三角形的实际应用举例综合测试题(含答案)解三角形的实际应用举例同步练习1.在△ ABC，下面的公式是正确的（）a.ab＝sinbsinab.asinc＝csinbc、 asin（a＋b）＝csinad。
c2＝a2＋b2－2abcos（a＋b）2．已知三角形的三边长分别为a、b、a2＋ab＋b2，则这个三角形的最大角是（）a、135°b.120°c.60°d.90°3．海上有a、b两个小岛相距10nmile，从a岛望b岛和c岛成60°的视角，从b岛望a岛和c岛成75°角的视角，则b、c间的距离是（）a、 52nmileb。
103nmilec。
1036nmiled。
56N英里4．如下图，为了测量隧道ab的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据a、α、a、bb。
α、β、ac.a、b、γd.α、β、γ5.有人以每小时AKM的速度向东走，而南风以每小时AKM的速度吹，那么此人感到的风向为，风速为.6.在△ ABC，tanb=1，Tanc=2，B=100，然后是C=7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°然后朝着灯塔的方向航行塔的距离是.8.a层和B层之间的距离为20m。
B栋底部至a栋顶部的仰角为60°，a栋顶部至B栋顶部的俯角为300。
那么a层和B层的高度分别为9．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进103米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是米.10.在△ ABC，确认cos2aa2-cos2bb2=1a2-1b211．欲测河的宽度，在一岸边选定a、b两点，望对岸的标记物c，测得∠cab＝45°，∠cba＝75°，ab＝120m，求河宽.（精确到0.01m）12.a船在a，B船在a船以东偏南45°，距离a船9海里，以20海里/小时的速度向西偏南15度行驶。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.若，则．【答案】【解析】【考点】1．二倍角公式；2．同角三角函数2.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为．【答案】2【解析】由题意得：，因为在上为增函数，所以，即的最大值为2【考点】三角函数图像变换与性质3.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】C【解析】由图可知则，又，结合可知，即，为了得到的图象，只需把的图象上所有点向右平移个单位长度．【考点】函数图象、图象的平移．4.在中，角所对的边分别为，满足，且．（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角的值．【答案】（1）；（2）当时，取到最大值．【解析】本题主要考查余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用三角形的内角和定理转化为A的三角函数，利用两角和的正弦公式求解，结合正弦定理把边转化为角，求出表达式，求出结果即可；第二问，由余弦定理以及基本不等式求出的最值，注意等号成立的条件即可．试题解析：（1）由，可得，即，又，所以，由正弦定理得，因为，所以0，从而，即．（2）由余弦定理，得，又，所以，于是，--10当时，取到最大值．【考点】余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式．5.下列各式中，值为的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A，B、，C、， D、，故选择C【考点】三角恒等变换6.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则c＝．【答案】【解析】由余弦定理可得【考点】余弦定理解三角形7.已知面积为，，则BC长为．【答案】【解析】由三角形面积公式可知【考点】三角形面积公式8.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2．（1）求角C；（2）求边a的长【答案】（1）；（2）5；【解析】（1）角C在直角三角形ADC中，根据定义求解即可；（2）由（1）知的值，利用余弦定理即可．本题注意活用余弦定理．试题解析：（1）由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，，则．（2）由余弦定理，可知则，即所以或（舍）因此边长为5．【考点】1．正弦的定义；2．余弦定理；9.△ABC中，，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可知，，整理得，所以，则△ABC为等腰三角形．【考点】正弦定理的应用．10.在中，，则边的长为（）A．B．3C．D．7【答案】A【解析】由三角形的面积公式，得，解得；由余弦定理，得，即；故选A．【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理．11.（2011•安徽）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．【答案】15【解析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积．解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．12.（2015秋•醴陵市校级期末）正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为．【答案】【解析】先求导函数，利用导函数在x=处可知切线的斜率，进而求出切点的坐标，即可求得切线方程．解：由题意，设f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx当x=时，∵x=时，y=∴正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为即故答案为：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．13.如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问:乙船每小时航行多少海里？【答案】【解析】连接，则∴△是等边三角形，求出，在△中使用余弦定理求出的长，除以航行时间得出速度试题解析：如图，连接A1B2，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30＝10（海里）又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2＝105-60°＝45°．在△A1B2B1中，由余弦定理得＝202＋（10）2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10（海里）．因此乙船的速度大小为×60＝30（海里/小时）．【考点】解三角形的实际应用；余弦定理14.（2015春•东城区期末）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【答案】B【解析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B【考点】演绎推理的基本方法．15.在△ABC内部有任意三点不共线的2017个点，加上A、B、C三个顶点，共有2020个点，把这2020个点连线，将△ABC分割成以这些点为顶点，且互不重叠的小三角形，则小三角形的个数为（）A．4037 B．4035 C．4033 D．4032【答案】B【解析】三个点时，有1个三角形，4个点时有3个三角形，5个点时有5个三角形，每加一个点，三角形的个数加2，因此2020个点时三角形的个数为1＋（2020－3）×2＝4035．【考点】归纳推理．16.在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得的值，再由题意可得的大小；（2）由已知条件代入余弦定理可求得的值，代入面积公式可得三角形的面积.试题解析：（1）∵中，，∴根据正弦定理，得∵锐角中，，∴等式两边约去，得∵是锐角的内角，∴；（2）∵，，∴由余弦定理，得，化简得，∵，平方得，∴两式相减，得，可得.因此，的面积.【考点】正弦定理、余弦定理.17.设函数，若为奇函数，则= ；【答案】【解析】，函数为奇函数，所以【考点】三角函数性质18.已知的三内角所对的边分别为，且，则．【答案】【解析】由正弦定理及得，所以，所以．【考点】正弦定理与余弦定理．19.函数的部分图像如图所示，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由图象可知，，所以，当时，，故选A．【考点】函数的图象．20.在锐角中，分别为角所对的边，且．（1）确定角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据正弦定理化简已知的式子求出，在由锐角三角形的特征求出角的大小；（2）根据余弦定理和条件，可得，利用三角形的面积公式和条件求出和的值，由完全平方公式即可求出的值．试题解析：（1）由及正弦定理得，，∵，∴．∵是锐角三角形，∴．（2）∵，由面积公式得，即．．．．①由余弦定理得，即，∴．．．．②，由①②得，故．【考点】正弦定理与余弦定理．21.已知：f（x）=2cos2x+sin2x﹣+1（x∈R）．求：（Ⅰ）f（x）的最小正周期；（Ⅱ）f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．