2021-2022学年广东省深圳市龙华区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
广东省深圳市南山区2021-2022高一数学上学期期末统考试题(含解析)
广东省深圳市南山区2021-2022高一数学上学期期末(qī mò)统考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题(xiǎo tí)，共60.0分）1.已知全集(quánjí)，集合(jíhé)1，2，3，，，则A. 1，B.C.D. 3，【答案(dá àn)】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得集合，又由，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合B，熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.“”是“”成立的条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分又不必要【答案】B【解析】【分析】求出不等式的等价条件，结合不等式的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由不等式“”，解得，则“”是“”成立的必要不充分条件即“”是“”成立的必要不充分条件，故选：B．【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合不等式的关系是解决本题的关键，着重考查了推理与判断能力，属于基础题.3.若点在角的终边上(biān shànɡ)，则的值为A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】根据题意(tí yì)，确定角的终边上点的坐标，再利用三角函数定义，即可求解，得到答案．【详解】由题意，点在角的终边上，即，则，由三角函数的定义，可得．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中确定出角的终边上点的坐标，利用三角函数的定义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.已知，则x等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，可得，进一步得到，则x值可求．【详解】由题意，可知，可得，即，所以，解得．故选：A．【点睛】本题主要考查了有理指数幂与根式的运算，其中解答中熟记有理指数幂和根式的运算性质，合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.设函数的部分图象如图，则A.B.C.D.【答案(dá àn)】A【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)函数的图象，求出A，和的值，得到函数的解析(jiě xī)式，即可得到结论．【详解】由图象知，，则，所以，即，由五点对应法，得，即，即，故选：A．【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中根据条件求出A，和的值是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.已知集合，，若，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简集合A，根据，得出且，从而求a的取值范围，得到答案．【详解(xiánɡ jiě)】由题意，集合或，；若，则且，解得，所以(suǒyǐ)实数的取值范围(fànwéi)为．故选：D．【点睛】本题主要考查了对数函数的运算性质，以及集合的运算问题，其中解答(jiědá)中正确求解集合A，再根据集合的运算求解(qiú jiě)是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知函数为偶函数，则A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由偶函数的定义，求得的解析式，再由对数的恒等式，可得所求，得到答案．【详解】由题意，函数为偶函数，可得时，，，则，，可得，故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，函数的奇偶性的运用，其中解答中熟练应用对数的运算性质，正确求解集合A，再根据集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为A. B.C. D.【答案(dá àn)】B【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】利用(lìyòng)函数的图象的变换及正弦函数(hánshù)的对称性可得答案．【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由得：，即平移后的图象的对称轴方程为，故选：B．【点睛】本题考查函数的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．9.函数在上的图象为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用函数的性质奇偶性求出结果．【详解】函数的解析式满足，则函数为奇函数，排除CD选项，由可知：，排除A选项.故选B.【点睛(diǎn jīnɡ)】本题考查的知识要点：函数的性质的应用．属中档题.10.若，则的值为A. B. C. 2 D. 3【答案(dá àn)】A【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】利用同角三角函数的基本(jīběn)关系，把要求值的式子化为，即可得到答案. 【详解】由题意，因为，所以，故选：A．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.11.若，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，根据实数指数函数的性质，可得，根据对数的运算性质，可得，即可得到答案.【详解】由题意，根据实数指数函数的性质，可得，根据对数的运算性质，可得；．故选：C．【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的运算性质的应用，其中解答中合理运用指数函数和对数函数的运算性质，合理得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12.已知函数(hánshù)，则函数(hánshù)的零点(línɡdiǎn)个数是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案(dá àn)】A【解析(jiě xī)】【分析】设，则函数等价为，由，转化为，利用数形结合或者分段函数进行求解，即可得到答案．【详解】由题意，如图所示，设，则函数等价为，由，得，若，则，即，不满足条件．若，则，则，满足条件，当时，令，解得（舍去）；当时，令，解得，即是函数的零点，所以函数的零点个数只有1个，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数零点问题的应用，其中解答中利用换元法结合分段函数的表达式以及数形结合是解决本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.______．【答案】【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】利用三角函数(sānjiǎhánshù)的诱导公式，，，然后根据(gēnjù)特殊角的三角函数值求出结果．【详解】由题意，根据(gēnjù)三角函数的诱导公式，可得，故答案为0．【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及特殊角的三角函数值的求解，其中熟练掌握三角函数的诱导公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.已知函数，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】分x小于等于0和x大于0两种情况根据分段函数分别得到f（x）的解析式，把得到的f （x）的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式，分别求出各自的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集．【详解】解：当x≤0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2≥x2，即（x-2）（x+1）≤0，解得-1≤x≤2，所以原不等式的解集为[-1，0]；当x＞0时，f（x）=-x+2，代入不等式得：-x+2≥x2，即（x+2）（x-1）≤0，解得-2≤x≤1，所以原不等式的解集为[0，1]，综上原不等式的解集为[-1，1].故答案为：[-1，1]【点睛】此题考查了不等式的解法，考查了转化思想和分类讨论的思想，是一道基础题．15.函数的最小值为______．【答案】【解析】【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数值域，进一步求出函数的最小值．【详解(xiánɡ jiě)】函数，，当，即：时，函数(hánshù)的最小值为．故答案(dá àn)为：．【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变变换(biànhuàn)，正弦型函数性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数恒等变换的公式，求得函数的解析式是解答的关键，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.16.已知是定义(dìngyì)在上的奇函数，当时，，函数如果对，，使得，则实数m的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】先求出时，，，然后解不等式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可知时，为增函数，所以，又是上的奇函数，所以时，，又由在上的最大值为，所以，，使得，所以.故答案为：．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定与应用，以及函数的最值的应用，其中解答中转化为是解答的关键，着重考查了转化思想，推理与运算能力，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集(quánjí)是实数集R，，．当时，求和；若，求实数(shìshù)a的取值范围(fànwéi)．【答案(dá àn)】(1)，;(2).【解析(jiě xī)】【分析】把代入集合B，求出集合B的解集，再根据交集和并集的定义进行求解；因为，可知，求出，再根据子集的性质进行求解；【详解】（1）由题意，可得，当时，，则，若，则或，、当时，，满足 A.当时，，又，则．综上，．【点睛】本题主要考查了交集和并集的定义以及子集的性质，其中解答中熟记集合的运算，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.18.已知，，且．（1）求的值；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】试题(shìtí)分析：（1）由cosα＝，得到(dé dào)sinα＝，而tanα＝＝4，再利用二倍角正切公式(gōngshì)得到tan2α＝；（2）cosβ＝cos[α-(α-β)]＝cosαcos＋sinαsin=，而0<β<α<，故β＝.试题(shìtí)解析：(1)由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝，所以(suǒyǐ)tanα＝＝4，tan2α＝＝.(2)由0<β<α<，cos(α-β)＝＞0得0<α-β<，所以sin＝＝，于是cosβ＝cos[α-(α-β)]＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝，所以β＝.19.设．1若对任意恒成立，求实数m的取值范围；2讨论关于x的不等式的解集．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】1由题意可得对恒成立，即有的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到所求范围；2讨论判别式小于等于0，以及判别式大于0，由二次函数的图象可得不等式的解集．【详解】1由题意，若对任意恒成立，即为对恒成立，即有的最小值，由，可得时，取得最小值2，可得；2当，即时，的解集为R；当，即或时，方程(fāngchéng)的两根为，，可得的解集为．【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及一元(yī yuán)二次不等式的解法，注意运用转化思想和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．20.某学生(xué sheng)用“五点法”作函数的图象时，在列表(liè biǎo)过程中，列出了部分数据如表：x21求函数的解析(jiě xī)式，并求的最小正周期；2若方程在上存在两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．【答案】（1），最小正周期；（2）.【解析】【分析】1由五点对应法求出和的值即可得到结论2求出角的范围，作出对应的三角函数图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】由表中知函数的最大值为2，最小值为，则，由五点对应法得，得，，即函数的解析式为，最小正周期，当，得，，设，作图，，作出函数的图象如图：当时，，要使方程(fāngchéng)在上存在两个(liǎnɡ ɡè)不相等的实数根，则，即实数(shìshù)m的取值范围是．【点睛】本题(běntí)主要考查了三角函数的图象和性质，其中解答中根据五点法求出函数的解析式以及利用换元法作出图象,利用数形结合是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21.某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58为了预测以后各月的患病(huàn bìnɡ)人数，甲选择的了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，1你认为谁选择的模型较好？需说明理由2至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你选择的较好模型解决上述问题．【答案】（1）应将作为模拟函数,理由见解析；（2）个月.【解析】【分析】根据前3个月的数据求出两个函数模型的解析式，再计算4，5，6月的数据，与真实值比较得出结论；由（1），列不等式求解，即可得出结论．【详解】由题意，把，2，3代入得：，解得，，，所以，所以，，；把，2，3代入，得：，解得，，，所以(suǒyǐ)，所以(suǒyǐ)，，；、、更接近(jiējìn)真实值，应将作为模拟(mónǐ)函数．令，解得，至少经过(jīngguò)11个月患该传染病的人数将会超过2000人．【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及指数与对数的运算性质的应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，求解函数的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.22.已知函数，，且1求的定义域，并判断函数的奇偶性；2对于，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）定义域为；奇函数;（2）时，；时，.【解析】【分析】（1）由对数的真数大于0，解不等式可得定义域；运用奇偶性的定义，即可得到结论；（2）对a讨论，，，结合对数函数的单调性，以及参数分离法，二次函数的最值求法，可得m的范围．【详解】（1）由题意，函数，由，可得或，即定义域为；由，即有，可得为奇函数；2对于，恒成立，可得当(dédàng)时，，由可得的最小值，由，可得时，y取得(qǔdé)最小值8，则，当时，，由可得的最大值，由，可得时，y取得(qǔdé)最大值，则，综上可得，时，；时，．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及对数的运算性质(xìngzhì)和二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的合理应用是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.内容总结（1）运用奇偶性的定义，即可得到结论。
2022-2023学年广东省深圳市(集团)高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省深圳市（集团）高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．命题：“，”的否定是（ ）0x ∀>2ln 20xx +>A ．，B ．，0x ∀>2ln 20xx +<0x ∀>2ln 20xx +≤C ．，D ．，0x ∃>2ln 20xx +≤0x ∃>2ln 20xx +<【答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.【详解】命题：“，”是全称命题，0x ∀>2ln 20xx +>它的否定是特称命题：，，0x ∃>2ln 20xx +≤故选：C2．已知集合，则（ ）{}121log ,,2,02x A y y x x B y y x ⎧⎫==>==<⎨⎬⎩⎭∣∣A B = A ．B ．102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣{01}<<∣yy C ．D ．112yy ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣∅【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和值域求解.【详解】因为，所以，所以，12x >11221log log 12y x =<={}1A y y =<∣因为所以，且，0x <0221x y =<=20x>所以，{}1B y y =<<∣0所以.A B = {01}<<∣yy 故选:B.3．函数的图象大致是（ ）()()233ln x x f x x -=+A．B ．C．D．【答案】C【分析】由题可得函数为偶函数，再利用，即得.102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】∵，定义域为，()()233ln x x f x x -=+()(),00,∞-+∞ 又，()()()()()2233ln 33ln x x x x f x x x f x ---=+-==+∴函数为偶函数，故AD 错误；()()233ln x x f x x -=+又，故B 错误.211221133ln 220f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭<⎝故选：C.4．针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是，大760mmHg 气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，P mmHg h m 760ehkP -=e 是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，k 500m 700mmHg 1000m 歼战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的16D 1500m （ ）倍.A ．B ．C ．D ．0.670.921.091.5【答案】C【分析】根据题意分别列出指数等式即可求解.【详解】由题可知，，，10001760e k P -=15002760e kP -=则有，50012e kP P =又因为，所以，500700760e k-=500760e 1.09700k =≈故选:C.5．享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，被称为“高斯函数”，[]y x =其中表示不超过的最大整数，例如：，设为函数[]R,x x ∈x ][][2.12,33, 1.52⎡⎤==-=-⎣⎦0x 的零点，则（ ）()lg 5f x x x =+-[]0x =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】先根据零点存在定理确定出零点的位置，进而根据高斯函数的定义求得答案.【详解】因为函数在上单调递增，且，，()lg 5f x x x =+-()0,∞+()4lg 410f =-<()5lg 50f =>则存在唯一零点，使得，由高斯函数的定义可知，.()04,5x ∈()00f x =[]04x =故选：B.6．已知，则（ ）1sin 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．2325-2325725-725【答案】B【分析】利用换元法可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可.sin 2sin 262t ππα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】令，故，，6t πα=-1sin 5t =6tπα=-故.223sin 2sin 2cos 212sin 6225t t t ππα⎛⎫⎛⎫+=-==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B7．函数的部分图象如图所示.若，且()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()12,0,2πx x ∈，则的值为（ ）()()12(0)f x f x a a ==<12x x +A ．B ．C ．D ．π32π34π38π3【答案】D【分析】根据函数的图象求出该函数的解析式，结合图象可知，点、()y f x =11ππ,66x f x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线对称，进而得出.22ππ,66x f x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π2x =12x x +【详解】由图象可知， ，即，则，311ππ3π4632T =-=2πT =2π1T ω==此时，，()()2sin f x x ϕ=+由于，，，ππ2sin 233f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭||2ϕπ<ππ32ϕ+=所以，即.π6ϕ=()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且，12,(0,2π)x x ∈()()12(0)f x f x a a ==<由图像可知，，12323662x x +++=⨯=ππππ则.128π3x x +=故选：D.8．已知定义在上的偶函数满足，当时，单调递增，则R ()f x ()()2f x f x -=-+20x -≤≤()f x （ ）A ．()37π1tan 2023log 242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()37π1tan log 2023242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()317πlog 2023tan 224f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()317πlog tan 2023224f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】由题意求出函数的周期，然后根据偶函数的性质判断出函数在[0,2]上的单调性，进而将自变量的取值转化到区间[0,2]上，利用放缩法判断出它们的大小关系，最后根据单调性求得答案.【详解】因为为偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=又，所以，()(2)f x f x -=-+()(2)f x f x =-+所以，即是周期为4的函数，()()4f x f x =+()f x 则.(2023)(50641)(1)(1)f f f f =⨯-=-=因为，π7ππ4243<<所以，.7π1tan24<<()()3331log log 2log 22f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭30log 21<<因为为偶函数，且当时，单调递增，()f x 20x -≤≤()f x 所以当时，单调递减，故.02x ≤≤()f x 37π1tan (2023)log 242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.二、多选题9．下列函数中是偶函数，且在上为增函数的有（ ）()0,∞+A ．B ．C ．D ．cos y x =3y x=24y x =+2log y x=【答案】CD【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【详解】解：对于A ，函数为偶函数，在上不单调，故A 错误；cos y x =()0,∞+对于B ，函数为奇函数，不正确；3y x =对于C ，是偶函数，且在上为增函数，正确；24y x =+()0,∞+对于D ，函数的定义域为，，函数为偶函数，当时，{|0}x x ≠()()22log log f x x x f x -=-==0x >为增函数，满足条件，2log y x=故选：CD ．10．(多选)要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）sin(23y x π=+sin y x =A ．每一点的横坐标扩大到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度23πB ．每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度126πC ．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)3π12D ．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)6π12【答案】BC【分析】分别分析先伸缩后平移和先平移后伸缩两种情况下图像的变换.【详解】（1）先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左12平移个单位长度，所以A 选项错误，B 选项正确．6π（2）先平移后伸缩时：向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵3π12坐标不变)，所以C 选项正确，D 选项错误．故选：BC.11．已知为锐角，角的终边上有一点，x 轴的正半轴和以坐标原点O 为圆心的θα()sin ,cos M θθ-单位圆的交点为N ，则（ ）A ．若，则()0,2a π∈2παθ=+B ．劣弧的长度为MN 2πθ+C ．劣弧所对的扇形的面积为是MN OMN 2αD ．sin sin 1αθ+>【答案】ABD【分析】根据题意，结合诱导公式化简整理，可判断A 的正误；根据弧长公式，可判断B 的正误；根据扇形面积公式，可判断C 的正误，根据同角三角函数的关系，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】A ：()sin ,cos cos ,sin cos ,sin 2222ππππθθθθπθπθ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=---- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，故，故A 正确；cos ,sin 22ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2παθ=+B ：劣弧的长度为，故B 正确；MN 1=22ππθθ⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭C ：只有当时，扇形的面积为，故C 不正确；02απ<<OMN 1122S αα=⨯⨯=D ：，sin sin sin sin sin cos 2παθθθθθ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭∵为锐角，故．故D 正确.θ()222sin cos sin cos 2sin cos 1sin cos 1θθθθθθθθ+=++>⇒+>故选：ABD12．已知，则下列不等关系一定正确的是（ ）10a b >>>A ．B ．()log 2b ab <111a a +>+C ．D ．11a b b a->-3ln28b a ab>-【答案】ABD【分析】对，结合对数的运算性质和对数函数的单调性进行判断；A 对，根据基本不等式即可判断；B 对，取，代入计算即可判断.C 11,42b a ==对，原不等式等价于，进而构造函数，然后根据函数的单调性得D 32ln 32ln a ba b +>+2ln x y x =+到答案.【详解】对，因为，且，则，所以A log ()log log log 1b b b b ab a b a =+=+10a b >>>log log 1b b a b <=，故选项正确；log ()log 12b b ab a =+<A对，由题意，（此处等号不能成立），故选项正B 11111111a a a a +=++->-=++B 确；对，取，则，故选项错误；C 11,42b a ==1171174,22244a b b a -=-=--=-=-C 对，问题等价于，易知函数在上是D 33ln 3ln 222ln 32ln b a a b a b a b ->-⇔+>+2ln x y x =+()0,∞+增函数，而，则成立，故选项正确.30a b >>32ln 32ln a ba b +>+D 故选：.ABD 三、填空题13．__________.ln 224216log log e 39-+=【答案】1【分析】由对数换底公式以及对数恒等式、对数运算法则进行计算求得结果.【详解】.ln 224222221624231log log e log log 2log 2log 21213933342⎛⎫⎪-+=-+=⨯+=+=-+⎝=⎭故答案为：1.14．函数的图象恒过定点P ，P 在幂函数的图象上，则___________.()log 238a y x =-+()f x ()4f =【答案】64【分析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得.()2,8P ()f x ()4f 【详解】令，则，故点；2x =8y =()2,8P 设幂函数，()bf x x =则，28b=则；3b =故；()464f =故答案为：64.15__________.1cos80-=【答案】4-【分析】先用诱导公式转化，再对已知分式进行通分，分子化成一个三角函数，再cos8010sin =使用二倍角公式即可得到结果.【详解】.()sin sin sin 210301122041cos801010cos1sin s 22in 00--====-=故答案为：.4-四、双空题16．已知函数，则的最小正周期为__________，不等式的()()1cos cos 2f x x x =+()f x ()()12f f x >解集为__________.【答案】 2πR【分析】根据题意作出函数图象，根据函数图象即可求解.【详解】由题意可知：当时，函数；cos 0x ≥()cos f x x =当时，函数，作出函数图象，如图所示：cos 0x <()0f x=结合图形可知：函数的最小正周期为；()f x 2π令，所以，(),[0,1]f x t t =∈()()[]1cos cos cos cos1,12f t t t t =+=∈因为函数在上单调递减，所以，()f t π[0,3π1()cos1cos 32f t ≥>=则不等式的解集为，()()12f f x >R 故答案为：；.2πR 五、解答题17．已知．()()()πcos sin 2tan πf θθθθ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=+(1)化简,并求的值;()f θπ3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)若,且,求的值．()0,πθ∈()1225f θ=-cos sin θθ-【答案】(1)()sin cos f θθθ=(2)75-【分析】(1)先根据诱导公对进行化简,再将代入进算出结果即可;()f θπ3(2)将代入可求,根据的正负及,可判断正负,从而判断θsin cos θθsin cos θθ()0,πθ∈sin ,cos θθ正负,对平方再开方,代入即可得所求.cos sin θθ-cos sin θθ-sin cos θθ【详解】（1）解:由题知()()()πcos sin 2tan πf θθθθ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=+()sin sin tan θθθ-⋅-=,sin cos θθ=;πππsin cos 333f ⎛⎫∴=⋅=⎪⎝⎭（2）,,()1225f θ=-()0,πθ∈,且,12sin cos 25θθ∴=-sin 0,cos 0θθ><cos sin 0θθ∴-<cos sin θθ∴-===,75=-故.7cos sin 5θθ-=-18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，()A B A=R A B ⋂=∅A B A = 并求解下列问题：已知集合，若__________，求实数的取值范围.