9正交试验设计

正交试验设计
引例1 如果有s 个因素，各因素分别有
种水平，共有 r1 r2 rr 种组合水平
r1 , r2 , , rs
在每一种组合水平上都作一次试验，总共要作 r1 r2 rr
次试验。
例如：有4个因素，每个因素有3种水平，总共要作
4 3 8 1 次试验。
问题：在减少试验次数的条件下，检验每个因素对试 验结果的作用是否显著？
Y 3 Y5 Y 7 Y9 a 1 b3 c 3 3 , Y 4 a 2 b1 c 2 4 a 2 b2 c3 5 , Y a b c 6 2 3 1 6 a 3 b1 c 3 7 , Y a b c 8 3 2 1 8 a1 b3 c 2 9
记样本总平均 Y
Y 1 3 1 3
A A
1
Y 9
i 1
A
9
i
k1 k 2 k 3
C C


1 3
k1 k 2 k 3
B B
B

k1 k 2 k 3
9
C
总离差平方和
QT
(Y
i 1
i
Y)
2
QT


3 i 1 6
9
(Yi Y )
Y5
Y6 Y7
A3 B1 C 3 A3 B 2 C 1 A3 B 3 C 2
Y8 Y9
令
K 1 Y1 Y 4 Y 7 ,
B
K 2 Y 2 Y 5 Y8
B
K 3 Y3 Y 6 Y9
B
=>因素B在1,2,3水平上试验值的平均数分别为
k1
B
1 3
K1 ,
B
k2
Y1 Y 2 Y3 Y4 Y5 Y 6 Y7 Y8 Y 9
a 1 b1 c1 1 a1 b 2 c 2 2 a1 b3 c 3 3 a 2 b1 c 2 4 a 2 b2 c3 5 a 2 b 3 c1 6 a 3 b1 c 3 7 a 3 b 2 c1 8 a1 b3 c 2 9
Y3
Y4
4
5 6 7 8 9
Y5
Y6 Y7
A3 B1 C 3 A3 B 2 C 1 A3 B 3 C 2
Y8 Y9
假定因素A,B,C没有交互作用。 设因素A在水平 A1 , A2 , A3 上的效应分别为 a1 , a 2 , a 3 因素B在水平 B1 , B 2 , B 3 上的效应分别为 b1 , b 2 , b3 因素C在水平 C 1 , C 2 , C 3 上的效应分别为 c1 , c 2 , c 3
用碱量(C)
假设三个因素中的任意二个都没有交互作用。 问：反应温度、反应时间和用碱量分别对转化 率有无显著影响？ 对正交表的要求： （1）正交表中水平数S与每个因素水平数一致 （2）正交表中因子数r大于或等于实际因素数 （3）选用试验次数n较少的正交表 =>选用
L9 3
4
例1
，因为试验次数少一些。
2
约束条件
a1 a 2 a 3 0 b1 b 2 b3 0 c1 c 2 c 3 0
i ~ N 0,

试验号
1 2 3
列号
1 (A)
1 1 1 2 2 2 3 3 3
2 (B)
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 (C)
1 2 3 2 3 1 3 1 2
2
约束条件
a1 a 2 a 3 0 b1 b 2 b3 0 c1 c 2 c 3 0
i ~ N 0,

检验假设
H 0 1 : a1 a 2 a 3 0 H 0 2 : b1 b 2 b3 0 H 0 3 : c1 c 2 c 3 0
记
K 1 Y1 Y 2 Y3 ,
A
K 2 Y 4 Y5 Y 6
A
K 3 Y 7 Y8 Y 9
A
k1
A
1 3
K1 ,
A
k2
A
1 3
K2 ,
A
k3
A
1 3
K3
A
k 1 , k 2 , k 3 分别表示因素A在1,2,3水平上试验值
A
A
A
的平均数。
试验号
1 2 3
组合水平
A1 B1 C 1 A1 B 2 C 2
试验值
Y1
Y2
A1 B 3 C 3 A 2 B1 C 2 A2 B 2 C 3 A2 B 3 C 1
Y3
Y4
4
5 6 7 8 9
Y5
Y6 Y7
A3 B1 C 3 A3 B 2 C 1 A3 B 3 C 2
Y8 Y9
检验假设
H 0 1 : a1 a 2 a 3 0 H 0 2 : b1 b 2 b3 0 H 0 3 : c1 c 2 c 3 0
4
1 2 3 3 1 2
2
3 1
常用的正交表有
正交表有如下两个性质: (1) 每列中不同水平出现的次数相等(n/s) (2)任意两列,将同一横行的两个数字看成有序数对 时,每种数对出现的次数相等.(n/s2)
例1 为了考察影响某种化工产品转化率的因素，选 择三个有关因素： 反应温度（A）、反应时间（B）、用碱量（C）
效应表示一个因素在某种水平上与总体平均数的偏差。 数学模型：
Y1 Y3 Y5 Y 7 Y9 a 1 b1 c1 1 ,
Y 2 a1 b 2 c 2 2
a 1 b3 c 3 3 , Y 4 a 2 b1 c 2 4 a 2 b2 c3 5 , Y a b c 6 2 3 1 6 a 3 b1 c 3 7 , Y a b c 8 3 2 1 8 a1 b3 c 2 9
5
6 7 8
2
2 2 2
1
1 2 2
2
2 1 1
L ——正交表 2——水平数
8——试验次数 7——表中最多可安排的因素数
L9 3
4