【答案】见解析【解析】解：f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为T==π（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+得2kπ﹣≤2x≤2kπ+∴kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z（Ⅲ）因为x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）∈[0，3]．【点评】本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是基础题．22.在中，三内角的对边分别为，面积为，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，化为，又因为，解得或（舍去），所以．【考点】余弦定理．23.已知函数，（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数的极小值和最大值，并写明取到极小值和最大值时分别对应的值．【答案】（1）;（2）详见解析．【解析】（1）先求函数的导数，并且根据辅助角公式化简函数，并求导数在的零点，同时讨论零点两侧的单调性，确定函数的单调递减区间；（2）根据（1）的讨论，可求得极值点和极值以及端点值的大小，经比较可得函数的最大值以及极小值．试题解析：（1）f′（x）＝cosx＋sinx＋1＝sin（x＋）＋1 （）令f′（x）＝0，即sin（x＋）＝－，解之得x＝π或x＝π．x，f′（x）以及f（x）变化情况如下表：（π，π）π（π，2π）－0＋∴f（x）的单调减区间为（π，π）．＝f（）＝．（2）由（1）知f （x）极小而f（π）＝π＋2，，所以．【考点】导数的简单应用24.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水深为，高潮时水深为．每天潮涨潮落时，该港口水的深度（）关于时间（）的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意分析可知函数的最大值为15，最小值为9，周期T=12，所以，又当t=3时，函数取得最大值，所以答案为A。
人教版高二数学必修5高二解三角形期中复习题及答案
高二数学期中复习（1）《解三角形》一、 选择题（每小题5分，满分60分）1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或1202.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B =（ ）3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150°4.不解三角形，下列判断正确的是（ ）A.7a =,14b =,30A =,有两解 B.30a =,25b =,150A =,有一解 C.6a =,9b =,45A =,有两解 D.9b =,10c =,60B =,无解 5. 已知锐角三角形三边分别为3，4，a ，则a 的取值范围为（ ）A ．15a <<B ．17a <<C 5a <<D 7a << 6.在ABC ∆中，若2sin sin cos2AB C =，则ABC ∆是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形7. 在ABC ∆中，A ∠＝600，AB ＝2，且ABC S ∆=，则BC 边的长为（ ）A B ．3 C D ． 8.ABC ∆ 中,1,2==c a 则C 角的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎝⎛6,0π B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D. ⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2 9. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）A13 B 12 C 34D 0 10.如果满足60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．38=kB ．120≤<kC ．12≥kD ．120≤<k 或38=k11.在ABC ∆中，3A π=，3BC =，则ABC ∆的周长为（ ）A.)33B π++B.)36B π++ C.6sin()33B π++ D.6sin()36B π++ 12．如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-aD ．)cos(sin cos βαβα-a二、填空题(每小题4分，满分16分)13、若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________14、在ABC ∆中，2,3,AB BC AC ===ABC ∆外接圆半径R = 15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列,30,B =ABC ∆的面积为32，则b =____. 16、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与 塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得00153030BCD BDC CD ∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为060, 则塔高AB= 米。
高二数学解斜三角形试题
高二数学解斜三角形试题1.在锐角中，、、分别为角所对的边，且 .（Ⅰ）确定角的大小；（Ⅱ）若＝, 且的面积为, 求的值．【答案】(Ⅰ) C =" 60" °;(Ⅱ) = 5.【解析】(Ⅰ)根据，得到，所以得，从而解得C =" 60" °；（Ⅱ）联立，和，可以得到，然后计算可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵由正弦定理得∵△ABC中 sin A > 0 得∵△ABC是锐角三角形∴ C =" 60" °（Ⅱ）由得 =" 6"又由余弦定理得且＝∴∴∴=" 5"【考点】正弦定理，余弦定理.2.已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是．【答案】48.【解析】由题意可得正四棱锥的高和斜高及底面正方形的半边长构成一个直角三角形.斜高= .所以侧面积.故填48.本题关键是由斜高、半底面边长、四棱锥的高构成的直角三角形.通过解该三角形找到突破口.【考点】1.棱锥的侧面积的求法.2.解直角三角形.3.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【答案】【解析】根据题意，观察图形，连接，由甲船航行的速度与时间算出，发现为等边三角形，可得，，又已知的长，那么在中，由余弦定理求出的值，因为乙船与甲船航行的时间相同，从而求出乙船的速度.试题解析：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形， 4分，由已知，，， 6分在中，由余弦定理，9分因此，乙船的速度的大小为（海里/小时） 11分答：乙船每小时航行海里 12分【考点】解三角形在实际问题中的应用.4.满足条件a=4,b=3,A=45°的ABC的个数是（）A．一个B．两个C．无数个D．零个【答案】B【解析】根据题意，由于a=4,b=3,A=45°，则根据正弦定理可知，可知满足题意的角B有两个，故选B.【考点】解三角形点评：本题主要考查了解三角形和判定解的个数，以及正弦定理的应用和由大边对大角的应用，属于基础题5.的三边长分别为，若，则A等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在中，利用正弦定理有：,所以，因为，所以.【考点】本小题主要考查在三角形中由正弦定理求角，考查了学生的运算求解能力.点评：利用正弦定理解三角形一定要根据“大边对大角”确定解的个数.6.（本题满分12分）已知的周长为,且(I)求边的长；(II)若的面积为,求角C的度数.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，由正弦定理知：.……2分因为周长为，所以，所以，即; ……6分(II)因为，所以，由三角形的面积公式C=得:. ……8分由余弦定理有：,因为，所以. ……12分【考点】本小题主要考查正弦定理与余弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.点评：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式可以把有限的条件纳入方程中，通过解方程得到更多的元素，再通过这些新的条件解决问题.7.在中，，，，则的面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为利用内角和定理可知A=300，结合正弦定理可知，bsinA=asinB=3,b=6,由余弦定理可知S=9,选C8.(本小题满分12分)已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积【答案】（1）120º；（2）.【解析】此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键（Ⅰ）根据两角和的余弦函数公式化简已知的等式，得到cos（B+C）的值，由B+C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B+C的度数，然后由三角形的内角和定理求出A的度数；（Ⅱ）根据余弦定理表示出a的平方，配方变形后，把a，b+c及cosA的值代入即可求出bc的值，然后由bc及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．