{}11123,14A x a x a B x x ⎧⎫=-≤≤+=<-⎨⎬-⎩⎭∣∣a 【答案】答案见解析【分析】根据所选的条件，①可以推出是的子集；②，两个集合没有()A B A=R A B R A B ⋂=∅公共元素；③可以推出.利用集合的交集、补集、并集的定义，对a 进行分类讨论，A B A = A B ⊆分别求解即可．【详解】解：由解得，所以，.1114x <--74x -<<()7,4B =-若选择①：，则是的子集，,()A B A=R A B R {}123A x a x a =-≤≤+∣，][(),74,B =-∞-⋃+∞R 当，即时，，满足题意；123a a ->+4a <-A =∅当时，或,解得，4a ≥-4237a a ≥-⎧⎨+≤-⎩414a a ≥-⎧⎨-≥⎩5a ≥综上可得，实数的取值范围是.a ()[),45,∞∞--⋃+若选择②：，A B ⋂=∅当时，即，即时，满足题意；A =∅123a a ->+4a <-当时，或，解得.4a ≥-4237a a ≥-⎧⎨+≤-⎩414a a ≥-⎧⎨-≥⎩5a ≥综上可知，实数的取值范围是.a ()[),45,∞∞--⋃+若选择③：，则，A B A = A B ⊆当，即时，，满足题意；123a a ->+4a <-A =∅当时，，解得；4a ≥-17234a a ->-⎧⎨+<⎩142a -≤<综上可知，实数的取值范围是.a 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭19．已知函数（且）.()()()log log a a f x x a a x =++-0a >1a ≠(1)判断函的奇偶性，并说明理由；()f x (2)若，且，求的取值范围.3a =()()1f x f x >-x 【答案】(1)偶函数，理由见解析(2)12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用奇偶性的定义直接判断；（2）先判断出函数在上的单调性，利用单调性解不等式即可.()f x [)0,3【详解】（1）函数的定义域为.()()()log log a a f x x a a x =++-(),a a -因为，所以，()()()log log a a f x x a a x -=-+++()()f x f x -=所以函数为偶函数.()f x （2）当时，定义域为，所以有：.①.3a =()()()log 3log 3a a f x x x =++-()3,3-33x -<<⋯⋯②.313x -<-<⋯⋯由①知函数为偶函数，所以可化为：.()f x ()()1f x f x >-()()1f x f x >-()()()()2333log 3log 3log 9f x x x x =++-=-因为为增函数，在上递减，3log y t =29t x =-[)0,3所以函数在上递减，所以.③.()f x [)0,31x x <-⋯由①②③解得：的取值范围为.x 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭20．设函数（ω＞0），且图象的一个对称中心到最近2()sin cos f x x x x ωωω-()y f x =的对称轴的距离为．4π(1)求在上的单调区间；()f x [,0]2π-(2)若，且，求sin2x 0的值．03()5f x =0[0,]3x π∈【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为；[,212ππ--[,0]12π-.【分析】（1）化简得到，结合条件求出，再利用余弦函数的性质即得；()f x ()πcos 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ω（2）由题可得，，再利用差角公式即求.0π3cos 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0π4sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】（1）∵()2sin cos f x x x x ωωω=-1cos 21sin 222x x ωω-=-，1π2sin 2cos 226x x x ωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，π4又，所以，因此，0ω>2ππ424ω=⨯1ω=∴，()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，[,0]2x π∈-π5π2[,]666x π+∈-∴由，得，函数单调递增，52[,0]66x ππ+∈-[,]212x ππ∈--由，得，函数单调递减，2[0,]66x ππ+∈[,0]12x π∈-所以函数单调增区间为，单调减区间为.()f x [,]212ππ--[,0]12π-（2）∵，且， 03()5f x =0[0,]3x π∈∴，0π3cos 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又，0ππ5π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴，0π4sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴00001sin 2sin 22cos 266626x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.413525=-⨯=21．目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元.n ()*n ∈N ()25n n +(1)该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；(2)若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)第4个月开始盈利(2)方案①较为合算，理由见解析【分析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案；（2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案.【详解】（1）由题意得，即，()2203650n n n --+>215360n n -+<解得，∴.312n <<()*3n n >∈N ∴该设备从第4个月开始盈利.（2）该设备若干月后，处理方案有两种：①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，.()22036536153n n n n n n --+⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大，6n =∴方案①的利润为：（万元）.()2063636302038⨯--++=②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.，()222158120365153624y n n n n n n ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∴或时，盈利总额最大，7n =8n =∴方案②的利润为20+16=36（万元），∵38>36，∴方案①较为合算.22．已知函数，，与互为反函数．()2x f x =()245h x x x m =-+()x ϕ()f x (1)求的解析式；()x ϕ(2)若函数在区间内有最小值，求实数m 的取值范围；()()y h x ϕ=()32,2m m -+(3)若函数，关于方程有三个不同的实数解，求实()()401x g x x x ϕ⎛⎫=> ⎪+⎝⎭()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦数a 的取值范围．【答案】(1)()()2log 0x x x ϕ=>(2)44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(3)73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据指数函数的反函数为同底数的对数函数，即得；（2）根据题意，利用对数函数和二次函数的性质及复合函数的单调性即可得到函数关于的不等m 式组，求解即得；（3）先利用对数函数和分式函数的单调性知识，结合复合函数的单调性得到函数g (x )的单调性和零点及图象，进而得到的图象，将方程有三个不同的实数解，()y g x =()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦转化为则有两个根，且一个在上，一个根为0；或有两个根，230t at a +++=()0,2230t at a +++=且一个在上，一个在上.进而利用二次方程根的分布思想分析讨论确定实数a 的取值范()0,2[)2,+∞围．【详解】（1）指数函数的反函数为同底数的对数函数，∴.()2x f x =()()2log 0x x x ϕ=>（2）函数在区间内有最小值，()()()22log 45y h x x x m ϕ==-+()32,2m m -+∴在内先减后增，且，()245h x x x m =-+()32,2m m -+()min 0h x >∴，∴．4032223(2)54045m m m h m m ⎧<<⎪-<<+⎧⎪⇒⎨⎨-=->⎩⎪>⎪⎩44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）∵，∴，∴，0x >()4440,411x x x =-∈++()2g x <∵g (x )在时单调递增，且g =0,2441log x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭0x >13⎛⎫ ⎪⎝⎭∴的图象如下：()y g x =因为有三个不同的实数解，()()230g x a g x a +++=设，由的图象可得当或时对于一个确定的的值，对应一个的值，对()g x t =()y g x =0t =2t ≥t x 于的每一个确定的的值，对应两个不同的实数根.02t <<t x 则有两个根，且一个在上，一个根为0；230t at a +++=()0,2或有两个根，且一个在上，一个在上.230t at a +++=()0,2[)2,+∞①有两个根，且一个在上，一个根为0，230t at a +++=()0,2∴一个根为0，解得，此时，3a =-22330t at a t t +++=-=另一根，舍去；()30,2t =∉②有两个根，且一个在上，一个在上，230t at a +++=()0,2[)2,+∞令，()23k t t at a =+++（ⅰ）当一个根在上，一个在上，()0,2()2,+∞则∴∴.()()00,20.k k ⎧>⎪⎨<⎪⎩3,7,3a a >-⎧⎪⎨<-⎪⎩733a -<<-（ⅱ）当一个根在上，一个根为2，则，解得．()0,2()20k =73a =-此时的两根为，，满足题意．272033t t -+=()110,23t =∈22t =综上，a 的取值范围为．73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题关键难点在于（3）中，结合的图象，将已知方程有三个实数根的条件转化()y g x =为二次方程的根的分布问题（利用数形结合思想求解），易错点是有两个根，且一230t at a +++=个在上，一个在上的情况，要注意分两种情况讨论.()0,2[)2,+∞。
深圳高一上学期期末数学试题(解析版)
四川省安岳县兴隆中学高2022级高一上期数学期末试题卷一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合，则（ ） {}2280,{lg 1}A x x xB x x =--=<∣∣…A B = A.B. C. D. []2,4[)2,10(]0,4[)2,4【答案】C【解析】【分析】先根据一元二次不等式和对数不等式的解法求得集合A 、B ，再由集合的交集运算可求得答案.【详解】解：由得，解得，所以， 2280x x --…()()4+20x x -≤24x -≤≤[]2,4A =-又由，解得，所以，故.lg 1lg10x <=010x <<()0,10B =(]0,4A B ⋂=故选：C.2. 命题，的否定是（ ）0x ∃∈R 00ln e 10x x -+<A. ，B. ， x ∀∈R ln e 10x x -+<x ∀∈R ln e 10x x -+≥C. ，D. ，0x ∃∈R 00ln e 10x x -+≥0x ∃∈R 00ln e 10x x -+>【答案】B【解析】【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.【详解】命题“，”为存在量词命题，0x ∃∈R 00ln e 10x x -+<由存在量词命题的否定可知，该命题的否定形式为“，”.x ∀∈R ln e 10x x -+≥故选：B.3. 如果实数a ，b 满足，则下列不等式不成立的是（ ）0b a <<A.B. C. D.22ab a b >11b a >11a b a >-||a b <∣【答案】A【解析】【分析】根据实数的性质以及不等式的基本性质，结合作差比较，即可求解．【详解】由，则， 0b a <<0a b ->0ab >选项A. ，所以，故不正确. ()220a b ab ab a b --=->22ab a b <选项B. ，所以，故正确. 110a b b a ab --=>11b a>选项C. ,所以，故正确. 110,0a b a ><-11a b a >-选项D. 由， ，所以，故正确.0b a <<0b a b a a b -=-+=->a b <故选：A4. 若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表： ()3222f x x x x =+-- ()12f =-()1.50.625f = ()1.250.984f =-()1.3750.260f =-()1.4380.165f = ()1.40650.052f =-那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）32220x x x +--=A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.5【答案】C【解析】【分析】根据二分法，结合表中数据，由于，方程的一个近似根所在区间()()1.4380, 1.40650f f ><为内，进而得到结果.()1.4065,1.438【详解】根据二分法，结合表中数据，由于()()1.4380.1650, 1.40650.0520f f =>=-<所以方程的一个近似根所在区间为32220x x x +--=()1.4065,1.438所以符合条件的解为1.4故选:C.5. 设，，，则，，的大小关系是（ ）0.40.5a =0.5log 0.3b =2log 0.4c =a b c A.B. C. D. a b c <<c b a <<c<a<b b<c<a 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，与和的大小关系即可求解. a b c 01【详解】因为为减函数，所以，0.5x y =0.4000.50.51a <=<=因为在单调递减，所以，0.5log y x =()0,∞+0.50.5log 0.3log 0.51b =>=因为在单调递增，，2log y x =()0,∞+22log 0.4log 10c =<=即，，，01a <<1b >0c <所以，c<a<b 故选：C.6. 二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为（ ） ()221f x x ax =+-(),1∞-A.B. C. D.0a ≤12a ≤-1a ≤-2a ≤-【答案】D【解析】 【分析】首先求出二次函数在区间上单调递减的充要条件，即可求出其充分不必要条件；【详解】解：因为的对称轴为，开口向上，所以，解得，所以()221f x x ax =+-x a =-1a -≥1a ≤-二次函数在区间上单调递减的充要条件为， ()221f x x ax =+-(),1∞-1a ≤-所以二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为； ()221f x x ax =+-(),1∞-2a ≤-故选：D7. 函数的图象可能是（ ） ()222x x f x =-A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函数的奇偶性，然后判断函数在上的函数值符号，结合排除法可得出合()f x ()f x ()0,1适的选项.【详解】对于函数，，解得，即函数的定义域为， ()222x x f x =-220x -≠1x ≠±()f x {}1x x ≠±，即函数为偶函数，排除CD 选项， ()()()222222x x x x f x f x ---===--()f x 当时，，，此时，排除A 选项.01x <<20x >220x -<()0f x <故选：B.8. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间间的关系为mg/L P h t ，如果在前5个小时消除了的污染物，则污染物减少需要花多少时间(精确到(参0kt P P e -=20%50%1h 考数据：，)（ ）ln 20.69=ln10 2.30=A.B. C. D. 13h 15h 18h 20h 【答案】B【解析】【分析】由题知，，可解得的值，再把代入中，结合指数和500(120%)k P P e--=k 00.5P P =0kt P P e -=对数的运算法则即可得解.【详解】解：前5个小时消除了的污染物， 20%，即， 500(120%)k P P e -∴-=0.85ln k =-当污染物减少时，，50%00(150%)0.5P P P =-=， ln 0.85000.5t P P e∴=. 5ln 0.55ln 250.6915ln 0.83ln 2ln1030.69 2.30t ⨯∴==-=-=-⨯-故选：B.【点睛】本题考查函数的实际应用，主要涉及指数和对数的运算法则，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分）9. 下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ）A.B. 1010x x y -=-()22log 1y x =+C . D.3y x =||y x =【答案】AC【解析】【分析】分别利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可.【详解】四个函数的定义域为，定义域关于原点对称x ∈R 对于A ：记，所以，()1010x x f x -=-()1010()x x f x f x --=-=-所以函数是奇函数，()1010x x f x -=-又因为是上的增函数，是上的减函数，10x y =R 10x y -=R 所以是上的增函数，符合题意，A 正确；1010x x y -=-R 对于B ：记，则， ()22()log 1=+g x x ()22()log 1()⎡⎤-=-+=⎣⎦g x x g x 所以函数是偶函数，不符合题意，B 错误； ()22()log 1=+g x x 对于C ：记，则，3()h x x =33)()()(=-=--=-h x h x x x 所以函数是奇函数，3()h x x =根据幂函数的性质，函数是增函数，符合题意，C 正确；3()h x x =对于D ：记，则，()||t x x =()||||()t x x x t x -=-==所以函数为偶函数，D 错误.()||t x x =故选：AC10. 给出下列四个命题是真命题的是（ ）A. 函数的定义域中的任意，满足 ()f x =()1212,x x x x ≠()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭B. 奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；C. 函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到；()231y x =-23y x =D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为；()f x []0,2()2f x []0,1【答案】ACD【分析】选项A 由函数的凹凸性可判断；选项B 由奇函数的性质可判断；选项C 通过函数平移法则可判断；选项D 通过抽象函数定义域可判断.【详解】解：A 选项：函数()f x =故A 正确；B 选项：奇函数的图像不一定通过直角坐标系的原点，如，故B 错误； ()1f x x =C 选项：根据左加右减的原则可知：函数的图像可由的图像向右平移1个单位得()231y x =-23y x =到，故C 正确；D 选项：由抽象函数定义域可知：若函数的定义域为，则函数的定义域为，故()f x []0,2()2fx []0,1D 正确；故选：ACD.11. 若函数（且）在上为单调函数，则的值可以是（ ） ,0()3(1),0x a a x f x a x x ⎧+≥=⎨+-<⎩0a >1a ≠R a A. B. C. D. 21323【答案】ABD【解析】【分析】根据指数函数与一次函数的性质得到不等式组，需注意断点处函数值的大小关系；【详解】解：因为函数（且）在上为单调函数，,0()3(1),0x a a x f x a x x ⎧+≥=⎨+-<⎩0a >1a ≠R 所以或，解得或，所以满足条件的有ABD ；01103a a a a >⎧⎪->⎨⎪+≥⎩001103a a a a <<⎧⎪-<⎨⎪+≤⎩2a ≥1o a <<12. 对任意两个实数，定义若，，下列关于函数,a b {},,min ,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，()22f x x =-()2g x x =的说法正确的是（ ）()()(){}min ,F x f x g x =A. 函数是偶函数()F x B. 方程有三个解()0F x =C. 函数在区间上单调递增()F x [1,1]-D. 函数有4个单调区间()F x 【答案】ABD【解析】【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.()()(){}min ,F x f x g x =【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如()22f x x =-()2g x x =()()(){}min ,F x f x g x =图．由图象可知，函数关于y 轴对称，所以A 项正确；()()(){}min ,F x f x g x =函数的图象与x 轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B 项正确；()F x ()0F x =函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，()F x (,1]-∞-[1,0]-[0,1][1,)+∞所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）13. 若log 34•log 48•log 8m ＝log 416，则m ＝___．【答案】9．【分析】把给出的等式左边利用换底公式化简后整理即可得到m 的值．【详解】解：由log 34•log 48•log 8m ＝log 416，得， lg 41812lg 31418g gm g g ⋅⋅=即，所以m ＝9． 3lg log 2lg 3m m ==故答案为：9．14. 若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______()f x ()2,8()()310f a f a -+-≤a 【答案】(],2∞-【解析】【分析】结合已知条件根据幂函数的概念求出的解析式，然后利用的奇偶性和单调性即可求()f x ()f x 解.【详解】由题意，不妨设，()f x x α=因为幂函数过点，则，解得，()f x ()2,8(2)28f α==3α=故为定义在上的奇函数，且为增函数， ()3f x x =R ()f x 因为，则，()()310f a f a -+-≤()()31(1)f a f a f a -≤--=-故，解得，31a a -≤-2a ≤从而实数的取值范围是.a (],2∞-故答案为：.(],2∞-15. 函数在上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是_______． 4()f x x a x =+-[]1,3【答案】或 {4a a =∣135}3<…a 【解析】【分析】将，转化为在上恰有一个零点，利用数形结合法求解. 4()0f x x a x =+-=4a x x=+[1,3]【详解】由，可得在上恰有一个零点， 4()0f x x a x =+-=4a x x =+[1,3]作出函数在上的图象，如图所示： 4y x x=+[1,3]因为， 13(1)5,(3),(2)43f f f ===故答案为：或 {4a a =∣135}3<…a 【点睛】本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 16. 已知函数，若方程恰好有三个实数根，则实数的取值范围()2141,02,0x x x x f x x -⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩()0f x a -=a 是__________.【答案】12a ≤<【解析】【分析】作出函数的图象，原题可转化为函数与的图象有三个交点时，求数的取值范()y f x =y a =a 围的问题，数形结合即可得出. 【详解】函数的图象如图所示， ()2141,02,0x x x x f x x -⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩因为恰好有三个实数根，()0f x a -=即函数与的图象有三个交点，()y f x =y a =由图象可知，实数的取值范围是.a 12a ≤<故答案为：.12a ≤<四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2023-2024学年广东省深圳市龙华区高一上学期期末质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省深圳市龙华区高一上册期末数学试题一、单选题1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，{2,3,4}B =，则()()U U A B ⋃痧=（）A ．{2}B ．{0,2,3}C ．{1,3,4}D ．{0,1,3,4}【正确答案】D【分析】根据补集和并集的定义运算即得.【详解】 全集{}0,1,2,3,4U =，集合{0,1,2}A =，{}2,3,4B =，所以{}3,4U A =ð，{}0,1U B =ð因此，{}0,1,3()(,4)U U A B = 痧.故选：D.2．在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为（）A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．180︒【正确答案】B【分析】根据弧长公式，结合弧度制与角度制互化公式进行求解即可.【详解】弧长为π的弧所对的圆心角为πrad 902︒=，故选：B3．下列条件中，使a b >成立的充要条件是（）A ．a b >B ．22a b >C ．22a b>D >【正确答案】C【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义及指数函数的性质逐项分析即得.【详解】对A ，取11a b =>=-，则a b =，错误；对B ，取11a b =>=-，则22a b =，错误；对C ，22a b a b >⇔>，正确；对D ，取11a b =>=-无意义，错误.故选：C ．4．下列是奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．1y x -=B ．y =C ．e xy =D ．3y x =【正确答案】D【分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.【详解】对A ，函数1y x -=是奇函数，在(0,)+∞上单调递减，故错误；对B ，函数y =对C ，函数e x y =是非奇非偶函数，故错误；对D ，函数3y x =是奇函数，在(0,)+∞上单调递增，故正确.故选：D5．神舟十五号载人飞船于2022年11月30日到达中国空间站，并成功对接，完成了中国空间站的最后一块拼图.已知中国空间站离地球表面的高度约为390千米，每90分钟绕地球一圈.若将其运行轨道近似地看成圆形，运行轨道所在平面与地球的截面也近似地看成直径约为12420千米的圆形，则中国空间站在轨道中运行的速度约为（π 3.14≈）（）A ．7.68千米/秒B ．7.82千米/秒C ．7.88千米/秒D ．7.96千米/秒【正确答案】A【分析】求出半径，再根据圆的周长公式求出运行的长度，除以时间即可得到速度.【详解】根据直径为12420千米，则半径为6210千米，则运行速度()()2π62103902 3.1462103907.6890609060v +⨯+=≈≈⨯⨯千米/秒.故选：A.6．已知ππ2α<<）A ．sin cos αα-B ．sin cos αα+C ．sin αD ．cos α-【正确答案】A【分析】利用诱导公式及平方关系化简即可.【详解】因为ππ2α<<，所以sin 0α>，cos 0α<，则sin cos 0αα->，sin cos sin cos αααα=-=-.故选：A7．已知()lg f x x =，若12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(4)c f =，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．c a b>>【正确答案】C【分析】根据对数的运算和对数函数的单调性进行判断即可.【详解】11lg lg 2lg 222a f ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭，11lg lg3lg333b f ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭，(4)lg 4lg 4c f ===，因为函数lg y x =是正实数集上的增函数，所以有c b a >>故选：C8．已知函数()lg 3f x x x =+-，则()f x 的零点所在的区间为（）A ．(1,1.5)B ．(1.5,2)C ．(2,2.5)D ．(2.5,3)【正确答案】D【分析】根据零点存在定理，只需判断两个端点的函数值，即两个端点函数值异号即可.【详解】由已知得(1)20f =-<，33(1.5)lg 022f =-<，(2)lg 210f =-<，511(2.5)lg 0222f =-<=，(3)lg30f =>，所以(2.5)(3)0f f ⋅<，由零点的存在定理得，()f x 的零点所在的区间为(2.5,3)，故选：D ．二、多选题9．下列是函数图象的是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】ABD【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解..【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个x 只有一个y 和它对应，因此不能出现一对多的情况，所以C 不是函数图象，ABD 是函数图象.故选：ABD.10．下列函数中，最小正周期是π，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．tan y x =B ．cos 2y x =C ．sin 2y x =D ．sin y x=【正确答案】AB【分析】根据已知条件结合选项逐项验证，可得答案.【详解】A ，tan y x =，最小正周期为π，在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故A 正确；B ，cos 2y x =，最小正周期为π，且在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；C ，sin 2y x =，最小正周期为π，且在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上不具有单调性，故C 错误；D ，sin y x =，最小正周期为π，且在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 错误.故选：AB.11．已知函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域是RB ．()f x 的图象关于原点对称C ．π562f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭D ．当0x >时，()f x 的最小值为2【正确答案】BC【分析】由函数解析式，根据奇偶性的定义，可得A 、B 的正误；根据函数解析式可得函数值可得C 的正误；根据余弦函数的性质，可得D 的正误.【详解】对A ，由函数1()sin sin f x x x=+，其定义域为{}()πZ x x k k ≠∈，故A 错误；对B ，()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x-=-+=--=--，故函数()f x 为奇函数，故B 正确；对C ，因为ππ15sin π662sin 6f ⎛⎫⎛⎫-=-+=-⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，故C 正确；对D ，当()π,2πx ∈时，sin 0x <，则()0f x <，故D 错误.故选：BC.12．已知函数()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，均有1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有“倒负”变换性质.下列具有“倒负”变换性质的函数是（）A ．1()f x x x=+B ．1()ln ln f x x x=+C ．(),011,1x x f x x x <<⎧⎪=⎨->⎪⎩D ．