第13章 动应力
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将运动物体等效转变为静止或匀速直线运动情况， 从而将动力学问题转化为静力学问题的方法。
二、匀加速直线运动构件的动应力
1．引例
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
起重机以加速度a提升重物，绳索横截面
面积为A，材料容重为g ，计算绳索横截
面上的应力
FNd
mm
Agx
a
x Agxa x
g
Fx 0 :
第十三章 动应力
• §13-1 概 述 • §13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算 • §13-3 强迫振动时的应力计算 • §13-4 冲击应力及变形的计算 • §13-5 考虑受冲杆件质量时应力和变形的计算* •小 结
§13-1 概 述
一、动载荷
1．静载荷：载荷从零缓慢增加到终值，可不考虑加载过 程中的加速度。
FNd
qd
解：1)dx微段惯性力
l
dFd
gAdx
g
(w
2
x
)
2)单位长度惯性力为
qd
dFd dx
gAw
g
2
x
R
3)x截面处的轴向力为
x
dx
FNd xRlqddx
4)
FNd在x=R处最大：FNdmax
gAw
2g
2
(
2
R
l
)l
gAw
2g
2
[(
R
l
)
2
x
2
]
5)
叶根部的动应力：
d
FNdmax A1
gw
g
动构件，要降低动应力，必须控制其转速，而不 是加大截面面积。
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
四、例题
例13-1 汽轮机叶轮以n=3000r/min匀速转动，叶轮外缘半径R=103.4cm，
叶片长l=3.4cm，截面积A=1.79cm2，叶根截面积A1=A/2，叶片材料的容
重g=7.75×10-2N/cm3，求叶片根部的应力。
FNd Axg
Axg
g
a
P
P g
a
0
FNd
(
Axg
P
)(1
a g
)
d
FNd A
Axg
A
P
(1
a g
)
st
Axg
A
P
P
P
P g
a
kd
1
a g
d kd st
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
2．计算公式
1)动荷系数：
kd
1
a g
kd ——动荷系数，动应力与静应力的比值。
2)动应力计算： d kd st
一、单自由度弹性体强迫振动引例
强迫振动：构件由外界干扰力引起的振动
最小位移位置 A
静平衡位置
wt
Fc C
B
B st
B
最大位移位置
l
1．用动静法列平衡方程
P g
.y.
c
y.
K
(
st
y
)
P
Fc
sinwt
0
PKst
y..
gc P
y.
Kg P
y
Fc gsinwt
P
st
y
K(st+y)
P
y y.
Pcg y.y. .
3)强度条件： d kd st [ ] [ ]——静载许用应力
4)动变形： d kd st
三、匀角速旋转构件的动应力
1．引例：直径为D的薄圆环，厚度为t(t<<D)，宽为b(垂
直于纸面)，环以匀角速度w 绕O点转动，试求
圆环中的动应力。
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
w
1)ds段惯性力为
2．动载荷：构件速度在短时间内发生急剧变化，产生明 显的加速度。
3．动(荷)应力：由动载荷在构件中产生的应力，当动应
力不超过比例极限时，弹性模量不变， 胡克定律仍适用。
二、三类动荷问题
1．匀加速直线运动或匀角速转动； 2．强迫振动； 3．冲击。
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
一、动静法
1．惯性力：|Fi | ma ——方向与加速度方向相反 2．将惯性力加到物体上等效成平衡无加速度受载情况； 3．动静法(惯性力法)：
e
C
T1
D
B
FS
P1
(1
a g
)
60.4kN
FS
P1
FS+P2
T
C
B
P1 P1 a g
T1 J 0e
1 2
P2 g
D 2
2
2a D
0.612kN•m
T2
FS
D 2
36.24kN•m
a
M
1 4
(
FS
P2
)l
16.1kN•
m
r3
M 2 T 2 [ ] d 160mm
W
§13-3 强迫振动时的应力计算
dmax st B
dmin
st
B
——放大系数：
1
1w /w0 2 2 4n/w0 2 w /w0 2
5．动应力：
d
(1
c st
)
st
(1
Fc P
)
st
kd
st
kd
1
Fc P
——振动的动荷系数
§13-3 强迫振动时的应力计算
6．强度条件
梁内危险截面上危险点的应力在dmax和dmin之间作
.y.
Fcsinwt
§13-3 强迫振动时的应力计算
2．系统参数
1)固有频率w0：w0
g
st
Kg P
2)阻尼系数n：n
gc 2P
3．振动体的微分方程
y..
