太原理工大学复变函数试卷

太原理工大学复变函数试卷(A)参考答案

专业： 2006级工科 考试日期： 2008.1.5 时间： 120 分钟 共 7 页

一、填空题（每小题2分，共10分）。

1．复数

4

)

11(i i z +-=的指数形式为(i e π2)； 2．=1Ln (i k π2) ；

3．函数=)(z f )1(1

-z

e z 的奇点为(i k z π2=)；

4．幂级数∑+∞

=+1

)1(n n

n z i 的收敛半径为(

21

)；

5．设c 为逆时针方向的圆周：1||0<=r z ，则=

⎰∑∞

-=c n n

dz z

2

(i π2)。

二、选择题（每小题2分，共10分）

1.下列关系正确的是 （ B ）

A ．

||||z

z e e = B ． z z sin sin = C ．bz z b a a =)( D ．bLna Lna b

=

2．设)()(2

323txy sx i y nx my z f +++=为解析函数，则 （ A ）

A ．3,1,3,1-==-==t s n m

B ．1,3,1,3=-==-=t s n m

C ．3,3,1,1-=-===t s n m

D ．1,1,3,3==-=-=t s n m 3．设有向曲线c 为折线AOB ，其中)1,0(),0,0(),0,1(B O A ，则

⎰+c

dz

z z z z )||(=

（ B ）

A ．i 3234+

B ．i 3234+-

C ．i 3234-

D ．i

3234--

4下列级数中条件收敛的是 （ C ）

A ．∑+∞

=+0)544(n n i B ．∑+∞=1n in e C ．∑+∞=11n n i n D ．∑+∞

=+121n i

n

5.列结论正确的是 （ D ） A ．若)(z f 在0z 解析，则)(]),

([Re 00z f z z f s =

B ．若0z 是)(z f 的n 级极点，则

)

(lim )!1(1]),

([Re 11

00z f dz d n z z f s n n z z --→-=

C ．若0z 是)(z f 的可去奇点，则)(lim ]),([Re 00z f z z f s z z →=

D ．若)(),(z Q z P 在0z 解析，且0)(,0)(,0)(000≠'=≠z Q z Q z P ，则

)()(],)()

([

Re 000z Q z P z z Q z P s '=

三、 是非题(每小题2分,共10分)

1．方程C z z =+αα（0≠α为复常数，C 为实常数）表示复平面上的一条直

线

。 √

2．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域E 内一点iy x z +=处可导的充要条件是

v

u ,在点

iy

x z +=处满足

R

C -条件。

（ ⨯ ）

3.)!

1(21||-=⎰=n i dz z e z n

z

π，

n

是大于1的自然数。

（√ ）

4．如果函数)(z f 在单连通域E 内处处解析，c 为E 内任一条简单闭曲线，则

⎰=c

dz z f 0

)(Re ，

⎰=c

dz z f 0)(Im

（ ⨯ ）

5．数)(z f 在0z 的某邻域内可展成幂级数的充要条件是)(z f 在0z 的某邻域内连

续且在此邻域内沿任一简单闭曲线的积分为零。 （ √ ）

四．计算下列各题（每小题7分，共28分） 1．计算3

1)3(-的值。

解

31

)

3(-3

)3(-=Ln e

3

)12(3ln π

++=k i e

3

)12(33π

+=k i

e

2．方程

α=+-11

arg

z z （α为常数）表示什么曲线。

解 设iy x z +=，则

2222)1(2111y x yi

y x z z +++-+=+-，

于是 αtan 122

2=-+y x y

，

即01cot 22

2=--+αy y x ， 它表示二次曲线。

3．计算积分⎰-c dz z z cos )1(1

，其中c 为正向圆周

x y x 422=+。 解

z z z f cos )1(1)(-=

在c 内具有两个一级极点1=z 与2π

=

z ，

1

sec )()1(lim ]1),([Re 1

=-=→z f z z f s z

22

]2),([Re --

=ππz f s

所以 ⎰-c dz z

z cos )1(1

=2i π（]1),([Re z f s +]

2),([Re π

z f s )22

1(sec 2--

=ππi

4．计算积分⎰c

Lnzdz

，其中c 为正向单位圆周 1||=z 。

解 :c 1||=z ，即it

e z =，其中t 从π-0到π，

)2(t k i Lnz +=π

⎰⎰-+=π

π

πit

c

de t k i Lnzdz )2(

i

dt

e i e t k i it it πππ

π

π

π

2|)2(-=-+=⎰--

五．计算下列各题（每小题8分，共32分）

1．求解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=，其中

y x y y x u 2

33),(-=，且i i f +=1)(。

解 y x y y x u 2

33),(-=，因为2

233y x y u x v -=∂∂-=∂∂，所以

)(3)33(2322y g xy x dx y x v +-=-=⎰

又

)(66y g xy y v

x u xy '+-=∂∂=∂∂=

-，得c y g =)(

由i i f +=1)(，得 1=c ，

所以=)(z f )3(2

3y x y -+

)13(23+-xy x i