数学建模-投资的风险和效益
毕业论文 投资风险和收益数学模型之探析
本科毕业论文论文题目：投资风险和收益数学模型之探析目录摘要 (4)关键字：数学建模建模方法建模示例 (4)Abstract (5)一. 数学模型的基本概念和基本特点 (6)原型和模型 (6)1.2模型分类 (6)1.3与数学模型相关的技术 (6)二．投资风险和收益的建模过程 (7)2.1基本方法 (7)2.2 投资风险和收益模型 (7)问题提出 (7)模型假设 (7)符号设定 (8)模型建立 (9)模型求解 (10)模型分析： (11)2.3 总结 (11)三．结语 (12)参考文献 (13)摘要数学模型（Mathematical Model），是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学，并在现实生活当中具有很大的应用价值。
因此本文介绍了数学模型的基本概念和基本特点，并结合投资风险和收益模型着重介绍了建立数学模型的一般方法和过程，从而更为形象和全面地体现数学建模的一般过程及其魅力所在。
关键字：数学建模建模方法建模示例AbstractMathematical Model, which has developed in recent years, is a new subject that has combined math theory and practical problems of science, and thus in real life has a great value. Therefore, this paper introduces the basic concepts and fundamental characteristics of the mathematical model, and then uses a model for investment risk and benefit as a specific example to highlight the general methods and processes of the establishment a mathematical model, and thus vividly and fully reflects the general course and the charm of mathematical modeling。
数学建模投资收益和风险模型
投资利润微风险的模型纲要在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者老是希望利润能够获得最大化，可是他也面临着不确立性和不确立性所引致的风险。
并且，大的利润老是陪伴着高的风险。
在有好多种财产可供选择，又有好多投资方案的状况下，投资越分别，总的风险就越小。
为了同时兼备利润微风险，追求大的利润和小的风险组成一个两目标决议问题，依照决议者对利润微风险的理解和偏好将其转变为一个单目标最优化问题求解。
跟着投资者对利润微风险的日趋关注, 怎样选择较好的投资组合方案是提升投资效益的根本保证。
传统的投资组合依照“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则 ,将投资分别化。
一问题的提出某企业有数额为 M（较大）的资本，可用作一个期间的投资，市场上现有5种财产（S i） ( 如债券、股票等 ) 能够作为被选的投资项目，投资者对这五种财产进行评估，估量出在这一段期间内购买 S i的希望利润率（ r i）、交易费率( p i)、风险损失率( q i)以及同期银行存款利率r0（ r0=3%）在投资的这一期间内为定值如表1，不受不测要素影响 , 而净利润和整体风险只受r i, p i, q i影响，不受其余要素扰乱。
现要设计出一种投资组合方案,使净利润尽可能大,风险尽可能小.表1投资项目 S i 希望利润率 r i (%) 风险损失率 q i (%) 交易费率 p i (%)存银行 S0 3 0 027 122 2252321 2此中 i0,1,2,3,4,5.二问题假定及符号说明2.1 问题假定(1)整体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来胸怀；(2)在投资中 , 不考虑通货膨胀要素 , 所以所给的S i的希望利润率r i为实质的均匀利润率；(3)不考虑系统风险 , 即整个资本市场整体性风险 , 它依靠于整个经济的运转状况 , 投资者没法分别这类风险 , 而只考虑非系统风险 , 即投资者经过投资种类的选择使风险有所分别；(4)不考虑投资者关于风险的心理蒙受能力。
数学建模—投资的收益和风险问题
数学建模—投资的收益和风险问题投资一直是人们追逐财富增值的方式之一。
然而，投资市场的不确定性和风险给人们带来了很大的挑战。
数学建模作为一种解决问题的工具，可以帮助我们分析和评估投资的收益和风险。
本文将从数学建模的角度探讨投资的收益和风险问题。
一、投资收益的数学建模投资收益是投资者最关心的问题之一，通过数学建模我们可以对投资收益进行评估和预测。
常用的数学模型之一是股票价格的随机过程模型，其中最经典的是布朗运动模型。
布朗运动模型假设股票价格的波动符合随机游走过程，即无论是股票的上涨还是下跌都服从正态分布。
在这个模型中，我们可以通过计算出股票价格的期望回报和标准差，来评估投资的收益和风险。
除了布朗运动模型，我们还可以利用时间序列分析来预测股票价格的变动趋势。
时间序列分析是一种利用历史数据来分析未来走势的方法，通过建立股票价格与时间的数学模型，可以得到股票价格的预测值。
然而，需要注意的是，时间序列分析并不能完全预测未来的变动，因为股票价格受到很多因素的影响，例如市场供求关系、公司业绩等。
二、投资风险的数学建模除了投资收益，投资风险也是投资者非常关注的问题。
投资风险是指投资在市场变动中可能遭受的损失和波动程度，通过数学建模我们可以对投资风险进行量化评估。
常用的风险评估方法之一是价值-at-风险（Value at Risk，VaR）模型。
VaR模型以一定的概率来评估投资可能遭受的最大损失。
该模型通过构建投资组合的收益分布函数，计算出投资组合在给定概率下可能遭受的最大损失。
VaR模型可以帮助投资者合理地控制风险，制定适当的投资策略。
除了VaR模型，我们还可以利用随机模拟方法来评估投资风险。
随机模拟方法通过生成一系列符合规定分布的随机数，来模拟投资组合的收益分布。
通过模拟大量的随机数，我们可以得到投资组合可能的收益和风险情况，进而评估投资的风险。
三、数学建模在投资决策中的应用数学建模在投资决策中有着广泛的应用。
数学建模：投资收益和风险的模型
投资收益和风险的模型摘要在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。
而且，大的收益总是伴随着高的风险。
在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。