2n
y.
w
2 0
y
FPc gsinwt
4．小阻尼情况下(n< w0)，方程通解为
y Ae nt sin(
w
2 0
n2
t
)
Bsin(w
t
e
)
2
(2
R
l
)l
55.8MPa
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
例13-2 图示卷扬机起吊重物P1=40kN以等加速度a=5m/s2上升，鼓轮 重P2=4kN，直径D=1.2m，安装在轴中点C；轴长l=1m，材料许用应
力[ ]=100MPa，试按最大切应力准则设计轴的直径。
A
T T1 T2 36.85kN•m A
(B)→∞——共振现象，将产生极大的振动应力。
桥的扭振破坏 2)有阻尼存在(n≠0)
为高峰有限值，增大阻尼能降低 。
2．w /w0 1 时： →1，激振力可作静荷处理。 w /w0 0.25时：各曲线无明显差异，即阻尼不起作用。
t
(
FNd
)ds
(
b
ds
t
g
g
)(
D2 w
2
)
ds pi 2)沿环壁单位面积惯性力pi
D
dj j
pi
(FNd )ds bds
tgDw
2g
2
O
3)圆环的环向应力qd为
qd
pi D 2t
g D2
4g
w
2
g
Hale Waihona Puke Baidu
v2 g
v Dw / 2——圆环切向速度
2．讨论：qd∝v2(w 2)，与横截面面积无关，所以，对于转
B
Fc g
Pw
2 0
1
1w /w0 2 2 4n/w0 2 w /w0 2
e arctanw202nww 2
§13-3 强迫振动时的应力计算
1)通解第一项随时间的增加而减小——衰减振动
2)
c
Fc g
Pw
2 0
Fc K
c ——把激振力的最大值Fc以静载方
式作用在系统中引起的变形
3)B为强迫振动的振幅：B c
周期性的交替变化，强度条件应按交变应力处理。
二、对放大系数 的讨论
5.0
4.0
3.0
2.0
n
wn0 wn0 w0
0 0.075 0.1
n
wn0 w0
0.15 0.2
1.0
n
w0
0.25
w
w0
0 0.5 1.0 1.5 2.0
§13-3 强迫振动时的应力计算
1．w /w0→1时
1)无阻尼存在(n=0)
二、匀加速直线运动构件的动应力
1．引例
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
起重机以加速度a提升重物，绳索横截面
面积为A，材料容重为g ，计算绳索横截
面上的应力
FNd
mm
Agx
a
x Agxa x
g
Fx 0 :
第十三章 动应力
• §13-1 概 述 • §13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算 • §13-3 强迫振动时的应力计算 • §13-4 冲击应力及变形的计算 • §13-5 考虑受冲杆件质量时应力和变形的计算* •小 结
§13-1 概 述
一、动载荷
1．静载荷：载荷从零缓慢增加到终值，可不考虑加载过 程中的加速度。
FNd
qd
解：1)dx微段惯性力
l
dFd
gAdx
g
(w
2
x
)
2)单位长度惯性力为
qd
dFd dx
gAw
g
2
x
R
3)x截面处的轴向力为
x
dx
FNd xRlqddx
4)
FNd在x=R处最大：FNdmax
gAw
2g
2
(
2
R
l
)l
gAw
2g
2
[(
R
l
)
2
x
2
]
5)
叶根部的动应力：
d
FNdmax A1
gw
g
动构件，要降低动应力，必须控制其转速，而不 是加大截面面积。
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
四、例题
例13-1 汽轮机叶轮以n=3000r/min匀速转动，叶轮外缘半径R=103.4cm，
叶片长l=3.4cm，截面积A=1.79cm2，叶根截面积A1=A/2，叶片材料的容
重g=7.75×10-2N/cm3，求叶片根部的应力。
FNd Axg
Axg
g
a
P
P g
a
0
FNd
(
Axg
P
)(1
a g
)
d
FNd A
Axg
A
P
(1
a g
)
st
Axg
A
P
P
P
P g
a
kd
1
a g
d kd st
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
2．计算公式
1)动荷系数：
kd
1
a g
kd ——动荷系数，动应力与静应力的比值。
2)动应力计算： d kd st
一、单自由度弹性体强迫振动引例
强迫振动：构件由外界干扰力引起的振动
最小位移位置 A
静平衡位置
wt
Fc C
B
B st
B
最大位移位置
l
1．用动静法列平衡方程
P g
.y.
c
y.