()221,01,1x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪->⎩【正确答案】BCD【分析】根据题中定义，结合分类讨论思想逐一判断即可.【详解】A ：()()11f x f x f x x x⎛⎫=+=≠- ⎪⎝⎭，因此本函数不具有“倒负”变换性质；B ：()1111()ln ln 1ln ln f x f x x x xx =+=--=-，因此本函数具有“倒负”变换性质；C ：当01x <<时，()111f x f x x x⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，当1x >时，()11f f x x x⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因此本函数具有“倒负”变换性质；D ：当01x <<时，()211f f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当1x >时，()22111f x f x x x ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，因此本函数具有“倒负”变换性质，故选：BCD关键点睛：利用代入法，结合分段函数的解析式进行分类讨论是解题的关键.三、填空题13．函数1()ln(1)2f x x x =-+-的定义域是___________.【正确答案】{1x x >且2}x ≠根据真数大于0，分母不为0，即可求得答案.【详解】由题意得1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，所以定义域为：{1x x >且2}x ≠故{1x x >且2}x ≠14．化简2的值为___________.【正确答案】2【分析】根据指数幂的运算律运算即得.【详解】((22222222===，故答案为.215．已知S 市某所新建高中2022年的绿化面积为2 m a ，若该校绿化面积的年平均增长率为50％，则到_______年（用整数年份表示），该校的绿化面积约是25 m a .（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）【正确答案】2026【分析】设经过n 年后，该校的绿化面积约是25 m a ，由已知可得n 的关系式，再通过两边取对数，利用对数运算求解即可．【详解】设经过n 年后，该校的绿化面积约是25 m a ，则由已知得* (150%)5,N n a a n +≈∈，即*3()5,N 2n n ≈∈，两边取对数得32lg 51lg 210.301699lg 543lg 3lg 20.4770.301176lg 2n --≈==≈=≈--，202242026+=，故2026．16．已知π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π02α<<，则2πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________.【正确答案】23-【分析】根据诱导公式结合条件即得.【详解】因为π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππππ2cos cos sin 32663ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为.23-四、解答题17．已知函数2()1x f x x +=-.(1)当2x =时，求()f x 的值；(2)若()2f a a =，求实数a 的值.【正确答案】(1)4；(2)12a =-或2a =.【分析】（1）将2x =代入2()1x f x x +=-求解；（2）根据2()21a f a a a +==-，求解即得.【详解】（1）∵函数2()1x f x x +=-，∴当2x =时，22(2)421f +==-；（2）函数2()1x f x x +=-的定义域为{|1}x x ≠，因为()2f a a =，所以2()21a f a a a +==-，即22(1)a a a +=-，解得12a =-或2a =；所以12a =-或2a =.18．如图所示，在直角坐标系内，锐角α的终边与单位圆交于点P ，将角α的终边按逆时针方向旋转π2后得到角β的终边，并与单位圆交于点Q .(1)用含α的式子表示点Q 的坐标；(2)若7sin cos 5ββ-=，求tan α的值.【正确答案】(1)()sin ,cos Q αα-(2)34或43【分析】（1）由三角函数定义，根据题中条件，即可用含α的式子表示点Q 的坐标；（2）法一：根据题中条件，由同角三角函数的平方关系和商数关系，联立方程组求解即可；法二：根据题中条件，由同角三角函数基本关系可得，7sin cos 5αα+=①，1sin cos 5αα-=±②，联立方程组求解即可．【详解】（1）依题意得：π2βα=+，由三角函数定义知，πcos cos sin 2βαα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，πsin sin cos 2βαα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以点Q 的坐标为()sin ,cos .Q αα-（2）法一：因为7sin cos 5ββ-=，所以7sin cos 5αα+=①又因为22sin cos 1αα+=②，联立①②解得34sin 55αα==或43sin ,cos 55αα==，所以sin 3tan cos 4ααα==或43.法二：因为7sin cos 5ββ-=，所以7sin cos 5αα+=①两边平方得4912sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=，又因为()21sin cos 12sin cos 25αααα-=-=，所以1sin cos 5αα-=±②当1sin cos 5αα-=时，解得43sin ,cos 55αα==，此时sin 3tan .cos 4ααα==当1sin cos 5αα-=-时，解得34sin ,cos 55αα==，此时sin 3tan cos 4ααα==或43．19．已知函数1π()4cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在区间4ππ,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【正确答案】(1)7ππ4π,4π33k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）(2)-【分析】（1）利用整体代入法与余弦函数的性质求解即可；（2）利用余弦函数的性质，结合整体法求解即可.【详解】（1）设1π26z x =+，∵cos y z =，z ∈R 的单调递增区间是[]π2π,2πk k -+，k ∈Z ，∴由1ππ2π2π26k x k -+≤+≤，k ∈Z ，解得7ππ4π4π33k x k -+≤≤-+，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间为7ππ4π,4π33k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.（2）∵4ππ,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴1ππ5π,2636z x ⎡⎤=+∈-⎢⎣⎦，∴由余弦函数cos y z =的性质，当1π5π266x +=，即4π3x =时，1πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为5πcos 6=4π3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴当4π3x =时，()f x 在区间4ππ,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-.20．已知函数()33x x f x -=-，x ∈R .(1)证明()f x 是增函数；(2)若不等式23()()0x f x m f x +⋅≥对于[1,2]x ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)[8,)-+∞【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可；（2）法一：利用函数的单调性，把问题转化为23()13x x m f x ≥-=-在[1,2]上恒成立，再求2()13x g x =-在[1,2]上的最大值即可；法二：原不等式可转化为423(2)310x x m m +--+≥，再通过换元23x t =转化为二次不等式在给定区间的恒成立问题，利用二次函数性质求解即可．【详解】（1）证明：12,R x x ∀∈，且12x x <，1112121()()(33)(13x x x x f x f x +=+--，因为12x x <，函数3x y =在R 上单调递增，所以12330x x -<，又121103x x ++>，故12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.因此，1()33xxf x =-是增函数.（2）法一：由（1）知()y f x =在[1,2]上单调递增，所以()(1)0f x f ≥>，所以不等式23()()0x f x m f x +⋅≥可变为3()0x f x m +≥，即23()13x x m f x ≥-=-，令2()13x g x =-，则()g x 在[1,2]上单调递减，当1x =时，()g x 取得最大值，所以()(1)8g x g ≥=-，综上所求得m 的取值范围是[8,)-+∞.法二：由不等式23()()0xf x m f x +⋅≥得21133(3)033x x x x x m ⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭，整理得423(2)310x x m m +--+≥，令23x t =，即2(2)10t m t m +--+≥，即(1)(1)0t t m -+-≥，因为[1,2]x ∈，所以[9,81]t ∈，8180t ≤-≤，所以要使原不等式恒成立，则有1t m -≥-，即8m ≥-，8m ≥-，故m 的取值范围是[8,)-+∞21．已知函数2()log f x x =.(1)若0a b >>，证明：()()22f a f b a b f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭；(2)若()g x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()(2)1g x f x =+-.（ⅰ）求()g x 的解析式；（ⅱ）求方程2()0g x x -=的所有根.【正确答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）()()()221log 2,0log 21,0x x g x x x ⎧--<⎪=⎨+-≥⎪⎩；（ⅱ）2-，0，2【分析】（1）根据对数函数的性质，基本不等式结合条件即得；（2）根据奇函数的性质可得函数的解析式，方程2()0g x x -=转化成曲线()y g x =与直线12y x =的交点情况，结合函数的图象和性质即得.【详解】（1）证明：因为0a b >>，所以222()()log log log f a f b a b ab +=+=，2(log 22a b a b f ++=，由基本不等式，当a b ¹2a b +<，即2222log log log log 22a b a b ++=<，即()()22f a f b a b f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭；（2）（ⅰ）依题意得，当0x >时，2()log (2)1g x x =+-，因为()g x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0g =，代入上式成立，即当0x ≥时，2()log (2)1g x x =+-，设0x <，则0x ->，所以2()()1log (2)g x g x x =--=--，所以()()()221log 2,0log 21,0x x g x x x ⎧--<⎪=⎨+-≥⎪⎩；（ⅱ）方程2()0g x x -=转化成曲线()y g x =与直线12y x =的交点情况，当0x ≥时，()y g x =与12y x =交于点(0,0)和点(2,1)，由（1）知()y g x =的图象总是向上凸的，所以除(2,1)外不会有其它交点，同理，当0x <时，根据对称性，两个图象还有一个交点(2,1)--，所以方程2()0g x x -=有三个根2-，0，2.22．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测算，若以MN 为x 轴，OO '为y 轴建立平面直角坐标系，则左侧曲线AO 上的任一点在抛物线2140y x =上，而右侧曲线OB 上的任一点在以B 为顶点的抛物线21810y x x =-+上.(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上（不包括端点）.若桥墩CD 每米的造价为m （万元），桥墩EF 每米的造价为32m （万元），则当O E '为多少米时，两个桥墩的总造价S 最低？【正确答案】(1)120米；(2)32.【分析】（1）根据A,B 高度一致结合条件即得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用二次函数的性质即得.【详解】（1）由22118(40)1601010y x x x =-+=--+得(40,160)B ，所以40O B '=，160OO '=，解2116040x =得80x =±，即80O A '=，所以桥AB 的长度为120O A O B ''+=(米)；（2）设O E x '=，则040x <<，80O C x '=-，依题意得21,810F x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由（1）得()214010EF x =-，()2180,8040D x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()22111608044040CD x x x =--=-，所以两个桥墩的总造价()2233140422040S m EF m CD x x x m ⎡⎤=⨯+⨯=-+-⨯⎢⎥⎣⎦，化简得2211(8240)[(32)112]88S x x m x m =-+⨯=-+⨯，所以当32O E '=米时，两个桥墩的总造价S 最低.。
2021-2022学年广东省深圳高级中学高一(上)期末数学试卷(学生版+解析版)
2021-2022学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．[﹣1，2）2．（5分）若命题“∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）3．（5分）设条件p ：a ＞0，条件q ：a 2+a ＞0；那么p 就是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知函数y ＝a x +4+2（a ＞0，且a ＞1）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin α＝（ ） A ．35B ．−35C ．45D ．−455．（5分）设a ＝tan92°，b =(1π)2，c ＝log π92，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c6．（5分）若实数x ，y 满足2x +y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．14C ．18D ．1167．（5分）函数f （x ）=ln|x−3|(x−3)3的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P 会按确定的比率衰减（称为衰减率），P 与死亡年数t 之间的函数关系式为P =(12)ta （其中a 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于（ ） 参考数据：log 20.75≈﹣0.4 参考时间轴：A ．宋B ．唐C ．汉D ．战国二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）下列四个命题，其中为假命题的是（ ）A ．若函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上也是增函数，则f （x ）是增函数B ．y ＝x +1和y =√(1+x)2表示同一函数C ．函数y =log 13(−x 2−2x +3)的单调递增区间是[1，3）D ．若函数f （x ）＝x 2+4ax +2a 的值域是[0，+∞），则实数a ＝0或12（多选）10．（5分）函数s ＝f （t ）的图像如图所示（图像与t 正半轴无限接近，但永不相交），则下列说法正确的是（ ）A ．函数s ＝f （t ）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞）B ．函数s ＝f （t ）的值域为（0，5]C ．当s ∈[2，4]时，有三个不同的t 值与之对应D ．当t 1，t 2∈（0，1）（t 1≠t 2）时，f(t 1)−f(t 2)t 1−t 2＞0（多选）11．（5分）设函数f （x ）＝4sin （2x +1）﹣x ，则在下列区间中函数f （x ）存在零点的是（ ） A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]（多选）12．（5分）已知函数f(x)=sin(3x −π4)，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f(x −π12)为偶函数 B ．f(π)=−√22C ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为π3D ．函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝﹣cos3x 的图象三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）tan300°的值是 ．14．（5分）若函数f(x)={log 12x ，(x ＞0)2x，(x ≤0)，则f [f （2）]＝ ．15．（5分）已知sin(α+π12)=35，则sin(2α−π3)= ． 16．（5分）设当x ＝θ时，函数f （x ）＝3cos x ﹣sin x ，x ∈R 取得最大值，则cos θ＝ ． 四、解答题：共70分，其中第17题10分，其余题目每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算：（1）(214)12−(−9.6)0−(338)23+0.1−1；（2）lg 2•lg 50+lg 5•lg 20﹣lg 100•lg 5•lg 2．18．（12分）已知α为第三象限角，且f （α）=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π)sin(π2+α)tan(2π−α)．（1）化简f （α）；（2）若α=−323π，求f （α）的值． （3）若f （α）=2√65，求cos （π+α）的值．19．（12分）已知函数f(x)=(√3cosx −sinx)sinx ，x ∈R ． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f （x ）在[0，π4]上的最大值与最小值．20．（12分）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且R ={10x 2+ax ，0＜x ＜40901x 2−9450x+10000x，x ≥40，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R ＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2022年企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？ （注：利润＝销售额﹣成本．）21．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式及对称中心坐标：（2）先把f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，若当x ∈[−π4，π6]时，关于x 的方程g （x ）+2a ﹣1＝0有实数根，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝lg1−x x+1．（1）求不等式f （f （x ））+f （lg 2）＞0的解集；（2）函数g （x ）＝2﹣a x （a ＞0，a ≠1），若存在x 1，x 2∈[0，1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a的取值范围；（3）若函数h（x）={f(x)，−1＜x＜1k|x|+1，x≤−1或x≥1，讨论函数y＝h（h（x））﹣2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）．2021-2022学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．[﹣1，2）【解答】解：集合U ＝R ，A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}＝{x |0＜x ＜2}， B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}＝{x |x ＞1}， ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：C ．2．（5分）若命题“∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0是假命题， ∴Δ＝a 2﹣4＞0 ∴a ＞2或a ＜﹣2，∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， 故选：A ．3．（5分）设条件p ：a ＞0，条件q ：a 2+a ＞0；那么p 就是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由a 2+a ＞0；解得：a ＞0或a ＜﹣1， 故p 是q 的充分不必要条件， 故选：C ．4．（5分）已知函数y ＝a x +4+2（a ＞0，且a ＞1）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin α＝（ ） A ．35B ．−35C ．45D ．−45【解答】解：由x +4＝0得x ＝﹣4，此时y ＝a 0+2＝1+2＝3，即定点P （﹣4，3）， 则|OP |＝5，则sin α=35，故选：A ．5．（5分）设a ＝tan92°，b =(1π)2，c ＝log π92，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【解答】解：因为92°是第二象限角， 所以a ＝tan92°＜0，因为指数函数y ＝（1π）x 在R 上为减函数，且0＜2＜3，所以0＜（1π）3＜（1π）2＜（1π）0＝1，所以0＜b ＜l ，因为y ＝log πx 为（0，+∞）上的增函数，π＜92， 所以c ＝log π92＞1， 所以c ＞b ＞a ． 故选：B ．6．（5分）若实数x ，y 满足2x +y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．14C ．18D ．116【解答】解：∵实数x ，y 满足2x +y ＝1， ∴y ＝1﹣2x ，∴xy ＝x （1﹣2x ）＝﹣2x 2+x ＝﹣2（x −14）2+18≤18， 当x =14，y =12时取等号， 故选：C ．7．（5分）函数f （x ）=ln|x−3|(x−3)3的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵g（x）=ln|x|x3为定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴其图象关于原点成中心对称，又f（x）=ln|x−3|(x−3)3=g（x﹣3），∴f（x）的图象关于（3，0）成中心对称，可排除A与B；又当x→3+时，f（x）→﹣∞，当x→+∞时，f（x）→0，故可排除D，故选：C．8．（5分）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减（称为衰减率），P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(12)ta（其中a为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于（）参考数据：log20.75≈﹣0.4参考时间轴：A．宋B．唐C．汉D．战国【解答】解：∵每经过5730年衰减为原来的一半，∴P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(12)t5730(t＞0)，由题意可得，(12)t5730=0.75，即t5730=−log20.75≈0.4，解得t≈2292，由2021﹣2292＝﹣271，可判断该文物属于战国．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列四个命题，其中为假命题的是（）A．若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上也是增函数，则f（x）是增函数B．y＝x+1和y=√(1+x)2表示同一函数C．函数y=log13(−x2−2x+3)的单调递增区间是[1，3）D ．若函数f （x ）＝x 2+4ax +2a 的值域是[0，+∞），则实数a ＝0或12【解答】解：函数y =−1x在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上也是增函数，但f （x ）在定义域内不是增函数，故A 为假命题；函数y =√(1+x)2=|x +1|，与函数y ＝x +1的解析式不同，不是同一函数，故B 为假命题； 函数y =log 13t 为减函数，而t ＝﹣x 2﹣2x +3在（﹣1，1）上是减函数，∴函数y =log 13(−x 2−2x +3)的单调递增区间是（﹣1，1），故C 为假命题；函数f （x ）＝x 2+4ax +2a ＝（x +2a ）2﹣4a 2+2a 的值域是[0，+∞），可得﹣4a 2+2a ＝0，解得a ＝0或12，故D 为真命题．故选：ABC ．（多选）10．（5分）函数s ＝f （t ）的图像如图所示（图像与t 正半轴无限接近，但永不相交），则下列说法正确的是（ ）A ．函数s ＝f （t ）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞）B ．函数s ＝f （t ）的值域为（0，5]C ．当s ∈[2，4]时，有三个不同的t 值与之对应D ．当t 1，t 2∈（0，1）（t 1≠t 2）时，f(t 1)−f(t 2)t 1−t 2＞0【解答】解：由s ＝f （t ）的图象可得定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞），故A 正确； 由s ＝f （t ）的图象可得图象在x 轴上方，且最大值为5，则值域为（0，5]，故B 正确； 当s ＝2和s ＝4时，分别有三个或两个不同的t 值与之对应，故C 错误； 当t ∈（0，1）时，s ＝f （t ）为递增函数，故D 正确． 故选：ABD ．（多选）11．（5分）设函数f （x ）＝4sin （2x +1）﹣x ，则在下列区间中函数f （x ）存在零点的是（ ） A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]【解答】解：在同一坐标系中画出g （x ）＝4sin （2x +1）与h （x ）＝x 的图象 如下图示：由图可知g （x ）＝4sin （2x +1）与h （x ）＝x 的图象在区间[﹣2，0]，[0，2]，[2，4]上有交点，函数f （x ）在[﹣2，0]，[0，2]，[2，4]存在零点， 故选：BCD ．（多选）12．（5分）已知函数f(x)=sin(3x −π4)，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f(x −π12)为偶函数 B ．f(π)=−√22C ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为π3D ．函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝﹣cos3x 的图象【解答】解：对于函数f(x)=sin(3x −π4)，由于满足f （x −π12）＝sin （3x −π2）＝﹣cos3x ，故函数f(x −π12)为偶函数，故A 正确； 由于f （π）＝sin （3π−π4）＝sin （π−π4）＝sinπ4=√22，故B 错误； 若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值半个周期π3，故C 正确；把函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝sin （3x ﹣π）＝﹣sin3x 的图象，故D 错误， 故选：AC ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）tan300°的值是 −√3 ．【解答】解：tan300°＝tan （360°﹣60°）＝﹣tan60°=−√3． 故答案为：−√314．（5分）若函数f(x)={log 12x ，(x ＞0)2x ，(x ≤0)，则f [f （2）]＝ 12．【解答】解：根据题意，函数f(x)={log 12x ，(x ＞0)2x，(x ≤0)，则f （2）=log 122＝﹣1，则f [f （2）]＝f （﹣1）=12；故答案为：12．15．（5分）已知sin(α+π12)=35，则sin(2α−π3)= −725 ． 【解答】解：∵sin(α+π12)=35，∴sin(2α−π3)=sin[2（α+π12）−π2]＝﹣cos2（α+π12） =2sin 2(α+π12)−1=2×(35)2−1=−725． 故答案为：−725．16．（5分）设当x ＝θ时，函数f （x ）＝3cos x ﹣sin x ，x ∈R 取得最大值，则cos θ＝ 3√1010．【解答】解：设当x ＝θ时，函数f （x ）＝3cos x ﹣sin x =√10cos(x +θ)， 当x ＝﹣θ，即cos （﹣θ）＝cos θ=3√10=3√1010时函数取得最大值． 故答案为：3√1010．四、解答题：共70分，其中第17题10分，其余题目每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）计算：（1）(214)12−(−9.6)0−(338)23+0.1−1；（2）lg2•lg50+lg5•lg20﹣lg100•lg5•lg2．【解答】解：（1）原式=(94)12−1−(278)23+(110)−1=32−1−94+10=334；（2）原式＝lg2lg50+lg5lg20﹣2lg5lg2＝（lg2lg50﹣lg5lg2）+（lg5lg20﹣lg5lg2）＝lg2（lg50﹣lg5）+lg5（lg20﹣lg2）＝lg2+lg5＝1．18．（12分）已知α为第三象限角，且f（α）=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π) sin(π2+α)tan(2π−α)．（1）化简f（α）；（2）若α=−323π，求f（α）的值．（3）若f（α）=2√65，求cos（π+α）的值．【解答】解：（1）f（α）=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π)sin(π2+α)tan(2π−α)=(−cosα)⋅(sinα)⋅(−tanα)(cosα)⋅(−tanα)=−sinα；（2）f（α）＝f（−323π）＝﹣sin（−323π）＝sin323π＝sin2π3=√32；（3）∵f（α）＝﹣sinα=2√6 5，∴sinα=−2√6 5，又α为第三象限角，∴cosα=−√1−sin2α=−1−(−2√65)2=−15，∴cos（π+α）＝﹣cosα=1 5．19．（12分）已知函数f(x)=(√3cosx−sinx)sinx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π4]上的最大值与最小值．【解答】解：函数f(x)=(√3cosx−sinx)sinx =√3sin x cos x﹣sin2x=√32sin2x−1−cos2x2＝sin （2x +π6）−12，x ∈R ； （Ⅰ）f （x ）的最小正周期为T =2π2=π， 令−π2++2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， 解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ， 所以函数f （x ）的单调增区间为[kπ−π3，kπ+π6]，k ∈Z ；﹣﹣﹣（6分） （Ⅱ）因为0≤x ≤π4， 所以π6≤2x +π6≤2π3，所以12≤sin(2x +π6)≤1，所以0≤f(x)≤12．当且仅当x ＝0时 f （x ）取最小值f （x ）min ＝f （0）＝0，当且仅当2x +π6=π2，即x =π6时f （x ）取得最大值f(x)max =f(π6)=12．﹣﹣﹣（12分） 20．（12分）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且R ={10x 2+ax ，0＜x ＜40901x 2−9450x+10000x，x ≥40，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R ＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2022年企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？ （注：利润＝销售额﹣成本．）