9.若A，B，C，则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】解：因为若A，B，C，可知并且最大角为锐角，因此选A10.在中，若则角A的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,,故选A.11.若△的三个内角满足，则△A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.【答案】C【解析】：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得，所以角C为钝角12.【答案】120°【解析】设三个角对应的边长分别为a,b,c,由正弦定理得a:b:c=7:8:13,令a=7k,b=8k,c=13k,由余弦定理得cosC=-0.5,所以可得。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.已知⊿ABC和⊿BCD均为边长等于的等边三角形，且，则二面角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】略2.锐角中，已知，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正弦定理可得，所以．因为为锐角三角形，所以．即．故C正确．【考点】1正弦定理；2三角函数化简求值．3.在中，三内角、、的对边分别是、、．（1）若求；（2）若，，试判断的形状．【答案】（1）或；（2）等边三角形【解析】（1）由题根据正弦定理得到，因为，所以，可得或；（2）根据正弦定理化简可得，结合条件，得到，判断三角形为等边三角形．试题解析：（1）由正弦定理得：又∴∴或（2）由得又是等边三角形．【考点】正弦定理；余弦定理4.圆锥的表面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数为．【答案】【解析】设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=，底面面积=，侧面面积，∵侧面积是底面积的3倍，∴，【考点】扇形和圆锥的相关计算5.在中，内角A 、B、C对的边长分别是a、b、c．（1）若c=2,C=,且的面积是，求a,b的值；（2）若,试判断的形状．【答案】（1）a=2, b=2（2）等腰三角形【解析】（Ⅰ）根据余弦定理，得，再由面积正弦定理得，两式联解可得到a，b的值；（Ⅱ）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC 的形状的形状加以判断，可以得到结论试题解析：（1）由余弦定理得又的面积为，得ab=4 解得 a=2, b=2（2）得得,为直角三角形；当时，A="B," 为等腰三角形【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角函数基本公式6.在中，，则边的长为（）A．B．3C．D．7【答案】A【解析】由三角形的面积公式，得，解得；由余弦定理，得，即；故选A．【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理．7.在△ABC中，A=60°，，，则B=（）A．45°B．135°C．45°或135°D．以上答案都不对【答案】A【解析】由正弦定理，得，即，因为，所以，所以；故选A．【考点】正弦定理．【易错点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题；在三角形中，若已知两边及其中一边的对角，则选用正弦定理求另一边的对角，但满足该条件的三角形并非唯一，可能一解、两解或无解，要根据题目中的条件合理取舍，如本题中由正弦定理得到后，部分学生会出现选C的错误答案，要注意利用“大边对大角”进行取舍．8.已知的三边长分别为，则的面积为__________．【答案】【解析】的边长由余弦定理得，，所以三角形的面积为．【考点】1、余弦定理的运用；2、三角形的面积公式．9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A． B． C． D．【解析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．【考点】余弦定理；等比数列．10.（2015秋•河南期末）已知△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为（）A．B．2C．2D．4【答案】A【解析】由A，B，C成等差数列A+B+C=π可求B，利用三角形的面积公式S=bcsinA可求．解：∵△ABC三内角A，B，C成等差数列，∴B=60°又AB=1，BC=4，∴；故选A．【考点】三角形的面积公式．11.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（）A．90°B．120°C．135°D．150°【答案】B【解析】长为7的边对应的角满足，，所以最大角与最小角之和为120°【考点】余弦定理解三角形12.（2015秋•珠海期末）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则B= ．【答案】45°．【解析】由已知及正弦定理可得sinB==，根据大边对大角由b＜a可得B∈（0，60°），即可求B的值．解：△ABC中，∵，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＜a，∴B∈（0，60°），∴B=45°．故答案为：45°．【考点】正弦定理．13.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）4【解析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由△ABC是锐角三角形，即可算出角A的大小；（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，结合题意化简得b2+c2﹣bc=16，与联解b+c=8得到bc的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．解：（1）∵△ABC中，，∴根据正弦定理，得，∵锐角△ABC中，sinB＞0，∴等式两边约去sinB，得sinA=∵A是锐角△ABC的内角，∴A=；（2）∵a=4，A=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得16=b2+c2﹣2bccos，化简得b2+c2﹣bc=16，∵b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．因此，△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4．【考点】余弦定理；正弦定理．14.在中，角对边分别是，且满足.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理，化边为角，利用两角差的正弦公式，可得进而得，即可求解角的大小；（2）利用三角形的面积公式得，再利用余弦定理得，联立方程组即可求解的值.试题解析：（1）；（2）①，利用余弦定理得：即②，联立①②，解得：.【考点】正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式.15.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）如果，求面积的最大值，并判断此时的形状。
高二数学解三角形试题
高二数学解三角形试题1.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 .【答案】10【解析】设船开始为位置为原点O，灯塔的位置为A，船沿南60°东的方向航行30n mile后的位置为B，则依题意可知∠AOB=∠ABO=30°∴∠BAO=120°由正弦定理得=∴AB=sin∠AOB=10nmile即船与灯塔的距离是10nmile。
【考点】本题主要考查正弦定理的应用。
点评：解题的关键是正确理解“角”的概念，从而构建三角形，利用正弦定理求解。
2.在△ABC中，求证：－＝－.【答案】见解析。
【解析】左边＝－＝(－)－2()＝右边.故等式成立。
【考点】本题主要考查正余弦定理。
点评：涉及三角形边角关系证明问题，一般有两种思路。
即一是转化成边的问题，二是转化成角的问题。
3.如图所示, 在△ABC中，若c＝4, b＝7，BC边上的中线AD＝, 求边长a.【答案】a＝9.【解析】∵ AD是BC边上的中线，∴可设CD＝DB＝x.∵ c＝4, b＝7, AD＝, ∴在△ACD中，有在△ACB中，有∴∴ x＝, ∴ a＝2x＝9.考点 :本题主要考查余弦定理的应用。
点评：通过通过引入中间量x，更有利于应用余弦定理。
4.欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河宽.（精确到0.01 m）【答案】河宽94.64米.【解析】由题意C＝180°－A－B＝180°－45°－75°＝60°在△ABC中，由正弦定理＝∴ BC＝＝＝＝40S△ABC＝AB·BCsinB＝AB·h∴h＝BCsinB＝40×＝60＋20≈94.64∴河宽94.64米.【考点】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理。
高二数学人教A必修5练习及解析：1-2-2 三角形中的几何计算
∴c=4.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos 60°=1+16-2×4×2=13.
