球的组合体

球的组合体
1若一个球的体积为，则它的表面积为
一． 球截面问题
1 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
2.已知四面体ABCD 中
,AB=AD=6,AC=4,CD=2,AB ⊥平面ACD,则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ）
A ．36
B ．88
C ．92
D ．128
3.已知矩形A B C D 的顶点都在半径为4的球面上,且AB =6,BC =,则棱锥O ABCD -的体积为__________.
4球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
5.已知三棱锥O —ABC ,A .B ．C 三点均在球心为0的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥O —ABC 则球O 的表面积是
（ ）
A ．64π
B ．16π
C ．32
3π D ．544π
6.已知四面体中,,平面,则四面体外接球的体积为____
13ππππP ABC -4,2PA PB PC AC ====PB ⊥PAC P ABC -
二． 球心可见问题：
1在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折
成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体
积为 A.
12512π B.1259π C.1256π D.1253π
2已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱
锥的体积为
三．补形问题（正方体、长方体）
1求棱长为a 的正四面体外接球和内切球的体积？
2.正四棱锥S ABCD -
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为
3自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值．
S ABC -O ABC
∆1SC O 2SC =()
A 6()
B ()
C 3()
D 2A O D B
图4
四．其他有关问题
1把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
2正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径h r 4
1=
(h 为正四面体的高)，且外接球的半径r R 3=．
1把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
解：如图，球O 是正三棱锥ABC P -的内切球，O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R ．
PH 是正三棱锥的高，即1=PH ．E 是BC 边中点，H 在AE 上，
ABC ∆的边长为62，∴2626
3=⨯=HE ．∴3=PE 可以得到2321=⋅=
==∆∆∆PE BC S S S PBC PAC PAB ．36)62(432==∆ABC S 由等体积法，ABC O PBC O PAC O PAB O ABC P V V V V V -----+++= ∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯36313233113631得：263
3232-=+=R ， ∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球．∴33)26(3434-==
ππR V 球．
一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为π34，则该正方体的表面积为.
解析：由343
R π=
得R ，所以2a =，表面积为2624a =. 1.求棱长为a 的正四面体外接球和内切球的体积？
解一：如图设ABCD 是棱长为a 的正四面体
作AO 1⊥平面BCD 于O 1，则O 1为ΔBCD 的中心
则BO 1＝a 3
3a 2332＝⨯ ∴AO 1＝a 36a 33a 22＝－⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 在平面ABO 1内作AB 的垂直平分线交AO 1于O ，则AO ＝BO ＝CO ＝
DO
且O 到平面BCD 、ABC 、ACD 、ABD 的距离相等 ∴O 是ΔACD 的内切球，外接球球心 ∵1AO AE AB AO =，∴AO ＝a 46a 3
6a 2＝⨯a ∴OO 1＝a 12
6a 46a 36＝－ ∴ABCD 的外接球的体积为33a 86a 4634π＝π⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛, ABCD 的内切球的体积为33a 216
6a 12634π＝π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。

解二、4×1/3×a 432×r=1/3×a 432×a 3
6 r=a 126 R=a 36- r=a 46a 3
6a 2＝⨯a。