为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。
随着投资者对收益和风险的日益关注,如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。
传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则, 将投资分散化。
一 问题的提出某公司有数额为M （较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（i S ）(如债券、股票等)可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产进行评估，估算出在这一段时期内购买i S 的期望收益率（i r ）、交易费率(i p )、风险损失率(i q )以及同期银行存款利率0r （0r =3%）在投资的这一时期内为定值如表1，不受意外因素影响,而净收益和总体风险只受i r ,i p ,i q 影响，不受其他因素干扰 。
现要设计出一种投资组合方案, 使净收益尽可能大, 风险尽可能小.表1投资项目i S 期望收益率(%)i r 风险损失率(%)i q交易费率(%)i p存银行0S3 0 0 1S 27 2.4 1 2S 22 1.6 2 3S 25 5.2 4.5 4S 23 2.2 6.5 5S211.52其中0,1,2,3,4,5.i =二 问题假设及符号说明2.1 问题假设(1)总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；(2)在投资中,不考虑通货膨胀因素, 因此所给的i S 的期望收益率i r 为实际的平均收益率；(3)不考虑系统风险, 即整个资本市场整体性风险, 它依赖于整个经济的运行情况, 投资者无法分散这种风险, 而只考虑非系统风险, 即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散；(4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。
有关投资的收益与风险的建模
有关投资的收益与风险的建模投资是为了获取收益而承担风险的行为。
通过建立投资的收益与风险的模型，投资者可以更好地理解和管理自己的投资组合。
本文将介绍一种常见的投资的收益与风险的建模方法。
在投资领域，常用的一种收益与风险的模型是资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）。
该模型基于市场组合的收益和风险，通过β系数来衡量个体资产与市场的相关性。
β系数越高，代表个体资产的风险相对市场更高，收益也相对更高；反之，β系数越低，个体资产的风险相对市场更低，收益也相对较低。
通过计算个体资产的β系数，投资者可以根据市场风险来评估个体资产的预期收益。
另外，为了更全面地评估投资的收益与风险，投资者还可以使用价值-at-风险模型（Value-at-Risk，VaR）。
VaR是一种根据投资组合的历史数据和相关统计学方法来计算预期最大可能损失的模型。
通过计算VaR，投资者可以估计在特定风险水平下的最大可能损失，并相应地进行风险管理和资产配置。
此外，在投资的收益与风险建模中，还有一些其他方法可以使用。
例如，投资者可以使用相关性分析来评估不同资产之间的相关性，以便在资产配置和投资组合构建中降低风险。
同时，投资者还可以使用蒙特卡洛模拟来模拟不同的市场情况，并评估不同投资策略在不同市场环境下的收益和风险。
总之，投资的收益与风险建模是一种重要的工具，可以帮助投资者更好地理解和管理自己的投资组合。
CAPM、VaR、相关性分析和蒙特卡洛模拟等方法都可以帮助投资者更科学地进行投资决策，并降低投资风险。
然而，由于市场的不确定性和无法预测性，任何建模方法都存在一定的局限性，投资者在使用这些模型时应该谨慎，并结合其他因素来进行综合分析和决策。
投资是一种追求财富增长和实现财务目标的行为，但同时也伴随着风险和不确定性。
为了更好地理解和管理投资中的收益与风险，投资者可以使用各种建模方法来评估和预测投资的潜在回报和风险水平。
建模示例——投资的收益和风险
三、模型的建立与分析
1. 总体风险用所投资的 i中最大的一个风险来衡量 即 总体风险用所投资的S 中最大的一个风险来衡量,即 max{ qixi|i=1，2,…n} ， 2．购买Si所付交易费是一个分段函数 即交易费 pimax{ui, xi}; ．购买 所付交易费是一个分段函数, 即交易费= 3．要使净收益尽可能大 总体风险尽可能小 这是一个多目标规 ．要使净收益尽可能大,总体风险尽可能小 这是一个多目标规 净收益尽可能大 总体风险尽可能小, n 划模型: 划模型
m Q( x) = ∑(ri − pi )xi ax
n
s.t. qi xi ≤ a0 M, i = 1,2,Ln
i =0
∑(1+ p )x
i =0 i
n
i
=M
xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
如取风险水平a 如取风险水平 0＝0:0.001:0.1，可看出净收益的变 ， 化情况如图。 化情况如图。 0.3
m sα − (1− s)∑(ri − pi ) xi in
i =0
n
s.t. qi xi ≤ α, i = 1,2,Ln
∑(1+ p )x
i =0 i
n
i
=M
xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
4
2)使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进 使就一般情况对以上问题进行讨论，
行计算: 行计算
Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) 元 S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 407 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549 S5 8.1 1.2 7.6 270 S6 14 39 3.4 397 S7 40.7 68 5.6 178 S8 31.2 33.4 3.1 220 S9 33.6 53.3 2.7 457 S10 36.8 40 2.9 248 Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) 元 S11 11.8 31 5.1) 195 S12 9 5.5 5.7 320 S13 S14 S15 35 9.4 15 46 5.3 23 2.7 4.5 7.6 267 328 131
数学建模_投资的风险和效益