【解答】解：（1）由题意知，当x ＝10时，R （x ）＝10×102+10a ＝4000，所以a ＝300，当0＜x ＜40时，W ＝900x ﹣（10x 2+300x ）﹣260＝﹣10x 2+600x ﹣260，当x ≥40时，W =900x −901x 2−9450x+10000x −260=−x 2+9190x−10000x，所以W ={−10x 2+600x −260，0＜x ＜40−x 2+9190x−10000x，x ≥40．（2）当0＜x ＜40时，W ＝﹣10（x ﹣30）2+8740， 所以当x ＝30时，W 有最大值，最大值为8740， 当x ≥40时，W =−(x +10000x)+9190≤−2√10000+9190=8990， 当且仅当x =10000x，即x ＝100时，W 有最大值，最大值为8990， 因为8740＜8990，所以当2022年产量为100千台时，企业的利润最大，最大利润为8990万元．21．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式及对称中心坐标：（2）先把f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，若当x ∈[−π4，π6]时，关于x 的方程g （x ）+2a ﹣1＝0有实数根，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：{A +B =1−A +B =−3，可得{A =2B =−1，所以f （x ）＝2sin （ωx +φ）﹣1， 因为T2=7π12−π12=π2，所以T =π=2πω，可得ω＝2，所以，f （x ）＝2sin （2x +φ）﹣1．由2×π12+φ=π2+2kπ(k ∈Z)，可得φ=π3+2kπ(k ∈Z)，因为|φ|＜π2，所以k =0，φ=π3，所以f(x)=2sin(2x +π3)−1．令2x +π3=kπ(k ∈Z)，可得x =kπ2−π6(k ∈Z)，所以，对称中心为(kπ2−π6，−1)(k ∈Z)． （2）由于先把f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，故g(x)=2sin[2(x +π6)+π3]−1+1=2sin(2x +2π3)． 当x ∈[−π4，π6]时，2x +2π3∈[π6，π]，sin(2x +2π3)∈[0，1]，g(x)∈[0，2]， 若关于x 的方程g （x ）+2a ﹣1＝0有实数根，则1﹣2a ＝g （x ）有实根， 所以，0≤1﹣2a ≤2，可得：−12≤a ≤12． 所以，实数a 的取值范围为[−12，12]． 22．（12分）已知函数f （x ）＝lg1−x x+1．（1）求不等式f （f （x ））+f （lg 2）＞0的解集；（2）函数g （x ）＝2﹣a x （a ＞0，a ≠1），若存在x 1，x 2∈[0，1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数h （x ）={f(x)，−1＜x ＜1k|x|+1，x ≤−1或x ≥1，讨论函数y ＝h （h （x ））﹣2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）． 【解答】解：（1）函数f （x ）＝lg 1−x x+1，由1−x 1+x＞0，可得﹣1＜x ＜1， f （﹣x ）＝lg1+x 1−x=−f （x ），即f （x ）为奇函数，且0＜x ＜1时，f （x ）＝lg （﹣1+2x+1）递减， 可得f （x ）在（﹣1，1）递减， 且f （x ）的值域为R ，不等式f （f （x ））+f （lg 2）＞0，即为f （f （x ））＞﹣f （lg 2）＝f （﹣lg 2）， 则﹣1＜f （x ）＜﹣lg 2，即﹣1＜lg1−x 1+x＜lg 12，即为0.1＜1−x 1+x ＜12， 解得13＜x ＜911， 则原不等式的解集为（13，911）；（2）函数g （x ）＝2﹣a x （a ＞0，a ≠1）， 若存在x 1，x 2∈[0，1）， 使得f （x 1）＝g （x 2）成立， 当0≤x ＜1，f （x ）＝lg1−x x+1的值域为（﹣∞，0]，当a ＞1时，g （x ）在[0，1）递减，可得g （x ）的值域为（2﹣a ，1]， 由题意可得f （x ）和g （x ）的值域存在交集， 即有2﹣a ＜0，即a ＞2；若0＜a ＜1，则g （x ）在[0，1）递增，可得g （x ）的值域为[1，2﹣a ）， 由题意可得f （x ）和g （x ）的值域不存在交集， 综上可得a 的范围是（2，+∞）； （3）由y ＝h [h （x ）]﹣2 得h [h （x ）]＝2， 令t ＝h （x ）， 则h （t ）＝2， 作出图象， 当k ≤0时， 只有一个﹣1＜t ＜0， 对应1个零点， 当0＜k ≤1时， 1＜k +1≤2， 此时t 1＜﹣1， ﹣1＜t 2＜0，t 3=1k ≥1，由k +1−1k =k 2+k−1k =1k （k +1+√52）（k −√5−12），得在√5−12＜k ≤1，k +1＞1k ，三个t 分别对应一个零点，共3个， 在0＜k ≤√5−12时，k +1≤1k ，三个t 分别对应1个，1个，3个零点，共5个， 综上所述：当k ＞1或k ＝0时，y ＝h [h （x ）]﹣2只有1个零点， 当k ＜0或√5−12＜k ≤1时，y ＝h [h （x ）]﹣2有3个零点， 当0＜k ≤√5−12时，y ＝h [h （x ）]﹣2有5个零点．。
2022-2023学年广东省深圳市龙华高一年级上册学期第二阶段考数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省深圳市龙华高级中学高一上学期第二阶段考数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3A =，{}3,5B =，则()UA B =（ ）A ．{}1,2,4,5B ．{}1,3,5C ．{}2,4D ．{}1,5【答案】C【解析】先根据并集的运算，求得A B ⋃，再结合补集的运算，即可求解. 【详解】由题意，全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}3,5B =， 可得{1,3,5}A B =，所以(){}2,4U C A B ⋃=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 2．“1m ”是“方程240x x m -+=有实根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答. 【详解】方程240x x m -+=有实根，则1640m ∆=-≥，解得4m ≤， 而当1m 时，方程240x x m -+=有实根，所以“1m ”是“方程240x x m -+=有实根”的充分不必要条件. 故选：A3．下列各式正确的是（ ）A 2-B ．C 34()x y + D ．2122n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据幂运算的规则逐项分析即可.【详解】对于A 2==- ，正确；对于B =，错误；对于C ()()133344x yx y =+≠+ ，错误；对于D ，222n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，错误；故选：A.4．已知函数()y f x =的图像是连续不断的，有如下的对应值表：则函数()y f x =在区间[]1,6上的零点至少有（ ）A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【答案】B【分析】由零点存在性定理得到函数零点至少有3个. 【详解】因为函数()y f x =的图像是连续不断的，且()()20,30f f ><，由零点存在性定理得：()2,3内存在至少1个零点， 因为()()30,40f f <>，故由零点存在性定理得：()3,4内存在至少1个零点， 因为()()40,50f f ><，故由零点存在性定理得：()4,5内存在至少1个零点， 综上：函数()y f x =在区间[]1,6上的零点至少有3个. 故选：B5．股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”.某位股民购进某两只股票，在接下来的交易时间内，一只股票先经历了3次跌停，又经历了3次涨停，另一只股票先经历了3次涨停，又经历了3次跌停，则该股民在这两只股票上的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ） A ．一只盈利、一只亏损 B ．两只都亏损 C ．两只都盈利 D ．无法判断盈亏情况【答案】B【分析】根据题意一只股票的价钱为原来的33(10.1)(10.1)-+，另一支股票的价钱为原来的33(10.1)(10.1)+-通过计算来判断盈亏即可．【详解】解：该市民在经历了一支股票3次跌停，又经历了3次涨停后股票价格为原来的333(10.1)(10.1)0.990.971-+=≈<，所以该股民在这只股票上是略有亏损，另一支股票先经历了3次涨停，又经历了3次跌停后股票的价格为原来的333(10.1)(10.1)0.990.971+-=≈<，所以该股民在这只股票上是略有亏损， 则两个股票都亏损了. 故选：B ．6．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于2x =对称，当02x <≤时，()2xf x =，则()6f =（ ）A ．2B ．2-C ．4-D ．4【答案】C【分析】结合函数的奇偶性和对称性求得()6f .【详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-， ∵()f x 关于2x =对称，∴()()22f x f x +=-+， ∴()()()()()6424222f f f f f =+=-+=-=-.∴()()26224f f =-=-=-.故选：C7．函数()2x xe ef x x x --=-的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，先分析()f x 的奇偶性，排除CD ，再由f （2）的符号，排除B ，即可得答案． 【详解】解：2()x xe ef x x x --=-，其定义域为{|0}x x ≠， 则22()()()()x x x xe e e ef x x x f x x x -----=--=--=-， 所以()f x 为奇函数，排除CD ， 又由f （2）24422221181220444e e e e e e e ----=-=-=<，排除B ， 故选：A ．8．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若实数(]0,1m ∈，则方程()0f x m -=的解的个数为（ ）A ．0或1B ．1或2C ．1或3D ．2或3【答案】D【分析】根据分段函数作出函数的图象，利用数形结合即得. 【详解】由()0f x m -=，得()f x m =，故函数()y f x =的图象与y m =交点的个数即为方程()0f x m -=的解的个数， 作出函数()y f x =的图象，由图可知当1m =时，方程()0f x m -=的解的个数为2个， 当(0,1)m ∈时，方程()0f x m -=的解的个数为3个， 所以方程()0f x m -=的解的个数为2或3. 故选：D.二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a b >，则a c b c +>+ B ．若22ac bc >，则a b > C ．若ln ln a b >，则a b > D ．若0a b <<，则11-<-b ba a【答案】BD【分析】根据不等式的性质即可判断AB ，根据对数函数的单调性即可判断C ，利用作差法即可判断D.【详解】解：对于A ，当1,2,0a b c =-=-=时，12a c b c +=<=+，故A 错误； 对于B ，若22 a c bc >，则20c >，则a b >，故B 正确；对于C ，若ln ln a b >，则0a b >>，当2,1a b =-=-时，a b <，故C 错误；对于D ，()()()()()()()111111111b a a b b a a b b b b aa a a a a a a a ---------===----，因为0a b <<，所以0,10b a a ->->， 所以()01b aa a -<-，所以11-<-b b a a，故D 正确.故选：BD.10．如果某函数的定义域与其值域的交集是[],a b ，则称该函数为“[],a b 交汇函数”.下列函数是“[]0,1交汇函数”的是（ ）A ．y =B ．y x =C ．2122y x x =-+D ．y x =【答案】AB【分析】分别求出各函数的定义域和值域即可判断.【详解】由[],a b 交汇函数定义可知[]0,1交汇函数表示函数定义域与值域交集为[]0,1．对于选项A ：y =(],1A =-∞，值域[)0,B ∞=+，则[]0,1A B =，A 正确；对于选项B ：y x =的定义域[)0,A =+∞，令0t =，则222(1)11y t t t =-=--+≤，值域(],1B =-∞，则[]0,1A B =，B 正确；对于选项C ：221122(1)1y x x x ==-+-+，∵()210x -≥，∴()2111x -+≥，∴2101(1)1x <≤-+，定义域R A =，值域(]0,1B =，则(]0,1A B =，C 错误；对于选项D ：y x =的定义域[]1,1A =-，222121y x x =-+-=-∵11x -≤≤，∴()221014x x ≤-≤，则201y ≤≤，∴11y -≤≤，值域[]1,1B =-，则[]1,1A B =-，D 错误. 故选：AB ．11．已知,,a b c R ∈，且0b >，若1e ln a b c==，则,,a b c 的大小关系可以是（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．c<a<b D ．a c b <<【答案】ACD【分析】在同一坐标系中画出函数y ＝ex ，y ＝lnx ，1y x=的图象，然后观察y m =与他们的交点即可得到答案.【详解】如图，在同一坐标系中画出函数y ＝ex ，y ＝lnx ，1y x=的图象，当直线y m =与三者都相交时，交点的横坐标即为,,a b c 的值，由图知，当m 从大变到小时，依次出现c ＜a ＜b 、a ＜c ＜b 、a ＜b ＜c ．故选：ACD.12．给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A ．函数3()3log f x x x =-+的零点所在区间为(2,3)B ．若关于x 的方程||102x m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭有解，则实数m 的取值范围是(0,1]C ．函数22log y x =与函数22log y x =是相同的函数 D ．若函数()f x 满足()(1)2f x f x +-=，则1289910101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】ABD【分析】根据函数的解析式得到()()230f f <，结合零点存在定理，可判定A 正确；根据指数函数的性质，可判断B 正确；根据相同函数的判定方法，可判定C 错误；由()(1)2f x f x +-=，求得1()12f =，结合分组法，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，由3()3log f x x x =-+，可得函数3()3log f x x x =-+为单调递增函数， 可得3(2)1log 20f =-+<，3(3)log 30f =>，即()()230f f <， 所以函数3()3log f x x x =-+的零点所在区间为(2,3)，所以A 正确；对于B 中，由指数函数的性质，可得||2(0,1]1x ⎪∈⎛⎫⎝⎭，若关于x 的方程||102x m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭有解，即方程||12x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭有解，所以实数m 的取值范围是(0,1]，所以B 正确；对于C 中，函数22log y x =的定义域为{}|0x x ≠，函数22log y x =的定义域为{}|0x x >，所以函数22log y x =与函数22log y x =不是相同的函数，所以C 错误； 对于D 中，因为函数()f x 满足()(1)2f x f x +-=， 令12x =，可得11()()222f f +=，解得1()12f =，又由198919101010101010f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦461421910102f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以D 正确. 故选：ABD.三、填空题13．已知函数()f x 为定义在R 上的函数满足以下两个条件：（1）对于任意的实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=⋅；（2）()f x 在R 上单调递增. 请写出满足条件的一个()f x 的解析式，()f x =___________. 【答案】2x （答案不唯一）【分析】根据题干要求，结合常见函数的单调性，直接写出结果即可.【详解】根据题意，()f x 不唯一，不妨取()2xf x =，因为()()()222x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅，且()2xf x =是R 上的单调增函数， 故()2xf x =满足题意.故答案为：2x .14．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） 【答案】2027【分析】n 年后产生的垃圾为()3000150%n⨯+，得到不等式()3000150%30000n⨯+>，解得答案. 【详解】n 年后产生的垃圾为()3000150%n ⨯+，故()3000150%30000n⨯+>，即3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()lg3lg21n ->，即1 5.68lg 3lg 2n >≈-，故6n ≥， 故2027年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨. 故答案为：202715．若“R x ∃∈，()()2714230a x a x --++<”为真命题，则实数a 的取值范围为___________.【答案】()1,4,4⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】对二次项的系数是否为0，是否为正进行分类讨论. 【详解】当17a =时，原式18307x ⇔-+<，R x ∃∈成立； 当17a <时，()()()271423f x a x a x =--++开口向下，显然有解；当17a >时，只需()()24212710a a ∆=+-->，解之：1174a <<或4a >。
广东省深圳市龙华区2023-2024学年一年级上学期数学期末试卷
广东省深圳市龙华区2023-2024学年一年级上学期数学期末试卷1．（2024一上·深圳期末）口算9﹣3＝ 4+8＝ 17﹣5＝ 6+7＝18﹣8＝6+9＝2．（2024一上·深圳期末）看图写数。
3．（2024一上·深圳期末）一个两位数，从右边数起，第一位是 位，十位是第 位。
4．（2024一上·深圳期末）1个十和7个一合起来是 ，与它相邻的两个数是和 。
5．（2024一上·深圳期末）找规律，填一填。
（1）16，17， ，19， 。
（2）19，17，15， ， 。
6．（2024一上·深圳期末）在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。
9+5 16 17﹣4 12 14﹣4 1019﹣5 7+67．（2024一上·深圳期末）一共有 件文具，从左数，排第 ；圈出右边第3个物品；的左边有 件文具，的右边有件文具。
8．（2024一上·深圳期末）如图形中，有个，有 个，有 个。
9．（2024一上·深圳期末）找出每行中不是同类的物品，把它圈起来。
10．（2024一上·深圳期末）最高的画“√”，最矮的画“〇”。
11．（2024一上·深圳期末）最长的画“√”，最短的画“〇”。
12．（2024一上·深圳期末）最重的画“√”，最轻的画“〇”。
13．（2024一上·深圳期末）高的画“√”，矮的画“〇”。
14．（2024一上·深圳期末）我会连。
15．（2024一上·深圳期末）16．（2024一上·深圳期末）画〇，〇比少。
17．（2024一上·深圳期末）画□，□比多。
18．（2024一上·深圳期末）19．（2024一上·深圳期末）20．（2024一上·深圳期末）21．（2024一上·深圳期末）22．（2024一上·深圳期末）一共有多少只猴子？23．（2024一上·深圳期末）树上原来有18只小鸟，飞走了5只，还剩下几只？24．（2024一上·深圳期末）购物。
2021-2022学年广东省深圳市南山国际学校高一数学理上学期期末试卷含解析
2021-2022学年广东省深圳市南山国际学校高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若直线是函数图象的一条对称轴，则的值可以是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，由选项可知a只能是。
故答案为：A2. 已知等差数列{a n}中，，，则的值是（）A.15B. 30C. 31D. 64参考答案：A由题意，根据等差数列的性质可知：，又因为，则，故选A．3. 已知的面积为，且，则等于( )A、B、C、 D、参考答案：D4. 设且，则（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意和三角函数公式变形可得cosα=cos[﹣（α﹣β）]，由角的范围和余弦函数的单调性可得．【解答】解：∵，∴﹣=，∴=+=，∴sinαcosβ=cosα（1+sinβ）=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）由诱导公式可得cosα=sin（α﹣β）=cos[﹣（α﹣β）]，∵，∴[﹣（α﹣β）]∈（0，π），∴α=﹣（α﹣β），变形可得2α﹣β=，故选：D．【点评】本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．5. 已知A＝(1，－2)，若向量与a＝(2，－3)反向，，则点B的坐标为( ) A．(10,7) B．(－10,7)C．(7，－10) D．(－7,10)参考答案：D∵向量与a＝(2，－3)反向，∴设＝λa＝(2λ，－3λ)(λ<0)．又∵，∴4λ2＋9λ2＝16×13，∴λ2＝16，∴λ＝－4.∵＝(－8,12)，又∵A(1，－2)，∴B(－7,10)．6. 已知数列的通项公式是=，则220是这个数列的（）A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项参考答案：B略7. 已知函数的一部分图象（如右图所示），则函数可以是（）参考答案：D8. 化简=A. B. － C. D.参考答案：B9. 若是第四象限的角，则是（）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角参考答案：C解析：，若是第四象限的角，则是第一象限的角，再逆时针旋转10. 一个三角形的两内角分别为45°和60°，如果45°角所对的边长是6，那么60°角所对的边长为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】HP：正弦定理．【分析】由45°和60°分别求出sin45°和sin60°的值，再根据45°角所对的边长是6，利用正弦定理即可求出60°角所对的边长．【解答】解：设60°角所对的边长为x，根据正弦定理得： =，解得x==3，则60°角所对的边长为3．故选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设f（x）=log2（2+|x|）﹣，则使得f（x﹣1）＞f（2x）成立的x取值范围是．参考答案：（﹣1，）【考点】函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．【分析】判断函数的奇偶性，通过x大于0，判断函数是增函数，然后转化求解不等式的解集即可．【解答】解：函数f（x）=log2（2+|x|）﹣，是偶函数，当x≥0时，y=log2（2+x），y=﹣都是增函数，所以f（x）=log2（2+x）﹣，x≥0是增函数，f（x﹣1）＞f（2x），可得|x﹣1|＞|2x|，可得3x2+2x﹣1＜0，解得x∈（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）．【点评】本题考查函数的与方程的应用，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．12. 计算：________；________.参考答案：8 1【分析】利用指数的运算法则计算，利用对数的运算法则计算即可.【详解】由题意，，.故答案为：8；1【点睛】本题主要考查指数和对数的运算法则，属于简单题.13. 在等比数列{a n}中，已知，若，则的最小值是______.参考答案：12【分析】利用等比数列的通项公式化简，可得根据可判断将变形为，利用基本不等式的性质即可得出结果．【详解】在等比数列中，，，化为：．若，则，当且仅当时取等号．若，则，与矛盾，不合题意综上可得，的最小值是，故答案为12．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、基本不等式的性质，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知数列{a n}是等比数列，若，，则公比q=________.参考答案：【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【详解】∵数列{a n}是等比数列，若，，则，解得，即.故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．15. 设是等差数列的前n项和，已知与的等比中项为，与的等差中项为1，则等差数列的通项为 .参考答案：a n =1或a n =16. 化简： = .参考答案：17. （5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．参考答案：8考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．解答：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：8点评：本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022学年广东省深圳市南山区高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省深圳市南山区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22,0,1,1A B xx =-=≤∣，则A B =（ ） A ．∅ B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1【答案】D【分析】根据元素与集合的关系求解A B . 【详解】因为()22221,01,11-><=， 所以{}0,1A B =. 故选：D. 2．若110a b<<，则下列不等式中，正确的是（ ） A ．a b < B ．22a b > C ．a b ab +< D ．11a b a b-<- 【答案】C【分析】利用不等式的基本性质判断. 【详解】由110a b <<，得110,0,0a b a b abb a <<--=<，即0b a <<，故A 错误； 则0b a ->->，则()()22b a ->-，即22a b <，故B 错误； 则0a b +<，0ab >，所以a b ab +<，故C 正确；则11b a -<-，所以11b a b a -<-，故D 错误；故选：C3．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【分析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小． 【详解】0.200.30.31c =<=； 22log 7log 42>=；331log 8log 92<<=．故c b a <<． 故选A ．【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待．4．已知0x >，则242x x--的最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．2【答案】C【分析】把所求代数式242x x--变形，转化成142()x x -+，再对其中1x x +部分以基本不等式求最值即可解决.【详解】0x >时，12x x +≥=（当且仅当1x =时等号成立） 则214242()0x x x x --=-+≤，即242x x--的最大值为0.故选：C5．已知函数()f x 为偶函数，且在(],0-∞上单调递增，()12f -=，则不等式()212f x +<的解集为（ ） A ．()(),10,-∞-⋃+∞ B ．()0,∞+ C ．()1,0- D ．(),1-∞-【答案】A【分析】由题可得函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，()12f =，且()()2121f x f x +=+，再利用函数单调性即得.【详解】因为函数()f x 为偶函数且在(],0-∞上单调逆增，()12f -=， 所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，()12f =，且()()2121f x f x +=+， 所以()()211f x f +<，所以211x +>，解得1x <-或0x >， 即x 的取值范围是()(),10,-∞-⋃+∞. 故选：A.6．函数()32cos 1x xf x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】以函数奇偶性排除部分选项，再以特殊值排除部分选项即可解决. 【详解】函数()32cos 1x xf x x =+定义域为R ，()()3322()cos()cos ()11x x x xf x f x x x ---==-=--++，则()f x 为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除BD ； 又()322cos28cos 22125f ==+， 由22ππ<<可知，()8co 2s 205f =<，排除C. 故选：A7．设()ln 2f x x x =+-，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】B【分析】根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论. 【详解】()ln 2f x x x =+-在(0,)+∞单调递增， 且(1)10,(2)ln20f f =-<=>， 根据零点存在性定理，得()f x 存在唯一的零点在区间(1,2)上. 故选：B【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题. 8．如图是函数()()sin (0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（ ）A ．22,3πωϕ== B ．21,3πωϕ== C ．2,3πωϕ==D ．2,6πωϕ==【答案】A【分析】先通过观察图像可得A 和周期，根据周期公式可求出ω，再代入最高点坐标可得ϕ.【详解】由图像得2A =，11521212T ππ=-， 则T π=，2ππω∴=，2ω∴=，()()2sin 2f x x ϕ∴=+11112sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得234,k k Z πϕπ=-+∈，又ϕπ<， 23πϕ∴=. 故选：A. 二、多选题9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A ．()f x x =与()33g x x =B ．()2ln f x x =与()2ln g x x =C ．()21f x x =-与()()2(1)21g x x x =+-+D ．()1f x x =-()1g x x =- 【答案】AC【分析】判断函数是否是同一个函数就要看两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.【详解】对于A 选项，()f x x =与()g x x =,两个函数的定义域为R ,对应法则也一样，则A 正确；对于B 选项，()2ln f x x =的定义域为{}0x x ≠，()2ln g x x =的定义域为{}0x x >，则这两个函数不是同一个函数，则B 不选；对于C 选项，()21f x x =-与()()22(1)211g x x x x =+-+=-，两个函数的定义域为R ,对应法则也一样，则C 正确； 对于D 选项， ()f x ={}1x x >，()g x ={}1x x ≥，则这两个函数不是同一个函数，则D 不选. 故选：AC .10．设0a >且1a ≠，m ，n 是正整数，则（ ） A ．log ()log log a a a mn m n =+ B ．log log ()log a a a mm n n=C ．log log n a a m n m =D ．log log n a a m n m =【答案】AD【分析】利用对数的运算性质逐一判断即可.【详解】A ，由对数的运算性质可得log ()log log a a a mn m n =+，故A 正确； B ，log ()log log a a a mm n n=-，故B 错误;C ，1log log n a a m m n=，故C 错误； D ，log log n a a m n m =，故D 正确. 故选：AD11．下列命题为真命题的有（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b >>，则22a b > C ．若0a b <<，则11a b< D ．