《管理运筹学》第四版 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 课后习题解析
06第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
b
8 12 36
3 x1
5 x2
0 x3
0 x4
0 x5
比 值
0 0
1 0 3
3
0 2 4
5
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
0
检验数j
• 最优基和最优基的逆
CB 0 5 3
Cj XB
x3 x2 x1
b
4 6 4
3 x1
0 0 1 0
x1
5 x2
0 1 0 0
x3
x4
x5
x6
x7
第六章 单纯形法的灵敏度分析 与对偶
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船 对偶是一种普遍现象
DUAL
学习重点与难点
• §1 单纯形表的灵敏度分析(重点.难点.掌握)
• §2 线性规划的对偶问题 (重点.理解.掌握)
• §3 对偶规划的基本性质(重点.应用)
• §4 对偶单纯形法(难点.掌握---前面已讲) §1 单纯形表的灵敏度分析(重点.难点.掌握)
0 x3
1 0 0 0
0 x4
2/3 1/2 -2/3 -1/2
1 0 0
0 x5
-1/3 0 1/3 -1
2 3 1 2 2 3
比 值
检验数j • 最优基
1 0 1 0 2 0 * B 0 4 3
x3 x 2
• 最优基的逆
B*
1
x1 1 2 0
50
300 400 250
原 问 题 初 始 单 纯 形 表
j
已知最优基的基变量为x1， x4， x2，请直接写出该线性 规划问题的最终单纯形表。并给出其对偶问题的最优解
《管理运筹学》第四版第6章单纯形法灵敏度分析与对偶课后习题解析
《管理运筹学》第四版第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶课后习题解析《管理运筹学》第四版第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶课后习题解析《管理运筹学》第四版课后习题解析第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶1(解：(l)cl?24⑵ c2?6(3)cs2?82(解：(1)cl??0.5(2)?2?c3?0(3)cs2?0.53(解：(1)bl?250(2)0?b2?50(3)0?b3?1504(解：(1)bl??4(2)0?b2?10(3)b3?4最优基矩阵和其逆矩阵分别为:B???最优解变为xl?10??10??l??, B????41??;41?????x2?0, x3?13,最小值变为-78;?0, x2?14, x3?2,最小值变为-96;最优解没有变化;最优解变为xl6(解：⑴利润变动范围cl?3,故当cl=2时最优解不变。
⑵根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
(3)0?b2?45o(4)最优解不变，故不需要修改生产计划。
(5)此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为?3小于零，对原生产计划没有影响。
7.解：⑴设xl,x2,x3为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为max z?2.5xl?2x2?3x3约束条件:8xl?16x2?10x3?35010xl?5x2?5x3?4502xl?13x2?5x3?400xl,x2,x3?0解得三种食品产量分别为xl?43.75,x2?x3?0,这时厂家获利最大为109.375万ye©(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
(3)B食品的加工工序改良之后，仍不投产B,最大利润不变;若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中xl?14.167,x2?0, x3?ll, x4?31.667;(4)若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中xl?ll,x2?0, x3?7.2, x4?38;所以建议生产乙产品。
管理运筹学-第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
所以松弛纯 变形 量表 在中 最 1， 2 的 ， 终 0） T就 系 单 B 是 -的 1 数第 列一 （
因d为 1'110,d2'120,X150,X250,可M 以axxdB i1i|d'i1050 而 MinxdB i1i|d'i102,5故有5当 0b12,5即 250bb32第 5 一个 约束条件的变 对。 偶价格不