∴a=√13.
1
3
3.在△ABC 中,已知 a=3√2,cos C= ,S△ABC=4√3,则 b=(
A.√3
B.2√3
)
C.4√3
D.3√2
答案:B
解析:在△ABC 中,sin C=√1-cos 2 =
4
sin
所以
=
2√3
,解得
sin60°
=
,
sin
sin B=1.
因为 B∈(0°,120°),所以 B=90°,所以 C=30°
1
2
所以△ABC 的面积 S△ABC= ·AC·BC·sin C=2√3.
5.(2015 河南郑州高二期末,19)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且√3b=2csin B.
2
一、选择题
1．已知方程 x2sin A＋2xsin B＋sin C＝0 有重根，则△ABC 的三边 a，b，c 的关系
满足(
)
A．b＝ac
B．b2＝ac
C．a＝b＝c
D．c＝ab
【解析】
由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin Asin C＝0，即 sin2B＝sin Asin C，
∴b2＝ac.
即 sin B(sin2A+cos2A)=√2sin A.
故 sin B=√2sin A,所以 = √2.
(2)由余弦定理和 c2=b2+√3a2,
(1+√3)
.
2
得 cos B=
由(1)知 b2=2a2,故 c2=(2+√3)a2.
高二数学解三角形测试题(附答案)
解三角形测试题一、选择题：1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于〔〕A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°2、符合以下条件的三角形有且只有一个的是〔〕A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2,∠A=30°C．a=1,b=2,∠A=100°D．b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC中，有〔〕A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosA<sinB且cosB<sinAC．cosA>sinB且cosB<sinA D．cosA<sinB且cosB>sinA4、假设(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是〔〕A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，那么角B 〔〕A．B>60°B．B≥60°C．B<60°D．B ≤60°6、满足A=45,c=6,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为〔〕A．4 B．2 C．1 D．不定7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,ABα(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 〔 〕A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 〔 〕A ．a (km)B ．3a(km)C ．2a(km)D ．2a (km)二、填空题：9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.11、在ΔABC 中，假设S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.三、解答题：13、在ΔABC 中,求分别满足以下条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=BA BA cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).D Cα β14、已知ΔABC 三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B,A cos 1+ C cos 1 =－B cos 2 , 求2cosCA 的值.15、二次方程ax 2－2bx+c=0,其中a 、b 、c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长.①证明方程有两个不等实根； ②证明两个实根α,β都是正数； ③假设a=c,试求|α－β|的变化范围.16、海岛O 上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一轮船在岛北60°东C 处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B 处,俯角60°.①这船的速度每小时多少千米？②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千米？一、BDBBD AAC 二、〔9〕钝角 〔10〕3314 〔11〕4π 〔12〕81三、〔13〕分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒22222222212260cos 0)(2=-∴c a ，c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由AAb B a A b cos sin tan tan 222⇒=,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 22222B A B B A A AB a b B A A B B B a =∴=∴==⇒=∴A=B 或A+B=90°，∴△ABC 为等腰△或Rt △. ③BA B A C cos cos sin sin sin ++= ，由正弦定理：,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理：b a acb c a c bc c b a c +=-+⨯+-+⨯22222222∆∆∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((222222. ④由条件变形为2222)sin()sin(ba b a B A B A +-=+-︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2222B A B A B A BA B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△ABC 是等腰△或Rt △. 点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的关系，从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用. 如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看.〔14〕分析：︒=+︒=∴=+120,60,2C A B B C A 再代入三角式解得A 或 C. 解：︒=+︒=∴=-︒∴=+120.60,2180,2C A B B B B C A .∴由已知条件化为：22cos )120cos(.22)120cos(1cos 1-=+-︒∴-=-︒+A A A A),120cos(cos A A -︒设ααα-︒=+︒==-60,60,2C A CA 则.代入上式得：)60cos(α-︒ )60cos()60cos(22)60cos(ααα-︒+︒-=+︒+.化简整理得023cos 2cos 242=-+αα222cos ,22cos ,0)3cos 22)(2cos 2(=+=∴=+-⇒C A 即ααα. 注：此题有多种解法. 即可以从上式中消去B 、C 求出cosA ，也可以象本例的解法.还可以用和、差化积的公式，同学们可以试一试.〔15〕分析：证明方程有两个不等实根，即只要验证△＞0即可.要证α，β为正数，只要证明αβ＞0，α+β＞0即可. 解：①在钝角△ABC 中，b 边最长.ac b ac b B ac c a b B 424)2(,cos 20cos 122222-=--=∆-+=<<-∴且.0cos 4)(24)cos 2(2222>--=--+=B ac c a ac B ac c a 〔其中0cos 40)(22>-≥-B ac c a 且∴方程有两个不相等的实根. ②,0,02>=>=+aca b αββα ∴两实根α、β都是正数. ③a=c 时，=-=-+=-+=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+424)(2)(,12222222a b a a c a bαββααβββααββα2||0,4cos 40,0cos 1,cos 44)cos 2(22222<-<<-<∴<<--=--+βα因此B B B aa B ac c a . 〔16〕分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉.解：①如图：所示. OB=OA 3330tan =(千米)，3=OC 〔千米〕 则313120cos 222=︒⋅-+=OC OB OC OB BC 〔千米〕3926010313=÷=∴v 船速〔千米/小时〕 ②由余弦定理得：=∠=∠∴=⨯-+=∠OBC EBO BC OB OC BC OB OBC sin sin ,261352cos 222 =︒+∠-︒=∠-=∠=-)]30(180sin[sin ,26135cos ,26393)26135(12EBO OEB EBO .131330sin cos 30cos sin )30sin(=︒⨯∠+︒⨯∠=︒+∠EBO EBO EBO 再由正弦定理，得OE=1.5〔千米〕，5),(639==vBEBE 千米〔分钟〕. 