数学建模实验报告计算机学院软件1205班组长：贾鹏博小组成员如下：邵欢张续詹盛军第一题摘要在现代商业、金融投资中，投资者总是希望实现收益最大化，然而投资是要承担风险的，收益与风险之间存在难以调和的矛盾，怎样兼顾两者，寻找切实可行的决策思想，是投资的收益和风险决策的一个重要问题。
可以利用数学建模思想和方法，通过相应数学模型的建立和MATLAB 求解，绘制出最优收益随风险度变化的趋势图，选择图中曲线的拐点作为最优投资组合。
投资的收益与风险作为高科技产业化的催化剂和孵化器，日益引起了人们的广泛关注和重视。
世界各国都在积极发展自己的风险投资业，以促进经济的发展和国家的繁荣，关于风险投资一般是指特定的人员或机构向创业初期预期有较大发展潜力。
但风险也很大的为企业提供融资或参与管理的行为。
这里的特定人员或机构一般具有较高的技能和较为雄厚的资本，通常称为风险投资者或风险投资公司；接受投资或管理的企业，通常是高科技企业，称为风险企业。
由于风险投资与企业创业紧密联系在一起，所以又称创业投资。
在我国，风险投资刚刚起步，但对国民经济发展和社会进步意义十分重大，因而越来越引起人们的重视。
提出问题：前期分析准备过程：当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
MATLAB 是一种准确、可靠的科学计算标准软件，它具有强大的矩阵运算功能与函数多样性功能，是数学建模中常用的工具。
一般说来，在现代商业、金融投资中，投资者总是希望实现收益最大化，关注于采用什么样的投资方式可以使总收益最大。
然而投资是要承担风险的，而且高收益总是伴随着高风险，收益与风险之间存在着难以调和的矛盾。
怎样兼顾两者，寻找切实可行的决策思想，是投资的收益和风险决策的一个重要问题。
建模示例——投资的收益与风险
令 max qi xi i 1,2,, n ;则
简化后的模型——双目标线性规划模型
max Q( x ) ri pi xi
n
min P ( x , ) s.t . qi xi , i 1,2, n
i 0
(1 p ) x
i 0 i
n
i
M
xi 0, i 1,2,, n
四、模型求解
解法1 固定风险 水平，极大化净 收益——模型1 解法2 固定净收 益水平,极小化风 险损失——模型2
max Q( x ) ri pi xi
n
min P ( x , ) s.t . qi xi , i 1,2, n
Q( x ) ri xi pi max ui , xi ri pi xi
i 0 i 0
n
n
2) 简化总体风险函数P(x):
min P ( x ) max qi xi i 1,2,, n min P ( x , ) s.t . qi xi , i 1,2, n
S7 S8 S9 S10
40.7 31.2 33.6 36.8
68 33.4 53.3 40
5.6 3.1 2.7 2.9
178 220 457 248
二、基本假设和符号规定
基本假设： 1. 投资数额M相当大, 为了便于计算，假设M=1； 2. 投资越分散，总的风险越小； 3. 总体风险用投资项目Si中最大的一个风险来度量； 4. n种资产Si之间是相互独立的； 5. 在投资的这一时期内, ri, pi, qi, r0为定值, 不受意外因素影响; 6. 净收益和总体风险只受 ri, pi, qi影响，不受其他因素干扰。 符号规定： Si -------第i种投资项目，如股票，债券; ri, pi, qiபைடு நூலகம்----分别为Si的平均收益率, 风险损失率, 交易费率; ui ---------Si的交易定额; r0 ---------同期银行利率; xi -------投资项目Si的资金; Q(x) ------总体收益函数; P(x)-------总体风险函数；
数学建模投资风险与收益
数学建模投资风险与收益
投资风险和收益是投资领域中的两个最重要的概念。
投资者在做出最终的决策之前，
必须仔细衡量这两者之间的关系。
投资风险是指可能发生的一系列不确定的事件，这些事件可能会导致投资者在投资过
程中遭受损失。
投资风险包括市场风险、信用风险、流动性风险和操作风险等。
投资收益是指投资者在投资中获得的收益，包括股息、利息、资本利得和其他收益等。
投资者的收益与投资风险密切相关，通常来说，风险越高，收益也就越高，反之亦然。
在数学建模中，我们可以使用各种数学工具和技巧来分析投资风险和收益之间的关系。
例如，我们可以使用统计方法来评估一个投资组合的风险和收益。
通过分析投资组合中每
个资产的历史数据，我们可以得出该组合的风险和收益情况，并通过优化投资组合的资产
配置，实现最大化收益和最小化风险的目标。
另外，我们还可以使用金融工程学中的定价模型来评估投资的风险和收益。
例如，利
用风险价格和风险杠杆来评估投资组合的风险和收益，并通过调整投资组合的配置，使风
险和收益达到最优化。
除了数学建模，我们还可以使用许多其他工具和技巧来帮助我们评估投资风险和收益
之间的关系。
例如，我们可以使用基本面分析来评估股票的价值，使用技术分析来预测股
票价格的变化，使用公司财务分析来评估企业的财务状况等。
总之，投资风险和收益是投资领域中的两个最重要的概念。
通过使用数学建模和其他
工具和技巧，我们可以更加准确地分析投资组合的风险和收益，并实现最优化的投资决
策。
数学建模论文：投资组合的收益和风险问题
投资组合的收益和风险问题摘要本论文主要讨论并解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的有关问题。
分别在不考虑投资项目之间的影响和考虑投资项目之间的影响以及不考虑风险和考虑风险的情况下，建立相应的数学模型，来使得投资所获得的总利润达到最大。
问题一是一典型的线性规划问题。
根据题目要求，要求第五年末的最大利润，则建立线性规划模型，在LINDO中编程求得第五年末的最大利润为1418.704万元。
第一年投资项目有1，2，3，4，5，6，投资额分别为50000.00，30000.00，40000.00，30000.00，30000.00，20000.00万元；第二年投资项目有1，2，7，投资额分别为10083.00，30000.00，40000.00万元；第三年投资项目有1，2，8，投资额分别为50307.08，30000.00，30000.00万元；第四年投资项目有1，2，3，4，投资额分别为30625.39，30000.00，40000.00，30000.00万元；第五年投资项目有1，2，投资额分别为30689.01，30000.00万元。
问题二是在问题一的基础上，增加了约束条件（考虑项目间的影响）的组合投资问题。
建立非线性规划模型，在LINGO中求解得到第五年末的最大利润为231762.8万元。