若0,0a b c >><则c c a b> 【答案】BD【分析】以不等式性质4判断选项A ；以不等式性质7判断选项B ；以求差法判断选项C 、D.【详解】选项A:当0c 时，22ac bc =，判断错误； 选项B: 推导符合不等式性质，判断正确； 选项C:11b a a b ab--=，由0a b <<， 可知0ab >,0b a ->，则0b a ab ->，即11a b>.判断错误； 选项D:()c c c b a a b ab--=由0a b >>， 可知0ab >,0b a -<又有0c <则()0c b a ab ->，即c c a b>，判断正确. 故选：BD12．（多选）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数[]y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]1.11=．已知()211x f x x -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，()(),32,x ∈-∞-⋃+∞，则函数()f x 的值可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】BCD【分析】利用常数分离法知213211x x x -=-++，根据x 的取值范围结合不等式的性质求出321x -+的取值范围，进而得到函数()f x 的值. 【详解】()2132132111x x x x x +--==-+++，()(),32,x ∈-∞-⋃+∞ 当2x >时，13x +>，113001131x x ∴<<⇒<<++，31221x ∴<-<+， 此时()f x 的取值为1；当3x <-时，12x +<-，1133002121x x ∴-<<⇒-<<++，372212x ∴<-<+， 此时()f x 的取值为2，3． 综上，函数()f x 的值可能为1,2,3． 故选：BCD ． 三、填空题13．函数f (x )12x -的定义域为____________ 【答案】[)()0,22,+∞【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【详解】根据题意，由2102x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x ≥且2x ≠，因此定义域为[)()0,22,+∞.故答案为：[)()0,22,+∞.14．已知函数21(10)()3(03)x x x f x x ⎧+-≤≤=⎨<≤⎩，则[(1)]f f -=_________．【答案】9【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】2[(1)](2)39f f f -===， 故答案为：9 15．在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =______________．【答案】1010-. 【分析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，求出5AC AD =，2AB AD =．再利用余弦定理求出cos A .【详解】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =， 所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222225910cos 210225AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD +-+-===-⋅⨯⨯．故答案为1010-【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则1234s x x x x =++值为__________.【答案】11【分析】画出函数图像，利用对数运算及二次函数的对称性可得答案.【详解】函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图像如图：若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<， 则必有313234log log 52x x x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得1234110x x x x =⎧⎨+=⎩，123411s x x x x +==+.故答案为：11. 四、解答题17．已知2sin cos 0αα+=，求4sin 3cos 2sin 5cos αααα-+的值.【答案】54-【分析】先根据条件求出tan α，再将目标式转化为用tan α表示，然后代入tan α的值即可.【详解】由已知cos 0α≠， 所以由2sin cos 0αα+=得1tan 2α=-,434sin 3cos 4tan 352sin 5cos 2tan 22415251αααααα⎛⎫⨯- ⎪--⎝⎭∴===-++⎛⎫+⎪⎭- ⎝-⨯ 18．已知全集U R =，集合[){}2,1,23A B x a x a =-=<<+． (1)若12a =-，求()U A B ⋃．(2):,:p x A q x B ∈∈．若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【答案】(1){ 2.5x x ≥或}1x <； (2)[2,1)--【分析】（1）根据集合的补集和并集的定义进行求解即可；（2）由充分不必要条件确定集合AB 、之间的关系，根据真子集的性质进行求解即可. (1)因为12a =-，所以512B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，因此{ 2.5UB x x =≥或}1x ≤-，而[)2,1A =-，所以()U A B ⋃{ 2.5x x =≥或}1x <； (2)因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB ，因此有：23132122a a a a a <+⎧⎪≤+⇒-≤<-⎨⎪->⎩，故a 的取值范围为[2,1)--. 19．（1）化简：13sin10cos10-. （2）已知,αβ都是锐角，()45sin ,cos 513ααβ=+=，求sin β的值.【答案】（1）4；（2）1665【分析】（1）通分，然后用辅助角公式计算即可；（2）先通过角的范围求出()cos ,sin ααβ+，再通过()sin sin βαβα=+-，利用两角差的正弦公式计算即可. 【详解】（1）()()2sin30cos1030sin102sin 301013cos10sin1041sin10cos10sin10cos10sin10cos10c sin 20o 32s ----====；（2）因为,αβ都是锐角，则0αβ<+<π， 又()5cos 013αβ+=>，02παβ∴<+<，()cos ,sin 312513ααβ∴=+=，()()()sin sin sin cos cossin βαβααβααβα∴=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯= 20．已知函数()21cos sin (02),26f x x x x x πωωωω=⋅+-<<=-是函数()f x 图象的一条对称轴.(1)求()f x 的最大值，并写出()f x 取得最大值时自变量x 的取值集合； (2)求()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间.【答案】(1)()max 1f x =，|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；()min 1f x =-，|,6x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭(2),63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）化简得()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据对称轴可得ω的值，进而根据正弦函数的性质可得最值；（2）根据正弦函数的性质可得()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间(1) 由已知()211cos sin cos2sin 2226f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫⋅+-=-=- ⎪⎝⎭ 又6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，所以2662k πππωπ⎛⎫⨯--=+ ⎪⎝⎭，得23k ω=--，02ω<<，1ω∴=即()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1max f x ∴=，此时22,62x k k Z πππ-=+∈，即|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，()min1f x =-，此时22,62x k k Z πππ-=-+∈，即|,6x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭，(2),22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则752,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴当2,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦时，即,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递增， ()f x ∴在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.21．已知定义域为R 的函数()122x x af x b+-+=+是奇函数.(1)求,a b 的值；(2)判断并证明函数()f x 的单调性；(3)若对任意的[]1,1t ∈-不等式()()2220f t t f k t -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1)1a =，2b =；(2)()f x 为定义在R 上的减函数，证明见解析； (3)()2,+∞.【分析】（1）由()00f =可求得1a =；根据奇函数定义知()()f x f x -=-，由此构造方程求得b ；（2）将函数整理为()11212x f x =-+，设21x x >，可证得()()210f x f x -<，由此可得结论；（3）根据单调性和奇偶性可将不等式化为2k t >，结合t 的范围可求得()max 2t ，由此可得结果.(1)()122x x a f x b+-+=+是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-且()00f =， ()1002a f b -==+，解得：1a =，()1122xx f x b+-∴=+， ()11121222x xx x f x b b--+--∴-==-++，解得：2b =； 当1a =，2b =时，()11222x x f x +-=+，()()1112212222x x x x f x f x --+--∴-===-++，满足()f x 为奇函数；综上所述：1a =，2b =；(2)由（1）得：()()()1221121122212221x x x x x f x +-+-===-+++； 设21x x >，则()()()()11222121112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++， 21220x x >>，2121211x x ∴+>+>，12220x x -<，()()210f x f x ∴-<，()f x ∴是定义在R 上的减函数；(3)由()()2220f t t f k t -+-<得：()()222f t t f k t -<--，又()f x 为R 上的奇函数， ()()22f k t f t k ∴--=-，()()222f t t f t k ∴-<-，由（2）知：()f x 是定义在R 上的减函数，222t t t k ∴->-，即2k t >，当[]1,1t ∈-时，[]22,2t ∈-，2k ∴>，即实数k 的取值范围为()2,+∞.22．已知二次函数()2f x ax bx c =++.(1)若函数满足()()122f x f x x +-=+，且()01f =.求()f x 的解析式；(2)若对任意x ∈R ，不等式()2f x ax b ≥+恒成立，求()2224b a c +的最大值. 【答案】(1)()21f x x x =++【分析】（1）利用待定系数的方法确定二次函数解析式（2）由二次不等式恒成立，转化参数关系，代入()2224b a c +通过讨论特殊情况后配合基本不等式求出最值 (1)设()()2,0f x ax bx c a =++≠，由已知代入()()122f x f x x +-=+，得222ax a b x ++=+，对于x ∈R 恒成立，故222a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==，又由()01f =，得1c =， 所以()21f x x x =++；(2)若对任意x ∈R ，不等式()2f x ax b +恒成立，整理得：()220ax b a x c b +-+-恒成立，因为a 不为0，所以20Δ(2)4()0a b a a c b >⎧⎨=---⎩，所以()204b a c a -， 所以()2222222141c b ac a a a c a c c a --=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令1c t a=-，因为()204b a c a -，所以00c a t >⇒， 若0=t 时，此时()22222221=041c b ac a a a c a c c a --=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 若0t >时，()()22221121222224112b t a c t t t -==++++++， 当t 时，即(1c a =时，上式取得等号，综上()2224b a c +。
广东省深圳市龙华区2021-2022学年一年级上学期语文期末试卷
广东省深圳市龙华区2021-2022学年一年级上学期语文期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、积累运用(76分)1．我能照样子填一填。
b→ā→(tā)()——()——()→(quān)()——()→(tè)x——i——ang→()()——()——()→(guà)(j)——(ǜ)→()2．我能根据拼音并在田字格里写出相对应的词语。
（1）zǎo shàng，我背着小书包和tóng xué一起去上学，wǒmen看见xiǎo niǎo在tiān shàng飞来飞去，shí分可爱。
（2）xiàyǔ了，小chóng zi和māma一起开心地huí家了。
3．我会根据句子意思选出正确的读音。
（1）晚上，小红听着(zhe zháo)爸爸讲的故事睡着(zhe zháo)了。
（2）春天来了，小草从土地(de dì)里钻了出来，长(cháng zhǎng)出了绿绿的叶子。
（3）花园里有数(shǔshù)不清的美丽小花儿，好看极了。
4．我能把生字宝宝送回家(填序号)。
①花②树③明④草⑤妈⑥昨⑦林⑧姐卄：日：女：木：5．我能根据图片找音节并连线。
6．我会读一读，连一连。
出近远入左右上后前下一条花儿一朵孩子一群黑狗一只树叶一片小鸟7．我能读一读，选一选(填序号)。
①云②风③山清④桃红对雨，雪对。
对水秀，柳绿对。
8．我能给下列的古诗排列顺序(填序号)。
①入竹万竿斜②能开二月花③解落三秋叶④过江千尺浪正确的顺序是：()——()——()——()二、阅读感悟(9分)快乐阅读。
一天，公鸡对青蛙说：“我的本领最大，太阳是我叫出来的。
”青蛙说：“你夜里能把太阳叫出吗来？”公鸡边走边说：“能！”这天夜里，公鸡大声叫起来。
过了一会儿，外面真的亮了。
2021-2022学年广东省深圳市南山区高一(上)期末数学试卷
2021-2022学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={-2，0，1}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（）A.∅B.{-2，-1，0，1}C.{-1，0，1}D.{0，1}2.（单选题，5分）若1a ＜1b＜0，则下列不等式中，正确的是（）A.a＜bB.a2＞b2C.a+b＜abD. a−1a ＜b−1b3.（单选题，5分）已知a=log27，b=log38，c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.b＜c＜aD.c＜a＜b4.（单选题，5分）已知x＞0，则4−2x−2x的最大值为（）A.-2B.-1C.0D.25.（单选题，5分）已知函数f（x）为偶函数，且在（-∞，0]上单调递增，f（-1）=2，则不等式f（2x+1）＜2的解集为（）A.（-∞，-1）∪（0，+∞）B.（0，+∞）C.（-1，0）D.（-∞，-1）6.（单选题，5分）函数f(x)=x3cosxx2+1的图象大致为（）A.B.C.D.7.（单选题，5分）设f（x）=lnx+x-2，则函数f（x）的零点所在的区间为（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）8.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，则下列说法正确的是（）A. ω=2，φ=2π3B. ω=1，φ=2π3C. ω=2，φ=π3D. ω=2，φ=π69.（多选题，5分）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）3A.f（x）=x与g(x)=√x3B.f（x）=lnx2与g（x）=2lnxC.f（x）=x2-1与g（x）=（x+1）2-2（x+1）D. f (x )=√x−1 与 g (x )=√x −110.（多选题，5分）设a ＞0，且a≠1，m ，n 是正整数，则（ ）A.log a （mn ）=log a m+log a nB. log a (m n )=log a m log a nC. log a n m =nlog a mD. log a m n =nlog a m11.（多选题，5分）下列命题为真命题的有（ ）A.若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2B.若a ＞b ＞0，则a 2＞b 2C.若a ＜b ＜0，则 1a ＜1bD.若a ＞b ＞0，c ＜0，则 c a ＞c b12.（多选题，5分）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y=[x]，[x]表示不超过x 的最大整数，例如[1.1]=1．已知f （x ）= [2x−1x+1] ，x∈（-∞，-3）∪（2，+∞），则函数f （x ）的值可能为（ ）A.0B.1C.2D.313.（填空题，5分）函数 f (x )=√2x −1+1x−2 的定义域为 ___ ．14.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x 2+1(−1≤x ≤0)3x (0＜x ≤3)，则f （f （-1））=___ ． 15.（填空题，5分）在△ABC 中，B= π4 ，BC 边上的高等于 13 BC ，则cosA=___ ．16.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {|log 3x |，0＜x ≤313x 2−103x +8，x ＞3 ，若方程f （x ）=m 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则s=x 1x 2+x 3+x 4值为 ___ ．17.（问答题，10分）已知2sinα+cosα=0，求 4sinα−3cosα2sinα+5cosα 的值．18.（问答题，12分）已知全集U=R，集合A=[-2，1），B={x|2a＜x＜a+3}．（1）若a=−12，求A∪（∁U B）；（2）p：x∈A，q：x∈B．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．19.（问答题，12分）（1）化简：1sin10°−√3cos10°；（2）已知α，β都是锐角，sinα= 45，cos（α+β）= 513，求sinβ的值．20.（问答题，12分）已知函数f（x）= √3sinωx•cosωx+sin2ωx- 12（0＜ω＜2），x=- π6是函数f（x）图象的一条对称轴．（1）求f（x）的最大值，并写出f（x）取得最大值时自变量x的取值集合；（2）求f（x）在[−π2，π2]的单调递增区间．21.（问答题，12分）已知定义域为R的函数f(x)=−2x+a2x+1+b是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性（只写出结论即可）；（3）若对任意的t∈[-1，1]不等式f（t2-2t）+f（k-t2）＜0恒成立，求实数k的取值范围．22.（问答题，12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若函数满足f（x+1）-f（x）=2x+2，且f（0）=1．求f（x）的解析式；（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，求b 24(a2+c2)的最大值．2021-2022学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={-2，0，1}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（）A.∅B.{-2，-1，0，1}C.{-1，0，1}D.{0，1}【正确答案】：D【解析】：求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={-2，0，1}，B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={0，1}．故选：D．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，5分）若1a ＜1b＜0，则下列不等式中，正确的是（）A.a＜bB.a2＞b2C.a+b＜abD. a−1a ＜b−1b【正确答案】：C【解析】：由1a ＜1b＜0，可得b＜a＜0，结合不等式的性质，判断选项的正误即可．【解答】：解：∵ 1a ＜1b＜0，∴b＜a＜0，所以A不正确；|b|＞|a|，所以a2＜b2，所以B不正确；∴a+b＜0＜ab，所以C正确；∵ 1 a ＜1b＜0，∴b＜a＜0，−1b＜−1a，所以a−1a ＞b−1b，所以D不正确；故选：C．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力，属于基础题．3.（单选题，5分）已知a=log27，b=log38，c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.b＜c＜aD.c＜a＜b【正确答案】：B【解析】：根据对数函数和指数函数的单调性即可比较出a，b，c的大小关系．【解答】：解：∵log27＞log24=2，1=log33＜log38＜log39=2，0.30.2＜0.30=1，∴c＜b＜a．故选：B．【点评】：本题考查了对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．4.（单选题，5分）已知x＞0，则4−2x−2x的最大值为（）A.-2B.-1C.0D.2【正确答案】：C【解析】：利用基本不等式即可求得最值．【解答】：解：因为x＞0，所以4-2x- 2x =4-（2x+ 2x）≤4-2 √2x•2x=4-4=0，当且仅当2x= 2x，即x=1时等号成立，所以4-2x- 2x的最大值是0．故选：C．【点评】：本题主要考查基本不等式及其应用，考查运算求解能力，属于基础题．5.（单选题，5分）已知函数f（x）为偶函数，且在（-∞，0]上单调递增，f（-1）=2，则不等式f（2x+1）＜2的解集为（）A.（-∞，-1）∪（0，+∞）B.（0，+∞）C.（-1，0）D.（-∞，-1）【正确答案】：A【解析】：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】：解：因为函数f（x）为偶函数，且在（-∞，0]上单调递增，f（-1）=2，所以f（x）在[0，+∞）上单调递减且f（1）=2，则不等式f（2x+1）＜2可得|2x+1|＞1，所以2x+1＞1或2x+1＜-1，解得x＞0或x＜-1，故选：A．【点评】：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．的图象大致为（）6.（单选题，5分）函数f(x)=x3cosxx2+1A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：求出函数的定义域，可得f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数，图像的由对称性，排除BD，再取特殊值，排除C，选出答案．【解答】：解：因为函数的定义域为R，f（-x）= (−x)3cos(−x)(−x)2+1=-f（x），所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除BD，再取特殊值x=2，可得cos2＜0，f（x）＜0，所以排除C，故选：A．【点评】：本题考查函数的奇偶性及图像的对称性，属于基础题．7.（单选题，5分）设f（x）=lnx+x-2，则函数f（x）的零点所在的区间为（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【正确答案】：B【解析】：利用根的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可．【解答】：解：令f（x）=lnx+x-2，所以f（1）=ln1+1-2=-1＜0，f（2）=ln2+2-2=ln2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．故选：B．【点评】：本题主要考查函数零点的判断，利用根的存在性定理是解决本题的关键．8.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，则下列说法正确的是（）A. ω=2，φ=2π3B. ω=1，φ=2π3C. ω=2，φ=π3D. ω=2，φ=π6【正确答案】：A【解析】：直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步确定结果．【解答】：解：根据函数的图象，故A=2；由于T2=11π12−5π12=π2，所以T=π，所以ω=2，当x= 5π12时，f（5π12）=2sin（5π6+φ）=-2，由于|φ|＜π，所以5π6+φ=2kπ+3π2（k∈Z），整理得φ=2kπ+2π3（k∈Z）．当k=0时，φ= 2π3．故选：A．【点评】：本题考查的知识要点：函数的关系式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.（多选题，5分）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A.f（x）=x与g(x)=√x33B.f（x）=lnx2与g（x）=2lnxC.f（x）=x2-1与g（x）=（x+1）2-2（x+1）D. f(x)=√x−1与g(x)=√x−1【正确答案】：AC【解析】：分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】：解：A．f（x）=g（x）=x，两个函数的定义域都是R，是同一函数，B．f（x）=2lnx（x≠0），g（x）=2lnx（x＞0）两个函数的定义域不相同，不是同一函数，C．g（x）=（x+1）（x+1-2）=（x+1）（x-1）=x2-1，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数，D．要使函数f（x）有意义，x-1＞0，得x＞1，要使函数g（x）有意义，则x-1≥0，得x≥1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：AC．【点评】：本题主要考查同一函数的判断，利用两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．10.（多选题，5分）设a＞0，且a≠1，m，n是正整数，则（）A.log a（mn）=log a m+log a nB. log a(mn )=log a mlog a nC. log a n m=nlog a mD. log a m n=nlog a m【正确答案】：AD【解析】：利用对数的性质和运算法则及换底公式求解即可．【解答】：解：A：∵log a（mn）=log a m+log a n满足对数运算法则，∴A正确，B：∵log a（mn）=log a m-log a n，∴B错误，C：∵ log a n m=log a m1n = 1nlog a m，∴C错误，D：∵log a m n=nlog a m，∴D正确，故选：AD．【点评】：本题考查对数的性质、运算法则及换底公式，属于中档题．11.（多选题，5分）下列命题为真命题的有（）A.若a＞b＞0，则ac2＞bc2B.若a＞b＞0，则a2＞b2C.若a＜b＜0，则1a ＜1bD.若a＞b＞0，c＜0，则ca ＞cb【正确答案】：BD【解析】：根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】：解：对于A，令c=0，则ac2=bc2，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴a-b＞0，a+b＞0，∴a2-b2=（a-b）（a+b）＞0，即a2＞b2，故B正确，对于C，∵a＜b＜0，∴b-a＞0，ab＞0，∴ 1 a −1b=b−aab＞0，1a＞1b，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴ 1 a ＜1b，∵c＜0，∴ c a ＞cb，故D正确．故选：BD．【点评】：本题主要考查命题真假判断与应用，考查不等式的性质，属于基础题．12.（多选题，5分）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y=[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]=1．已知f（x）= [2x−1x+1]，x∈（-∞，-3）∪（2，+∞），则函数f（x）的值可能为（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：BCD【解析】：根据题意，设g（x）= 2x−1x+1，将g（x）解析式变形，分析g（x）的取值范围，结合取整函数y=[x]的定义，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，设g（x）= 2x−1x+1，则g（x）= 2x−1x+1= 2(x+1)−3x+1=2- 3x+1，在区间（-∞，-3）上，3x+1＜0，且g（x）为增函数，则有2＜g（x）＜72，在区间（2，+∞）上，3x+1＞0，且g（x）为增函数，则有1＜g（x）＜2，综合可得：g（x）的取值范围为1＜g（x）＜2或2＜g（x）＜72，又由f（x）=[ 2x−1x+1]=[g（x）]，则f（x）的值域为{1，2，3}，故f（x）的值可能为1、2、3；故选：BCD．【点评】：本题考查函数与方程的关系以及函数值域的计算，注意理解取整函数的定义，属于中档题．13.（填空题，5分）函数f(x)=√2x−1+1x−2的定义域为 ___ ．【正确答案】：[1]{x|x≥0且x≠2}【解析】：由根式内部的代数式大于等于，分式的分母不为0，联立不等式组求解．【解答】：解：要使原函数有意义，则 {2x −1≥0x −2≠0 ，解得x≥0且x≠2．∴函数 f (x )=√2x −1+1x−2 的定义域为{x|x≥0且x≠2}． 故答案为：{x|x≥0且x≠2}．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法，考查指数不等式的解法，是基础题． 14.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x 2+1(−1≤x ≤0)3x (0＜x ≤3) ，则f （f （-1））=___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：根据分段函数的解析式，先求出f （-1）的值，再求f （f （-1））的值．【解答】：解：∵函数f （x ）= {x 2+1(−1≤x ≤0)3x (0＜x ≤3) ，∴f （-1）=（-1）2+1=2， ∴f （f （-1））=f （2）=32=9， 故答案为：9．【点评】：本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题． 15.（填空题，5分）在△ABC 中，B= π4 ，BC 边上的高等于 13 BC ，则cosA=___ ． 【正确答案】：[1]- √1010【解析】：作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ= ADAC =a 3√(3a)2+(3a)2= √55 ，sinθ= 2√55，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】：解：设△ABC 中角A 、B 、C 、对应的边分别为a 、b 、c ，AD⊥BC 于D ，令∠DAC=θ，∵在△ABC 中，B= π4 ，BC 边上的高AD=h= 13 BC= 13 a ， ∴BD=AD= 13 a ，CD= 23 a ， 在Rt△ADC中，cosθ= ADAC =a 3√(3a)2+(3a)2= √55 ，故sinθ= 2√55，∴cosA=cos （ π4 +θ）=cos π4 cosθ-sin π4 sinθ= √22×√55 - √22×2√55 =- √1010． 故答案为：- √1010．【点评】：本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．16.