K
(
st
y
)
P
Fc
sinwt
0
PKst
y..
gc P
y.
Kg P
y
Fc gsinwt
P
st
y
K(st+y)
P
y y.
Pcg y.y. .
3)强度条件： d kd st [ ] [ ]——静载许用应力
4)动变形： d kd st
三、匀角速旋转构件的动应力
1．引例：直径为D的薄圆环，厚度为t(t<<D)，宽为b(垂
直于纸面)，环以匀角速度w 绕O点转动，试求
圆环中的动应力。
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
w
1)ds段惯性力为
2．动载荷：构件速度在短时间内发生急剧变化，产生明 显的加速度。
3．动(荷)应力：由动载荷在构件中产生的应力，当动应
力不超过比例极限时，弹性模量不变， 胡克定律仍适用。
二、三类动荷问题
1．匀加速直线运动或匀角速转动； 2．强迫振动； 3．冲击。
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
一、动静法
1．惯性力：|Fi | ma ——方向与加速度方向相反 2．将惯性力加到物体上等效成平衡无加速度受载情况； 3．动静法(惯性力法)：
e
C
T1
D
B
FS
P1
(1
a g
)
60.4kN
FS
P1
FS+P2
T
C
B
P1 P1 a g
T1 J 0e
1 2
P2 g
D 2
2
2a D
0.612kN•m
T2
FS
D 2
36.24kN•m
a
M
1 4
(
FS
P2
)l
16.1kN•
m
r3
M 2 T 2 [ ] d 160mm
W
§13-3 强迫振动时的应力计算
dmax st B
dmin
st
B
——放大系数：
1
1w /w0 2 2 4n/w0 2 w /w0 2
5．动应力：
d
(1
c st
)
st
(1
Fc P
)
st
kd
st
kd
1
Fc P
——振动的动荷系数
§13-3 强迫振动时的应力计算
6．强度条件
梁内危险截面上危险点的应力在dmax和dmin之间作
.y.
Fcsinwt
§13-3 强迫振动时的应力计算
2．系统参数
1)固有频率w0：w0
g
st
Kg P
2)阻尼系数n：n
gc 2P
3．振动体的微分方程
y..
2n
y.
w
2 0
y
FPc gsinwt
4．小阻尼情况下(n< w0)，方程通解为
y Ae nt sin(
w
2 0
n2
t
)
Bsin(w
t
e
)
2
(2
R
l
)l
55.8MPa
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
例13-2 图示卷扬机起吊重物P1=40kN以等加速度a=5m/s2上升，鼓轮 重P2=4kN，直径D=1.2m，安装在轴中点C；轴长l=1m，材料许用应
力[ ]=100MPa，试按最大切应力准则设计轴的直径。
A
T T1 T2 36.85kN•m A
(B)→∞——共振现象，将产生极大的振动应力。
桥的扭振破坏 2)有阻尼存在(n≠0)
为高峰有限值，增大阻尼能降低 。
2．w /w0 1 时： →1，激振力可作静荷处理。 w /w0 0.25时：各曲线无明显差异，即阻尼不起作用。
t
(
FNd
)ds
(
b
ds
t
g
g
)(
D2 w
2
)
ds pi 2)沿环壁单位面积惯性力pi
D
dj j
pi
(FNd )ds bds
tgDw
2g
2
O
3)圆环的环向应力qd为
qd
pi D 2t
g D2
4g
w
2
g
Hale Waihona Puke Baidu
v2 g
v Dw / 2——圆环切向速度
2．讨论：qd∝v2(w 2)，与横截面面积无关，所以，对于转
B
Fc g
Pw
2 0
1
1w /w0 2 2 4n/w0 2 w /w0 2
e arctanw202nww 2
§13-3 强迫振动时的应力计算
1)通解第一项随时间的增加而减小——衰减振动
2)
c
Fc g
Pw
2 0
Fc K
c ——把激振力的最大值Fc以静载方
式作用在系统中引起的变形
3)B为强迫振动的振幅：B c
周期性的交替变化，强度条件应按交变应力处理。
二、对放大系数 的讨论
5.0
4.0
3.0
2.0
n
wn0 wn0 w0
0 0.075 0.1
n
wn0 w0
0.15 0.2
1.0
n
w0
0.25
w
w0
0 0.5 1.0 1.5 2.0
§13-3 强迫振动时的应力计算
1．w /w0→1时
1)无阻尼存在(n=0)