第一年投资项目有1，2，3，4，投资额分别为60000.00，60000.00，35000.00，30000.00万元；第二年投资项目有1，2，5，投资额分别为60000.00，60000.00， 30000.00万元；第三年投资项目有1，2，6，投资额分别为60000.00，60000.00，40000.00万元；第四年投资项目有1，2，3，4，投资额分别为60000.00，60000.00，35000.00，30000.00万元；第五年投资项目有1，2，投资额分别为60000.00，60000.00万元。
问题三在问题二的基础上考虑投资风险，要求风险最小，收益最大，是一双目标函数问题，求a ，进而将其转化为单目标问题。
数学建模--收益风险分析
投资的收益和风险目录一、摘要 (2)二、问题的提出 (2)三、问题的分析 (4)四、建模过程 (5)1、模型假设： (5)2、定义符号说明： (5)3、模型建立: (6)4、问题分析与求解 (6)（1）、问题一： (6)（2）、问题二： (9)（3）、模型求解： (10)五、模型的结果分析与评价 (10)六、模型评价与改进 (14)七、参考文献 (15)附录：Matlab程序 (15)A、问题一的求解 (15)B、问题二的求解： (15)一、摘要本方案借鉴了金融投资理论，在进一步明确“风险”和“总风险”这两个概念的基础上，将本问题归并为非线性规划问题。
对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计需要考虑连个目标，总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，然而，这两目标并不是相辅相成的，在一定意义上是对立的。
随着社会经济的发展，人们逐渐地认识到，为了获得较好的收益，应将闲置资金进行投资。
财富的积累需要一个过程，但投资理财有助于我们获取财富，一方面可以加速我们富裕的过程，从无到有，从少到多，实现原始财富的积累与财富的进一步增值；另一方面达到财务目标，平衡一生中的收支差距。
【关键字】：经济效益线性规划模型有效投资方案线性加权二、问题的提出随着社会经济的发展，人们逐渐地认识到，为了获得较好的收益，应将闲置资金进行投资，但是现在投资的方式多样化，所存在的风险都各不相同，因此了解一些基本投资规划方案，选择合适的投资组合方案，使净收益尽可能大，而总风险尽可能小。
市场上有n种资产（如股票、债券、…）i S( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买i S的平均收益率为并预测出购买i S的风险损失率为。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的i S中最大的一个风险来度量。
有关投资的收益与风险的建模
关于投资的收益和风险的建模傅园旭李冲程龙指导教师：刘利斌摘要：1.本文建立了一个关于资产组合的收益最大化风险最小化的数学模型2.本文通过在考虑风险一定时收益最大化，再考虑收益一定时的风险最小化的资产最优组合模型，并对最终的结果进行了优化处理，最终推广到一般的投资之中。
一问题的重现市场上有N种资产Si可供选择，某公司有一笔数额为M的相当大量的资金能够用做一个时期的投资。
公司的财务分析员通过分析估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，风险损失率为：qi。
考虑到投资越分散，总的风险越小，购买额不超过ui时，按交易费购买ui计算。
银行存款利率为ro，无交易费，无风险。
1.已知n=4时的相关数据如下：表一要求设计给该公司设计投资方案，使得既有投资，又有存款，同时使得收益尽可能的大，风险尽可能的小。
2.试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算；表二通过分析可知这是一道属于最优化的问题，要使得投资收益尽量的大，风险尽量的小。
能够分成两类考虑：即：1)风险一定，收益最大化。
2）收益一定，风险最小化。
文中的符号讲明：Si：第i种资产 ri：购买Si的平均收益率 qi：这一时期内购买Si的风险损失率ui：购买Si的给定值 r0同期银行存款率 Qi：购买Si的风险大小M：某公司一笔数额的资金 Q：总体风险 xi：购买Si 的资金x0：用于存款的资金 ci ：交易费 w ：净收益0.312441,*0.07w Q ==第i 种和第i-1种净收益之差 ,1Qi j ∆-：第i 种和第i-1种总体风险之差二 模型假设1、该公司在某一时期是一次性的投资。
2、该公司在购买Si 时不同意，用全部资金购买。
3、不考虑通货膨胀及其它风险情况。
4、银行存款利率不变为：r05、总体风险用最大的那个投资Si 表示。
6、假设净收益为除去所有支出所剩的利润。
三 模型的建立一 差不多模型：1.目标方程：考虑到在风险一定的情况下，总收益的最大化。
金融投资收益与风险的数学模型及其应用
金融投资收益与风险的数学模型及其应用金融投资收益与风险的数学模型包括：
1. 马科维茨模型：该模型是投资组合理论的核心，能够帮助投
资者制定最优的投资组合。
该模型将资产的期望收益、标准差和相
关系数纳入考虑，并通过最小化方差的方法来优化投资组合。
2. 波动率模型：该模型用于预测市场波动率的变化趋势。
常用
的波动率模型有GARCH、ARCH和EGARCH等。
该模型不仅能够帮助投
资者预测风险，还能够用于风险度量和资产定价。
3. 风险价值模型：该模型用于评估投资组合在不同置信水平下
的最大潜在损失。
该模型可以帮助投资者建立较为稳定的资产组合，以分散投资风险。
这些数学模型的应用包括：
1. 投资组合优化：通过马科维茨模型，投资者可以制定最优的
投资组合，从而实现收益最大化和风险最小化。
2. 预测市场波动：通过波动率模型，投资者可以预测市场的波
动情况，从而制定适当的风险管理策略。
3. 风险管理：通过风险价值模型，投资者可以评估投资组合的
风险水平，并建立合理的风险管理策略，以保护投资资金。
建模示例——投资的收益和风险
建模示例——投资的收益和风险引言投资是一种常见的理财方式，可以帮助个人或机构提高财务回报。
然而，投资也伴随着一定的风险。
为了更好地理解投资的收益和风险之间的关系，可以进行建模分析。
本文将介绍一种建模示例，帮助读者更好地理解投资的收益和风险。
数据收集为了进行建模分析，需要收集投资相关的数据。
在这个示例中，我们将以股票投资为例。
收集到的数据包括股票的历史价格、市场指数的历史数据和其他相关经济指标等。
选择适当的模型对于理解投资的收益和风险之间的关系非常重要。
在这个示例中，我们将使用计量经济学中的资本资产定价模型（CAPM）来进行分析。
模型解释CAPM模型是一种经济学理论，用于描述资产预期回报与市场风险之间的关系。
根据CAPM模型，资产的期望回报与其系统风险有关。
系统风险是指与整个市场相关的风险。
CAPM模型的数学表示如下：E(R i)=R f+βi(E(R m)−R f)其中，E(R i)表示资产i的期望回报，R f表示无风险利率，βi表示资产i的风险系数（beta），E(R m)表示市场的期望回报。
使用收集到的数据和CAPM模型，可以进行数据分析，以了解投资的收益和风险之间的关系。
