最新三垂线定理及逆定理0ppt课件

BC⊥AM
∴PM是AM在平面PBC上的射影
C
M B
(3) 在正方体AC1中，
D1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 A1
证明： ∵在正方体AC1中
A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
D A
C1 B1
C B
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 D1
由三垂线定理知
A1C⊥BC1
A1
D 同理可证， A1C⊥B1D1
线，AO是PO在平面
A Oa
的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面 线射垂直
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
定 理
逆 定 理
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和
这个平面的一条斜线垂直，那
面 的垂线和斜线，AO 是PO在平面 的射影，
l P
a , a ⊥AO，
l 平行于 a 。
求证： l 垂直于PO
A Oa α
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
b
顾 不在平面内，定理 就不一定成立。
Oa
αA
练习：
判断下列命题的真假：
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
D1 A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
（
×
）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射
证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点
O B
∴ AO⊥BD
PO⊥BD
又AO是PO在ABCD上的射影
同理，AC⊥BD PC⊥BD
AO是PO在ABCD上的射影
D C
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， P
M是BC的中点，
求证：BC⊥AM
证明: ∵ PB=PC
A
M是BC的中点
PM ⊥BC ∵PA⊥平面PBC
A
C1 B1
C B
我们要学会从纷繁的已知条件中找出
或者创造出符合三垂线定理的条件，怎么找？
P
解
AO a
题
A Oa
回α
顾 A1
C1 B1
α
PP
C
A
B
C
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？
解 题 一找直线和平面垂直
回 顾
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
P
A Oa α
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
B
D
同理CO⊥BD，
于是O是△BCD的垂心， ∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
OC
应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤:
“一垂二射三证明” “一垂”:找平面及平面的垂线 “二射”:找斜线在平面上的射影 “三证明”:用定理证明直线垂直
例3、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，
三垂线定理及逆定理0ppt课件
1、直线与平面垂直的判定方法： （1）定义；（2）判定定理；（3）例1 2、直线与平面垂直的性质： （1）定义；（2）性质定理； （3）例3 3、直线与平面垂直和直线与直线垂直是可以相互转化的.
4、应用判定定理时，一定要弄清条件.
5、两个唯一结论.
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平 面ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
使用三垂线定理还应注意些什么？
三垂线定理是平面
P
解 的一条斜线与平面内的
题 回 顾
直线垂直的判定定理， 这两条直线可以是：
①相交直线
α
e dc A
②异面直线
O ba
注意：如果将定理中 例如：当 b⊥ 时，
“在平面内”的条件
b⊥OA
去掉，结论仍然成立
解题 吗？
但 b不垂直于OP
P
回 直线a 在一定要在 平面内，如果 a
证明： ∵? PO ⊥?
?
EB O
C F
∴OE、OF是PE、PF在内的射影
∵ PE=PF
∴ OE=OF
由OE是PE的射影且PE同⊥理AB可得OOFE⊥⊥AACB
结 论 成 立
例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
A
连接BO，CO，DO，则BO，
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
O B
D A
C
(1)
(2)
A1
C
D
B1 C
MA
B
B (3)
P (1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为
对角线BD的中点，
A
求证：PO⊥BD，PC⊥BD
线斜垂直
么，它也和这条斜线的射影垂
直。
例3若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等, 则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，
PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
P
求证：∠BAO=∠CAO
分析： 要证 ∠BAO=∠CAO
只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC A
？ 三垂线定理的逆定理
线射垂直 P
P 线斜垂直
A Oa α
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
A Oa α
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
影则a⊥b
（× ）
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
则 a⊥b
（√ ）
D
C
A
B
面ABCD →面α 面直直面 直 直面直直A线线线线BA线线B1ABBBAACAB11CC1BDCB11CDCBC→→→→→1→→→→垂面斜垂斜斜垂面面线α线线线线线αβbabaab
已知：PA，PO分别是平
证明：∵ P 是平面ABC 外一点
PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线
P
∴AC是PC在平面ABC上的射影
∵BCBC
A
O
M
B C
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD