新高考数学艺考生总复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第5节基本不等式冲关训练
高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语与不等式15基本不等式课件苏教版
39
求解本题的关键是将等式“2a＋b＝ab－1”变形为“a b＋1 ＝b－2，然后借助配凑法求最值．
40
(2019·新余模拟)已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2
ab
3 1 12
－c＝0，则当 c 取得最大值时，a＋b－ c 的最大值为( )
A．3
9 B.4
C．1
D．0
41
C [由正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2＝c，得
50
[解](1)当x∈[50,80)时，y＝
1 75
(x2－130x＋4
900)＝
1 75
[(x－65)2＋
675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为715×675＝9.
当x∈[80,120]时，函数y＝12－6x0单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－16200＝10.
25
3
1
[因为x<
5 4
，所以5－4x>0，则y＝4x＋
1 4x－5
＝－
5－4x＋5－14x＋5≤－2 5－4x×5－14x＋5＝－2＋5＝3.
当且仅当5－4x＝5－14x，即x＝1时，等号成立．
故y＝4x＋4x－1 5的最大值为3.此时x＝1.]
26
(1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件，常见的错误
49
经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y(L) 与 速 度 x(km/h)(50≤x≤120) 的 关 系 可 近 似 表 示 为 y ＝
715x2－130x＋4 900，x∈[50，80，
x 12－60，x∈[80，120].
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？ (2)已知 A，B 两地相距 120 km，假定该型号汽车匀速从 A 地驶 向 B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
2025届高考数学一轮复习讲义集合、常用逻辑用语与不等式之 基本不等式
＋
≥
2
D. 不等式a2＋b2≥2ab与
有相同的成立条件
2. 矩形两边长分别为 a ， b ，且 a ＋2 b ＝6，则矩形面积的最大值是(
A. 4
B.
9
2
C.
3 2
2
B )
D. 2
[解析] 依题意可得 a ＞0， b ＞0，则6＝ a ＋2 b ≥2 ·2 ＝2 2 · ，当且仅当源自−2−2＝6，当且仅当
4
·(
−2
− 2) ＋2
4
4
＝ x －2，即 x ＝4时取“＝”，所以
＋ x 的最小值是6.
−2
−2
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
利用基本不等式求最值
角度1 配凑法
例1
为(
A. 4
9
4
(1)[2024四川省南充第一中学模拟]已知 a ＞ b ＞0，则2 a ＋
叫做 a ， b 的几何平均
数.基本不等式表明：正数 a ， b 的算术平均数不小于它们的几何平均数.
注意
若 a ＜0， b ＜0，应先转化为－ a ＞0，－ b ＞0，再运用基本不等式求解.
2. 几个重要不等式
(1) a 2＋ b 2≥2 ab ( a ， b ∈R，当且仅当 a ＝ b 时取等号).
2025届高考数学一轮复习讲义
集合、常用逻辑用语与不等式之
基本不等式
一、知识点讲解及规律方法结论总结
＋
≤
2
1. 基本不等式：
a ＞0， b ＞0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 ② a ＝ b 时取等号.
＋
(1)基本不等式成立的条件：①
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 3等式性质与不等式性质课件
2
0时，
= 0,D错误.故选
【点拨】已知 < < ， < < ，求 , （如 + ，3
2
− 4，， ，
等） 的取值范围时，通常利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求解.
变式3（1） 若1 < < 3，−4 < < 2，则 − 的取值范围是(
通分、分母（分子）有理化等.③判断符号（判断商和“1”的大小关系）. ④给出结论.
变式2（1） 已知 = + 1 + + 4, = + 2 + + 3，则与的大小关系是
(
)
A. >
解：2 = 2 + 5 + 2
B. >
√
C. =
+ 1 + 4 ， 2 = 2 + 5 + 2
性质1：如果 = ，那么 = ；
性质2：如果 = , = ，那么 = ；
性质3：如果 = ,那么 ± = ± ；
性质4：如果 = ,那么 = ;
性质5：如果 = , ≠
0,那么
=
.
3.不等式的基本性质
序号
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
性质
，
2
所以3 < 2 − 3 < 8，即2 − 3 ∈ 3,8 .
+
=
,
= + ,
2
（方法二）令ቊ
则൞
−
= − ,
=
,
2
2023版高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式1.5基本不等式课件
(4)a1＋2 b1≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a>0，b>0).
即有：正数 a，b 的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
5. 三元均值不等式
(1)a＋3b＋c≥ 3 abc. (2)a3＋b33＋c3≥abc. 以上两个不等式中 a，b，c∈R，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立. 6. 二维形式柯西不等式：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac ＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时，等号成立.
(2)已知 a>0，b>0，则ba＋a4＋ab的最小值为__________.
解：当 a>0，b>0 时，ba＋a4＋ab＝a＋a b＋a4＋ab－1≥2 a＋a b·a4＋ab－1＝3，当且仅 当a＋a b＝a4＋ab，即 a＝b 时等号成立. 故填 3. 【点拨】常见的配凑有配系数、常数项、平方等. 遇到分式，关键在于配出互倒 的结构，再用基本不等式求解.
所以a＋1 1＋2b＝16[2(a＋1)＋b]a＋1 1＋2b ＝162＋a＋b 1＋4（ab＋1）＋2 ≥162 a＋b 1·4（ab＋1）＋4＝16×(4＋4)＝43，
当且仅当a＋b 1＝4（a＋b 1），即 a＝12，b＝3 时取等号， 所以a＋1 1＋2b的最小值是43. 故选 B.
【点拨】 在求最值中，如果两个代数式中一个是整式 ax＋by，另一个是分式mx ＋
当 a≠b 时，由均值不等式可知a＋2 b> ab，所以 a＋b>2 ab，
由上可知，a＋b>2 ab>2ab，a＋b>a2＋b2，
所以四个式子中 a＋b 最大. 故选 D.
(教材习题改编)设 x>0，则 3－3x－1x的最大值是( )
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 4基本不等式课件
2
8
=
225
，
2
当且仅当 = 30 − ，即 = 15时等号成立，所以这个矩形的长为15 m时，菜园的最
225
大面积是
2
225
2
m .故填15； .
2
【巩固强化】
1.下列命题中正确的是(
)
1
A.当 > 1时， + 的最小值为2
C.当0 < < 1时， +
即 = 2时，等号成立.所以 ≤
=
1
9
+1
1
6−4
=
.
9
+1++1−4
≥2
+1 ⋅
1
1
.故填 .
2
2
9
+1
= 6,当且仅当 + 1 =
9
,
+1
命题角度2 常数代换法
例2 设正实数，满足 + =
3
A.
2
且
4
)
5
C.
4
1
+ 的最小值是(
2
√
5
B.
2
解：因为 + = 2，所以 +
−2=
1
2−4
1
2 −2
=−2+
，即 = 2 +
1
2 −2
+2≥2
2
时取等号.
2
所以 的最小值为2 + 2.故选A.
−2 ⋅
1
2 −2
+ 2 = 2 + 2，当且仅当
2024届新高考一轮总复习人教版 第一章 第1节 集合 课件(35张)
2．(多选)已知集合 A＝{x|x2－2x＝0}，则有( )
A．∅ ⊆A C．{0，2}⊆A
B．－2∈A D．A⊆{y|y<3}
解析：A＝{0，2}，由子集的概念知 ACD 正确．
答案：ACD
3．(必修第一册 P10 例 2 改编)已知集合 A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1 或 x>4}， 那么集合 A∪B＝( )
C 中元素的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：集合 A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以 C＝{5，6，
7，8}，即 C 中元素的个数为 4. 答案：B
2．已知集合 P＝{－1，2a＋1，a2－1}，若 0∈P，则实数 a 的取值集合为( )
A．{－12，1，－1}
5．(必修第一册 P9 习题 1.2T5 改编)设 a∈R，若集合{2，9}＝{3a－1，9}，则 a＝ ________.
解析：由集合相等知 3a－1＝2，解得 a＝1. 答案：1
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力 考点 1 集合的基本概念 【考点集训】
1．(2022·苏州模拟)设集合 A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：_确__定__性___、_互__异__性___、_无__序__性___.
(2)元素与集合的关系是_属__于___或__不__属__于__关系，用符号_∈___或__∉__表示．
(3)集合的表示法：_列__举__法___、__描__述__法__、_图__示__法___．
x∈A，则 x∈B)
真子集 集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中 _A_____B_(或___B____A_)__ 至少有一个元素不在集合 A 中
2023高考数学基础知识综合复习第1讲集合与常用逻辑用语 课件(共21张PPT)
所以(∁RA)∩B=(1,3).
(2)由(1)知A=[-3,1].
∁RA=(-∞,-3)∪(1,+∞),B=(-2a,3a).
又(∁RA)∪B=R,
得
-2 < -3,
3
解得 a> .
2
3 > 1,
3
2
即 a 的取值范围为( ,+∞).
考点一
考点二
考点三
则其否定“∃x∈R,x2-2x≤0”是真命题,C满足;对于选项D,因为
x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立,所以“∃x∈R,x2+2x+2≤0”是假命题,
所以其否定“∀x∈R,x2+2x+2>0”,是真命题,所以D满足.故选CD.
考点一
考点二
考点三
全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称
素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A
是集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A),读作A包含于B(或B包含A).
(2)真子集的概念:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B且x∉A,我们称集
合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A),读作A真包含于B(或B真
包含A).
(3)空集的概念:不含任何元素的集合叫作空集,记作⌀.空集是任何
集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的运算
(1)并集的定义:A∪B={x|x∈A,或x∈B};
(2)交集的定义:A∩B={x|x∈A,且x∈B};
(3)补集的定义:∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
4.充分条件、必要条件
【量神大数学】新高考艺考数学复习课件：第一章+第5节基本不等式
信息提取 已知条件 a>0， b>0，lga ＋lgb＝ lg(a＋b)
求则a＋b 的最小值
信息解读
由lg a＋lg b＝lg(a ＋b)，得lg(ab)＝ lg(a＋b)，即ab＝a ＋b，则有＋＝1
利用常数“1”代换 的方法，将a＋b的 变形为a＋b＝(a＋ b)＝2＋＋，在利用 基本不等式求其最 小值
3n m3
n m 3＋2 2
nm
Hale Waihona Puke ＝2＋2m ＋ n ≥2＋2 2m · n ＝ 2 ，当且仅当2m ＝ n ，即 n＝ 2
11
3＋2 2
m ＝2( 2－1)时取等号，因此m ＋n的最小值是 2 .
答案：3＋22 2
考点二 均值不等式的实际应用(师生共研)
[典例] 某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为
≥2；ab≤1；即①②③均正确；不妨令 a＝b＝1，则 a＋ b＝2> 2，
故④错误；综上所述，恒成立的是①②③.故选 B.
(2)对任意 x∈N*，f(x)≥3 恒成立，即x2＋xa＋x＋1 11≥3 恒成立，即 知 a≥－x＋8x＋3.
设 g(x)＝x＋8x，x∈N*，则 g(2)＝6，g(3)＝137. ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝137.∴－x＋8x＋3≤－83，∴a≥－83，故 a 的取值范围是－83，＋∞. [答案] (1)B (2) －83，＋∞
取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a＝3，选 C.]
3．在下列函数中，最小值是 2 的函数是( )
A．y＝x＋1x
B．y＝cos
x＋co1s
π x0<x<2
C．y＝
x2＋3 x2＋2
高考数学 艺考生文化课 第一章 专题一 集合与逻辑用语课件.pptx
()
A.{1,4,5,6} B.{1,5}
C.{4}
B 【D解.{1析,2】,3 ,4由,5题} 意得痧UT {1,5, 6},所以S ( UT ) {1,5}, 故选B.
8.已知集合P={x|x ≤1},M={a},若P∪M=P,则a的取值范围是
5.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},集合
B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
C 【解析】 由题意可知, A B的元素个数
即为圆x2 y2 1与直线x y 1的交点的个数,
如图可知圆与直线有两个交点.故选C.
() 2
A.p为真 B.﹁q为假 C.p∧q为假 D.p∨q为真
C 【解析】 Q 函数y sin 2x的最小正周期为 ,
命题p为假命题;
Q 函数y cos x的图象的对称轴所在直线方程为x k , k Z,
命题q为假命题, 由真值表可得p q为假命题.故选C.
22.命题“若p则q”的否命题是 ( )
.
{x | 1 x 1} 【解析】 集合A {x | x 1}, B {x | 1 x 1},
2
2
所以A B {x | 1 x 1}. 2
16.集合A={x∈R||x-2|≤5}中最小整数是
.
3 【解析】 集合A {x | 3 x 7},所以集合A中最小整数是 3.
17.“x>0”是“3 x2 0 ”成立的 ( )
24.下列命题是真命题的为 ( )
备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第1讲集合
第1讲集合1.集合的概念空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 规律总结（1）A ⊆B （子集）{A ＝B （相等）⇔A ⊆B 且A ⊇B ，A⫋B （真子集）⇔A ⊆B 且A ≠B.（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即⌀⊆A ，⌀⫋B （B ≠⌀）. （3）任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .空集只有一个子集，即它本身.（4）含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，非空子集的个数是2n －1，真子集的个数是2n －1，非空真子集的个数是2n －2.（5）对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C . 3.集合的基本运算集合的运算性质（1）A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .（2）∁U （A ∩B ）＝（∁U A ）∪（∁U B ），∁U （A ∪B ）＝（∁U A ）∩（∁U B ）.1.下列说法正确的是（ D ）A.{x ｜y ＝x 2}＝{y ｜y ＝x 2}＝{（x ，y ）｜y ＝x 2}B.方程√x －2024＋（y ＋2 025）2＝0的解集为{2 024，－2 025}C.若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0或1D.对任意两个集合A ，B ，（A ∩B ）⊆（A ∪B ）恒成立 2.若集合P ＝{x ∈N ｜x ≤√2025}，a ＝2√2，则（ D ）A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P3.集合{a，b}的真子集的个数为3.解析解法一集合{a，b}的真子集为⌀，{a}，{b}，有3个.解法二集合{a，b}有2个元素，则集合{a，b}的真子集的个数为22－1＝3.4.设a，b∈R，P＝{2，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，则a－b＝1.解析∵P＝Q，∴{a＝－1，－b=2，∴a－b＝－1－（－2）＝1.5.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩（∁U B）＝{2，4} ，（∁U A）∩（∁U B）＝{6} .解析∵∁U A＝{1，3，6，7}，∁U B＝{2，4，6}，∴A∩（∁U B）＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，（∁U A）∩（∁U B）＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.研透高考明确方向命题点1集合的概念例1 （1）[2022全国卷乙]设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁U M＝{1，3}，则（A）A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M解析由题意知M＝{2，4，5}，故选A.（2）[全国卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为（C）A.2B.3C.4D.6解析由题意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的个数为4，故选C.方法技巧1.解决集合含义问题的三个关键点：一是确定构成集合的元素；二是分析元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.2.常见集合的含义训练1 （1）[多选/2024黑龙江模拟]已知集合A ＝{x ｜4ax 2－4（a ＋2）x ＋9＝0}中只有一个元素，则实数a 的可能取值为（ ABD ） A.0B.1C.2D.4解析 当a ＝0时，－8x ＋9＝0，解得x ＝98，所以A ＝{98}，符合题意；当a ≠0时，由题意，得Δ＝[4（a ＋2）]2－4×4a ×9＝0，解得a ＝1或a ＝4.故选ABD.（2）[多选/2023江苏省镇江中学模拟]已知集合A ＝{y ｜y ＝x 2＋2}，集合B ＝{（x ，y ）｜y ＝x 2＋2}，下列关系正确的是（ AB ） A.（1，3）∈B B.（0，0）∉B C.0∈AD.A ＝B解析 ∵集合A ＝{y ｜y ≥2}＝[2，＋∞），集合B ＝{（x ，y ）｜y ＝x 2＋2}是由抛物线y ＝x 2＋2上的点组成的集合，∴AB 正确，CD 错误，故选AB.（3）已知集合A ＝{0，m ，m 2－5m ＋6}，且2∈A ，则实数m 的值为 1或4 .解析 因为A ＝{0，m ，m 2－5m ＋6}，2∈A ，所以m ＝2或m 2－5m ＋6＝2.当m ＝2时，m 2－5m ＋6＝0，不满足集合中元素互异性，所以m ＝2不符合题意.当m 2－5m ＋6＝2时，m ＝1或m ＝4，若m ＝1，A ＝{0，1，2}符合题意；若m ＝4，A ＝{0，4，2}符合题意.所以实数m 的值为1或4.命题点2 集合间的基本关系例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]设集合A ＝{0，－a }，B ＝{1，a －2，2a －2}，若A ⊆B ，则a ＝（ B ） A.2B.1C.23D.－1解析 依题意，有a －2＝0或2a －2＝0.当a －2＝0时，解得a ＝2，此时A ＝{0，－2}，B ＝{1，0，2}，不满足A ⊆B ；当2a －2＝0时，解得a ＝1，此时A ＝{0，－1}，B ＝{－1，0，1}，满足A ⊆B .所以a ＝1，故选B.（2）[2024山西太原模拟]满足条件{1，2}⊆A ⫋{1，2，3，4，5}的集合A 的个数是（ C ） A.5B.6C.7D.8解析 解法一 因为集合{1，2}⊆A ⫋{1，2，3，4，5}，所以集合A 可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共 7 个.故选C.解法二 问题等价于求集合{3，4，5}的真子集的个数，则共有23－1＝7个.故选C. 方法技巧1.求集合的子集个数，常借助列举法和公式法求解.2.根据两集合间的关系求参数，常根据集合间的关系转化为方程（组）或不等式（组）求解，求解时注意集合中元素的互异性和端点值能否取到.注意在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的情况，如已知集合A、非空集合B满足A⊆B或A⫋B，则有A＝⌀和A≠⌀两种情况.训练2 （1）设集合P＝{y｜y＝x2＋1}，M＝{x｜y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是（D）A.M＝PB.P∈MC.M⫋PD.P⫋M解析∵P＝{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1}，M＝{x｜y＝x2＋1}＝R，∴P⫋M.故选D.（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为（－∞，3] .解析因为B⊆A，所以分以下两种情况：①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2；②若B≠∅，则{2m－1≥m+1，m+1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3].命题点3集合的基本运算角度1集合的交、并、补运算例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（C）A.{－2，－1，0，1}B.{0，1，2}C.{－2}D.{2}解析解法一因为N＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C.解法二因为1∉N，所以1∉M∩N，排除A，B；因为2∉N，所以2∉M∩N，排除D.故选C. （2）[2023全国卷甲]设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（A）A.{x｜x＝3k，k∈Z}B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}D.∅解析解法一M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.解法二 集合M ∪N 表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好能被3整除的整数集，故选A.角度2 已知集合运算结果求参数例4 （1）[全国卷Ⅰ]设集合A ＝{x ｜x 2－4≤0}，B ＝{x ｜2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x ｜－2≤x ≤1}，则a ＝（ B ） A.