具体步骤如下：步骤1：计算资产的期望回报根据CAPM模型，首先需要计算资产的期望回报。
这可以通过计算股票的历史回报率来实现。
步骤2：计算资产的系统风险资产的系统风险可以通过计算资产的风险系数（beta）来估计。
风险系数反映了资产与市场之间的相关性。
步骤3：计算市场的期望回报市场的期望回报可以通过分析市场指数的历史数据来估计。
步骤4：应用CAPM模型将计算得到的资产的期望回报、系统风险和市场的期望回报带入CAPM模型中，可以得到资产的预期回报。
步骤5：分析结果根据CAPM模型计算得到的结果，可以通过对不同投资组合进行比较，评估不同投资策略的收益和风险。
结论通过建立合适的模型并进行数据分析，可以帮助我们更好地理解投资的收益和风险之间的关系。
投资的风险和收益的建模
投资的风险和收益摘要：本题是一个优化问题，对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计需要考虑好多因素。
投资问题中的投资收益和风险问题，我们总希望利润获要尽可能大而总体风险尽可能小，但是，他并不是意随人愿，在一定意义上是对立的。
模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化模型，不同的投资方式具有不同的风险和效益，该模型根据优化模型的原理，提出了两个准则，并从众多的投资方案中选出若干个，使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风险尽可能小。
在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a ，使最大的一个风险q i x i /M ≤a ，可找到相应的投资方案. 这样把多目标规划变成一个目标的线性规划模型二若投资者希望总盈利至少达到水平k 以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合. 固定盈利水平，极小化风险模型三给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化解风险函数的非线性。
【关键字】：多目标规划模型 有效投资方案 赋权 一 问题的提出投资的效益和风险(1998年全国大学生数学建模竞赛A 题)市场上有n 种资产（如股票、债券、…）S i ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数 额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这n 种 资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为i r 并预测出购买Si 的风险损失率为i q 。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金 购买若干种资产时，总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。
购买S i 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算。
另外，假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。
数学与应用数学-数学模型在投资风险与收益中的应用论文
摘要数学模型常用来解决经济中的问题。
本文根据马科维兹均值—方差模型，用期望与方差将抽象的风险与收益进行量化。
并选取了5种投资商品的历史收益率、收盘价等数据进行实证分析，根据Matlab程序计算协方差、方差、平均收益率等得出有效前沿，运用矩阵求出每种证券商品对应的权重，从而实现组合最优。
关键词：投资组合理论；有效前沿；投资风险；收益AbstractMathematical models are often used to solve problems in the economy. This paper quantifies the abstract risks and benefits with expectation and variance according to the Markowitz mean-variance model. And selected 5 kinds of investment commodity's historical return rate, closing price and other data to carry on the empirical analysis, according to the Matlab program calculation covariance, variance, average return rate and other formulas to get the effective frontier, using the matrix to find the corresponding weight of each security commodity,to achieve the optimal combination.Keywords:portfolio theory;effective boundaries;investment risk;return目录1 引言 .......................................................... １1.1 研究背景........................................................... １1.2 研究现状........................................................... １1.2.1 国外研究现状..................................................... １1.2.2 国内研究现状..................................................... ２2 相关概念 .......................................................... ３2.1 数学建模........................................................... ３2.2 投资收益与风险的关系............................................... ３2.3 马科维茨投资组合理论............................................... ４2.4 无差异曲线(不同投资者的风险偏好) ................................... ４2.5 