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {|log 3x |，0＜x ≤313x 2−103x +8，x ＞3 ，若方程f （x ）=m 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则s=x 1x 2+x 3+x 4值为 ___ ． 【正确答案】：[1]11【解析】：画出函数f （x ）的图象，利用对数的运算性质结合二次函数的对称性求解．【解答】：解：函数f （x ）= {|log 3x |，0＜x ≤313x 2−103x +8，x ＞3 的图象如图所示，方程f （x ）=m 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4， 则必有 {−log 3x 1=log 3x 2x 3+x 42=5 ，解得 {x 1x 2=1x 3+x 4=10 ，∴s=x 1x 2+x 3+x 4=11，故答案为：11．【点评】：本题主要考查了函数的图象变换，考查了二次函数的性质，同时考查了数形结合的数学思想，是基础题．17.（问答题，10分）已知2sinα+cosα=0，求4sinα−3cosα2sinα+5cosα的值．【正确答案】：【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】：解：因为2sinα+cosα=0，所以tanα= sinαcosα =- 12，所以4sinα−3cosα2sinα+5cosα = 4tanα−32tanα+5= 4×(−12)−32×(−12)+5=- 54．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．18.（问答题，12分）已知全集U=R，集合A=[-2，1），B={x|2a＜x＜a+3}．（1）若a=−12，求A∪（∁U B）；（2）p：x∈A，q：x∈B．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入a的值，求出集合B，然后再求出集合B的补集，由此即可求解；（2）根据充分不必要条件的定义求出集合A，B的包含关系，然后根据集合A，B的包含关系建立不等式关系，进而可以求解．【解答】：解：（1）当a=- 12时，集合B={x|-1＜x＜52}，则∁U B={x|x ≥52或x≤-1}，所以A∪（∁U B ）={x|x ≥52或x ＜1}； （2）因为p 是q 的充分不必要条件， 则A ⫋B ，所以 {2a ＜−2a +3≥12a ＜a +3 ，解得-2≤a ＜-1，即实数a 的取值范围为[-2，-1）．【点评】：本题考查了集合的运算关系以及四个条件的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．19.（问答题，12分）（1）化简： 1sin10°−√3cos10° ；（2）已知α，β都是锐角，sinα= 45 ，cos （α+β）= 513 ，求sinβ的值．【正确答案】：【解析】：（1）将所求关系式通分，利用辅助角公式及倍角公式、诱导公式化简可得答案； （2）利用两角和与差的三角函数及同角三角函数间的关系运算求解即可．【解答】：解：（1） 1sin10°−√3cos10° = cos10°−√3sin10°sin10°cos10°= 2(cos60°cos10°−sin60°sin10°)sin10°cos10° =2cos (10°+60°)12sin20° =4；（2）∵α，β都是锐角，sinα= 45 ，cos （α+β）= 513 ，∴cosα= √1−sin 2α = 35 ，sin （α+β）= √1−cos 2(α+β) = 1213 ， ∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin （α+β）cosα-cos （α+β）sinα = 1213 × 35 - 513 × 45 = 1665 ．【点评】：本题考查两角和与差的三角函数及同角三角函数间的关系，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于基础题．20.（问答题，12分）已知函数f （x ）= √3 sinωx•cosωx+sin 2ωx - 12 （0＜ω＜2），x=- π6 是函数f （x ）图象的一条对称轴．（1）求f（x）的最大值，并写出f（x）取得最大值时自变量x的取值集合；（2）求f（x）在[−π2，π2]的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）化简得f（x）=sin（2ωx- π6），可求得f（x）的最大值及f（x）取得最大值时自变量x的取值集合；（2）依题意，可得2x−π6∈[−7π6，5π6]，令- π2≤ 2x−π6≤ π2，解之可得答案．【解答】：解：（1）f（x）= √3sinωx•cosωx+sin2ωx- 12 = √32sin2ωx+ 1−cos2ωx2- 12=sin（2ωx- π6），∵x=- π6是函数f（x）图象的一条对称轴，∴- πω3 - π6=kπ+ π2（k∈Z），∴ω=-3k-2（k∈Z），又0＜ω＜2，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x- π6），f（x）max=1；当2x- π6=2kπ+ π2（k∈Z），即x=kπ+ π3（k∈Z）时，f（x）取得最大值1；∴f（x）取得最大值时自变量x的取值集合为{x|x=kπ+ π3}，k∈Z；（2）∵ x∈[−π2，π2]，∴ 2x−π6∈[−7π6，5π6]，由- π2≤ 2x−π6≤ π2，得- π6≤x≤ π3，∴f（x）在[−π2，π2]的单调递增区间为[- π6，π3]．【点评】：本题考查正弦函数的图象和性质，考查推理能力与运算求解能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知定义域为R的函数f(x)=−2x+a2x+1+b是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性（只写出结论即可）；（3）若对任意的t∈[-1，1]不等式f（t2-2t）+f（k-t2）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据f（0）=0，f（-1）=-f（1）联立解得a=1，b=2，再验证f（x）的奇偶性；（2）分离常数后可判断出单调递减；（3）经过函数的奇偶性和单调性，将函数不等式变成一次不等式后，用最值解决．【解答】：解：（1）∵f（x）在R上是奇函数，∴f（0）=0，∴ −20+a2+b=0，∴a=1，∴ f(x)=1−2x2x+1+b，∴f（-1）=-f（1），∴ 1−1 21+b =−−14+b，∴b=2，∴ f(x)=1−2x2x+1+2，经检验知：f（-x）=f（x），∴a=1，b=2．（2）由（1）可知，f(x)=−(2x+1)+22(2x+1)=−12+12x+1在R上减函数．（3）∵f（t2-2t）-f（k-t2）＜0对于t∈[-1，1]恒成立，∴f（t2-2t）＜-f（k-t2）对于t∈[-1，1]恒成立，∵f（x）在R上是奇函数，∴f（t2-2t）＜f（t2-k）对于t∈[-1，1]恒成立，又∵f（x）在R上是减函数，∴t2-2t＞t2-k，即k＞2t对于t∈[-1，1]恒成立，而函数g（x）=2t在[-1，1]上的最大值为2，∴k＞2，∴实数k的取值范围为（2，+∞）．【点评】：本题考查了不等式恒成立．属中档题．22.（问答题，12分）已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c ．（1）若函数满足f （x+1）-f （x ）=2x+2，且f （0）=1．求f （x ）的解析式； （2）若对任意x∈R ，不等式f （x ）≥2ax+b 恒成立，求 b 24(a 2+c 2) 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用f （x+1）-f （x ）=2x+2，且f （0）=1，求出a ，b ，c 的值，可得f （x ）的解析式；（2）对任意x∈R ，不等式f （x ）≥2ax+b 恒成立⇒ {a ＞0b 2+4a 2−4ac ≤0，即0≤b 2≤4a （c-a ），于是 b 24(a 2+c 2) ≤ ca −11+(c a )2 ，令t= c a-1，利用基本不等式可求其最大值．【解答】：解：（1）∵f （x ）=ax 2+bx+c ，且f （0）=1，∴c=1；又f （x+1）-f （x ）=a （x+1）2+b （x+1）+1-（ax 2+bx+c ）=2ax+a+b=2x+2， ∴2a=2，a+b=2，解得a=b=1， ∴f （x ）=x 2+x+1；（2）∵f （x ）≥2ax+b⇔ax 2+（b-2a ）x+c-b≥0恒成立， ∴ {a ＞0△=(b −2a )2−4a (c −b )≤0 ，即 {a ＞0b 2+4a 2−4ac ≤0 ， ∴0≤b 2≤4a （c-a ）， ①∴ b 24(a 2+c 2) ≤ 4a (c−a )4(a 2+c 2) = ca −11+(c a )2 ，令t= ca -1，则由 ① 知t≥0，∴ b 24(a 2+c 2) ≤ t 1+(t+1)2 = tt 2+2t+2 ，令g （t ）= tt 2+2t+2 （t≥0）， 当t=0时，g （0）=0； 当t ＞0时，g （t ）=1t+2t+2 ≤ 2√2+2= √2−12 （当且仅当t= 2t ，即t= √2 时取等号），∴ b 24(a 2+c 2) 的最大值为 √2−12 ．【点评】：本题考查函数恒成立问题，考查二次函数解析式的确定及应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．。
2021-2022学年广东省深圳市宝安区高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省深圳市宝安区高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数()f x =） A ．[)()122+∞，， B ．()1+∞， C ．[)12， D ．[)1+∞，【答案】A【分析】由给定函数有意义，列出不等式组求解即得.【详解】函数()f x =1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1≥x 且2x ≠，所以原函数的定义域是[1,2)(2,)⋃+∞. 故选：A2．命题“x ∀∈R ，sin x x >”的否定是（ ） A ．x ∀∈R ，sin x x ≤ B ．x ∀∈R ，sin x x ≥ C ．x ∃∈R ，sin x x > D ．x ∃∈R ，sin x x ≤【答案】D【分析】利用全称量词命题的否定变换形式即可求解. 【详解】∀的否定是∃，sin x x >的否定是sin x x ≤， 故“x ∀∈R ，sin x x >”的否定是“x ∃∈R ，sin x x ≤”， 故选：D3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）A ．()12x =-B ．)340xx ->C 13yD ．()31420x x ⎤=<【答案】B【分析】根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解. 【详解】解：对A ：12x =-，故选项A 错误；对B ：)334410xx x -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故选项B 正确；对C 26y =，26y 不能化简为13y ，故选项C 错误；对D ：因为0x <，所以()()()334412211342x x x ⎧⎫⎪⎤---⎪⎡⎤⎡⎤===⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭，故选项D 错误.故选：B.4．已知集合{}2,1A =-，{}|2B x ax ==，若A B B =，则实数a 值的集合为（ ） A ．{}1- B ．{}2C ．{}1,2-D ．{}1,0,2-【答案】D【分析】A B B =,可以得到B A ⊆，求出集合A 的子集，这样就可以求出实数a 值集合.【详解】A B B B A ⋂=⇒⊆,{}2,1A =-的子集有{}{}{},2,1,2,1φ--， 当B φ=时，显然有0a =；当{}2B =-时，221a a -=⇒=-； 当{}1B =时，122a a ⋅=⇒=； 当{}2,1B =-，不存在a 符合题意， 实数a 值集合为{}1,0,2-， 故选:D.【点睛】本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论. 5．设a ，b ∈R ，0a b <<，则（ ） A ．22a b < B ．b aa b> C ．11a b a>- D ．2ab b >【答案】D【分析】利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可. 【详解】因为0a b <<，则0a b ->->，所以()()22a b ->-，即22a b >，故A 错误； 因为0a b <<，所以0ab >，则10ab>， 所以11a b ab ab⋅<⋅，即11b a <，∴1a a b a >=，1b b b a=>，即b aa b <，故B 错误；∵由()()()11a a b ba b a a b a a b a---==---，因为0,0a b a -<<，所以()0a b a ->，又因为0b <，所以110a b a-<-，即11a b a <-，故C 错误； 由0a b <<可得，2ab b >，故D 正确. 故选：D.6．已知函数()1316f x x +=+，若()3log 103f a =，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】B【分析】首先求出()f x 的解析式，再根据指数对数恒等式得到()10f a =，即可得到方程，解得即可；【详解】解：根据题意，()()13163113f x x x +=+=++，则有()313f x x =+，若()3log 10310f a ==，即31310a +=，解可得1a =-，故选：B ．7．若p ：23x -≤，则p 成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．16x -≤≤ B ．25x -≤≤ C ．15x -<≤ D ．06x ≤≤【答案】C【分析】根据不等式的解法求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，不等式23x -≤，可得323x -≤-≤，解得15x -≤≤， 结合选项，不等式23x -≤的一个充分不必要条件是15x -<≤. 故选：C.8．已知函数()1,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m =∈R 恰有三个不同的实数解a ，b ，c （a b c <<），则()a b c +的取值范围是（ ）. A ．22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．()1,2e -C ．()2,2e -D ．[],2e -【答案】A【分析】画出()f x 的图象，数形结合可得求出. 【详解】画出()f x 的图象．所以方程()()f x m m =∈R 恰有三个不同的实数解a ，b ，c （a b c <<）， 可知m 的取值范围为(]0,1，由题意可知2a b +=-，0ln 11c <+≤， 所以11c e <≤，所以()22-≤+<-a b c e．故选：A. 二、多选题9．已知函数()1cos2f x x =-，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】ABD【分析】根据余弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数()1cos2f x x =-，可得函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，所以A 正确； 令4x π=时，可得cos 2cos02x π==，所以()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以B 正确； 又由()()1cos(2)1cos f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 为偶函数，所以C 不正确； 令222,k x k k Z πππ≤≤+∈，解得,2πππ≤≤+∈k x k k Z ，所以函数()f x 单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以D 正确.故选：ABD.10．若函数()2()3104mf x m m x =-+是幂函数，则()f x 一定（ ）A ．是偶函数B ．是奇函数C ．在(,0)x ∈-∞上单调递减D ．在(,0)x ∈-∞上单调递增【答案】BD【解析】根据函数()2()3104mf x m m x =-+是幂函数，由231041m m -+=求得m ，再逐项判断.【详解】因为函数()2()3104mf x m m x =-+是幂函数，所以231041m m -+=， 解得3m =或13m =， 所以3()f x x =或13()f x x =，由幂函数性质知()f x 是奇函数且单调递增， 故选：BD.11．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在()0,∞+上单调递减，()70f -=，则（ ） A ．()f x 在(),0-∞上单调递减 B ．()80f <C ．()f x 的图象与x 轴只有2个交点D ．不等式()0f x >的解集为()(),70,7-∞-【答案】ABD【分析】根据已知条件，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，且()()()7700f f f =--==，从而对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A ：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在()0,∞+上单调递减，由奇函数的性质有()f x 在(),0-∞上单调递减，故选项A 正确；对B ：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在()0,∞+上单调递减，()70f -=，所以()()770f f =--=，所以()()870f f <=，故选项B 正确；对C ：由题意，()()770f f =--=，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，所以()f x 的图象与x 轴有3个交点，故选项C 错误；对D ：由选项A 、C 可得()0f x >的解集为()(),70,7-∞-，故选项D 正确.故选：ABD.12．若,0a b >且121a b+=，则（ ）A ．当ab 有最小值时，2a =B ．ab 的最小值为9C ．8a b +的最小值为25D ．221412a b +≥ 【答案】ACD【分析】将条件变为2a b ab +=，在利用基本不等式可以解决AB 选项，由“1”的妙用可以解决C 选项，为验证D ，只要验证221412a b +≥，只要看222141122a b a b ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭是否正确.【详解】依题意得，由121a b+=可得2a b ab +=，根据基本不等式2ab a b =+≥两边平方得，()28ab ab ≥，于是8ab ≥，当28a b ab =⎧⎨=⎩，即24a b ==时，ab 的最小值是8，故A 正确，B 错误；()1282881161725b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当12182a b b a ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得552a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时取得等号，故C 正确，2222221411211441120222a b a b a ab b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当121120a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩取等号，故D 正确. 故选：ACD 三、填空题13．若角θ的终边与角67π的终边相同，则在[)0,2π内与角3θ的终边相同的角是______．【答案】22034,,72121πππ【分析】根据角θ的终边与角67π的终边相同,得到627k πθπ=+,再得到3θ,然后由[0,2)3θπ∈列式,根据k Z ∈,可得整数k 的值,从而可得.【详解】∵627k πθπ=+（k Z ∈）， ∴22373k θππ=+（k Z ∈）．依题意，得220273k πππ≤+<（k Z ∈）， 解得31877k -≤<（k Z ∈）， ∴0,1,2k =，∴在[)0,2π内与角3θ的终边相同的角为22034,,72121πππ故答案为22034,,72121πππ 【点睛】本题考查了终边相同的角的表示,属于基础题.14．己知函数()()22xf x f x ⎧⎪=⎨-⎪⎩,3,3x x <≥，则()()5f f =_________．【答案】1【分析】根据分段函数的定义即可求解.【详解】解：因为函数()()22xf x f x ⎧⎪=⎨-⎪⎩,3,3x x <≥，所以()()()215131f f f ====， 所以()()()25111f f f ===，故答案为：1.15．将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度后得到()sin 2g x x =的图象，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】0【分析】根据题意，可知将函数()sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到()y f x =，由函数图象的平移得出()f x 的解析式，即可得出6f π⎛⎫⎪⎝⎭的结果.【详解】解：由题意可知，将函数()sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到()y f x =，则()sin 2sin 263x f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎝⎭，所以sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：0.16．已知函数()f x 图像关于0x =对称，当210x x >≥时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是_____________．【答案】12,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由函数图像关于0x =对称，可得函数()f x 是偶函数，由当210x x >≥时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，可得函数()f x 在[0,)+∞上为增函数，从而将()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭转化为1213x -<，进而可求出x 取值范围【详解】因为函数()f x 图像关于0x =对称， 所以函数()f x 是偶函数，所以()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭可转化为()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭因为当210x x >≥时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立， 所以函数()f x 在[0,)+∞上为增函数， 所以1213x -<，解得1233x <<，所以x 取值范围为12,33⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：12,33⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题17．为了印刷服务上一个新台阶，学校打印社花费5万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是0.45万元，使用x 年时，总的维修费用为()120x x +万元，问：(1)设年平均费用为y 万元，写出y 关于x 的表达式；（年平均费用=总费用年限）(2)这套设备最多使用多少年报废合适？（即使用多少年的年平均费用最少） 【答案】(1)()*50.5N 20x y x x =++∈ (2)最多使用10年报废【分析】（1）根据题意，即可求得年平均费用y 关于x 的表达式； （2）由50.520xy x =++，结合基本不等式，即可求解. (1)解：由题意，设备每年的管理费是0.45万元，使用x 年时，总的维修费用为()120x x +万元，所以y 关于x 的表达式为()()*150.455200.5N 20x xx xy x xx +++==++∈. (2)解：因为*N x ∈，所以50.50.5 1.520x y x =++≥=， 当且仅当520xx =时取等号，即10x =时，函数有最小值，即这套设备最多使用10年报废.18．已知关于x 的函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭.(1)若2ω=，求()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上的值域;(2)存在唯一的实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得函数()f x 关于点(),0t 对称，求ω的取值范围.【答案】(1)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)511(,]33【分析】（1）由2ω=，得到()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解；（2）因为0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得,3323t ππωππω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，结合题意列出不等式，即可求解. (1)解：当2ω=，可得函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，可得22333x πππ-<-≤，则1cos 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)解：因为0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得,3323t ππωππω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭， 因为存在唯一的实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得曲线()cos 03y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭关于点(),0t 对称，所以32232πωπππ<-≤，解得51133ω<≤，所以ω的取值范围即511(,]33. 19．已知函数()29mx nx f x x++=为奇函数，且()110f =．(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在(3,)+∞的单调性并证明； (3)解关于的x 不等式：()410f x -->-．【答案】(1)()29x f x x+=；(2)()f x 在(3,)+∞上单调递增，证明见解析； (3)()()5,00,5-.【分析】（1）由奇函数的定义有()()f x f x -=-，可求得n 的值，又由9(1)101m f +==，可得m 的值，从而即可得函数的解析式；（2）任取1x ，2(3,)x ∈+∞，且12x x <，由函数单调性的定义即可证明函数()f x 在(3,)+∞上单调递增；（3）由（2）知()f x 在(3,)+∞上单调递增，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(,3)-∞-上也单调递增，又()()4104(9)f x f x f -->-⇔-->-，从而利用单调性即可求解. (1)解：因为函数29()mx nx f x x++=为奇函数，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，所以()()f x f x -=-，即2299mx nx mx nx x x-+++=--， 所以0n =，又9(1)101m f +==，所以1m =， 所以29()x f x x+=；(2)解：()f x 在(3,)+∞上单调递增，证明如下： 任取1x ，2(3,)x ∈+∞，且12x x <，则2222121221211212121212129999()(9)()()x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +++-----=-==， 又1x ，2(3,)x ∈+∞，且12x x <，所以120x x >，1290x x ->，120x x -<， 所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以()f x 在(3,)+∞上单调递增； (3)解：由（2）知()f x 在(3,)+∞上单调递增，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(,3)-∞-上也单调递增，令2910x x+=-，解得1x =-或9-因为443x --≤-<-，且(9)10f -=-， 所以()()4104(9)f x f x f -->-⇔-->-，所以49x -->-，解得55x -<<，又0x ≠，所以原不等式的解集为()()5,00,5-. 20．已知奇函数()221x f x a =-+（a 为常数）． (1)求a 的值；(2)若函数()()()21x g x f x k =+-有2个零点，求实数k 的取值范围； 【答案】(1)1(2)()0,1【分析】（1）由奇函数中()00f =求解即可；（2）函数()()()21x g x f x k =+-有2个零点，可转为为也即函数21x y =-与y k =的图象有两个交点，结合图象即可求解(1)由()221x f x a =-+是R 上的奇函数，可得()00f =， 所以021021a a -=-=+，解得1a =，经检验满足奇函数， 所以1a =；(2)函数()()()21x g x f x k =+-有2个零点，可得方程函数210x k --=有2个根，即21x k -=有2个零点，也即函数21x y =-与y k =的图象有两个交点，由图象可知()0,1k ∈所以实数k 得取值范围是()0,121．已知函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()221f x x ax =++，（a 为常数).（1）当x<0时，求()f x 的解析式：(2)设函数()y f x =在[0，5]上的最大值为()g a ,求()g a 的表达式；(3)对于（2)中的()g a ，试求满足()18g m g m ⎛⎫= ⎪⎝⎭的所有实数成的取值集合. 【答案】(1) f(x)＝x 2－2ax ＋1；（2）()51,251026,2a g a a a ⎧≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩;(3){m|m = 或25516m -≤≤- }． 【分析】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x 2－2ax ＋1,再根据函数的奇偶性化简即得函数的解析式.(2)对a 分两种情况讨论，利用二次函数的图像和性质即得()g a 的表达式.(3)由题得018m m m >⎧⎪⎨=⎪⎩ 或582152m m⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解不等式组即得解. 【详解】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x 2－2ax ＋1. 又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝x 2－2ax ＋1.（2）当x ∈[0，5]，f(x)＝x 2＋2ax ＋1，对称轴x ＝－a ，①当－a≥52 ，即a≤－52时，g(a)＝f(0)＝1； ②当－a ＜52，即a ＞－52时，g(a)＝f(5)＝10a ＋26． 综合以上()51,251026,2a g a a a ⎧≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩. （3）由（2）知()51,251026,2a g a a a ⎧≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩， 当a≤－52时，g(a)为常函数，当a ＞－52时，g(a)为一次函数且为增函数． 因为g(8m)＝g(1m )，所以有018m m m >⎧⎪⎨=⎪⎩ 或582152m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得m =或516205m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≤<⎪⎩， 即m 的取值集合为{m|m =或25516m -≤≤-}．【点睛】本题主要考查奇偶函数的解析式的求法,考查函数的最值的求法,考查函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22．设函数()21f x x ax a =++-.(1)求关于x 的不等式()0f x <的解集；(2)若()f x 是偶函数，且[]12,3x ∃∈，[]21,2x ∀∈，()()122250mf x x m m x <-+≠，求m 的取值范围.【答案】(1)当2a <时，{}11x x a -<<-；当2a =时，x ∈∅；当2a >时，{}11x a x -<<- (2)121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】（1）分类讨论，解含参一元二次不等式；（2）先根据()f x 是偶函数，得到0a =，再[]12,3x ∃∈，[]21,2x ∀∈，()()122250mf x x m m x <-+≠转化为()mf x 在[]2,3上的最小值小于()25g x x m x=-+在[]1,2上的最小值，进行求解. (1)()()()11f x x x a =++-，令()0f x =，解得1x =-或1a -当2a <时，11-<-a ，()0f x <的解集是{}11x x a -<<-；当2a =时，11-=-a ，()0f x <的解集是∅；当2a >时，11->-a ，()0f x <的解集是{}11x a x -<<-.(2)因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，解得：0a =.设函数()25g x x m x=-+，因为()g x 在[]1,2上单调递增，所以()()min 151g x g m ==-. 设函数()()()()210h x mf x m x m ==-≠.当0m >时，()h x 在[]2,3上单调递增，则()()min 23h x h m ==，故351m m <-，即12m >，结合0m >得：12m >； 当0m <时，()h x 在[]2,3上单调递减，则()()min 38h x h m ==， 故851m m <-，即13m <-，结合0m <得：13m <- 综上，m 的取值范围为121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
广东省深圳市2024小学数学一年级上学期人教版期末考试(综合卷)完整试卷
广东省深圳市2024小学数学一年级上学期人教版期末考试(综合卷)完整试卷一、填一填（共10小题，28分） (共10题)第(1)题数一数，填一填。
（）个（）个（）个（）个第(2)题看图写数、读数。
写作：______，读作：______。
写作：______，读作：______。
写作：______，读作：______。
第(3)题5个一和1个十合起来是( )，和它相邻的两个数是( )和( )。
第(4)题在括号里填上合适的数。
9－( )＝5 8＋( )＝15 16－( )＝10( )－5＝10 4＋( )＝11 14－( )＝4第(5)题填一填。
（在括号中写上“加”或“减”字）读作：（）加（）等于（）。
读作：（）减（）等于（）。
第(6)题19的个位上是( )，表示( )个( )，十位上是( )，表示( )个( )。
看图填数。
( ) ( ) ( )第(8)题在括号中填入“＞”“＜”或“＝”。
6( )18－5 13( )11＋6 12( )185( )10－5 5＋6( )10 10－3( )4＋2第(9)题大于11而小于13的数是( )。
它的十位上是( )，表示( )个( )，个位上是( )，表示( )个( )。
第(10)题分与合。
二、轻松选择（共4题，12分） (共4题)第(1)题下列动物中最矮的是（）。
A．B．C．第(2)题最难堆起来的是（）。
A．B．C．D．第(3)题小鲨鱼说的这个数是（）。
A．16B．17C．18第(4)题一个数比15大，但又比18小，这个数可能是（）。
A．14B．17C．19三、算一算（共4题，32分） (共4题)第(1)题直接写出得数。
8＋2＝ 9＋8＝ 9－3＝ 8＋6＝ 16－10＋5＝5－5＝ 10＋2＝ 5＋7＝ 9－0＝ 3＋6＋5＝10－7＝ 8＋7＝ 14－10＝ 6＋7＝ 13－3－4＝4＋5＝ 18－8＝ 6＋6＝ 5＋10＝ 9＋3－2＝第(2)题口算。
3－3＝ 3＋4＝ 1＋2＝ 4－3＝ 5－2＝0＋6＝ 4－2＝ 3＋3＝ 2＋5＝ 5－5＝看图列式计算。
2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题含答案
2021—2022学年第一学期质量检测高一年级数学试题班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. 下列函数中与y x =是同一函数的是（ ） （1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（ ） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或36. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2C.4 D. 1或47. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（ ）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD. sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（ ） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S可由公式S =求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 1812. 设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________．15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数， 则实数a 的取值范围为________．16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.17. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >． （1）若A B =∅，求a 的取值范围； （2）若A B A =，求a 的取值范围．19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)πααπαππα⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-的值.20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1xf x x =+． （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）； （2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值.23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2.（Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由.24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式： （2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B2. 下列函数中与y x =是同一函数的是（ ） （1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）【答案】C3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者 【答案】A4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位【答案】B5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（ ） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或3【答案】A6. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2C.4 D. 1或4【答案】C7. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)【答案】B8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（ ）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD.sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】D10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（ ） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)【答案】C11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】C12. 设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________． 【答案】15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】(]2∞－， 16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.【答案】－231617. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．【答案】24:25三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >． （1）若A B =∅，求a 的取值范围； （2）若AB A =，求a 的取值范围．【答案】（1）[]1,2- （2）()(),45,-∞-+∞19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)ααπαππα-- ⎪⎝⎭+-的值. 【答案】（1）35；（2）54-. 20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1x f x x =+． （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．【答案】（1）22,[0,1]1(),[1,0)1x x x f x x x x -⎧∈⎪⎪+=⎨⎪∈-⎪+⎩（2）单调减函数，证明见解析21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）；（2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？【答案】（1）()283,05257,5x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨+>⎪⎩（2）4万件22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值. 【答案】（1）答案见解析，()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）最大值2；最小值2-. 23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2. （Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）12k =（2）0a ≤（3）518m =- 24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式：（2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩；（2）1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭。
2021-2022学年广东省深圳市龙华中学高二年级上册学期第一阶段检测数学试题【含答案】
2021-2022学年广东省深圳市龙华中学高二上学期第一阶段检测数学试题一、单选题1．已知直线l 过点()2,1-，且倾斜角是2π，则直线l 的方程是（ ）. A ．10x y ++= B ．12y x =-C ．20x +=D ．10y -=【答案】C【分析】根据直线l 过点()2,1-，且倾斜角是2π，可求得直线l 的方程. 【详解】由于直线l 过点()2,1-，且倾斜角是2π，则直线l 的方程为2x =-，即20x +=.故选：C.【点睛】本题考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．在空间直角坐标系中，已知(1,0,3)A -，(4,2,1)B -，则AB =（ ）A B C D 【答案】B【分析】求出AB ，进而可得AB .【详解】依题意得()3,2,4AB =-，所以23AB =故选：B.3．已知()1,1,0a =，()1,0,2b =-，且a 与ka b -互相垂直，则k 的值为. A ．12B ．12-C ．1-D ．1【答案】B【分析】先得到ka b -的坐标，再结合向量垂直关系，可得()0a ka b ⋅-=，进而求解即可. 【详解】由题，()()()1,1,01,0,21,,2ka b k k k -=--=+-， 因为a 与ka b -互相垂直，所以()0a ka b ⋅-=， 即()()111020k k ⨯++⨯+⨯-=，解得12k =-.故选：B4．设直线l 的方程为()cos 30y x θθ-+=∈R ，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[)0,πB ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】求出直线l 的斜率的取值范围，结合倾斜角的取值范围可得结果. 【详解】直线l 的方程可化为cos 3y x θ=-，所以，[]tan cos 1,1αθ=∈-， 因为0πα≤<，因此，直线l 的倾斜角α的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：C.5．已知空间四点()1,0,1A -，()0,0,1B ，()2,2,2C ，()0,0,3D ，则cos ,AB CD =（ ） A ．23-B ．23C ．13-D ．13【答案】A【分析】根据空间向量的坐标运算、数量积运算和空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】由题意得，(100)(221)AB CD ==--，，，，，， 所以2221(2)(2)13AB CD ==-+-+=，1(2)0(2)012AB CD ⋅=⨯-+⨯-+⨯=-，所以22cos ==133AB CD AB CD AB CD⋅-=-⨯，， 故选：A6．如图，在三棱锥S —ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足12EG GF =，若SA a =，SB b =，SC c =，则SG =（ ）A ．111326a b c -+B ．111362a b c -+C ．111632a b c -+D ．111366a b c ++【答案】D【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得()1133SG SE EG SE EF SE SF SE =+=+=+-()2121133332SE SF SE SB SC =+=+⋅+ ()111362113626SA SB S a c C b ++=⋅++=. 故选：D7．已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，向量AB ，AD ，1AA 两两的夹角均为60︒，且1AB =，2AD =，13AA =，则1AC =（ ）A ．5B ．6C ．4D ．8【答案】A【分析】利用向量的数量积公式即可求解. 【详解】如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中， 向量AB 、AD 、1AA 两两的夹角均为60， 且1AB =，2AD =，13AA =， ∴11AC AB BC CC =++ ∴()2211AC AB BC CC =++222111222AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++++ 149212cos60213cos60223cos60=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯25=.∴15AC =，故选：A.8．已知直线:210l kx y k +--=与两坐标轴分别交于,A B 两点，如果△AOB 的面积为4，那么满足要求的直线l 的条数是（ ）. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】按照0k =、0k ≠分类，求出截距后列方程即可得解. 【详解】当0k =时，直线:10l y -=，不合题意； 当0k ≠时， 若0x =，则21y k =+，若0y =，则12x k=+， 所以111121244422AOB S k k k k△，所以1448k k或1448k k， 解得12k =或3222k 或3222k ；所以满足要求的直线l 的条数是3. 故选：C.二、多选题9．给出下列命题正确的是（ ） A ．空间中所有的单位向量都相等B ．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C ．若,a b 满足a b >，且,a b 同向，则a b >D ．对于任意向量,a b ，必有a b a b +≤+ 【答案】BD【分析】根据向量的基本概念即可求解. 【详解】对于A ：向量相等需要满足两个条件：长度相等且方向相同，缺一不可，故A 错； 对于B ：根据相反向量的定义可知B 正确； 对于C ：向量是矢量不能比较大小，故C 错； 对于D ：根据三角形三边关系知a b a b +≤+正确； 故选：BD.10．已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是 A ．若12l l //，则m =-1或m =3 B ．若12l l //，则m =3 C ．若12l l ⊥，则12m =-D ．若12l l ⊥，则12m =【答案】BD【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值然后判断．【详解】直线12l l //，则3(2)0m m --=，解得3m =或1m =-，但1m =-时，两直线方程分别为10x y --=，3330x y -++=即30x y --=，两直线重合，只有3m =时两直线平行，A 错，B 正确；12l l ⊥，则230m m -+=，12m =，C 错，D 正确． 故选：BD ．【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件，在由两直线平行求参数时要注意检验，排除两直线重合的情形．如果用斜率求解还需讨论斜率不存在的情形．11．设动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D P D B λ=当APC ∠为钝角时，则实数可能的取值是（ ） A ．12B ．23C ．13D ．1【答案】AB【分析】首先以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，根据题意得到0PA PC ⋅<，再解不等式即可得到答案.【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的边长为1，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,0,1D A =-，()10,1,1D C =-，()11,1,1D B =-， 所以()11,,D P D B λλλλ==-.又因为()()()11,,1,0,11,,1PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---，()()()11,,0,1,1,1,1PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---， 因为APC ∠为钝角，所以0PA PC ⋅<，即()()()()()()()2111=1310λλλλλλλ--+--+---<，解得113λ<<.故选：AB【点睛】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于简单题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点P 的轨迹的长度为2D ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B 所成角正切值的最大值为512+ 【答案】ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN 2=，所以该选项正确；D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，15BO =,所以1PB 的最小值为51-,所以1A P 与平面11BCC B 所成角正切值的最大值为251251+=-.所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于△1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，22112MN =+=，所以点P 的轨迹的长度为2，所以该选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，15BO 所以1PB 51,所以1A P 与平面11BCC B 5151+-所以该选项正确.故选：ACD三、填空题13．已知正四棱锥P ABCD-的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为_____【答案】42 3【分析】求出四棱锥的高，即可得到此四棱锥体积.【详解】设底面正方形两条对角线相交于O点，由题可得,PO⊥底面ABCD.在Rt△AOP中,∵22∴22422AP AO--故13P ABCD ABCDV S PO-=⨯⨯4242【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.14．过两点()222,3A m m +-，()23,2B m m m --的直线l 的倾斜角为o 45，则m =______【答案】-2【分析】根据斜率公式以及斜率的定义即可解出． 【详解】()()()()()()()22232313122112123m mm m m m m m m mm m ---+-===⇒=--+-+---．故答案为：-2．15．已知两点(34)A -，，(32)B ，，过点()10，P 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是___________. 【答案】(][),11,-∞-+∞【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围． 【详解】解：点(3,4)A -，(3,2)B ，过点(1,0)P 的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率PB k k 或PA k k ，PA 的斜率为40131-=---，PB 的斜率为20131-=-， ∴直线l 的斜率1k 或1k -，即(][),11,k ∈-∞-+∞，故答案为：(][),11,-∞-+∞．16．正方体1111ABCD A B C D -的棱上到直线1A B 与1CC 的距离相等的点有4个，其中3个点分别为E ，F ，1D ，如图所示，则直线1AC 与平面1EFD 所成角的正弦值为______.478【分析】建立空间直角坐标系，求出平面法向量，代入公式即可.【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱上到直线1A B 与1CC 的距离相等的点分别E ，F ，1D ，其中点E 为BC 的中点，F 为11B C 的四等分点（靠近1B ）.以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，设4AB =. 现证明F 为11B C 的四等分点（靠近1B ）： 如图所示，连接1AB 交1A B 于O ,连接OF , 则有1FC 为点F 到1CC 的距离，1111422222OB AB ==⨯=由1111111FB A B AB A B AB FB B⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩，可得1A B ⊥平面1FOB ， 所以1A B FO ⊥，所以FO 为点F 到直线1A B 的距离， 设1FC FO t ==，则有 22211OB FB FO +=，即()()222224t t +-=，解得：3t =，即F 为11B C 的四等分点（靠近1B ）.则()2,4,0E ，()3,4,4F ，()10,0,4D ，()4,0,0A ，()10,4,4C ， ∴()1,0,4EF =，()13,4,0D F =,()14,4,4AC =-，设平面1EFD 的法向量(),,n x y z =， 则1·0·0n EF n D F ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即40340x z x y +=⎧⎨+=⎩，取4x =，解得()4,3,1n =--，设直线1AC 与平面1EFD 所成的角为θ， 则直线1AC 与平面1EFD 所成角的正弦值为： 1478sin cos ,39n AC θ==. 故答案为：47839.四、解答题17．（1）求经过点()1,3P -和点()3,2Q 的直线的方程； （2）求经过点()1,3P -且倾斜角为3π4的直线方程. 【答案】（1）4110x y +-=；（2）20x y +-=.【分析】（1）（2）求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】解：（1）直线PQ 的斜率为321134PQ k -==---， 因此，直线PQ 的方程为()3314y x -=-+，即4110x y +-=； （2）由题意可知，所求直线的斜率为3πtan14=-， 故所求直线方程为()31y x -=-+，即20x y +-=. 18．已知直线l 的方程为260x y +-=．（Ⅰ）直线1l 与l 垂直，且过点（1，-3），求直线1l 的方程；（Ⅱ）直线2l 与l 平行，且直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线2l 的方程． 【答案】（1）250x y --=（2）直线2l 的方程为：240x y ++=或240x y +-=【详解】试题分析：（1）由直线1l 与l 垂直，可设直线1l 的方程为：20x y c -+=，将点()1,3- 代入方程解得5c =-，从而可得直线1l 的方程；(2)由直线2l 与l 平行，可设直线2l 的方程20x y c ++=，由直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，解得4c =±可得直线2l 的方程. 试题解析：（1）设直线1l 的方程为：20x y c -+= 直线1l 过点（1，-3），()2130c ∴⨯--+= 解得5c =-∴直线1l 的方程为：250x y --=．(2)设直线2l 的方程为：20x y c ++=令0x =，得2c y =-；令0y =，得x c =- 则1422cs c =--=，得4c =±∴直线2l 的方程为：240x y ++=或240x y +-=．19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，2PD AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点.(1)求证：PA ∥平面MNC ；(2)求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析； (2)16.【分析】(1)利用中位线定理证明P A ∥MN ，然后由线面平行的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面MNC 的法向量，由向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）∵M ，N 分别为AD ，PD 的中点， ∴P A ∥MN ，又PA ⊂平面MNC ，MN ⊂平面MNC ， 故P A ∥平面MNC ；（2）由题可知DA 、DC 、DP 两两垂直，故以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：设24PD AD ==，则(2B ，2，0)，(0C ，2，0)，(0P ，0，4)，(1M ，0，0)，(0N ，0，2)， ∴(2,2,4),(0,2,2),(1,0,2)PB NC MN =-=-=-， 设平面MNC 的法向量为(,,)n x y z =，则20220n MN x z n NC y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩，令1y =，则1z =，2x =， 故(2,1,1)n =， ∴||21|cos ,|6||||4416411PB n PB n PB n ⋅<>===++⨯++，故直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为16.20．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，12AA =，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点.(1)求证：EF BD ⊥；(2)求点F 到平面BDE 的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)33【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，证明出0EF DB ⋅=，即可证得结论成立；（2）计算出平面BDE 的法向量，利用空间向量法可求得点F 到平面BDE 的距离.【详解】（1）解：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D 、()1,1,0B 、()10,0,2D 、()0,1,1E 、11,,122F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以，11,,022EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,0DB =，则11022EF DB ⋅=-=，因此，EF BD ⊥.（2）解：设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，()0,1,1DE =， 则00n DB x y n DE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =可得()1,1,1n =-，所以，点F 到平面BDE 的距离为133EF n d n⋅===21．如图，在三棱锥-P ABC 中，侧面PAC 是等边三角形，AB BC ⊥，PA PB =．（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若2AC AB =，点M 在棱PC 上，且二面角M AB C --的大小为45，求PMPC． 【答案】（1）证明见解析；（2）13PM PC = 【分析】（1）设AC 的中点为O ，得PO AC ⊥，利用已知条件可证明POA ≅POB POC ≅，可得PO OB ⊥，进而可证PO ⊥面ABC ，利用面面垂直的判定定理即可求证；（2）作OD AC ⊥于点O ，建立如图所示的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，设PM PC λ=，求出平面MAB 的一个法向量m ，ABC 的一个法向量()0,0,1n =，由题意知：2cos 45cos ,2m n m n m n⋅===⨯，求得λ的值即可求解. 【详解】（1）设AC 的中点为O ，连接PO ，BO ， 在等边PAC △中，可得PO AC ⊥， 在Rt ABC △中，有OA OB OC ==，又因为PA PB PC ==，所以POA POB POC ≅≅， 所以90POB POA ∠∠==，即PO OB ⊥，又因为PO AC ⊥，AC OB O =，所以PO ⊥面ABC ， 又因为PO ⊂面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若2AC AB =，点M 在棱PC 上，且二面角M AB C --的大小为45，求PMPC． 不妨设4PA =，在Rt ABC △中，1cos 2AB CAB AC ∠==，所以60CAB ∠=， 在底面ABC 内作OD AC ⊥于点O ，则,,OD OC OP 两两垂直，以点O 为原点，以OD 所在的直线为x 轴，以OC 所在的直线为y 轴，以OP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图： 则()0,2,0A -，()3,1,0B -，()0,2,0C ，()0,0,23P ，所以()3,1,0AB =，()0,4,0AC =，()0,2,23AP =，()0,2,23PC =-，设()0,2,23PM PC λλλ==-()01λ≤≤，则()0,22,2323AM AP PM λλ=+=+-， 设平面MAB 的一个法向量为(),,m x y z =， 所以()()302223230m AB x y m AM y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，令1x λ=-可得33y λ=-，1z λ=--，所以()1,33,1m λλλ=----， 平面ABC 的一个法向量()0,0,1n =，所以()()()22212cos 45cos ,21331m n m n m nλλλλ⋅+====⨯-+-++，整理可得：231030λλ-+=，即()()3130λλ--=， 所以13λ=或3λ=（舍）所以13PM PC =，所以13PM PC =. 22．如图，三棱柱111ABC A B C 的侧面11BB C C 是菱形，1ABB ABC ∠=∠．（1）求证：1B C ⊥平面1ABC ；（2）若112BB B C ==，1AB AC =，且二面角1B AB C --为直二面角，求三棱锥11C ABB -的体积．【答案】（1）证明见详解；（2【分析】（1）记1BC 与1B C 的交点为O ，连接AO ；根据题中条件，得到11BC B C ⊥；再证1ABB ABC ≅，得到1AC AB =，推出1AO B C ⊥；根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）过点O 作OP AB ⊥于点P ，连接1PB 、PC ，根据线面垂直的判定定理，先证AB ⊥平面1PB C ；得到1B PC ∠即为二面角1B AB C --的平面角，再证AO ⊥平面11BB C C ，结合题中条件，求出AO ，根据1111C ABB A C BB V V --=，即可求出三棱锥的体积. 【详解】（1）记1BC 与1B C 的交点为O ，连接AO ；因为侧面11BB C C 是菱形，所以O 为1B C 的中点，1BB BC =，11BC B C ⊥； 由1ABB ABC ∠=∠，1BB BC =，BA BA =可得，1ABB ABC ≅， 因此1AC AB =，即1ACB 为等腰三角形，所以1AO B C ⊥； 因为1BC AO O =，1BC ⊂平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ；（2）过点O 作OP AB ⊥于点P ，连接1PB 、PC ， 因为AB ⊂平面1ABC ，由（1）可知1B C AB ⊥；因为1B C PO O ⋂=，1B C ⊂平面1PB C ，PO ⊂平面1PB C ， 所以AB ⊥平面1PB C ；因为PC ⊂平面1PB C ，1PB ⊂平面1PB C ， 所以AB PC ⊥，1AB PB ⊥，则1B PC ∠即为二面角1B AB C --的平面角，所以190B PC ∠=︒； 因为1ABB ABC ∠=∠，1BB BC =，BP BP =，所以1PBB PBC ≅， 因此1PB PC =；所以145CPO B PO ∠=∠=︒，又因为112BB B C ==，所以1OP OC ==，1PB PB =22OB BC OC 3=-=，因为1AB AC =，所以1AO BC ⊥， 又1AO B C ⊥，11B CBC O =，1B C ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以AO ⊥平面11BB C C ，因此16tan tan 3322OP AO OB ABO OB PBO PB =∠=∠=⨯=⨯=， 所以三棱锥11C ABB -的体积为11111111111162231332622C ABB A C BB C BB V V SOA BC OB OA --==⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=.【点睛】方法点睛：证明空间位置关系时，可根据判定定理以及性质定理，结合题中条件直接进行证明；也可根据题中条件，建立适当的空间直角坐标系，得出所需直线的方向向量、平面的法向量， 由空间位置的向量表示，即可证明结论成立.。