－4B.－2C.2D.4解析 易知A ＝{x ｜－2≤x ≤2}，B ＝{x ｜x ≤－a 2}，因为A ∩B ＝{x ｜－2≤x ≤1}，所以－a 2＝1，解得a ＝－2.故选B.（2）已知集合A ＝{x ｜y ＝ln （1－x 2）}，B ＝{x ｜x ≤a }，若（∁R A ）∪B ＝R ，则实数a 的取值范围为（ B ） A.（1，＋∞） B.[1，＋∞） C.（－∞，1）D.（－∞，1]解析 由题可知A ＝{x ｜y ＝ln （1－x 2）}＝{x ｜－1＜x ＜1}，∁R A ＝{x ｜x ≤－1或x ≥1}，所以由（∁R A ）∪B ＝R ，B ＝{x ｜x ≤a }，得a ≥1. 方法技巧1.处理集合的交、并、补运算时，一是要明确集合中的元素是什么，二是要能够化简集合，得出元素满足的最简条件.2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可借助Venn 图求解；如果集合中的元素是连续的，可借助数轴求解，此时要注意端点的情况.训练3 （1）[2023全国卷乙]设集合U ＝R ，集合M ＝{x ｜x ＜1}，N ＝{x ｜－1＜x ＜2}，则{x ｜x ≥2}＝（ A ） A.∁U （M ∪N ） B.N ∪∁U M C.∁U （M ∩N ）D.M ∪∁U N解析 由题意知M ∪N ＝{x ｜x ＜2}，所以∁U （M ∪N ）＝{x ｜x ≥2}，故选A.（2）[2023江西省联考]已知集合A ＝{（x ，y ）｜（x －1）2＋y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）｜kx －y －2＜0}.若A ∩B ＝A ，则实数k 的取值范围是（ A ） A.（－∞，34）B.（34，3）C.（34，＋∞）D.（－∞，34]解析 因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，则圆（x －1）2＋y 2＝1在直线y ＝kx －2的上方，则{k ×1－2<0，√k 2＋（－1）2>1，解得k ＜34.命题点4 集合中的计数问题例5 [全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（C）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8解析解法一由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 90－80＋60＝70，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100＝0.7.故选C.解法二用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系，如图，易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》＝0.7.故选C.的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100方法技巧集合中元素的个数问题的求解策略关于集合中元素的个数问题，常借助Venn图或用公式card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－ card（A∩B），card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）（card（A）表示有限集合A中元素的个数）求解.训练4 向50名学生调查对A，B两种观点的态度，结果如下：赞成观点A的学生人数是全体人数的3，其余的不赞成；赞成观点B的学生人数比赞成观点A的多3人，其余的不赞5成；另外，对观点A，B都不赞成的学生人数比对观点A，B都赞成的学生人数的1多13人，则对观点A，B都赞成的学生有21人.＝30，赞成观点B的学生人数为30解析赞成观点A的学生人数为50×35＋3＝33.如图，记50名学生组成的集合为U，赞成观点A的学生全体为集合A，赞成观点B的学生全体为集合B.设对观点A，B都赞成的学生人数为x，则对观点A，B都不赞成的学生人数为x＋1，赞成观点A或赞成观点B的学生人数为303＋1＝50，解得x＝21.故对观点A，B都赞成的学生有21人. ＋33－x.依题意30＋33－x＋x3命题点5集合的新定义问题例6 （1）[2024上海市晋元高级中学模拟]已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆M，定义M（A）为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的M（A）的和记为S，则S＝120.解析由M＝{1，2，3，4，5，6}得，M的非空子集A共有26－1个，其中最小值为1的有25个，最小值为2的有24个，最小值为3的有23个，最小值为4的有22个，最小值为5的有21个，最小值为6的有20个，故S＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5＋1×6＝120. （2）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}和集合B＝{x｜x2－x－2＜0}，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为（1，2）.解析由题意，可知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}，集合B＝{x｜－1＜x＜2}，因为集合A，B构成“偏食”，所以{t>0，－t＜－1<t<2，解得1＜t＜2.所以实数t的取值范围为（1，2）.方法技巧解决集合新定义问题的关键紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆.训练5 [多选/2023山东省淄博一中月考]在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z}（k＝0，1，2，3，4），给出如下四个结论，正确结论为（ACD）A.2 023∈[3]B.－2∈[2]C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D.整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]解析由2 023÷5＝404……3，得2 023∈[3]，故A正确；－2＝5×（－1）＋3，所以－2∈[3]，故B错误；因为整数集中的被5除的数可以且只可以分成五类，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确；因为整数a，b属于同一“类”，所以整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]，故D正确.故选ACD.。
2021年新高考数学一轮总复习：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
2021年新高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语、不等式第一节集合新课程标准考向预测1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.命题角度1.集合的基本概念2.集合间的基本关系3.集合的基本运算核心素养数学抽象、数学运算[知识梳理]1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .AB ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中至少存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .[常用结论](1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A . (5)子集的个数：含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集．(6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .[基础自测]一、走进教材1．(必修1 P 12练习T 2改编)已知集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3，4,5}，则A ∩B ＝( ) A ．{3} B ．{5} C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5,7}解析：选C 因为A ∩B ＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}，故选C.2．(必修1 P 12A 组T 5(2)改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤10}，a ＝22，则下面结论中正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A解析：选D 因为22不是自然数，所以a ∉A .3．(必修1 P 15A 组T 6改编)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |0<x ≤4}，则A ∪B ＝( )A ．[－1,4]B ．(0,3]C ．(－1,0]∪(1,4]D ．[－1,0]∪(1,4]解析：选A A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以A ∪B ＝{x |－1≤x ≤4}． 二、走出误区常见误区：①忽视集合的互异性致误；②集合的表示方法理解不到位致误；③集合运算中端点取值把握不准致误；④忘记空集的情况致误．4．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m＝3，故m ＝－32.答案：－325．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为________． 解析：法一：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数．答案：96．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－3<x <1}，B ＝{x |x ＋1≥0}，则∁U (A ∪B )＝________. 解析：因为B ＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |－3<x <1}，所以A ∪B ＝{x |x >－3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－3}．