随机过程4(34)精品PPT课件

1. 功率谱密度的概念
●工程实际中, 能量有限的信号x(t)称为 能量型信号, 可以定义它的总能量:
x2 (t)dt
当时间趋于无穷时,它的平均功率趋于零.
●另一类信号x(t),其能量是无限的,但平均功率有限.即
P lim 1 T x2(t)dt
T 2T T
称为 功率型信号.周期信号就是常见的功率信号.
说明信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分. 右式也是总能量的谱表达式.
由于实际中很多信号(函数)的总能量是无限的, 不满足绝对可积的条件,所以通常研究x(t)在 (-∞,+ ∞)上的平均功率,即
lim 1 T x2 (t)dt
T 2T T
为了能利用Fouier变换给出平均功率的谱表达式, 构造一个截尾函数:
§4 平稳过程的功率谱密度
● 之前对平稳过程的讨论都是在进行的. 在时域上描述了平稳过程的统计特征.
● 但对许多物理和工程领域中问题,不仅要研究其 在时域上的特性,还要研究其在频域内的特征,即 从频率的角度来研究随机过程的统计特征. 例如对信号处理、线性系统分析以及随机振动的 研究. 其中广泛采用的方法是频率域分析方法.
T e jt X (t)dt
T
称 lim E[ 1 T X 2 (t) dt] 为过程的平均功率.
T 2T T
定理1 设{X(t), -∞<t<+ ∞}是平稳过程,若RX(τ) 绝对可积,则有
S X
()
lim
T t
T
lim 1
T 2T
E[ FX (,T ) 2 ]=
即
S（x ）
lim 1 T 2T
Fx (,T )
2
lim
T
1 2T
T
2
e jt x(t)dt
T
为确定性信号x(t)在处的功率谱密度
定义 设{X(t), -∞<t<+ ∞}是平稳过程,则称
lim
1E
T
2
e jt X (t)dt
T 2T
T
为平稳过程的功率谱密度. 简称谱密度. 并记
FX (,T )
n
f (z)dz 2 j Res[ f (z), zk ]
第一式说明功率谱密度曲线下的总面积(平均功率) 等于平稳过程的均方值.
第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数 曲线下的总面积.
谱密度的计算
●广义积分-可利用复变函数中的留数定理 ● 利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等
● 利用已知的一些性质计算，P97
留数定理 函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2 ,..., zn外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条 正向简单闭曲线，则
特别 对实平稳过程, 有RX ( ) RX ( )
S（X ）
e
j
RX
(
)d
e
j
RX
(
)d
e
j(
)
RX
(
)d
S（X -） S（X -） S（X ）
性质2 说明
1
RX (0) 2
S（X ）d
S（X 0）
RX ( )d
平均功率
以上是 0， 0时,两对特殊的Fourier变换.
SX ()
e
j
RX
(
)d
,
RX
(
)
1
2
e
j
S
X
(
)d
- -
称上式为维纳-辛锌公式
2. 谱密度的性质和计算
性质1 平稳过程的谱密度是非负实函数. 特别 实平稳过程的谱密度是非负实偶函数.
证明
S X
()
lim
T
1 2T
E
T
2
e jt X (t)dt
T
SX ()为非负实函数.
T x2 (t)dt lim 1
T
T 4T
2
Fx (,T ) d
1
2
1
lim
T 2T
2
Fx (,T ) d
1
lim
1
2
T e jt x(t)dt d
2 T 2T T
称
S（x ）
1 lim T 2T
Fx (,T
)
2
lim
T
1 2T
T
2
e jt x(t)dt
T
为（x t）在处的功率谱密度
设有确定性信号x(t)(时间函数)在区间(-∞,+ ∞)上绝对 可积,则x(t)的Fouier变换存在 (或说x(t)具有频谱).
Fx ()
x(t)e jt dt
逆变换
x(t)
1
2
Fx ()e jtd
记 W x2(t)dt 为x(t)在(-,+)上的总能量
则
W
x2 (t)dt
● 频率域分析方法的重要工具是 Fouier变换, 它可以确定时域与频域的转换关系.
●为了在频域上描述平稳过程的统计特征，需要 研究相关函数的谱分析。为此要引入谱密度. 谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标. 数学上 它是相关函数的Fouier变换,它的物理 意义是功率谱密度.
● 时域分析法与频域分析法相互联系,且各有优 点,构成了研究平稳过程的两个重要分支.
令
xT
(t
)
x(t 0
)
t T t T
则 xT (t)绝对可积，存在Fourier变换以及逆变换
Fx (,T )
e
jt xT
(t)dt
T e jt x(t)dt
T
由Parseval等式
xT2
(t)dt
T x2 (t)dt 1
T
2
Fx (,T )
2
d
1 lim T 2T
(u)du
e jwuRT (u)du
X
(令
RXT
(
)
（ 1
2T
)RX
(
)
0
2T ,
2T
则
lim
RXT
(
)
RX
(
)
)
lim T
e R jwu T (u)du
X
e
jwu
RX
(u)du
SX
()
即
SX
()
lim
T
1 2T
E
T
2
e jt X (t)dt
T
注意：从上面的定理看出，若平稳过程{X(t), t∈T}的 相关函数RX(τ)绝对可积，则相关函数的傅里叶变换和 逆变换存在，即有
+ -
R（X u）e-
ju
du
证
1E
T
2
e jt X (t)dt
2T T
1 E[ T e js X (s)ds T e jt X (t)dt]
2T T
T
1
2T
T T
T T
e
R j ( t s ) X
(t
s)dsdt
(令
u t s
v
t
) s
2T 2T
(1
u 2T
)e
R jwu X
x(t)[
1
2
Fx ()e jtd]dt
1
2
[Fx ()
x(t)e jtdt]d
1
2
2
Fx () d
即
x2 (t)dt 1
2
2
Fx () d
( Parseval等式)
即
x2(t)dt 1
2
2
Fx () d
左边为x(t)在(-,+)上的总能量
右边的被积式 Fx () 2 称为信号x(t)的能谱密度.