对于任何为基变量的松弛变量所对应的约束条件的对偶价格为0迭代次数基变量cbx1x2s1s2s350100x15050s250x2100250zj50100505027500cj单纯形表的灵敏度分析可以看出上题中对于设备台时数约束来说当其松弛变量在目标函数50时也就是只要当前余下一台时数设备从不能获利变成获利50元时譬如有人愿意出50元买一个设备时我们就不必为生产产品而使用完所有的设备台时了这说明了设备台时数的对偶价格就是z对于含有大于等于号的约束条件添加剩余变量化为标准型
管理运筹学
11
§1 单纯形表的灵敏度分析
要 使 X 'B0也 就 是 各 个 分 量 均 不 小 于 0， 用 一 个 数 学 式 子 来 表 示 bk的 允 许 变 化 范 围 是
M ax d xB 'iik|d'ik0 bkM in d xB 'iik|d'ik0 下面我们仍以第二章例1在最终单纯形表上对bj 进行灵敏度分析。 最终单纯形表如下所示：
例：
目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300
2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下
管理运筹学第四版课后习题解析上定稿版
管理运筹学第四版课后习题解析上精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】《管理运筹学》第四版课后习题解析（上）第2章 线性规划的图解法1．解：（1）可行域为OABC 。
（2）等值线为图中虚线部分。
（3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解1x =127，2157x =；最优目标函数值697。
图2-1 2．解：（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解120.20.6x x =⎧⎨=⎩，函数值为3.6。
图2-2（2）无可行解。
（3）无界解。
（4）无可行解。
（5）无穷多解。
（6）有唯一解 1220383x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，函数值为923。
3．解：（1）标准形式（2）标准形式（3）标准形式4．解：标准形式松弛变量（0，0）最优解为 1x =1，x 2=3/2。
5．解：标准形式剩余变量（0, 0, 13）最优解为 x 1=1，x 2=5。
6．解：（1）最优解为 x 1=3，x 2=7。
（2）113c <<。
（3）226c <<。
（4）1264x x ==。
（5）最优解为 x 1=8，x 2=0。
（6）不变化。
因为当斜率12113c c ---≤≤，最优解不变，变化后斜率为1，所以最优解不变。
7.解：设x ，y 分别为甲、乙两种柜的日产量，目标函数z=200x ＋240y ， 线性约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+006448120126y x y x y x 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0162202y x y x y x 作出可行域．解⎩⎨⎧=+=+162202y x y x 得)8,4(Q 答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．8．解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积zm2．目标函数z=x ＋2y ， 线性约束条件：作出可行域，并做一组一组平行直线x ＋2y=t ．解⎩⎨⎧=+=+12273y x y x 得)2/15,2/9(E ．但E 不是可行域内的整点，在可行域的整点中，点)8,4(使z 取得最小值。
管理运筹学单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题课件
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
《管理运筹学》第四版课后习题答案解析
学习资料整理⎨= 0.6《管理运筹学》第四版课后习题解析（上）第2章 线性规划的图解法1．解：（1）可行域为OABC 。
（2）等值线为图中虚线部分。
（3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解 x =12， x15 1727图2-1；最优目标函数值 69。
72．解：（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解 x 10.2，函数值为3.6。
x 2图2-2（2）无可行解。
（3）无界解。
（4）无可行解。
⎨ （5）无穷多解。
x（6）有唯一解 120 3，函数值为 92 。