答案：{x |x ≤－3}7．已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 解析：易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝±1.答案：0或1或－1[题组练透]1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B a ∈{1,2,3}，b ∈{4,5}，则M ＝{5,6,7,8}，即M 中元素的个数为4.故选B. 2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.故选C.3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98解析：选D 当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.故选D.4．已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________． 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案：(5,6][解题技法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．考点二 [师生共研过关]集合的基本关系[例1] (1)设全集U ＝R ，则集合M ＝{0,1,2}和N ＝{x |x ·(x －2)·log 2x ＝0}的关系可表示为( )(2)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． [解析] (1)∵N ＝{x |x ·(x －2)·log 2x ＝0}＝{1,2}，M ＝{0,1,2}， ∴N 是M 的真子集，故选A. (2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}． 若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)A (2)(－∞，1][对点变式]1.(变条件)若本例(1)中M 不变，则满足N M 的集合N 的个数为( )A ．2B ．3C ．7D ．8解析：选C 因M ＝{0,1,2}，则N ＝{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，∅.2.(变条件)若本例(2)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)[解题技法]1．集合间基本关系的2种判定方法和1个关键2．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．[跟踪训练]1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P解析：选C 因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，故选C.2．(2019·江西上饶重点中学六校第二次联考)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝[0,3a －1]，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选C 由题意可得3a －1≥1，解得a ≥23，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞.故选C.3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2. ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)． 答案：[－2,2)考点三[定向精析突破]集合的基本运算考向(一) 集合的运算[例2] (1)(2019·沈阳市质量监测)已知全集U ＝{1,3,5,7}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则如图所示阴影区域表示的集合为( )A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{1,3,5}(2)若集合A ＝{x |2x 2－9x ＞0}，B ＝{y |y ≥2}，则A ∩B ＝________，(∁R A )∪B ＝________. [解析] (1)由题图可知，阴影区域为∁U (A ∪B )，由并集的概念知，A ∪B ＝{1,3,5}，又U ＝{1,3,5,7}，于是∁U (A ∪B )＝{7}，故选B.(2)因为A ＝{x |2x 2－9x ＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＞92或x ＜0，所以∁RA ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤92，又B ＝{y |y ≥2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞92，(∁R A )∪B ＝[0，＋∞)． [答案] (1)B (2)⎝⎛⎭⎫92，＋∞ [0，＋∞)[解题技法]集合基本运算的方法技巧考向(二) 根据集合运算结果求参数[例3] (1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,2] B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(2)(2019·江西南昌外国语学校适应性测试)已知集合M ＝{x |0<x <5}，N ＝{x |m <x <6}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6[解析] (1)∵A ∩B ≠∅，∴A ，B 有公共元素．作出数轴，如图所示，可得a >－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞)．(2)因为M ∩N ＝{x |0<x <5}∩{x |m <x <6}＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝5，因此m ＋n ＝8.故选B.[答案] (1)D (2)B[解题技法]根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围． 考向(三) 集合的新定义问题[例4] 定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合⎝⎛⎭⎫BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，16，14，13，12，1，则⎝⎛⎭⎫B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，16，14，13，12，1，2，共有7个元素．[答案] B[解题技法]解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．[跟踪训练]1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,3,4,5}，B ＝{2,3,6,7}，则B ∩(∁U A )＝( )A ．{1,6}B ．{1,7}C ．{6,7}D ．{1,6,7}解析：选C ∵ U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,3,4,5}，∴ ∁U A ＝{1,6,7}．又B ＝{2,3,6,7}，∴ B ∩(∁U A )＝{6,7}．故选C.2．(2019·内蒙古呼和浩特期中调研)已知集合A ＝{3,1,2}，B ＝{1，a }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值集合是( )A ．{3}B ．{2}C ．{3,2}D ．{3,1,2}解析：选C ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴a ＝3或2.∴实数a 的取值集合是{3,2}．故选C. 3．(多选)已知全集U ＝R ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为M ，集合N ＝{x |x 2－x ＜0}，则下列结论正确的是( )A ．M ∩N ＝NB ．M ∩(∁U N )≠∅C ．M ∩N ＝UD ．M ⊆(∁U N )解析：选AB 由题意知M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |0＜x ＜1}，∴M ∩N ＝N .又∁U N ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∴M ∩(∁U N )＝{x |x ≤0}≠∅，M ∪N ＝{x |x ＜1}＝M ，M ⃘(∁U N )，故选A 、B.4．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ⊗Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P ⊗Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝12.故P ⊗Q＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素．故选B.[课时过关检测]A 级——夯基保分练1．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( )A ．{2}B ．{2,3}C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}解析：选D ∵ A ∩C ＝{－1,1,2,3,5}∩{x ∈R |1≤x <3}＝{1,2}，∴ (A ∩C )∪B ＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．故选D.2．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}解析：选D A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．故选D.3．已知集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，则集合A ∩B 的子集的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A 由x 2－5x ＋4<0，得1<x <4，则集合B ＝{x |1<x <4}．