资产有效前沿....................................................... ５2.6 二次规划问题....................................................... ５3 模型的建立及求解................................................... ６3.1 符号说明........................................................... ６3.2 模型假设........................................................... ６3.3 投资组合的预期收益率............................................... ７3.4 投资组合的风险..................................................... ７3.4.1 方差............................................................. ７3.4.2 协方差........................................................... ８3.5 无差异曲线的确定................................................... ９4 实证分析 ........................................................ １０4.1 实例应用1 ....................................................... １０4.2 实例应用2 ....................................................... １３5 模型评价 ........................................................ １６6 结论............................................................ １７参考文献 ..................................................... １８致谢 ........................................................... １１1 引言1.1 研究背景在科技发展迅速的21世纪，互联网大数据已经成为当今时代的潮流。
数学建模—投资的收益和风险问题
数学建模—投资的收益和风险问题机械与控制工程学院数学建模二学号：姓名：班级：第 1 页共 1 页机械与控制工程学院投资的收益和风险问题摘要：某投资公司现有一大笔资金（8000万），可用作今后一段时间的市场投资，假设可供选择的四种资产在这一段时间的平均收益率分别为ri，风险损失率分别为qi。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的资产中最大的一个风险来度量。
另外，假定同期银行存款利率是r0 =5%。
具体数据如下表：资产 S1 S2 S3 S4对于第一问，我建立了一个优化的线性规划模型，得到了不错的结果。
假设5年的投资时间，我认为五年末所得利润最大可为：37.94亿。
具体如何安排未来一段时间内的投资，请看下面的详细解答。
如果可供选择的资产有如下15种，可任意选定投资组合方式，就一般情况对以上问题进行讨论，结果又如何？Si S1 ri(%) 42 qi(%) 9.6 ri(%) 32 26 8 16 qi(%) 8.5 5.5 1 10 第 2 页共 2 页机械与控制工程学院S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 54 60 42 8.1 39 68 33.4 53.3 40 31 25.5 46 15.3 33 18.5 49.4 23.9 1.2 14 40.7 31.2 33.6 26.8 11.8 9 35 9.4 15对于第二问，考虑独立投资各个项目的到期利润率，通过分析，发现数据中存在着相互的联系。
由此，我建立了一个统计回归模型:x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1 +a6*x2 +a7*x3 +a8*x4通过这个模型，我预测了今后5年各个项目的到期利润率。
如第一个项目今后五年的到期利润率为：第一年：0.1431 第二年：0.1601 第三年：0.0605 第四年：0.1816 第五年： 0.1572。
投资的收益和风险问题—数学建模论文
投资的收益和风险问题摘要本论文主要讨论解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的相关问题。
分别在不考虑风险和考虑风险的情况下建立相应的数学模型，来使得投资所获得的总利润达到最大。
问题一是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，也即模型1，用Lingo软件求解，得到在不考虑投资风险的情况下，20亿的可用投资金额所获得的最大利润为153254.4万元。
然后分别分析预计到期利润率、可用投资总资金和各投资项目的投资上限对总利润的影响。
发现利润与利润率成正比的关系；可用投资总额有一个上限，当投资额小于这个上限时，总利润与可用投资额成正比的关系，当大于这个上限时，可用投资额与总的利润没有关系，总利润率保持不变；各项目的投资上限均与目标值呈正相关，项目预计到期利润率越大，该项目投资上限的变动对目标值的影响越大。
问题二是一个时间序列预测问题。
分别在独立投资与考虑项目间的相互影响投资的情况下来对到期利润率和风险损失率的预测。
两种情况下的预测思路与方法大致相同。
首先根据数据计算出到期利润率，将每一个项目的利润率看成一个时间序列，对该序列的数据进行处理，可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。
再计算该序列的自相关函数和偏相关函数，发现该时间序列具有自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾的特点，所以可认为该序列为一次滑动平均模型（简称MA(1)）。
接着，用DPS数据处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预测出各项目未来五年的投资利润率。
对于风险损失率，我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小，将预测出来的投资利润率加入到样本数据序列中，算出该组数据的标准差，用该值来衡量未来五年的风险损失率。