8 3x2 33．解：（1）标准形式max f3x 12x 20s 10s 20s 39x 1 2x 2 s 1 30 3x 1 2x 2 s 2 13 2x 12x 2s 39x 1, x 2 , s 1, s 2 , s 3 ≥ 0（2）标准形式min f4x 16x 20s 10s 23x 1x 2 s 16 x 12x 2s 210 7x 16x2 4x 1, x 2 , s 1, s 2 ≥ 0（3）标准形式min fx 12x 22x 20s 1 0s 23x1 5x 25x 2s 1702x 15x 25x 250 3x 12x 22x 2s 230x 1, x 2, x 2, s 1, s 2 ≥ 04．解： 标准形式max z10x 15x 20s 10s 2范文范例 指导参考学习资料整理3x 14x 2s 19 5x 12x 2s 28x 1, x 2 , s 1, s 2 ≥ 0≤松弛变量（0，0）最优解为 x 1 =1，x 2=3/2。
5．解： 标准形式min f11x 18x 20s 10s 20s 310x 1 2x 2 s 1 20 3x 1 3x 2 s 2 18 4x 19x 2s 336x 1, x 2 , s 1, s 2 , s 3 ≥ 0剩余变量（0, 0, 13）最优解为 x 1=1，x 2=5。
运筹学：对偶理论与灵敏度分析习题与答案
一、填空题1、对偶问题的对偶问题是（）。
正确答案：原问题2、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y﹡b。
正确答案：=3、若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX（）Yb。
正确答案：<=4、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y*b。
正确答案：=5、设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为（）。
正确答案：min=Yb YA>=c Y>=06、影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的（）的数量表现。
正确答案：对偶变量7、线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为（）。
正确答案：AT8、在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0(j=1，2，…n)，则原问题（）。
正确答案：无解二、选择题1、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A. “≥”B. “≤”C. “>”D. “=”正确答案：A2、如果z*是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w﹡满足（）。
A.W﹡=Z﹡B.W﹡≠Z﹡C.W﹡≤Z﹡D.W﹡≥Z﹡正确答案：A3、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B4、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A.≥B.≤C. >D. =正确答案：A5、对偶单纯形法的迭代是从（）开始的。
A.正则解B.最优解C.可行解D.可行解正确答案：A6、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B7、线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对（）的影响。
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-对偶理论与灵敏度分析(圣才出品)
( ) N0 = CN0 − CB0 B0−1N0 = 6, −2,3 ，则 x1 为换入变量。
( ) ( ) x
=
min
( )
B0−1b i B0−1P1 i
B0−1P1
i
0
=
min
2 2
,
4 1
=
1，所以对应的换出变量为
4。
由此得到新的基 B1 、基变量 XB1 及系数 CB1 、非基变量 XN1 及系数 CN1 分别为：
0 0 1 1 1
−1/ 3
1/ 3 0 0 1 0 0 1/ 3 0 0 B1−1 = E1B0−1 = −4 / 3 1 0 0 1 0 = −4 / 3 1 0
−1/ 3 0 1 0 0 1 −1/ 3 0 1
计算非基变量的检验数为：
1 / 3 0 0 1 1 0
N1 = CN1 − CB1 B1−1N1 = ( M ,1, 0) − (2, M , 0) −1 / 4
量 x4, x5 ，在第三个约束条件中加入松弛变量 x6 ，得该线性规划的标准型：
min z = 2x1 + x2 + Mx4 + Mx5 3x1 + x2 + x4 = 3 4x1x+1 +23x2x2+−x6x3=+3x5 = 6 x1, x2,L , x6 0
2 / 33
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
B1
=
( P1,
P5
)
=
2 1
0 1 , X B1
=
x1 x5
,
CB1
= (6,0) ，
X N1 = ( x4, x2, x3 )T ,CN1 = (0, −2,3)
《管理运筹学》第四版课后习题答案