又知A ＝{1,2,3}，所以A ∩B ＝{2,3}，故集合A ∩B 的子集个数为22＝4.故选A.4．已知全集U ＝{x ∈Z |0<x <8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )A ．M ∩(∁U N )B ．∁U (M ∩N )C ．∁U (M ∪N )D ．(∁U M )∩N解析：选C 由已知得U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，N ＝{2,6}，M ∩(∁U N )＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M ∩N ＝{2}，∁U (M ∩N )＝{1,3,4,5,6,7}，M ∪N ＝{2,3,5,6}，∁U (M ∪N )＝{1,4,7}，(∁U M )∩N ＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.5．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪x 4＋y3＝1，则M ∩N ＝( ) A ．∅ B ．{(4,0)，(3,0)} C ．[－3,3]D ．[－4,4]解析：选D 由题意可得M ＝{x |－4≤x ≤4}，N ＝{y |y ∈R }，所以M ∩N ＝[－4,4]．故选D.6．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a ＝( )。
高考数学一本策略复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合、常用逻辑用语教案文
第一讲集合、常用逻辑用语年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷集合交集运算·T1本部分作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在第1、2题的位置进行考查，难度较低．命题的热点依然会集中在集合的运算上．对常用逻辑用语考查的频率不高，且命题点分散，多为几个知识点综合考查，难度中等，其中充分必要条件的判断近几年全国卷虽未考查，但为防高考“爆冷”考查，在二轮复习时不可偏颇．该考点多结合函数、向量、三角、不等式、数列等内容命题.Ⅱ卷集合交集运算·T2Ⅲ卷集合交集运算·T12017Ⅰ卷集合的交、并运算·T1Ⅱ卷集合的并集运算·T1Ⅲ卷求集合交集中元素个数·T12016Ⅰ卷集合的交集运算·T1Ⅱ卷集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1Ⅲ卷集合的补集运算·T1集合的概念及运算授课提示：对应学生用书第3页[悟通——方法结论]1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解．(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解．(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．(1)(2018·南宁模拟)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∪N ＝MB ．M ∪∁R N ＝MC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝M解析：∵M ＝{x |x <4}，N ＝{x |0<x <2}，∴M ∪N ＝{x |x <4}＝M ，故选项A 正确；M ∪∁R N ＝R ≠M ，故选项B 错误；N ∪∁R M ＝{x |0<x <2}∪{x |x ≥4}≠R ，故选项C 错误；M ∩N ＝{x |0<x <2}＝N ，故选项D 错误．故选A.答案：A(2)(2018·宜昌模拟)已知两个集合A ＝{x ∈R |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＋11－x≥0}，则A ∩B＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{－1,1}D ．∅解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x <1}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}． 答案：B 【类题通法】破解集合运算需掌握2招第1招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；第2招，借形解题，即与不等式有关的无限集之间的运算常借助数轴，有限集之间的运算常用Venn 图(或直接计算)，与函数的图象有关的点集之间的运算常借助坐标轴等，再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算.[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A. 答案：A2．(2018·德州模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z |y ＝4x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{2}B ．{1,2}C ．{－1,0,1,2}D ．{0,1,2}解析：由题意知，A ＝{x ∈Z |4x －x 2≥0}＝{x ∈Z |0≤x ≤4}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{y |y >2}，则∁U B＝{y|y≤2}，则A∩(∁U B)＝{0,1,2}，故选D.答案：D3．(2018·枣庄模拟)已知集合A＝{|m|,0}，B＝{－2,0,2}，若A⊆B，则∁B A＝( ) A．{－2,0,2} B．{－2,0}C．{－2} D．{－2,2}解析：由A⊆B得|m|＝2，所以A＝{0,2}．故∁B A＝{－2}．答案：C命题及真假判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]1．全称命题和特称命题的否定归纳∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)．简记：改量词，否结论．2．“或”“且”联结词的否定形式“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”．3．命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论．[全练——快速解答]1．(2018·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.答案：B2．给出下列3个命题：p1：函数y＝a x＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；p2：∃a0，b0∈R，a20－a0b0＋b20<0；p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k ∈Z)．则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∨(綈p 3) C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3解析：对于p 1，令f (x )＝a x＋x (a >0，且a ≠1)，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3为真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.答案：D3．命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的否命题为________；命题的否定为________． 答案：若xy ≠1，则x ，y 不互为倒数 若xy ＝1，则x ，y 不互为倒数 【类题通法】判断含有逻辑联结词命题真假的方法方法一(直接法)：(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假．方法二(间接法)：根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性．此法适用于原命题的真假性不易判断的情况．充分、必要条件的判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]充分、必要条件的判断：考查形式多与其他知识交汇命题．常见的交汇知识点有：函数性质、不等式、三角函数、向量、数列、解析几何等，有一定的综合性．(1)“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－2时，直线l 1：2x ＋y －3＝0，l 2：2x ＋y ＋4＝0，所以直线l 1∥l 2；若l 1∥l 2，则－a (a ＋1)＋2＝0，解得a ＝－2或a ＝1.所以“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的充分不必要条件．答案：A(2)(2018·南昌模拟)已知m ，n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m 与n 反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n ＝|m·n|，则m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝|m |·|n |·|cos 〈m ，n 〉|，则cos 〈m ，n 〉＝|cos 〈m ，n 〉|，故cos 〈m ，n 〉≥0，即0°≤〈m ，n 〉≤90°，此时m 与n 不一定共线，即必要性不成立．故“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D 【类题通法】1．(2018·胶州模拟)设x ，y 是两个实数，命题“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：当⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1时，有x ＋y ≤2，但反之不成立，例如当x ＝3，y ＝－10时，满足x＋y ≤2，但不满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1是x ＋y ≤2的充分不必要条件．所以“x ＋y >2”是“x ，y 中至少有一个数大于1”的充分不必要条件．