二项分布与poisson分布

查附表得死亡率的95％的可信区间为 3％～56％。
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用：
• 总体率的估计 2.正态近似法
当样本含量n足够大，且样本率p或1-p均不太小，如np与n（1-p）均大 于5时，样本率p的抽样分布近似正态分布，总体率π的可信区间可按下
P(5) 0.855 0.443705313
最多1人有效的概率为： P(X ≤ 1)=P(0)+P(1)
P( X 1) P(0) P(1) 0.155 C51 (0.15)51 0.85 0.002227501
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的性质：
1 0.008 3 0.032 3 0.1281 0.512 1.0000
P( X ) C3X 0.8X (1 0.8)3X
P(1)
C
1 n
(1
) n1
1
3! (1 1!(3 1)!
0.8) 31 0.81
0.096
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布（binomial distribution）概念：
可以证明：当 n 和 n(1) 均大于5时， X ~ N (n , n (1 ))
或
p ~ N ( , (1 )
n
p X n
在 H 0 : 0 0.75 成立的前提下，得：
U
| X n 0 | ~ N (0,1) n 0 (1 0 )
或
U
| P 0 | ~ N (0,1) 0 (1 0 )
列式进行估计。
p u / 2 S p
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用：
• 总体率的估计
p u / 2 S p
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用：
• 服从二项分布资料的假设检验
6.1 二项分布(binomial distribution)
1. 二项分布的累计概率（cumulative probability）
常用的有左侧累计和右侧累计两种方法。
从阳性率为π的总体中随机抽取n个个体，则 （1）最多有k例阳性的概率 P（X≤k）= P（0）+ P（1）+…+ P（k） (2）最少有k例阳性的概率 P（X≥k）= P（k）+ P（k +1）+…P（n）
2. 二项分布的累计概率（cumulative probability）
至少3人有效的概率：P(X≥3)=P(3)+P(4)+P(5)
P(3) 3！(55！ 3)！ (0.15)2 (0.85)3 0.138178125
P(4) P(3 1) 5 3 0.85 0.138178125 0.391504688 3 1 1 0.85
[(1 ) ]n (1 )n Cn1 (1 ) n1 1 Cn2 (1 )n2 2
C
X n
(1
)
n
X
X
Cnn1 (1 ) n1
n
0.8 (1 0.8) 3 C30 0.80 (1 0.8)30 C310.81(1 0.8)31 C32 0.82 (1 0.8)32 C33 0.83 (1 0.8)33
=1- P（X≤k-1） 其中，X=0,1,2,…,k,…,n。
例题：据以往经验，用某药治疗小儿上呼吸道感染、支气管炎，有效率 为85％，今有5个患者用该药治疗，问：① 至少3人有效的概率为多 少？② 最多1人有效的概率为多少？
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的性质：
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 贝努里试验（Bernoulli trial）
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 贝努里试验（Bernoulli trial）
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 贝努里试验（Bernoulli trial）
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 贝努里试验（Bernoulli trial）
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布（binomial distribution）概念： • 二项分布（binomial distribution）是指在只会产生两种可能结果如“
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布（binomial distribution）概念：
0.8 (1 0.8) 3 C30 0.80 (1 0.8)30 C310.81(1 0.8)31 C32 0.82 (1 0.8)32 C33 0.83 (1 0.8)33
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布（binomial distribution）概念： • 该实验是逐只进行的，其实验结果相互独立，根据概率的乘法法则（几 个独立事件同时发生的概率，等于各独立事件的概率之积），可算出每种 排列方式的概率以及每种组合方式的概率，见第（3）、（4）栏。每种组 合的概率分布服从二项展开式：
■ 二项分布的应用： • 服从二项分布资料的假设检验
样本率与总体率的比较
P(
X
)
C
X n
X
(1
)nX
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用：
• 服从二项分布资料的假设检验 2 正态近似法
当二项分布的 n 和 n(1 ) 均大于5时，可用正态近似法。
例：已知接种乙型肝炎血源疫苗的抗－HBs的阳转率为75％，今用乙型肝炎 基因工程疫苗接种100人，其中抗－HBs的阳转者90例。试推断乙型肝炎基因 工程疫苗接种是否能提高抗－HBs的阳转率？
■ 二项分布的应用：
• 服从二项分布资料的假设检验
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用：
