有界线性算子的性质（gM）

有界线性算子的性质（gM）

戴磊;张程泱

【摘要】In this paper we study the property ( M) and property ( gM) , two variants of Weyl type theorem, by means of the localized spectrum theorem. We establish for a bounded linear operator defined on a Banach space several sufficient and necessary conditions for which property ( M) and property ( gM) hold. We also relate property ( M) and the property ( gM) with other Weyl type theorems. In addition, we prove that Tpossesses property ( gM) if and only if Tsatisfies generalized Weyl

the orem andσSBF-+( T)= σBW( T) , whereσSBF-+( T) is the essential semi-

B-Fredholm spectrum of T andσBW( T) is the B-Weyl spectrum of T .%利用

局部谱理论研究了Weyl型定理的两个新的变化性质———性质（ M）与性质（ gM），给出了Banach空间中有界线性算子满足性质（ M）与性质（ gM）

的充要条件，建立了它们与其他Weyl型定理之间的关系。另外，还证明了算子T 有性质（gM）当且仅当T满足广义Weyl定理且σSBF－＋（T）＝σBW（T），其中σSBF－＋（ T）表示算子T的本性半B－Fredholm谱，σBW（ T）表示算

子T的B－Weyl谱。

【期刊名称】《渭南师范学院学报》

【年(卷),期】2015(000)018

【总页数】4页(P26-29)

【关键词】性质( M);性质( gM);性质( aM);性质( gaM)

【作者】戴磊;张程泱

【作者单位】渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南714099;陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710062

【正文语种】中文

【中图分类】O177.2

【自然科学基础理论研究】

文中B(X)表示复无限维Banach空间X上的有界算子全体，对算子T∈B(X)，分

别用σ(T)、σa(T)、N(T)、R(T)表示算子T的谱集、逼近点谱、零空间、值域.用

n(T)、d(T)表示T的零度、亏数.称T∈B(X)为一个上半Fredholm 算子，若n(T)<且R(T)闭；若d(T)<, 则称T为一个下半Fredholm算子.算子T∈B(X)称为Fredholm算子，若n(T)和d(T)都有限.若T∈B(X)是上(或者下)半Fredholm算子，T的指标ind(T)定义为ind(T)=n(T)-d(T).指标为零的Fredholm算子称为Weyl算子.记(X)为上半Fredholm且指标小于等于零的算子全体, 算子T的升标asc(T)为

满足 N(Tn)=N(Tn+1)的最小非负整数，若这样的整数不存在，则记asc(T)=；而

算子T的降标des(T)为满足R(Tn)=R(Tn+1)的最小非负整数，同样，当这样的整数不存在时，记des(T)=.如果算子T有有限升标和有限降标,那么称T为Drazin

可逆的；若T的升标有限且R(Tasc(T)+1)闭,则称T为左Drazin可逆的.记T的Weyl谱、本性逼近点谱、Drazin谱、左Drazin谱分别定义如下[1-2]：

记Π(T)和Π0(T)分别为T的谱集中极点全体和有限重极点全体.对T∈B(X)及n为

正整数,定义Tn=T|R(Tn):R(Tn)→R(Tn)(特别的T0=T).若对某个正整数n，R(Tn)

是闭的且 Tn 是上(或下)半Fredholm 算子，则称T为上(或下)半 B-Fredholm 算子，且由文献[3]知此时对任意的n，Tm是 B-Fredholm 算子且

ind(Tm)=ind(Tn)，于是把ind(T)定义为ind(Tn).记(X)为所有指标ind(T)小于等

于零的上半B-Fredholm算子T的全体，令

对T∈B(X)，下记Δ(T)(T).

设T∈B(X)，如果Δ(T)=E0(T)，称T满足Weyl定理；如果Δ(T)=Π0(T)，称T满足Browder定理[3]；如果Δa(T)=E0(T)，称T有性质(ω)[4]；如果Δg(T)=E(T)，称T满足广义Weyl定理[5]；如果(T)，称T有性质(gω)[6].

定义1 称T∈B(X)有性质(M)，如果Δ+(T)=E0(T)；如果，则称T有性质(gM).

定理1 设T∈B(X)，若T有性质(gM),则T有性质(M).

证明假设T有性质(gM)，则.若λ∈Δ+(T)，则(T).由于T-λ是上半Fredholm算子，所以 n(T-λ)<. 因此，即证Δ+(T)⊆E0(T).反之，任给则λ是T的谱集中孤立的特征值.因为T有性质(gM)，则(T)，所以T-λ是上半B-Fredholm算子.又因为n(T-λ)

是有限的，由文献[4]知，T-λ是上半Fredholm算子且ind(T-λ)≤0.因此

λ∈Δ+(T).综上所述，Δ+(T)=E(T)，即T有性质(M).

注解1 在一般情况下，定理1的逆命题不成立.

设T∈B(2)，定义

则

这意味着算子T满足性质(M)，但是性质(gM)对T却不成立.

定理2 设T∈B(X)，则下列叙述成立：

(1)T有性质(M)当且仅当T有性质(ω)且σ(T)=σa(T).

(2)T有性质(gM)当且仅当T有性质(gω)且σ(T)=σa(T).

证明 (1)假设T有性质(M).如果λ∈Δ(T)，则λ∈Δ+(T).因此λ∈E(T)，即证

Δ(T)⊆E0(T).如果λ∈E0(T)，由于T有性质(M)，所以λ∈Δ(T). 故Δ(T)=E0(T)，即证T满足Weyl定理.从而有Δ+(T)=E0(T)且Δ(T)=E0(T).因此

σ(T)=isoσ(T)∪σea(T) 且σa(T)=isoσ(T)∪σea(T)，所以σ(T)=σa(T). 反之，假设