答案：B2．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等”是“A ，B 的体积相等”的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，即命题“若綈q, 则綈p ”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p ，则q ”为真，否命题“若q ，则p ”为假，即p 是q 的充分不必要条件，选A.答案：A授课提示：对应学生用书第107页一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0，1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：A ∩B ＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}． 故选A. 答案：A2．(2017·高考山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数 y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 答案：D3．设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x <32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤3 解析：A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32，结合Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32. 答案：B4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，∴A ∩B ＝{1,2}．故选C. 答案：C5．(2018·合肥模拟)已知命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为假命题 B ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为真命题 C ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为假命题 D ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为真命题解析：全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x ＝0时，x 2≤0成立，所以綈q 为真命题．答案：D6．(2018·郑州四校联考)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.答案：A7．(2018·石家庄模拟)“x >1”是“x 2＋2x >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由x 2＋2x >0，得x >0或x <－2，所以“x >1”是“x 2＋2x >0”的充分不必要条件． 答案：A8．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.答案：D9．(2018·石家庄模拟)已知a，b∈R，下列四个条件中，使“a>b”成立的必要不充分条件是( )A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b解析：由a>b－1不一定能推出a>b，反之由a>b可以推出a>b－1，所以“a>b－1”是“a>b”的必要不充分条件．故选A.答案：A10．已知命题p：“x＝0”是“x2＝0”的充要条件，命题q：“x＝1”是“x2＝1”的充要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∨qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧q解析：易知命题p为真命题，q为假命题，根据复合命题的真值表可知p∧(綈q)为真命题．答案：C11．(2018·济宁模拟)已知命题p：“x<0”是“x＋1<0”的充分不必要条件，命题q：若随机变量X～N(1，σ2)(σ>0)，且P(0<X<1)＝0.4，则P(0<X<2)＝0.8，则下列命题是真命题的是( )A．p∨(綈q) B．p∧qC．p∨q D．(綈p)∧(綈q)解析：因为“x<0”是“x＋1<0”的必要不充分条件，所以p为假命题，因为P(0<X<1)＝P(1<X<2)＝0.4，所以P(0<X<2)＝0.8，q为真命题，所以p∨q为真命题．答案：C12．下列命题是假命题的是( )A．命题“若x2＋x－6＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2＋x－6≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0C．若p∨q为真命题，则p、q均为真命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件解析：由复合命题的真假性知，p、q中至少有一个为真命题，则p∨q为真，故选项C 错误．答案：C 二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则綈p ：________. 解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}，则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}15．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |1<x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)16．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m－2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)。
第一章 集合与常用逻辑用语(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第一章集合与常用逻辑用语（公式、定理、结论图表）1.集合的有关概念（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．（2）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．（4）五个特定的集合集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N *或N ＋Z Q R 2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同A ＝B 子集集合A 中任意一个元素均为集合B 中的元素A ⊆B 真子集集合A 中任意一个元素均为集合B 中的元素，且集合B 中至少有一个元素不是集合A 中的元素BA ⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A ∪B A ∩B 若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A ，且x ∈B }{x |x ∈U ，且x ∉A }4.集合的运算性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .5．常用结论（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；②空集是任何集合的子集（即∅⊆A ）；空集是任何非空集合的真子集（若A ≠∅，则∅ÜA ）．（2）子集个数：若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有22n -个．典例1：已知集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，则A B ⋂的子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】B【详解】因为集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，所以{}2,4A B = ，所以A B ⋂的子集的个数为224=个.故选B.典例2：已知集合{}2N 230A x x x =∈--≤∣，则集合A 的真子集的个数为（）A ．32B ．31C ．16D ．15【答案】D 【详解】由题意得{}{}{}2N230N 130,1,2,3A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=∣∣，其真子集有42115-=个.故选D.（3）A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ．（4）(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )．6.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p7.充分、必要条件与集合的关系设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AÜB；（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BÜA；（3）p是q的充要条件⇔A＝B．8.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃9.全称命题和特称命题10.全称命题与特称命题的否定<知识记忆小口诀>集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显．<解题方法与技巧>集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.充要条件的两种判断方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.（2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.（3）数学定义都是充要条件.。
2025年高考数学总复习优化设计一轮 第一章-第一节-集合【课件】
7 5 3 1 1
3 1 1 1 1 3
M={…,-4,-4,-4,-4 , 4,…},N={…,-4,-2,-4,0,4 , 2 , 4,…},则
的元素都是N的元素,反之不然,所以M⊆N,故选A.