答：船的速度为392千米/小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时所在点E 离岛1.5千米.。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.．【答案】【解析】故答案为：．【考点】两角和与差的三角公式．2.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，令，在区间上，，单调递增，，所以；【考点】1．导数与单调性；2．化归的思想；3.函数在内是（）A．增函数B．减函数C．有增有减D．不能确定【答案】A【解析】函数，可得，所以函数在内是增函数．故选：A．【考点】利用导数研究函数的单调性．4.（12分）．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若，求sinA·sinC的值．【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cosB的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出sinAsinC的值试题解析：（Ⅰ）已知等式变形得：sinAcosA+sinBcosB=2sinCcosA，去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，∵sinC≠0，∴cosB=12，则B=60°；（Ⅱ）由，整理得：，∵cosB=12，∴，由正弦定理得：sin2B=2sinA·sinC=，则sinA·sinC=【考点】1．同角间三角函数关系；2．正弦定理5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为．故选D．【考点】三角函数图像变换：周期变换、左右平移．6.已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且,则tanC等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】1．余弦定理解三角形；2．同角间三角函数关系7.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若＋＝3，求sin Asin C的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意切化弦，同分可得，整理可得，即可求得；（2）根据已知式子同分可得，由余弦定理得到，再结合正弦定理即可得到试题解析：（1）由题意可得：因为，所以，又因为，所以（2）有题意可得：即由余弦定理可得：，得到有正弦定理：【考点】1．正余弦定理；2．化简求值8.（本题满分11分）若的内角所对的边分别为，且满足（1）求；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为正弦定理，所以化为，因为三角形内角有，所以即，所以；（2）由余弦定理，得，而，，得，即，因为三角形的边，所以，则．试题解析：（1）因为由正弦定理，得，又，从而，由于所以（2）解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以，故面积为．解法二：由正弦定理，得从而又由知，所以故，所以面积为．【考点】1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式．9.在中，已知，,则的长为____________________．【答案】【解析】由正弦定理可得【考点】正弦定理解三角形10.（本小题满分10分）在△ABC中，是方程的一个根，（1）求；（2）当时，求△ABC周长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解一元二次方程得到方程的根，结合三角函数有界性得到的值，从而求得大小；（2）由三角形余弦定理结合，可将转化为的表达式，从而求得其最小值，得到周长的最小值试题解析：（1）又是方程的一个根（2）由余弦定理可得：则：当时，c最小且，此时△ABC周长的最小值为．【考点】1．余弦定理解三角形；2．一元二次方程的根11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b－c）cosA＝acosC，则cosA＝_____【答案】【解析】由正弦定理可将已知条件转化为【考点】正弦定理与三角函数基本公式12.在△ABC中，cosA＝，sinB＝，则cosC的值为．【答案】【解析】由cosA＝，sinB＝得【考点】三角函数基本公式13.在△ABC中，如果，且为锐角，试判断此三角形的形状．【答案】等腰直角三角形．【解析】判定三角形的形状由三角形的三边长或三个角来确定．由可确定．根据正弦定理，可确定角，从而确定三角形的形状．试题解析：因为，所以,又为锐角，所以．，．由正弦定理得：，即展开得：，即，则，所以△ABC是等腰直角三角形．【考点】1．三角形形状；2．正弦定理；14.在△中，分别为角所对的边，若，则此三角形一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【答案】C【解析】,三角形为等腰三角形【考点】1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式15.在中，、、分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知（1）求角C的大小；（2）满足的是否存在？若存在，求角A的大小．【答案】（1）；（2）不存在【解析】（1）由正弦定理将变形可得到关于角C的关系式，进而求得角C的大小；（2）结合角C的大小将变形求解A角，若A角存在则三角形存在试题解析：（1）由正弦定理，得因为由则（2）由（1）知，于是=这样的三角形不存在。
高二数学解三角形和不等式
4、小明在某岛上的 A 处，上午 11 时测得在 A 的北偏东 600 的 C 处有一艘轮船，12 时 20 分时测得该船航行到北偏西 600 的 B 处，12 时 40 分时又测得轮船到达位于 A 正西方 5 千米 的港口 E 处，如果该船始终保持匀速直线运动，求： （1）点 B 到 A 的距离； （2）船的航行速度。
3 m 1 4 三角形的三条边长，那么 m 的取值范围是________.
4. 目标函数 z 2 x y ，变量 x, y 满足
x 4 y 3 0 y 3 x 5 y 25 ，则有 （ ） C x 1 3x+5y-25=0
A． z max 12, z min 3 B． z max 12, z 无最小值 C． z min 3, z 无最大值 D． z 既无最大值，也无最小值
400 A、 3
400 3 B、 3
A
30o
200 3 C、 3
E
60o
200 D、 3
200 m
D
B
C
基本不等式的变形：
a b a b 2ab ab 2 ab a b 2 ab ab 2 2 2 ab 2 a b ab ( ) 2 2
2 2 2
2
；
C
E
5
A
（2）∵在 ABE 中，由余弦定理得
BE 2 AB 2 AE 2 2 AB AE cos30 16 4 3 3 31 25 2 5 3 3 2 3 93 BE 3
31 20 所以轮船速度是 93 （千米/小时） 3 60
C
4x x
D
C
A
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.已知，三个数，，中（）A．都小于B．至少一个大于或等于C．都大于或等于D．至多一个大于【答案】B【解析】因为，令，，，又因为，由函数的性质可知，，所以，所三个数，，中至少有一个大于，故选B.【考点】1.的性质与基本不等式；2.逻辑联结词与命题.2.锐角中，已知，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正弦定理可得，所以．因为为锐角三角形，所以．即．故C正确．【考点】1正弦定理；2三角函数化简求值．3.角的终边上有一点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】三角函数定义4.在△ABC中，若，则与的大小关系为（）A．B．C．≥D．、的大小关系不能确定【答案】A【解析】在三角形中由正弦定理可知时有【考点】正弦定理解三角形5.下列函数中，周期为且为奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数为偶函数，故A错误；函数，周期为1且为奇函数，故选B；函数是周期为2的奇函数，故C错误；函数是周期为的偶函数，故D错误．【考点】函数的奇偶性、周期性．6.在中，角所对的边长为，则“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【答案】A【解析】因为时，所以，而时，由正弦定理知，即，得或，即不一定成立，故选A．【考点】1、充要条件；2、正弦定理．7.（2015秋•宁城县期末）在△ABC中，两直角边和斜边分别为a，b，c，若a+b=cx，试确定实数x的取值范围（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由a+b=cx得，x=，由正弦定理得=sin（A+45°），由此能确定实数x的取值范围．解：由a+b=cx得，x=，由题意得在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，由正弦定理得：===sinA+cosA=sin（A+45°），由A∈（0，90°）得，A+45°∈（45°，135°），所以sin（A+45°）∈（，1]，即sin（A+45°）∈（1，]，∴∈（1，]，∴x=∈（1，]．故选：A．【考点】三角形中的几何计算．8.