北京市朝阳区2020届高三上学期期中考试数学试题 (含答案)

北京市朝阳区2020届第一学期高三年级期中试卷

数 学

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{

}

2

4A x Z x =∈<，{1,2}B =-，则A B =U ( ) A. {1}- B. {1,2}- C. {1,0,1,2}- D. {2,1,0,1,2}--

【答案】C 【解析】 【分析】

根据一元二次不等式的解法求得集合A ，根据并集定义求得结果.

【详解】{}

{}221,0,1A x Z x =∈-<<=-Q ，{}1,2B =- {}1,0,1,2A B ∴=-U 故选：C

【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.

2.已知α∈,2ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

，且sin α＝35，则tan α＝( )

A.

3

4

B. 34

- C.

43 D. 43

-

【答案】B 【解析】

由sin α＝

35，α∈,2ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

得cos α4,5所以tan α＝

sin 3.cos 4σσ=- 故答案为：B 。

3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A. 3y x =- B. sin()y x =- C. 2log y x = D. 22x

x

y -=-

【答案】D 【解析】 【分析】

3y x =-与()sin y x =-在()0,1上单调递减，可排除,A B ；2log y x =为偶函数，可排除

C ；根据奇偶性定义和单调性的性质可验证出

D 正确.

【详解】A 中，3

y x =在()0,1上单调递增 3

y x ∴=-在()0,1上单调递减，A 错误；

B 中，sin y x =在()0,1上单调递增 ()sin sin y x x ∴=-=-在()0,1上单调递减，B 错

误；

C 中，22log log x x -= 2log y x ∴=为偶函数，C 错误；

D 中，()

2222x x x x ---=-- 22x x

y -∴=-为奇函数

2x -在()0,1上单调递减，2x 在()0,1上单调递增 22x x

y -∴=-在()0,1上单调递增，

D 正确. 故选：D

【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判断，属于基础题. 4.关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2； ③函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

上单调递减. 其中，所有正确结论的序号是( )

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ①②③

【答案】B 【解析】 【分析】

利用辅助角公式化简函数为()4f x x π⎛

⎫=

+ ⎪⎝

⎭；根据正弦型函数最小正周期和最值的

求解可知①正确，②错误；利用x 的范围求得4

x π

+

的范围，对应正弦函数的单调性可得

()f x 单调性，知③正确.

【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛

⎫=+=

+ ⎪⎝

⎭

()

f x 最小正周期2T π=，①正确；()max f x

当,2x ππ⎛⎫∈

⎪⎝⎭时，35,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭

，则()f x 在,2x ππ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭时单调递减，③正确 故选：B

【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期、值域和单调区间的求解问题；处理正弦型函数单调性问题的关键是能够采用整体对应的方式，利用角整体所处的范围与正弦函数图象相对应，从而得到结论.

5.已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A. 若αβ⊥，则//m β B. 若αβ⊥，则m β⊥ C. 若//m β，则//αβ D. 若m β⊥，则αβ⊥

【答案】D 【解析】 【分析】

通过反例可确定,,A B C 错误；由面面垂直的判定定理可知D 正确.

【详解】若αβ⊥且m α⊂，则m 与β相交、平行或m β⊂，A ，B 错误； 若//m β且m α⊂，则α与β可能相交或平行，C 错误；

由面面垂直判定定理可知，D 选项的已知条件符合定理，则αβ⊥，D 正确. 故选：D

【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，关键是能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理. 6.已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A. 1(0,

)2

B. 1

(

,1)2

C. (1,2)

D.

(2,)+∞

【答案】B 【解析】 【分析】

将问题转化为()2g x x =-与1y kx =-恒有两个交点，采用数形结合的方式作出()g x 图象，由1y kx =-恒过()0,1-可通过图像确定斜率的临界值，进而得到所求范围. 【详解】()21f x x kx =--+恰有两个零点等价于()2g x x =-与1y kx =-恒有两个交点

又()2,2

22,2x x g x x x x -≥⎧=-=⎨

-<⎩

，则()g x 图象如下图所示：

1y kx =-Q 恒过点()0,1B -

∴如上图所示：

当直线11y k x =-过()2,0A 时，直线与()g x 有且仅有一个交点 1011

202

k +∴==- 且当21k =时，21y k x =-与()g x 有且仅有一个交点