⎨= 0.6《管理运筹学》第四版课后习题解析（上）第2章 线性规划的图解法1．解：（1）可行域为OABC 。
（2）等值线为图中虚线部分。
（3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解 x=12， x15 1727图2-1；最优目标函数值 69。
72．解：（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解 x 10.2，函数值为3.6。
x 2图2-2（2）无可行解。
（3）无界解。
（4）无可行解。
⎨ （5）无穷多解。
x（6）有唯一解 120 3，函数值为 92 。
8 3x2 33．解：（1）标准形式max f3x 12x 20s 10s 20s 39x 1 2x 2 s 1 30 3x 1 2x 2 s 2 13 2x 12x 2s 39x 1, x 2 , s 1, s 2 , s 3 ≥ 0（2）标准形式min f4x 16x 20s 10s 23x 1x 2 s 16 x 12x 2s 210 7x 16x 2 4x 1,x 2, s 1, s 2 ≥ 0（3）标准形式min fx 12x 22x 20s 1 0s 23x 15x25x 2s 170 2x15x 25x 250 3x 12x 22x 2s 230x 1, x 2, x 2, s 1, s 2 ≥ 04．解： 标准形式max z10x 15x 20s 10s 23x 1 4x 2s915x1 2x 2 s2 8 x, x2 , s1, s2 ≥01≤松弛变量（0，0）最优解为 x 1 =1，x 2=3/2。
5．解： 标准形式min f11x 18x 20s 10s 20s 310x 1 2x 2 s 1 20 3x 1 3x 2 s 2 18 4x 19x 2s 336x 1, x 2 , s 1, s 2 , s 3 ≥ 0剩余变量（0, 0, 13）最优解为 x 1=1，x 2=5。
6．解：（1）最优解为 x 1=3，x 2=7。
单纯形法的灵敏度分析与对偶
第三章单纯形法的灵敏度分析与对偶1、对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中（） A．b列元素不小于零 B．检验数都大于零C．检验数都不小于零 D．检验数都不大于零2、关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是（）A．若原问题为元界解，则对偶问题也为无界解B．若原问题无可行解，其对偶问题具有无界解或无可行解c．若原问题存在可行解，其对偶问题必存在可行解D．若原问题存在可行解，其对偶问题无可行解3、下面哪些不是线性规划问题的标准形式所具备的（）A 所有的变量必须是非负的B 所有的约束条件（变量的非负约束除外）必须是等式C 添加新变量时，可以不考虑变量的正负性D 求目标函数的最小值4、已知线性规划问题Max Z=4X1+7X2+2X3X1+2X2+X3 ≤10S.t 2X1+3X2+3X3≤10X1，X2，X3 ≥0应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于255、已知线性规划问题max Z=3x1+4x2+x3-x1+2x2+3x3≤6S.t -3x1+x2-4x3≤7x1,x2,x3 ≥0利用对偶理论证明其目标函数值无界6、写出下列线性规划问题的对偶问题⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤++≤++⋅⋅++=)3,2,1(0205432553643max 321321321j x x x x x x x t S x x x Z j7、已知线性规划123123123max 3421022160,1,2,3jz x x x x x x x x x x j =++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩的最优解为*(6,2,0)T X =，试利用互补松弛定理，求对偶问题的最优解。
8、已知线性规划问题12341341234max 25628..222120, 1,2,3,4jz x x x x x x x s t x x x x x j =+++⎧++≤⎪+++≤⎨⎪≥=⎩其对偶问题的最优解为*14y =、*21y =，试用对偶理论求解原问题的最优解。
《管理运筹学》第四版课后习题答案
min f 4 x1 6x2 0s1 0s2
3x1 x2 s1 6 x1 2 x2 s2 10 7 x1 6 x2 4 x1, x2 , s1, s2 ≥ 0
（3）标 准形式
min f x1 2 x2 2 x2 0s1 0s2
3x1 5x2 5x2 s1 70 2 x1 5 x2 5x2 50 3x1 2 x2 2x2 s2 30 x1, x2 , x2 , s1 , s2 ≥ 0
推 导 出 x1 18000 ，x2 3000 ，故基金 A 投 资 90 万元，基金 B 投 资 30 万元。
第 3 章 线性规划问题的计算机求 解