列号 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 2 2 2 3 3 3
正交表
试验号
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3
1 2 3 2 3 1 3 1 2
A
2
( k 3 Y ) ( k 3 Y ) ( k 3 Y ) (Yi k 3 k 3 k 3 2 Y )
正交试验的方差分析法
设因素A在水平 A1 , A2 , A3 上的效应分别为 a1 , a 2 , a 3
因素B在水平 B1 , B 2 , B 3 上的效应分别为 b1 , b 2 , b3 因素C在水平 C 1 , C 2 , C 3 上的效应分别为 c1 , c 2 , c 3
数学模型： Y1 a 1 b1 c1 1 , Y 2 a1 b 2 c 2 2
借助正交表可以选出具有代表性的实验,以较少 的实验次数所取得的数据进行统计分析,而能得到满 意的结果.------对较多因子进行较少次数的实验,希望 获得较好的检验效果.
本章只介绍如何使用正交表安排实验,并进 行统计分析,而不讨论正交表的构造原理.
1. 不考虑交互作用的正交设计
试验号 列号 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 5 1 2 1 2 2 1 2 1 6 1 2 2 1 1 2 2 1 7 1 2 2 1 2 1 1 2
将A,B,C三个因素放到表头“列号”的前三列，
在表中的组合水平上作试验。
试验号
1 2 3
列号
1 (A)
1 1 1 2 2 2 3 3 3
2 (B)
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 (C)
1 2 3 2 3 1 3 1 2
组合水平
A1 B1 C 1 A1 B 2 C 2
试验值
Y1
Y2
A1 B 3 C 3 A 2 B1 C 2 A2 B 2 C 3 A2 B 3 C 1
A
K 1 141,
B
K 2 165,
B
K 3 144
B
K 1 1 3 5,
C
k 2 1 7 1,
C
k3 144
C
=>试验值的平均值
k 1 4 1,
A
k 2 4 8,
A
k3 61
A
k 1 47,
B
k 2 55,
B
k 3 48
B
k 1 4 5,
C
k2 57,
wk.baidu.com
Y1 Y 2 Y3 Y4 Y5 Y 6 Y7 Y8 Y 9
a 1 b1 c1 1 a1 b 2 c 2 2 a1 b3 c 3 3 a 2 b1 c 2 4 a 2 b2 c3 5 a 2 b 3 c1 6 a 3 b1 c 3 7 a 3 b 2 c1 8 a1 b3 c 2 9
C
k3 48
C
试验值的平均值
k 1 4 1,
A
k 2 4 8,
A
k3 61
A
k 1 47,
B
k 2 55,
B
k 3 48
B
k 1 4 5,
C
k2 57,
C
k3 48
C
=>因素A的极差为 6 1 4 1 2 0 因素B的极差为 55 47 8 因素C的极差为 5 7 4 5 1 2 =>因素A对转化率的影响最大 因素B对转化率的影响最小
B
1 3
K2 ,
C
B
k3
B
1 3
K3
B
令
K 1 Y1 Y 6 Y8 ,
C
K 2 Y 2 Y 4 Y9
K 3 Y3 Y5 Y 7
C
=>因素C在1,2,3水平上试验值的平均数分别为
k1
C
1 3
K1 ,
C
k2
C
1 3
K2 ,
C
k3
C
1 3
K3
C
化工产品转化率的试验值
A 1
2
i 1
(k
i4 9
Y ) ( k 1 Y ) ( k 1 Y ) (Yi k 1 k 1 k 1 2 Y )
B C A B C B C A B C
2
( k 2 Y ) ( k 2 Y ) ( k 2 Y ) (Yi k 2 k 2 k 2 2 Y )
每个因素取三种水平，列表如下： 水平 1 2 3
因素
反应温度(A)
8 0 C ( A1 ) 9 0 分 ( B1 ) 5% ( C 1 ) 8 5 C ( A2 ) 120分 ( B2 ) 6 % (C 2 ) 9 0 C ( A3 ) 1 5 0分 ( B3 ) 7 % (C 3 )
反应时间(B)
如果实验之前,不对实验进行合理的设计,不仅会 造成浪费,而且即使实验次数进行得较多,结果却不一 定会令人满意,因此合理地安排一定数量的实验,就可 获得足够的信息,这是个值得研究的问题. 实验设计是数理统计的一个重要的分支.实验设计 的种类很多,其中正交实验设计是通过事先设计好的一 套”正交表”来安排实验的.
试验号
1 2
A
1 1 1 2 2 2
B
1 2
C
1 2
转化率
31
54
38
3
4
3
1 2
3
2
53 49
42
5
6 7
3
1
3
1 2
3 3 3
3
2 1
57 62 64
8
9
3
由转化率试验值,计算得
K1 31 54 38 123
A
K 2 53 49 42 144
A
K 3 57 62 64 183
列号
1 (A)
1 1 1 2 2 2 3 3 3
2 (B)
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 (C)
1 2 3 2 3 1 3 1 2
组合水平
A1 B1 C 1 A1 B 2 C 2
试验值
Y1
Y2
A1 B 3 C 3 A 2 B1 C 2 A2 B 2 C 3 A2 B 3 C 1
Y3
Y4
4
5 6 7 8 9