（2015秋•宁德校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若b2+c2=a2+bc，求角A的大小；（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．【答案】（Ⅰ）A=；（Ⅱ）△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosA=，又结合∠A是△ABC的内角，即可求A的值．（Ⅱ）由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B．利用正弦函数的图象和性质可得2A=2B或2A+2B=π，即可得解．解：（Ⅰ）∵由已知得cosA===，又∵∠A是△ABC的内角，∴A=．（Ⅱ）在△ABC中，由acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=π．∴A=B或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．【考点】正弦定理．9.已知、、分别为的三边、、所对的角，的面积为，且．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用面积公式及，建立等式关系求出角C；（2）方法1：由（1）确定角C，用角表示角，由正弦定理，求出关于角的关系，这样周长就是表示成了关于角的函数，求出该函数的最大值；方法2：利用余弦定理，配方，利用基本不等式，，解出的范围，即可求出周长最大值．试题解析：（1）∵△ABC的面积为S，∴，又∵C为三角形内角，∴．（2）解法1：由正弦定理得：，∵，，，从而．综上：．解法2：由余弦定理即，（当且仅当时取到等号）综上：．【考点】 1．面积公式；2．正弦定理；3．余弦定理．10.已知的三边长分别为，则的面积为__________．【答案】【解析】的边长由余弦定理得，，所以三角形的面积为．【考点】1、余弦定理的运用；2、三角形的面积公式．11.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成600的视角，从B岛望C岛和A岛成300的视角，则B、C间的距离是___________________海里．【答案】【解析】依题意，作图如下：∵∠CAB=60°，∠ABC=30°，∴△ABC为直角三角形，∠C为直角，又|AB|=10海里，∴|BC|=|AB|sin60°=10×=海里，【考点】正弦定理的应用12.在中，分别是角A、B、C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】（1）变形已知式子代入结合角的范围可得；（2）由余弦定理可得，代入数据配方整体可得ac，代入面积公式可得试题解析：（1）由已知得（2）将代入中，得，【考点】余弦定理；正弦定理13.已知函数．设时取得最大值．（1）求的最大值及的值；（2）在中，内角的对边分别为，且，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据三角函数的恒等变换公式，可得，又，则，可知当时，即可求出结果；（2）由（1）知，由正弦定理，可得，再根据余弦定理，可得由此可求出．试题解析：解：（1）由题意，．又，则．故当，即时，．（2）由（1）知．由，即．又．则，即．故．【考点】1．三角恒等变换；2．正弦定理；3．余弦定理．14.在△中，，，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由得【考点】正弦定理解三角形15.已知函数(其中)，其部分图像如图所示．（I）求的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【答案】（I）；(II) 当时，取得最大值.【解析】（I）根据图象可求出的值，再根据图象可求出周期，进而可求得的值，再结合函数在处有最大值以及，就可以求出的值，由此可求出函数的表达式；(II)根据（I）的结论先求出函数的表达式，再结合，就可求出在区间上的的最大值及相应的值．试题解析：（I）由图可知，，所以.又，且，所以.所以（II）由（I），所以因为，所以，.故：，当时，取得最大值【考点】1、三角函数的“由图求式”；2、形如的函数的最值问题.16.在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg，并且B为锐角，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解析】在中，如果，并且为锐角，∴，∴，，∴，∴，故的形状为等腰直角三角形，故选D．【考点】三角形的形状判断；对数的运算性质．17.已知中,角的对边分别为,,向量,,且.(Ⅰ)求的大小；(Ⅱ)当取得最大值时,求角的大小和的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）通过向量的垂直，两角和与差的三角函数化简表达之，利用三角形的内角和，转化为的三角函数值，然后求的大小；（Ⅱ）通过的大小，推出的关系，化简为的三角函数的形式，通过的范围求出不等式取得最大值时，求角的大小，利用正弦定理求出的值，即可利用三角形的面积公式求解三角形的面积.试题解析：（Ⅰ）因为,所以即,因为,所以所以（Ⅱ）由,故由,故最大值时,由正弦定理,,得故【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用.18.在中，角、、所对的边分别是、、，若（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求的面积。
高二数学解斜三角形试题答案及解析
高二数学解斜三角形试题答案及解析1.已知函数其中在中，分别是角的对边，且．（1）求角Ａ；（2）若，，求的面积．【答案】(1) (2)【解析】(1)根据向量的数量积运算可得函数的解析式.然后将代入可得.(2)根据题中所给条件以及角,利用余弦定理,联立可得.最后根据求得面积.试题解析：（1）因为,且.所以,可得或.解得或（舍）（2）由余弦定理得，整理得联立方程解得或。
所以【考点】向量的数量积运算;三角函数特殊角;余弦定理;三角形面积公式.2.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C 的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东100B．北偏西100C．南偏东100D．南偏西100【答案】B【解析】如图所示，，则内，则，所以灯塔A在灯塔B的北偏西100【考点】本题考查方向角.3.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔沿直线行走米，测得塔顶的仰角为，则塔高是米.【答案】【解析】如下图，是塔高，则由，由，所以，解得.【考点】解三角形.4.在中，，，，则的面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，所以则的面积故选C【考点】解三角形及三角形面积公式.5.在中，已知，求边的长及的面积.【答案】，.【解析】根据题意，由余弦定理，可求出的值，再由三角形面积公式，可求得的面积.试题解析：在中,由余弦定理得: 3分∴ 6分由三角形的面积公式得： 9分12分【考点】1.余弦定理；2.三角形面积.6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为,若.(1)求角B;(2)若的面积为,求函数的单调增区间【答案】(1)； (2)单调增区间【解析】(1)∵∴又∵∴∴(2)∴∴∴令得单调增区间【考点】余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式。
点评：中档题，涉及三角形问题，将三角函数问题与正弦定理、余弦定理得应用综合考查，比较典型。
注意发挥三角公式的化简作用。
复合函数的单调性遵循“内外层函数，同增异减”。
高二数学解三角形试题答案及解析
高二数学解三角形试题答案及解析1.在中，，AB=2，且的面积为，则BC的长为( )A．B．3C．D．7【答案】C【解析】因为在中，，AB=2，且的面积为，所以可得.所以求得.由余弦定理可得.故选C.本小题主要考查余弦定理的使用.【考点】1.三角形的面积公式.2.余弦定理.3.解方程的能力.2.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】在处理含有边和角的等式时，一般是使用正、余弦定理把边转化为角或把角转化为边，如果都化为角的形式，则问题会转化为三角形内的三角恒等变换；若果都化为边的形式，则问题会转化为代数变形：通分、分解因式等．方法一：边化角：由正弦定理得：，代入得：，再由倍角公式得：．，或即或,所以△ABC为等腰或直角三角形．方法二：角化边：由余弦定理，原式可化为：，整理得，即，或，所以△ABC为等腰或直角三角形．【考点】1．正弦定理和余弦定理；2．三角恒等变换；3．解简单的三角方程．3.在中，角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，则等于A．B．5C．D．25【答案】B【解析】根据题意，由于角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，,所以,故选B.【考点】解三角形点评：主要是考查了解三角形中正弦定理的运用，属于基础题。
4.△ABC中，若，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】因为，△ABC中，，所以由余弦定理得，，三角形为等腰三角形，故选B。
【考点】正弦定理、余弦定理的应用。
点评：简单题，判定三角形的形状，一般有两种思路，一是转化成角的关系，二是转化成边的关系。