• 服从二项分布资料的假设检验 1 直接概率法 例题：某疾病预防控制中心，以往对辖区内锡克氏试验反应阳性的8-15岁 学生接种吸附精制白喉类毒素，后锡克氏试验总阴转率为49.5％。现用一 种新的吸附精制白喉类毒素制剂接种内锡克氏试验反应阳性的8-15岁学生 10人，结果有8人锡克氏试验转阴。试推断该剂型的吸附精制白喉类毒素 能否提高锡克氏试验总阴转率？
阳性”或“阴性”之一的n次独立重复试验（称为n重Bernoulli试验） 中，当每次试验的“阳性”概率保持不变时，出现“阳性”的次数X=0 ，1，2，…，n的一种概率分布。
• 从阳性率为π的总体中随机抽取大小为n的样本，则出现阳性数为X 的概率分布即呈二项分布，记为X～B(n，π)，
P(X )
n! X (1 )nX
n
本例：U | 82 100 0.75 | 3.461 100 0.75(1 0.75)
（3）确定P值，做出结论
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 复习中学的有关数学概念
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 复习中学的有关数学概念
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 贝努里试验（Bernoulli trial）
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 贝努里试验（Bernoulli trial）
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用： • 服从二项分布资料的假设检验 样本率与总体率的比较
1 直接概率法
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用： • 服从二项分布资料的假设检验
样本率与总体率的比较
6.1 二项分布(binomial distribution)
（3）二项分布的正态近似条件： n 和 n(1 ) 均大于5。
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用：
• 总体率的估计 1.查表法
当样本含量n较小，如n≤50，特别是p很接近于0或1时，按二项分布的原理
估计总体率的可信区间。因为其计算过程较复杂，统计学家已经编制了百分
率的可信区间可直接根据样本含量n和阳性数X查出总体率的可信区间。
由于附表百分率的可信区间中X值只列出了X≤n/2的部分，当X＞n/2时，应 以n-X 查表，，再从100中减去查得的数值即为所求可信区间。
例题：实验用大白鼠10只，注射某一剂量毒物后有2只死亡，求该毒物 引起大白鼠死亡率的95％的可信区间？
1 0.008 3 0.032 3 0.1281 0.512 1.0000
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布（binomial distribution）概念：
0.8 (1 0.8) 3 C30 0.80 (1 0.8)30 C310.81(1 0.8)31 C32 0.82 (1 0.8)32 C33 0.83 (1 0.8)33
则p的总体均数、方差和标准差：
2 p
(1
n
)
p
(1 )
n
p 是率（ p）的标准差， 又称率的标准误，它反映 率的抽样误差的大小。
当仅知道样本率时，则率 的标准差（或标准误）的 估计公式为：
Sp
p(1 p) n
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的性质：
3.二项分布的图形及其正态近似条件
已知π和n，就能按公式计算X=Βιβλιοθήκη Baidu，1，…，n时的P（X）值。以X为横坐 标，以P（X）为纵坐标作图，即可绘出二项分布的图形：
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的性质：
3.二项分布的图形及其正态近似条件
6.1 二项分布(binomial distribution)
本例： n 和 n(1 ) 均大于5时，可用正态近似法。
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用： • 服从二项分布资料的假设检验
（1）建立检验假设，确定检验水准 H 0 : 0 0.75 （2）选定检验方法，计算统计量 H1 : 0 0.05
■ 二项分布的性质：
3.二项分布的图形及其正态近似条件
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的性质：
3.二项分布的图形及其正态近似条件
结论：
二项分布的形状取决于π和n的大小： （1）当π=0.5时，分布对称；当π＜0.5时，分布呈正偏态，且固定n 时, π越小，分布越偏；当π＞0.5时，分布呈负偏态，且固定n时, π越大，分布越偏。 （2）对固定的π，分布随n的增大趋于对称。
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用条件：
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的性质：
1. 二项分布的均数和标准差
总体均数： n
总体方差： 2 n (1 )
总体标准差： n (1 )
如果将出现阳性结果的频率记为：p X n
Chap7. 二项分布(binomial distribution)与 poisson 分布（poisson distribution）
xjli@sdu.edu.cn School of public health Shandong University
6.1 二项分布(binomial distribution)
X !(n X )!
X 0,1, 2,, n
P( X
)
C
X n
X
(1
)nX
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布（binomial distribution）概念： • 例3.4 设小白鼠接受一定剂量的某种毒物时的死亡率为80%。若每组各用甲乙丙
3只小白鼠逐个做实验，观察每组小白鼠的存亡情况。如果考虑生、死的顺序时， 则有8种排列方式；如果不考虑生、死的顺序只考虑生死的数目时，则有4种组合方 式，如表3-4第（3）、（4）栏所示。