1．解： ⑴甲、乙两种柜的日 产量是分 别是 4 和 8，这时 最大利 润 是 2720 ⑵每多生 产一件乙柜，可以使 总利润 提高 13.333 元 ⑶常数 项 的上下限是指常数 项在指定的范 围内 变化时，与其对应 的约 束条件的 对 偶价格不 变。比如油漆时间变为 100，因为 100 在 40 和 160 之间，所以其对偶价格 不 变仍为 13.333 ⑷不 变，因为还 在 120 和 480 之间。
《管理运筹学》第四版课后习题解析（上 ）
第 2 章 线性规划的图解法
1．解： （1）可行域为 OABC。
（2）等值线为图 中虚 线 部分。
（3）由图 2- 1 可知，最优解为 B 点，最优解 x = 12 ，x ；最优目标 函数 值 69 。
15
7
1
7
2
7
图 2-1
2．解：
（1）如图 2- 2 所示，由图 解法可知有唯一解
（8）总 利润增加了 100×50=5 000，最优产 品组 合不 变。 （9）不能，因为对 偶价格 发生变 化。
《管理运筹学》第四版课后习题答案解析
范文范例 指导参考学习资料整理《管理运筹学》第四版课后习题解析(上)第2章线性规划的图解法1 •解：(1) 可行域为OABC (2) 等值线为图中虚线部分。
(3) 由图2-1可知，最优解为B 点，最优解Lx = 12_,最优目标函数值_69157x1727(1) 如图2-2所示，由图解法可知有唯一解x 2 = 0.62•解: (2) 无可行解。
(3) 无界解。
(4) 无可行解。
0.2,函数值为3.6范文范例指导参考(5)无穷多解3•解: (1)标准形式max f3x i2x 20S i0S 20S 39x i 2x 2 S i 303x i 2x 2 S 2 i32x i2x 2S 39x i , X 2 , S i , S 2 , S 3 > 0(2) 标准形式(3) 标准形式4•解： 标准形式max z10 x i5X 20S i0S 2x(6)有唯一解20|，函数值为3 924x 16x 20s 10 S 23x iX 2S i6 X i2X 2S2i0 7x i6x 24X i , X 2 ,S i , S 2》02x 2 0s i O S 23x i5X 2 5X 2S i 702x i5x 25x 2503x i 2x 22x 2S 2 30s 1, s 2 > 0min fmin fx i 2x 2 X i , X 2X 2范文范例指导参考3X i4X2S195x i2X2S2X i,X2 ,S1, S2> 0学习资料整理松弛变量(0, 0) 最优解为x i =1, x 2=3/2。
5•解： 标准形式min f 11x i 8x 2O s iO S 2O S 310x i 2X 2 S i 20 3x i 3X 2 S 2 18 4x 19x 2S 3 36X i ，S1 , S2 ,S 3 > 0剩余变量(0, 0, 13 ) 最优解为x i =1，X 2=5。
广西大学MBA 管理运筹学 第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
迭代 次数
基变 量 CB x1 S2 x2 zj σj=cj-zj 50 0 100
x1 50 1 0 0 50 0
x2 100 0 0 1
s1 0 1 -2 0
s2 0 0 1 0 0 0
s3 0 -1 1 1 50 -50 b 50 50 250
Z= 27500
2
100 50 0 -50
先对非基变量s 的目标函数的系数C 先对非基变量 1的目标函数的系数 3进行灵敏度 分析。这里σ 分析。这里 3=-50，所以当 3 的增量 3≤-(-50)即 ，所以当C 的增量∆C 即 ∆C3≤50时，最优解不变，也就是说 1的目标函数的系数 时 最优解不变，也就是说S C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。 △ 时 最优解不变。 再对基变量x 的目标函数的系数C 进行灵敏度分析。 再对基变量 1的目标函数的系数 1进行灵敏度分析。
变成变成bbjj时由于表的迭代实际是约时由于表的迭代实际是约束方程的增广矩阵行的初等变换束方程的增广矩阵行的初等变换bbjj的变化并不影响系的变化并不影响系数矩阵的迭代故其最终表中的系数矩阵没有变化要数矩阵的迭代故其最终表中的系数矩阵没有变化要使其对偶价格不变只要原来最终表中的所有使其对偶价格不变只要原来最终表中的所有zzjj值都不值都不值是由基变量的系数与系数矩阵中值是由基变量的系数与系数矩阵中j列对应元素列对应元素相乘所得即相乘所得即zzjjbbpptt
从对偶价格的定义，可以知道当对偶价格为正时， 它将改进目标函数值。对于求目标函数最大值的线性 规划来说改进就是增加其目标函数值，而对求目标函 数最小值的线性规划来说改进却是减少其目标函数值。 当对偶价格为负时，它将“恶化”目标函数值， 对求目标函数最大值的线性规划来说恶化就是减少其 目标函数值，而对求目标函数最小值的线性规划来说 “恶化”却是增加其目标函数值。 在第三章我们已提及过影子价格，对于求目标函 数最大值的线性规划中对偶价格等于影子价格，而对 求目标函数最小值的线性规划中影子价格为对偶价格 的相反数。
(整理)《管理运筹学》课后习题答案.