5.在中，，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C【解析】，,三角形是等腰三角形【考点】正余弦定理解三角形点评：要判定三角形形状，一般转化出三边的长度关系或找到三个内角的大小关系，常借助于正余弦定理实现边与角的互相转化6.在中，内角，，所对的边分别是，已知，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,由正弦定理得【考点】解三角形及三角函数基本公式的考查点评：本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化与同角间的三角函数关系及倍角公式，如，，这要求学生对基本公式要熟练掌握7.在中，分别为内角的对边，且，（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状。
新课标必修5解三角形的综合测试(含答案)
北大附中河南分校2010-2011学年上学期高二数学单元测试1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于 （ C ）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ B ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于 （ C ）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是 （ B ）A ．无解B ．一解C ． 二解D ．不能确定5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为 （ C ）A ．3πB ．6πC ．32π D ．3π或32π6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是 （ D ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是 （ B ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,108、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 （ B ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形9、在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是( B )A ．2>xB ．2<xC ．3342<<xD ． 3342≤<x10、（2007重庆）在A B C △中，AB =45A = ，75C = ，则B C =（ A ）Ａ．3-Ｃ．2Ｄ．3+11、（2008福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B,则角B 的值为（ D ） A.6πB.3πC.6π或56π D.3π或23π12、(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a bc a c ==75A ∠=o，则b =( A )A.2 B ．4＋．4—-13、（2008浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b c o s c o s3=-，则=A cos314、(2008湖北)在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .61215、（2007北京）在A B C △中，若1tan 3A =，150C =，1B C =，则A B = .21016、（2007湖南）在A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b，c =，则B = ．65π17、（2007全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =5c =，求b ．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由A B C △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=．所以，b =18、（辽宁省抚顺市2009模拟）在A B C ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(2)cos cos 0a c B b C ++=．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若4a c +=，求A B C ∆面积S 的最大值．解 （Ⅰ）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++=， 即2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++=得2sin cos sin()0A B B C ++=，因为A B C π++=，所以s in ()s in B C A +=，得2sin cos sin 0A B A +=，因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =-，又B 为三角形的内角，所以23πB =（Ⅱ）1sin 2S ac B=，由23πB =及4a c +=得12(4)sin23S a a π=-2(4)4a a =-2(2)]4a =--，又04a <<，所以当2a =时，S取最大值……3分19、（山东省济宁市2009高三第一阶段质量检测）在A B C ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=. （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为,x A BC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值.解：（Ⅰ）在A B C ∆中，由222b c a bc +-=及余弦定理得2221cos 22b c aA bc+-==， 而0A π<<，则3A π=；（Ⅱ）由3a A π==及正弦定理2sin sin sin 2b c a BCA====， 而2,3B xC x π==-222sin ,2sin()(0)33b x c x x ππ==-<<于是22sin 2sin())36y a b c x x x ππ=++=+-=++由203x π<<得5666x πππ<+<，当62x ππ+=即3x π=时，max y =20、（2009北京理） 在A B C ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==。
高二数学解直角三角形试题
高二数学解直角三角形试题1.在ΔABC中，已知==；求证：这个三角形为等边三角形。
【答案】见解析。
【解析】由正弦定理得即，即，所以，得，同理得。
【考点】本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数。
点评：判定或证明三角形的形状，是常见的高考试题，主要有两种思路，一是从边入手，一是从角入手，应根据条件灵活选择。
2.如图，在山底测得山顶仰角∠CAB=450,沿倾斜角为30o的斜坡走1000m至S点，又测得山顶仰角∠DSB=750，则山高BC=（）A．1000m B．1000mC．100m D．100m【答案】B【解析】∵∠BAC=45°，∠SAC=30°，∴∠BAS=15°，∵∠BDE=75°，∠BDS=90°，∴∠SBD=15°，∵∠ABC=45°，∴∠ABS=30°，∠ASB=135°∴在三角形ASB中，由正弦定理得，AB=1000，从而在直角三角形ACB中，BC=1000（米），故选B。
【考点】本题考查正弦定理、直角三角形边角关系及仰角俯角的概念。
点评：关键是根据已知角的关系，认识三角形特征，利用正弦定理及直角三角形边角关系解题。
3.甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米。
甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60o的方向驶去。
当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A．分钟B．小时C．21.5分钟D．2.15分钟【答案】A【解析】两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以B岛为顶点，角度是120度的三角形，设距离最近时航行时间为t（h），此时距离s（km），此时甲船到B岛距离为（10-4t）km，乙船距离B岛6t（km）．cos120°==-0.5，化简得：s2=28t2-20t+100，抛物线开口朝上，在对称轴处s2有最小值，s2取最小值时，t=-小时．故选A。
高二数学解三角形试题答案及解析
高二数学解三角形试题答案及解析1.在△ABC中，sin A sin C>cos A cos C，则△ABC一定是( )．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】D【解析】由sin A sin C>cos A cos C，可得cos (A＋C)<0，∴cos B>0.但A、C不能判断．2.的内角的对边分别为，若，则=______.【答案】【解析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入a2−b2＝bc中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【考点】解三角形.3.若的内角满足，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据正弦定理可将等式转化为，不妨设，则，在内，由余弦定理可得，解出，故选D.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.4.在中，角所对的边分别为，且，.（1）求的值；（2）若，，求三角形ABC的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先用正弦定理将条件中的所有边换成角得到，然后再利用两角和的正弦公式、三角形的内角和定理进行化简可得的值；（2）利用（1）中求得的结果，结合及余弦定理，可计算出的值，然后由（1）中的值，利用同角三角函数的基本关系式求出，最后利用三角形的面积计算公式即可算出三角形的面积.试题解析：（1）由已知及正弦定理可得 2分由两角和的正弦公式得 4分由三角形的内角和可得 5分因为，所以 6分(2)由余弦定理得：9分由（1）知 10分所以 12分.【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.两角和的正弦公式；3.三角形的面积计算公式.5.如图，从高为米的气球上测量铁桥()的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则桥长为米.【答案】【解析】如下图，设于点，则依题意有，则有即，由，得，所以.【考点】解斜三角形.6.在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tgA的值和△ABC的面积.【答案】tgA=－2－，S= (+)ABC【解析】根据题意，由于在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3,则可知tanA=－2－,而对于,。
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2008山东省莱州一中解三角形单元测试题
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题：（每小题5分，共计60分） 1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )
A 直角三角形
B 等腰直角三角形
C D 等腰三角形
2. 在△ABC 中，3c=3，B=300，则a 等于（ ） A 3 B ．3 C 3或3 D ．2
3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）
A ．a=7，b=14，A=300有两解
B ．a=30，b=25，A=1500有一解
C ．a=6，b=9，A=450有两解
D ．a=9，c=10，B=600无解 4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C
B A ，则cos
C 的值为
（ ） A ．41- B ．41 C ．3
2
- D ．32
5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A c
b a sin sin sin ++++等于( )
A ．33
B ．3
39
2
C ．338
D ．2
39
6. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则⋅的值为( )
A ．79
B ．69
C ．5
D ．-5
7.关于x 的方程02
cos cos cos 2
2
=-⋅⋅-C
B A x x 有一个根为1，则△AB
C 一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
8. 设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( ) ＜m ＜3
＜m ＜3
＜m ＜4
＜m ＜6
9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) °
°
°或120° °
10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) °＜A ＜30° °＜A ≤45° °＜A ＜90°
°＜A ＜
60°
11.在△ABC 中，A B B A 2
2sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是 （ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
12. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 11.
二、填空题（每小题4分，满分16分）
13.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA ；③acosB=bcosA ；④sin sin sin a b c
A B C
+=
+. 其中恒成立的等式序号为______________
14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。
15. 在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.
16. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积4
2
22c b a S -+=，则角C=____________．
三、解答题
17. 已知在△ABC 中，A=450
，
BC=2，求解此三角形. （本题满分12分）
18. 在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b ，且最大角为120°，求△ABC 的三边长. （本题满分12分）
19. 在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2
－2 3 x+2=0的两根，角A 、B 满足2sin(A+B)－ 3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积. （本题满分13分）
20. 在△ABC 中，已知边c=10, 又知cosA cosB =b a =4
3
，求a 、b 及△ABC 的内切圆的半径。
（本题满分13分）
21. 如图1，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？ （本题满分12分）
22.在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边c=7
2 ，且
tanA+tanB= 3 tanA ·tanB － 3 ，又△ABC 的面积为S △ABC =33
2 ，求a+b 的
值。
（本题满分12分）
莱州一中正余弦定理单元测试参考答案
1. A 3. B 4. A 5. B 6. D 7. A 8. B 10. B 13. ②④ , ,16. 450
17. 解答：C=120ο B=15ο AC=13-或C=60ο B=75ο
18. 解答：a=14,b=10,c=6
19. 解答：解：由2sin(A+B)－ 3 =0，得sin(A+B)=
3
2
, ∵△ABC 为锐角三角形 图1
C
°
∴A+B=120°, C=60°, 又∵a 、b 是方程x 2
－2 3 x+2=0的两根，∴a+b=2 3 ,
a ·b=2, ∴c 2=a 2+
b 2－2a ·bcosC=(a+b)2
－3ab=12－6=6,
∴c= 6 , S △ABC =12 absinC=12 ×2×32 =3
2 .
20.解答：由
cosA cosB =b a ，sinB sinA =b a ,可得 cosA cosB =sinB sinA
，变形为sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B, 又∵a ≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=
2
π
. ∴△ABC 为直角三角形. 由a 2+b 2=102
和b a =43 ，解得a=6, b=8, ∴内切圆的半径为r=a+b-c 2 =6+8-102 =2
21. 解析：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。
在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9，设∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。
根据余弦定理2
2
2
2cos AC AB BC AB BC α=+-⋅，
()
()2
2
12881202920()2t t t =+-⨯⨯⨯-，212860270t t --=，
（4t －3）（32t+9）=0，解得t=34
，t=9
32
（舍）∴AC=28×34=21 n mile ，BC=20×34=15 n mile 。
根据正弦定理，得15sin 2sin 2114
BC AC
α
β=
==，又∵α=120°，∴β为锐角，β
=arcsin
14
，又14
＜14
＜2，∴
arcsin 14＜4π，∴甲船沿南偏东4
π
－
arcsin 14的方向用
3
4
h 可以追上乙船。
22. 解答：由tanA+tanB= 3 tanA ·tanB － 3 可得
tan tan 1tan tan A B
A B
+-•＝－ 3 ，即tan(A+B)=－ 3
∴tan(π－C)= － 3 , ∴－tanC=－ 3 , ∴tanC= 3 ∵C ∈(0, π), ∴C=
3
π 又△ABC 的面积为S △ABC =332 ，∴12 absinC=33
2
即12 ab ×32 =33
2 , ∴ab=6 又由余弦定理可得c 2
=a 2
+b 2
－2abcosC
∴(72 )2= a 2+b 2
－2abcos 3
π
∴(72 )2= a 2+b 2－ab=(a+b)2
－3ab
∴(a+b)2=121
4 , ∵a+b>0, ∴a+b=112。