具体答案见4.2.2.1问题的分析与求解。
同样在考虑相互影响的情况下，我们运用ARMA(3,1)模型进行预测，结果见4.2.2.2 问题三与问题一类似，也是优化的问题，其目标仍是第五年末的利润最大，而且也没有考虑风险问题，只是约束条件改变了。
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解决组合投资收益最优问题一、 摘要本论文主要讨论并解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的有关问题。
分别在不考虑投资项目之间的影响和考虑投资项目之间的影响以及不考虑风险和考虑风险的情况下，建立相应的数学模型，来使得投获得的总利润达到最大。
模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化模型，不同的投资方式具有不同的风险和效益，该模型根据优化模型的原理，提出了两个准则，并从众多的投资方案中选出若干个，使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风险尽可能小。
模型二给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化解风险函数的非线性。
二、 关键字：经济效益 线性规划模型 有效投资方案 线性加权三、 问题重述市场上有n 种资产（如储蓄、保险、国债、股票、基金、期货、外汇、房地产、珠宝、邮票、古玩字画、钱币及拍卖品等）S i ( i=1,…n) 供投资者选择，将数额1000万的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
现对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为i r 并预测出购买Si 的风险损失率为i q 。
考虑到投资越分散，总的风险越小，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。
购买S i 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易按购买i u 计算（不买当然无须付费）。
另外，假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。
（0r =5%） 资产 收益率(%) 风险率(%) 交易率(%) 阀值(元) 28 2.5 1 103 21 1.5 2 198235.54.55225 2.6 6.5 40试给一种投资组合方案，即用给定的资金1000万，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
资产收益率(%)风险率(%)交易率(%)阀值(元)1S9.6 42 2.1 1812S18.5 54 3.2 4073S49.4 60 6.0 4284S23.9 42 1.5 5495S8.1 1.2 7.6 2706S14 39 3.4 3977S40.7 68 5.6 1788S31.2 33.43 3.1 2209S33.6 53.5 2.7 47510S36.8 40 2.9 24811S11.8 31 5.1 19512S9 5.5 5.7 32013S35 46 2.7. 26714S9.4 5.3 4.5 32815S15 23 7.6 131的盈亏数据，以及一般情况的讨论。
这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。
设购买Si （i=0,1…….n;S0表示存入银行，）的金额为xi;所支付的交易费为ci(xi)，则：对Si 投资的净收益为:（i＝0，1，…，n）对Si投资的风险为:对Si 投资所需资金（即购买金额 xi 与所需的手续费 ci(xi) 之和）是投资方案用 x=（x0，x1，…，xn）表示，那么，净收益总额为： R(x)=总风险为：Q(x)=所需资金为：F(x)=所以，总收益最大，总风险最小的双目标优化模型表示为：min｜F(x)=M,x但是像这样的双目标模型用一般的方法很难求解出来的，所以经过分析把次模型转化为三种较简单的单目标模型。
四、模型的假设与符号说明1．模型的假设：（1）在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变。
（2）在短时期内所购买的各种资产（如股票，证券等）不进行买卖交易。
即在买入后就不再卖出。
（3）每种投资是否收益是相互独立的。
（4）在投资的过程中，无论盈利与否必须先付交易费。
参数范围说明Si i=1,2…n 欲购买的第i种资产的种类M 相当大现有的投资总额xi i=1,2…n 购买Si烦人金额ri i=1,2…n 购买Si的平均收益率qi i=1,2…n 购买Si的平均损失率pi i=1,2…n 购买Si超过ui时所付的交易费Ei i=1,2…n 购买资产Si所或得的收益k 0.1~1 权因子A 不等式右端的系数矩阵f 目标向量五、问题分析由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，在这里投资Si的平均收益率为xiri，风险损失为xiqi。
要使投资者的净收益尽可能大，而风险损失尽可能小，第一个解决方法就是进行投资组合，分散风险，以期待获得较高的收益，模型的目的就在于求解最优投资组合，当然最优投资还决定于个人的因素，即投资者对风险，收益的偏好程度，怎样解决二者的相互关系也是模型要解决的一个重要问题。
本题所给的投资问题是利用原给的数据，通过计算分析得到一种尽量让人满意的投资方案，并推广到一般情况，利用第二问进行验证，下面是实际要考虑的两点情况：（1） 在风险一定的情况下，取得最大的收益 （2） 在收益一定的情况下，所冒的风险最小当然，不同的投资者对利益和风险的侧重点不同，将在一定的范围内视为正常，所以只需要给出一种尽量好的模型，即风险尽量小，收益尽量大，这是一般投资者的心里。
对于模型一，在问题一的情况下，可对五种项目投资，其中银行的无风险，收益r0=5%为定值，在投资期间是不会变动的，其它的投资项目虽都有一定的风险，但其收益可能大于银行的利率，我们拟建立一个模型，这个模型对一般的投资者都适用，并根据他们风险承受能力的不同提出多个实用于各种类型人的投资方案（一般投资者分为：冒险型与保守型。
即越冒险的人对风险损失的承受能力越强）。
对于模型二：由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，将资产的风险预期收益率用一定的表达式表示出来，在这里，投资Si 的平均收益为X(i)*r(i),风险损失为r(i)*q(i).要使投资者的净收益尽可能大，而风险损失尽可能小。
六、模型的建立与求解投资者的净收益为购买各种资产及银行的收益减去此过程中的交易费用。