第2章 线性规划的图解法1．解：x`A 1 (1) 可行域为OABC(2) 等值线为图中虚线部分(3) 由图可知，最优解为B 点， 最优解：1x =712，7152=x 。
最优目标函数值：7692．解： x 2 10 1(1) 由图解法可得有唯一解 6.02.021==x x ，函数值为3.6。
(2) 无可行解 (3) 无界解 (4) 无可行解 (5)无穷多解(6) 有唯一解 3832021==x x ，函数值为392。
3．解：(1). 标准形式：3212100023m ax s s s x x f ++++=,,,,9221323302932121321221121≥=++=++=++s s s x x s x x s x x s x x(2). 标准形式：21210064m in s s x x f +++=,,,46710263212121221121≥=-=++=--s s x x x x s x x s x x(3). 标准形式：21''2'2'10022m in s s x x x f +++-=,,,,30223505527055321''2'2'12''2'2'1''2'2'11''2'21≥=--+=+-=+-+-s s x x x s x x x x x x s x x x4．解：标准形式：212100510m ax s s x x z +++=,,,8259432121221121≥=++=++s s x x s x x s x x松弛变量（0，0） 最优解为 1x =1，x 2=3/2.标准形式：32121000811m in s s s x x f ++++=,,,,369418332021032121321221121≥=-+=-+=-+s s s x x s x x s x x s x x剩余变量（0.0.13） 最优解为 x 1=1，x 2=5.6．解：(1) 最优解为 x 1=3，x 2=7. (2) 311<<c (3) 622<<c (4)4621==x x(5) 最优解为 x 1=8，x 2=0. (6) 不变化。
6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
以第二章例1在最终单纯形表上对进行b1灵敏度分析：
x1 x2 s1 s2 s3
50
1 0 0 50 0
100
0 0 1 100 0
0
1 -2 0 50 -50
0
0 1 0 0 0
0
-1 1 1 50 -50
b
50 50 250 27500
比值
bi/aij
x2 zj
σj=cj-zj
在第一个约束方程中含有松弛变量s1,其对应的列为(1,-2,0)T,
管理运筹学
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
§1
单纯形表的灵敏度分析
c c 一、目标函数中变量系数 ck 灵敏度分析 c k k k
1、在最终的单纯形表里，xk是非基变量
使得对应约束条件 的对偶价格不变
0
xBi xBi max dik 0 bk min dik 0 dik dik
§1
迭代 次数 基变 量
x1 s2
2
单纯形表的灵敏度分析
cB
50 0 100
b1 0 b 2 0 b b b b b k bk 0 b m 0
bk bk bk
原始的最终单纯形表中基变量xB变为x'B：
运筹学线性规划的灵敏度分析与对偶
7
(2) 若 ck 是基变量的系数
设
c
' k
ck
Δc k , 为基变量的价值系数，
则
C
' B
c1
c k Δc k
C B 0
Δc k
σ
' j
cj
C
' B
B
1
P
j
cj
C
' B
P
' j
c j C B 0
Δc k
P
' j
σ j 0
Δc k
P
' j
σ j Δc k a rj
当 所有的
s.t 2x1 x2 3x3 x5 4 x1~x5 0
试求 c3 在多大范围内变动时，原最优解保持不变。
解：最优单纯形表
CI
-2 -3 -4
0
0
CB
XB
b
x1 x2
x3
x4
x5
-3
X2
2/5
0 1 -1/5 -2/5 1/5
-2 X1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
-z
28/5 0 0 -9/5 -8/5 -1/5
10
7
-1
-2
-z
43
0
0 22
-5
-7
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
-3 x2 5/7 -4/7 1
0
-3/7 1/7
-2 x1 11/7 1/7 0
1
-1/7 -2/7
-z
37/7 -24/7 0
0 -11/7 -1/7
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《管理运筹学》第四版课后习题解析
第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤8
2．解：
（1）c 1≥−0.5 （2）−2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.5
3．解：
（1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤150
4．解： （1）b 1≥−4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥4
5. 解：
最优基矩阵和其逆矩阵分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1401B ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-14011
B ； 最优解变为130321
===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321
===x x x ，，，最小值变为-96；
6．解：
（1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。
（2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
（3）0≤b 2≤45。
（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。
（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。
7. 解：
(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为
,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件：