M中
(2)(2024·福建漳州模拟)已知U是全集,集合A,B满足(∁UA)∩B=∁UA,则下列
重点涉及充分、必要条件的判断,试题难度取决于结合的知识的难度.
复习策略:
1.明晰重要概念:子集、真子集、交集、并集、补集、充分、必要条件
等概念是解题的基础,应明晰这些概念.
2.注意数学思想方法的合理运用:分类讨论、数形结合、等价转化等数
学思想方法在解题中应用广泛.
3.善于列举反例:涉及充分、必要条件以及命题真假的判断等问题,要善
7.(2023·新高考Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=( B )
2
A.2
B.1
C.
D.-1
3
解析 ∵A⊆B,∴a-2=0或2a-2=0.若a-2=0,则a=2,A={0,-2},B={1,0,2},显然
A⊈B;若2a-2=0,则a=1,A={0,-1},B={1,-1,0},A⊆B成立.故选B.
A.( ,+∞)
2
5 10
B.( , ]
2 3
5 10
C.[ , )
2 3
10
D.(-∞, ]
3
解析 由题意可得,2 -2a+1<0 且 3
2
5
10
-3a+1≥0,解得2<a≤ 3 ,故选
2
B.
考点二集合间的基本关系
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新高考数学艺考生总复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第
5节基本不等式冲关训练
1．下列命题正确的是( )
A ．若x ≠k π，k ∈Z ，则sin 2
x ＋1sin 2x ≥4
B ．若a <0，则a ＋4
a
≥－4
C ．若a >0，b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b
D ．若a <0，b <0，则b a ＋a b
≥2
解析：D [当sin 2
x ＝1时，1＋1＝2<4，所以A 错；若a <0，则a ＋4a
≤－4，B 错；因为
lg a ，lg b 可以小于零，C 错；由a <0，b <0，所以b a ，a
b
都大于零，D 正确．]
2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 解析：B [∵0<x <1，∴1－x >0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝
⎛⎭⎪
⎫x ＋1－x 22＝34
.
当x ＝1－x ，即x ＝1
2
时取等号．]
3．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1
b
，则m ＋n 的最小值是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：C [由已知正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1
b
，∴m
＋n ＝(a ＋b )＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ＋2ab
＝5，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故m ＋n 的最小值
为5，故选C.]
4．(2019·长春质检)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1
b
有最大值4
B.ab 有最小值1
2
C.a ＋b 有最大值 2
D ．a 2
＋b 2
有最小值
22
解析：C [由于a >0，b >0，由基本不等式得1＝a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴ab ≤1
2
，
∴ab ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，因此1a ＋1b 的最小值为4，a 2＋b 2＝(a ＋b )2
－2ab ＝1－
2ab ≥1－12＝12，(a ＋b )2
＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋1＝2，所以a ＋b 有最大值2，
故选C.]
5．(2019·宿州一模)若圆C ：x 2
＋y 2
－4x －2y ＋1＝0关于直线l ：ax ＋by －2＝0(a ＞0，
b ＞0)对称，则1a ＋2
b
的最小值为( )
A ．1
B ．5
C ．4 2
D ．4
解析：D [圆C ：(x －2)2
＋(y －1)2
＝4的圆心为(2,1)， 圆C 关于直线l ：ax ＋by ＝2对称，∴圆心在l 上， ∴2a ＋b ＝2，∴a ＋b
2＝1.又a ＞0，b ＞0，
∴1a ＋2b ＝
a ＋
b 2a
＋
2⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2b
＝1＋b 2a ＋2a
b ＋1≥2
b 2a ·2a b ＋2＝4，∴1a ＋2
b
的最小值为4.] 6．当x ＞1时，不等式x ＋
1
x －1
≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________． 解析：因为x ＞1，所以x －1＞0.又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1
＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以a 的最大值为3.
答案：3
7．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →
＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，
B ，
C 三点共线，则1a ＋2
b
的最小值是________．
解析：AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →
＝(－b －1,2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →与AC →
共线， ∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1.
∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a
b
，即b
＝2a 时等号成立．
答案：8
8．(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/
次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是__________．
解析：总费用4x ＋600x
×6＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋900x ≥4×2900＝240，当且仅当x ＝900x
，即x ＝30
时等号成立．
答案：30
9．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab
c
≥a ＋b ＋c .
证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b
≥2
bc a ·ca
b
＝2c ， bc a ＋ab c ≥2bc a ·ab c ＝2b ，ca b ＋ab c ≥2ca b ·ab
c
＝2a . 以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭
⎪⎫bc a
＋ca b
＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，
即bc a ＋ca b ＋
ab
c
≥a ＋b ＋c .
10．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．
解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＞0，y ＞0，
3xy ＝x ＋y ＋1.
(1)∵x ＞0，y ＞0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2
－2xy －1≥0， ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0， ∴xy ≥1，∴xy ≥1，
当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1. (2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 22，
∴3(x ＋y )2
－4(x ＋y )－4≥0，
∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0，∴x ＋y ≥2， 当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.。