在对资产Si 进行投资时，对于投资金额xi 的不同，所付的交易费用也有所不同步投资时不付费，投资额大于ui 时交易费为xipi ，否则交易费为uipi ，记ii i 0x 0u 0r ;i i ii i x x x u ϕ=⎧⎪=<<⎨⎪>⎩，；即题中所给的交易费的计算数额是一个分段函数，在实际的计算中不容易处理，但我们注意到，在表1中，ui 的数值非常小，∑iu =103+198+52+40=387元，对其中最大的ui 来说，u2=198<200元，而已知M 是一笔相当大的资金，同时交易费率pi 的值也很小，即使在xi<ui 时，以ui 来计算交易费与用xi 直接计算交易费相差无几，所以，后面我们具体计算式，为简化暂不考虑ui 的约束，都已xi 来答题ui 计算交易费。
1、模型一：问题分析与求解设购买i S 的金额为i x ，所付的交易费i c (i x )为0c (0x )=0。
00()0(1~)i i i i i i i i i i i x c x p u x u i n p x x u=⎧⎪=<<=⎨⎪≥⎩ (1)因为投资额M 相当大，所以总可以假设对每个i S 的投资i x ≥i u ，这时（1）式可化简为()(1~)i i i i c x p x i n == (2)对Si 投资的净收益:()()()i i i i i i i i i R x r x c x r p x =-=- (3)对i S 投资的风险:()i i i i Q x q x = （4）对i S 投资所需资金（投资金额i x 与所需的手机费i c (i x )之和）即()()(1)i i i i i i i f x x c x p x =+=+ (5)当购买i S 的金额为i x （i=0~n ）,投资组合x=(0x ,1x ,……，n x )的净收益总额0()()ni i i R x R x ==∑ (6)整体风险：1()max ()i i i n Q x Q x ≤≤= (7)资金约束：0()()ni i i F x f x M ===∑ (8)多目标数学规划模型净收益总额R( x)进、尽可能大，而整体风险Q(x)又尽可能小，则该问题的数学模型可规划为多目标规划模型，即max ()min ().()0R x Q x s tF x M x ⎧⎪⎪⎨=⎪⎪≥⎩ (9) 模型（9）属于多目标规划模型，为了对其求解，可把多目标规划转化为单目标规划。
假定投资的平均 风险水平-q ，则投资M 的风险k=-q M ，若要求整体风险Q(x)限制在风险k 以内，即Q(x)<=k ，则模式（9）可转化为max ().()()0R x s tQ x k F x M x ⎧⎪≤⎪⎨=⎪⎪≥⎩ (10)2、模型一的求解（1）求多目标规划模型（9）的非劣解由多目标规划理论可知，模型（9）非劣解的必要条件（Kuhn-Tucker 条件）为，存在1λ,2λ，μ>0使12()(())(())0(())0,0R x Q x F x M F x M x λλμμ∇+-∇+-=⎧⎨-=≥⎩问题在于如何求 （7）式给出的Q(x)的导数。
（2）求模型（10）的最优解由于模型（10）中的约束条件Q(X) ≤ k,即k x m ax Q i i ≤）（ 所以此约束条件可转化为：()(1~)i i Q x k i n ≤=这是模型（10）可转化为如下的线性规划：max ().(1)(1~)0n i i ii ni i i i i r p x s t p x M q x k i n x ==⎧-⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪≤=⎪≥⎩∑∑ (11) 给定k,可方便的求解模型（11）。
具体计算时，为了方便起见，可令M=1，于是（1+i p ）i x 可视作投资i S 的比例。
下面针对n=4,M=1的情形，按原问题给定的数据，模型（11）可变为：max 012340.050.270.190.1850.185x x x x x ++++.s t 012341.01 1.02 1.045 1.0651x x x x x ++++=12340.0250.0150.0550.026x k x k x k x k≤≤≤≤0i x ≤ (0~4)i =3、模型二：问题分析与求解我们的目标是对各种资产投资以后，不仅收益尽可能大，同时总体风险还要尽可能小，所以我们的目标函数应为收益和风险两个函数，由于在一般时间内的各种资产的平均收益率和风险损失率已由表中给出，因此我们可以建立数学模型目标1：max ∑+=-=1n 1i i i i i Y X r f ）（目标2：min ）（i i ni 1i X q max f ≤≤= s.t.：1Y X 1n 1i i i =+∑+=）（ 这是一个多目标非线性数学规划模型,且i f 不是xi 的连续函数,优化求解困难,下面我们将它转化为一个线性规划模型线性规划模型1、目标函数的确定多目标规划有多种方法化为单目标问题解决,我们使用线性加权总目标函数：min ））（（12f 1f f --+=λλλ反映了风险投资中投资者的主观因素,λ越小表示投资越冒险,当λ=0是表示只顾收益不顾风险,这样的人有可能取得最大收益;λ=1时表示只顾风险不顾收益,这样的人会将所有的资金存入银行2、交易费函数的线性化近似本题中i Y 不是i X 的连续函数,现将i Y 近似为i X 的线性函数：i i i X p Y = 3、、风险函数的转化令22n f X =+,那么必有2n i i X X q +≤(i=1,2,3…n)由于目标函数优化f ，从而优化解必可）（i i ni 1X q max ≤≤达到2n X +使达到,这样得到线性规划模型 Min 2n 1n 1i i i i X X r -p 1f ++=∑+-=λλ）（）（s ．t n+1i i i 1i i n+2i p X q X X 0i 1,2,3...n,X 0i 1,2,3...n+2=⎧⎪⎪-≤=⎨⎪≥=⎪⎩∑（1+）=1，，，4.模型二的求解：（一）采用MATLAB优化工具箱中的线性规划函数求解，它优化下列线性规划模型：XminC Ts.t bAX≤X,N)使用格式为X=lp(C,A,b,vlb,vub,其中vlb，vub分别是上下界，X0为初始值，N表示约束条件中前N个约束为等式约束（二）计算步骤1．输入数据，选取权因子λ；2．生成矩阵C,A,b3．根据需要取vlb,vub,X0,N(问题中vlb取零向量,V去1，vub和X0没有特殊的要求，设为空集)4.．使用MATLAB函数lp求解；七、模型的结果分析与评价1.结果分析模型一：风险投资种类n=4时，建立模型求解，任意给定投资风险上限k，在风险不超过k的情况下确定最优组合，列表2如下：n=4是的风险收益图如下：0.050.10.150.20.250.3k 风险y 收益风险收益图1由列表（1）和图（1）可知，收益y 随着风险上限k 的增加而增加，在0~0.007附近增长速度最快，之后增长速度变缓慢。