解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。
(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
（3）B 食品的加工工序改良之后，仍不投产B ，最大利润不变；
若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中
667.31110,167.144321====x x x x ，，；
（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中
382.70,114321====x x x x ，，；
所以建议生产乙产品。
8．解：
均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且对应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可知此线性规划有无穷多组解。
9．解：
（1）min f = 10y 1+20y 2. s.t.y 1+y 2≥2 y 1+5y 2≥1 y 1+y 2≥1 y 1,y 2≥0
（2）max z = 100y 1+200y 2. s.t. 1/2y 1+4y 2≤4 2y 1+6y 2≤4 2y 1+3y 2≤2 y 1,y 2≥0
10．解：
（1）min f =−10y 1+50y 2+20y 3. s.t. −2y 1+3y 2+y 3≥1 −3y 1+y 2≥2
−y 1+y 2+y 3 =5
y 1，y 2≥0，y 3没有非负限制。
（2）max z = 6y 1−3y 2+2y 3. s.t.y 1−y 2−y 3≤1
2y 1+y 2+y 3 =3 −3y 1+2y 2−y 3≤−2
y 1，y 2≥0，y 3没有非负限制
11. 解：
,,,, 1 1 1 1 1 109876max 54321544332215154321≥≤+≤+≤+≤+≤+++++=y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y z 约束条件：
用对偶问题求解极大值更简单，因为利用单纯形法计算时省去了人工变量。
12. 解:
（1）该问题的对偶问题为
0, 5 332 23 12y 4max 212121212
1≥≤+≤+≤++=y y y y y y y y y f 约束条件：
求解得max f=12，如下所示：
（2）该问题的对偶问题为
,
,01
6
7
58
4 33
3 2
5 3
2 min
3
2
13
2 13
2 1
3 2
1
3
2
1
≥
-
≤
+
-
-
≤
+
-
-
≤
+
-
+
+
=
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
z
约束条件：
求得求解得min z=24，如下所示：
思考：
在求解
中元素的符号没有要求
为非负行向量，列向量其中：约束条件：b C X b AX CX f 0
min ≥≥=
中元素的符号没有要求
为非正行向量，列向量其中：约束条件：b C X b AX CX z 0
max ≥≥=
以上两种线性规划时一般可以选取对偶单纯形法。
13.解：
（1）错误。
原问题存在可行解，则其对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解；
（2）正确；
（3）错误。
对偶问题无可行解，则原问题解的情况无法判定，可能无可行解，可能有可行解，甚至为无界解； （4）正确；
14．解：
123
1231
1232233max 2342820,1,,3;0,1,,3
i j z x x x x x x s x x x s x x s x i s j =----+-+=-⎧⎪
+++=⎪⎨
-++=-⎪
⎪==⎩
≥≥ 用对偶单纯形法解如表6-1所示。
表6-1
续表
最优解为x1=6，x2=2，x3=0，目标函数最优值为10。
15. 解：原问题约束条件可以表示为：ta
b
AX+
=，其中b
a和为常数列向量。
令0
=
t，将问题化为标准型之后求解，过程如下：
其中最优基矩阵的逆矩阵为
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
=
-
1
1
1
1
1
1
B，
则
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
=
-
3
2
5
3
10
5
1
1
1
1
1
*1b
B
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
=
-
t
t
t
t
t
t
t
ta
B3
1
3
1
1
1
1
1
1
*1
则⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-t t t ta b B 3325*
1）（ 从而， 1)当
3
0≤≤t 时，最优单纯形表为 此时05>+t ，032>-t ，03>+t ，线性规划问题的最优解为)3,5(),(21t t x x ++=，目标函数最大值为t 311+；
2）当2
7
23≤≤t 时，由032<-t 可知，)3,5(),(21t t x x ++=并非最优解，利用对偶
此时027>-t ，032>+-t ，03>+t ，从而线性规划问题的最优解为
)3,27(),(21t t x x +-=，目标函数的最大值为13； 3）当
102
7
≤≤t 时，
，由027<-t 可知，)3,27(),(21t t x x +-=并非最优解，利用
此时，，，从而线性规划问题的最优解为
)10,0(),(21t x x -=，目标函数的最大值为t 220-；
16.解：先写出原问题的对偶问题
, (4)
14 (3) 123 (2) 232 )1( 24 2020min 21212121212
1≥≥+≥+≥+≥++=y y y y y y y y y y y y f 约束条件：
将5
3
,10121==y y 代入对偶问题的约束条件，得有且只有（2）、（4）式等式成立，
也就是说，其对应的松弛变量取值均为0，（1）和（3）式对应的松弛变量不为0，
从而由互补松弛定理有031==x x ；又因为0,021>>y y ，从而原问题中的两个约束应该取等式，把031==x x 代入其中，得到
027>+-t 05>+t 010>-t
20
320424242=+=+x x x x
解方程组得到2,642==x x 。
经验证2,0,6,04321====x x x x 满足原问题约束条件，从而其为原问题的最优解，对应的目标函数最大值为14；。