(完整word版)深圳小学数学一年级上期末试卷及答案期末复习整理卷及答案
(完整word版)深圳小学数学一年级上期末试卷及答案期末复习整理卷及答案深圳小学数学一年级上期末试卷时间：60分钟总分：100分注意事项：1.答卷前请将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡指定位置。
2.试卷共4个大题，满分100分，答案必须写在答题卡上，否则无效。
3.请将答案写清楚，不要有遗漏或错误。
一、选择题（20分）请将答案写在答题卡上。
1. 下列哪个数字是奇数？A. 2B. 4C. 52. 4 + 6 = ?A. 8B. 9C. 103. 下列形状中，不是正方形的是：A. □B. △C. ■4. 请选出和“香蕉”同类的水果：A. 苹果B. 香瓜C. 西瓜5. 比6小的数字有：A. 7、8B. 5、7C. 5、6二、填空题（30分）请将答案写在答题卡上。
1. 3 + 4 = _________2. “12” 中数字“1”的意思是 __________3. 请写出10以内的连续数字：__________4. 请将阿拉伯数字11改写成中文数字：____________5. 请用天平判断下列物体哪一个较重：盒子A：_____克盒子B：_____克三、解决问题（30分）请将答案写在答题卡上。
1. 老师给小明发了8颗苹果，小明又去市场上买了3颗苹果，请问小明一共有多少颗苹果？2. 小华有5只红球和3只蓝球，小明有6只红球和2只蓝球，他们一共有多少只球？3. 小丽家有7只玩具狗和5只玩具猫，请问她家一共有多少只玩具？四、判断题（20分）请将答案写在答题卡上，正确的用“√”表示，错误的用“×”表示。
1. 1 + 3 = 52. 2 * 4 = 83. 圆形的形状是矩形。
4. 学校有30个学生，其中有20个是男生，根据这个信息可以得出学校男生比例为2/3。
5. 10以内的奇数有5个。
答案及解析请见答题卡。
祝您考试顺利！。
广东省惠州市龙华中学2021-2022学年高一数学理期末试题含解析
广东省惠州市龙华中学2021-2022学年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得()A．a?，b? B．a?，b⊥ C．a⊥，b⊥ D．a?，b∥参考答案：D2. 已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为，，若对任意，恒有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. . D.参考答案：A【详解】试题分析：是方程的两个不等实根，结合图象可知，当时，，所以恒成立，故，在恒成立，故函数在定义域内是增函数，所以.①，又因为是方程的两个不等实根，则，代入①化简得：，由对任意的，成立，得：，结合，得，故实数a 的取值范围是；考点：1.函数的单调性；2.求函数最大值；3.分离参数解决恒成立问题；3. 已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且在区间上是单调递增，若，则的取值范围是（---)A. （0，1）B. （0，10）C. （0，5）D. （0，9）参考答案：B略4. 在四边形 ABCD 中，则四边形 ABCD 是（）A 矩形 B菱形 C 直角梯形 D等腰梯形参考答案：B5. 下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.参考答案：A6. 已知直线ax+by+c=0的图象如图，则（）A. 若c>0，则a>0，b>0B. 若c>0，则a<0，b>0C. 若c<0，则a>0，b<0D. 若c<0，则a>0，b>0参考答案：D由ax+by+c=0，得斜率k=- ，直线在x，y轴上的截距分别为-，- . 如图，k<0，即- <0，所以ab>0，因为->0，- >0，所以ac<0，bc<0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0;故选D. 7. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣C．D．2参考答案：D【考点】循环结构．【分析】i=0，满足条件i＜4，执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．【解答】解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=满足条件i＜4，执行循环体，i=2，s=﹣满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=﹣3满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D8. 下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．cos2﹣sin2C．D．参考答案：D【考点】二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】A，B选项通过二倍角公式求得结果均不为，C项代入cos也不得．【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，排除A项．cos2﹣sin2=cos=，排除B项．==，排除C项由tan45°=，知选D．故选D9. 圆心为（－1， 2），半径为4的圆的方程是（）A．(x+1)2 +(y－2) 2 =16 B．(x－1)2 +(y+2) 2 =16 C．(x+1)2 +(y－2) 2 =4 D．(x－1)2 +(y+2) 2 =4 参考答案：A略10. 如果关于x的不等式(a－1)x2＋2(a－1)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）(A) (B) (C) (D)(－3,1)参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为，且，，则∠A 的弧度为__________．参考答案：【分析】利用三角形的面积公式求出的值，结合角为锐角，可得出角的弧度数.【详解】由三角形的面积公式可知，的面积为，得，为锐角，因此，的弧度数为，故答案为：.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.12. 若函数f （x ）=（x ﹣a ）（x+3）为偶函数，则实数a 等于 ．参考答案：3【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据偶函数f （x ）的定义域为R ，则?x∈R，都有f （﹣x ）=f （x ），建立等式，解之即可． 【解答】解：因为函数f （x ）=（x ﹣a ）（x+3）是偶函数， 所以?x∈R，都有f （﹣x ）=f （x ）．所以?x∈R ，都有（﹣x ﹣a ）?（﹣x+3）=（x ﹣a ）（x+3） 即x 2+（a ﹣3）x ﹣3a=x 2﹣（a ﹣3）x ﹣3a 所以a=3． 故答案为：3【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．13. 为了解高三女生的身高情况，从高三女生中选取容量为的样本（名女生身高，单位：），分组情况如下：则=____________________ 参考答案：14. 已知函数在是单调递减函数，则实数的取值范围是 ▲ .参考答案：15. 函数在R 上的最大值为 ．参考答案：1【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】当x≠0时，═令，t∈R，原函数化为g （t ）=，可得原函数的最大值．．【解答】解：1）当x=0时，f （x ）=0；2）当x≠0时，═，令，t∈R，原函数化为g （t ）=，又因为t+或为t+，原函数的最大值为1． 故答案：1．16. （5分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有个直角三角形．参考答案：4考点：棱锥的结构特征．专题：证明题．分析：本题利用线面垂直，判定出线线垂直，进而得到直角三角形，只需证明直线BC⊥平面PAC问题就迎刃而解了．解答：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．故答案为：4点评：本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．17. 设为锐角，若cos(+ )= ,则sin(2+)的值为___________。
2021-2022学年广东省深圳市龙华区一年级上学期期末数学试卷
2021-2022学年广东省深圳市龙华区一上期末数学试卷1.填空1个十和8个一合起来是．2.填空15的十位上是，个位上是3.填空说一说．（1）图中共有种水果．（2）在的边，在的边．（3）在的边，在的边．4.解决问题下面两个小朋友谁说对了？请在正确的说法下的▫里画上“√”．5.画一画给下面的学习用品画上“√“，体育用品画上“○”．6.画一画我会画．7.画一画我会比．(1) 最高的画“√”，最矮的画“○”．(2) 最重的画“√”，最轻的画“○”．8.解决问题7+7= 9−5= 12+5= 6+8=4−4= 8+0= 10+6= 18−8=8+12= 7+10= 11+2= 14−2= 16−0= 10+3= 17−5= 19−6=9.比大小在○里填上“＞”“<”或“=”．18○166+3○915−3○181○109+9○1513−3○910.解决问题将钟面与其表示的时间连起来．5:30 3时半 10:00 6时11.连线将相同的形状连起来．12.填空在下图中，一共有个图形，有个，有个，有个，有个．13.列式计算原来车上有9人，现在车上有多少人？▫+▫−▫=▫（人）14.列式计算根据图片回答问题．(1) 还剩多少根胡萝卜？▫−▫=▫（根）(2) 天上一共有几只鸟？▫+▫+▫=▫（只）答案1. 【答案】182. 【答案】1；53. 【答案】9；右；左；上；下4. 【答案】5. 【答案】6. 【答案】7. 【答案】(1)(2)8. 【答案】7+7=14 9−5=4 12+5=17 6+8=144−4=0 8+0=8 10+6=16 18−8=108+12=20 7+10=17 11+2=13 14−2=1216−0=16 10+3=13 17−5=12 19−6=139. 【答案】＞；＝；＜；＜；＞；＞10. 【答案】5:30 3时半 10:00 6时11. 【答案】12. 【答案】10；2；2；3；313. 【答案】9+4−3=10（人）14. 【答案】(1) 17−4=13（根）(2) 2+4+1=7(只）。
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2021-2022学年广东省深圳市龙华区高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}13A x x =≤<，{}3192B x x x =->-，则A B =（ ） A ．{}12x x ≤< B ．{}12x x ≤≤ C ．{}23x x << D ．{}23x x ≤<【答案】C【分析】解出集合B 中的不等式，求与集合A 的交集即可. 【详解】集合{}{}31922B x x x x x =->-=>， 因为{}13A x x =≤<，所以{}23A B x x ⋂=<<. 故选：C.2．1095︒的终边落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】找到与1095︒终边相同的角，即可看出在第几象限.【详解】因为1095360315︒=⨯+︒，所以1095︒的终边与15︒终边相同，故落在第一象限. 故选:A3．“3a >”是“一元二次方程210x ax ++=有实数根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据一元二次方程根的个数结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】一元二次方程210x ax ++=有实数根，则240a ∆=-≥，解得2a ≤-或2a ≥，即“3a >”是“一元二次方程210x ax ++=有实数根”的充分不必要条件. 故选：A4．下列函数中与函数y x =是同一个函数的是（ ）A ．yB ．uC ．2n m n=D ．2log 2t s =【答案】B【分析】分别从函数的定义域，对应法则和值域进行判断即可求解. 【详解】函数y x =定义域为R ，值域也为R .对于A ，函数2y x x ==的定义域为R ，值域为[0,)+∞，对应法则也不相同，故选项A 不满足题意；对于B ，函数33u v v ==的定义域为R ，值域也为R ，对应法则相同，故选项B 满足题意；对于C ，函数2(0)n m n n n ==≠定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞，故选项C 不满足题意；对于D ，函数2log 2(0)t s t t ==>定义域为(0,)+∞，值域为(0,)+∞，故选项D 不满足题意， 故选：B .5．如图，四边形ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=︒，AD BC ∥，AD a =，BC b =．若M ，N 分别在AB ，CD 上，MN BC ∥，且MN 把直角梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则MN =（ ）A ．2aba b + B ．abC ．2a b+ D ．222a b + 【答案】D【分析】过A 点作AF DC 交MN 于E ，交BC 于F ，由相似三角形和面积相等建立等量关系求解即可.【详解】如图所示，过A 点作AFDC 交MN 于E ，交BC 于F ，设MN c =，AM m =，AB n =， 因为AME ABF ，所以ME AMBF AB=即c a m b a n -=-，解得()c a n m b a -=-， 因为22()()()()222()ADNMa c m a c c a n c a n Sb a b a ++--==⨯=--，()2ABCD a b nS +=，且2ABCD ADNM S S =，所以22()()222()a b n c a n b a +-=⨯-，解得222a b c +=， 故选：D6．当π(0,]3x ∈时，函数1cos 2()sin 2x f x x -=的最大值是（ ）A ．33B ．1C ．3D ．2【答案】C【分析】化简()f x 的解析式，根据正切函数的单调性求得正确答案.【详解】由于()2112sin 1cos 2()tan sin 22sin cos x x f x x x x x ---===，而()tan f x x =在区间π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 所以()f x 的最大值是π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C7．如图为某质点简谐运动的部分图像，它符合函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，22ππϕ-<<）的形式，则（ ）A ．2A =，1ω=，6πϕ=-B ．2A =，1ω=，3πϕ=-C ．2A =，2ω=，6πϕ=-D ．2A =，2ω=，3πϕ=-【答案】D【分析】由题知2A =，122T π=，进而得2sin(2)y x ϕ=+，再代入点5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭即可得3πϕ=-，进而得答案.【详解】解：由题知2A =，1115212122T πππ=-=， 所以2T ππω==，解得2ω=，所以，2sin(2)y x ϕ=+，再将5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得522sin 212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，解得2,Z 3k k πϕπ=-+∈， 因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-，所以，2A =，2ω=，3πϕ=-故选：D8．已知3log a π=，log 3b π=，0.3log e c =（e 是自然对数的底数），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】A【分析】利用对数函数的单调性判断.【详解】解：因为33log log 31a π=>=，0log 3log 1b πππ<=<=，0.30.3log e log 10c =<=， 所以a b c >>， 故选：A二、多选题9．在同一坐标系中，对于函数2()f x x =与()2x g x =的图象，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 与()g x 有两个交点B ．00x ∃>，当0x x >时，()f x 恒在()g x 的上方C ．()f x 与()g x 有三个交点D ．00x ∃>，当0x x >时，()g x 恒在()f x 的上方 【答案】CD【分析】通过试值找到两函数在0x >时两个关键的交点坐标()()2,4,4,16，从而在同一坐标系中作出两函数图像， 通过图像即可判断选项.【详解】()()11,12f g ==，()()224f g ==，()()39,38f g ==，()()4416f g ==，()()525,532f g ==，则可在同一坐标系内作出两函数图像如下图所示：显然两函数有三个交点,,A B C ，故A 错误，C 正确，由图易得当>4x 时，()g x 恒在()f x 的上方，故B 错误，D 正确， 故选：CD.10．将函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把它向右平移π3个单位，得到函数()f x 的图像，则下列是()y f x =对称轴的是（ ） A ．5π6x =- B ．π6x = C ．7π24x =-D ．7π6x =【答案】ABD【分析】由图像变换求解函数解析式，整体代入法求对称轴方程.【详解】函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，再把它向右平移π3个单位，得到函数π()cos 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，令ππ,Z 6x k k -=∈，解得()y f x =对称轴方程为ππ,Z 6x k k =+∈， 当1k =-时，对称轴为5π6x =-；当0k =时，对称轴为π6x =；当1k =时，对称轴为7π6x =. 故选：ABD11．已知()f x 的定义域是R ，()f x 既是奇函数又是减函数．若a ，R b ∈，且0a b +<，则（ ） A ．()0f a b +> B ．()()0f a f b +< C ．()0f a b +< D ．()()0f a f b +>【答案】AD【分析】根据()f x 定义域为R ，且其既是奇函数又是减函数，可知()00f =，结合0a b +<即可判断A,C 选项，0a b +<,则a b <-，结合其单调性和奇偶性得到()()f a f b >-，即可判断B,D 选项. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()f x 既是奇函数又是减函数，则()00f =，0a b <+，()()00f a b f ∴+>=，故A 正确，C 错误，0a b +<,则a b <-,又()f x 是在R 上单调递减的奇函数,()()f a f b ∴>-,即()()f a f b >-, ()()0f a f b ∴+>，故D 正确，B 错误.故选：AD.12．提鞋（斜）公式，也叫李善兰辅助角公式，是我国19世纪著名数学家李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，其正弦型如下：22sin cos sin()a x b xa b x，其中ππϕ-<≤．若0tan b aϕ=，0π(0,)2ϕ∈，则下列判断正确的是（ ）A ．当0a >，0b >时，0ϕϕ=B ．当0a <，0b >时，0πϕϕ=-C ．当0a >，0b <时，0ϕϕ=-D ．当0a <，0b <时，0πϕϕ=- 【答案】AC【分析】根据两角和正弦公式求出ϕ的表达式后根据,a b 的正负分类讨论可得．【详解】sin cos )a x b x x x +=+，设cos ϕ=sin ϕ=ππϕ-<≤，则22sin cos sin()a x b xa b x，sin tan cos baϕϕϕ==，若0,0a b >>，则02πϕ<<，此时0tan tan ϕϕ=，002πϕ<<，0ϕϕ=，A 正确；若0,0a b <>，则2ϕπ<<π，00tan tan tan()ϕϕπϕ=-=-，02ππϕπ<-<，0πϕϕ=-，B 错；若0,0a b ><，则02πϕ-<<，00tan tan tan()ϕϕϕ=-=-，002πϕ-<-<，0ϕϕ=-，C 正确；若0,0a b <<，则2ππϕ-<<-，00tan tan tan()ϕϕϕπ==-，02ππϕπ-<-<-，0πϕϕ=-，D 错误．故选：AC ．三、填空题13．已知0a >，计算：211362a a a ÷=_____________． 【答案】a【分析】利用幂的运算性质直接求得. 【详解】211211362362a a a a a +-=÷=. 故答案为：a14．已知α为第二象限的角，且1cos 3α=-，则()sin πα+=_____________．【答案】 【分析】由同角三角函数关系及诱导公式可得答案.【详解】因α为第二象限的角，则sin 0α>，又22sin cos 1αα+=，1cos 3α=-，则sin α=又由诱导公式，得()sin πsin αα+=-=-故答案为： 15．已知函数()21,02,0x x f x x m x ⎧+≥=⎨+<⎩是增函数，则实数m 的取值范围是_____________．【答案】(,2]-∞【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得m 的取值范围. 【详解】由于()f x 在R 上递增， 所以02021m ⨯+≤+，即2m ≤， 所以m 的取值范围是(,2]-∞. 故答案为：(,2]-∞16．煤油在作为喷气发动机的燃料之前需通过黏土除去其中的污染物．某种煤油中污染物的含量为0p ，测得这种煤油通过 m x 的圆形黏土管道后污染物的含量p 如下表：若要使这种煤油中污染物的含量不超过原来的2％，则至少需要_______m 的圆形黏土管道．（参考数据：lg 20.3≈） 【答案】17【分析】根据表格得到00.8xp p =⋅，解不等式00.8x p ⋅02%p ≤⋅，可得结果.【详解】由表可知，00.8xp p =⋅，由00.8xp p =⋅02%p ≤⋅，得0.82%x ≤，两边取常用对数得2lg 0.8lg100x ≤，得lg 22lg81x -≥-lg 223lg 21-=-0.3230.31-≈⨯-17=. 所以若要使这种煤油中污染物的含量不超过原来的2％，则至少需要17m 的圆形黏土管道． 故答案为：17四、解答题17．立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台——支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究．随机调查了1000名市民，结果显示：使用支付宝的有456人，使用微信支付的有783人，两种都使用的有298人．(1)只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？(2)两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程） 【答案】(1)158人 (2)59人【分析】（1）由题意“使用支付宝”的去掉“两种支付方式都使用”的即为“只使用支付宝不使用微信支付”的人.（2）由题意分别得出“只使用微信支付不使用支付宝”， “只使用支付宝不使用微信支付” “两种支付方式都使用”，由总人数减去“至少使用一种移动支付方式”即可的结果.【详解】（1）因为“使用支付宝”的有456人，“两种支付方式都使用”的有298人， 所以“只使用支付宝不使用微信支付”的有456298158-=（人）. （2）同理，“只使用微信支付不使用支付宝”的有783298485-=（人）， 所以，“至少使用一种移动支付方式”的有485158298941++=（人）， 故“两种移动支付方式都不使用”有100094159-=（人）. 18．已知函数()log a f x x =（0a >，1a ≠），且()(4)4f a f a +=． (1)求实数a 的值；(2)解关于x 的不等式：2()4()50f x f x --<． 【答案】(1)2a = (2)1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）由()(4)4f a f a +=，代入函数解析式解方程； （2）换元法先解二次不等式，再求解对数不等式.【详解】（1）由()(4)4f a f a +=得4l log 42log 4og a a a a a +=+=， 所以log 42a =，即24a =， 因为0a >，所以2a =.（2）令()t f x =，不等式转化为2450t t --<， 即()()150t t +-<，解之得15t -<<， 即21log 5x -<<，而221log 1-=，25log 32=，所以132 2x<<故该不等式的解集为1322x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭..19．如图，以O为圆心，半径为2的圆与x轴正半轴相交于点A，质点P在圆周上逆时针运动，其初始位置为0(3,1)P-，角速度为2rad/s．(1)求点P的纵坐标y关于时间t（单位：s）的函数解析式；(2)求在60s内（即[0,60]t∈），质点P经过点A的次数．【答案】(1)π2sin26 y t⎛⎫=-⎪⎝⎭(2)20【分析】(1)先求出t时刻后，P经过的角度为ππ2266t t⨯-=-，然后再根据三角函数求解.(2)根据函数的周期计算.【详解】（1）由0(3,1)P-得0π6AOP∠=，因为质点P运动的角速度为2rad/s，所以t时刻后，P经过的角度为ππ2266t t⨯-=-，故P的纵坐标π2sin26 y t⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）由（1）知周期2ππ2T==，而19π<60<20π所以质点P至少经过点A达19次，因为质点P从0P到达A至少需要πs 12，而π6019π>12-，即第20个周期可以到达点A，所以质点P 经过A 点的次数为20.20．已知函数22()22x xx xf x ---=+． (1)判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)判断()f x 的单调性，并用定义法给予证明．【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)()f x 是R 上的增函数.，证明见解析【分析】（1）利用奇偶性的定义进行证明；（2）结合指数函数单调性及复合函数单调性法则判断，再利用单调性的定义进行证明.【详解】（1）因为()f x 的定义域是R ，且当R x ∀∈时，()()2222x xx xf x f x ----==-+， 故()f x 是奇函数；（2）变形得()22414122122414141x x x x x x x x x f x ----+-====-++++， 令41=+x t ，则()21f t t=-， 因为41=+x t 在R 上是增函数，()1,t ∈+∞，又()21f t t=-在(1,)+∞上是单调递增， 所以()f x 是R 增函数，下面用定义法证明：任取两个实数1x ，2R x ∈，且12x x <，则12()()f x f x -=()()()1221122442241414141x x x x x x --=++++， 因为12x x <，所以1244x x ，所以12440x x ，又12410,410x x +>+>，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，故()f x 是R 上的增函数.21．已知函数π()sin cos(+)cos 2f x x x x x =．(1)求()f x 的单调递减区间；(2)若不等式()2f x m -<在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)π2π[π,π]63k k ++（Z k ∈） (2)()3,12-【分析】（1）利用诱导公式以及三角恒等变换公式化简函数()f x 的解析式，根据正弦函数的递减区间列式可得结果；（2）根据函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性求出函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，将不等式()2f x m -<在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，化为2()2m f x m -<<+在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，再利用()f x 的最值列式可求出结果. 【详解】（1）因为2cos 21()sin cos 22x f x x x x x -=-=， 所以π1()sin(2)62f x x =+-， 令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+，Z k ∈， 解得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈， 即()f x 的单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++（Z k ∈）. （2）当π[0,]6x ∈时，πππ2[,]662x +∈，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 当ππ[,]62x ∈时，ππ7π2[,]626x +∈，所以()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； 因为(0)0f =，π1()62f =，π()12f =-， 所以()f x 的值域是1[1,]2-， 又由()2f x m -<在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，得2()2m f x m -<<+在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 得21122m m -<-⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312m -<<. 所以实数m 的取值范围是()3,12-. 22．已知()ln(1)f x x =-，29()22g x x x =-+-．(1)分别画出()y f x =、()y g x =的图象（不必写出画法，请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑）；(2)用二分法求函数()()()h x f x g x =-的零点0x （精确度为0.3）；(3)1x ∀>，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()max{(),()}M x f x g x =，当方程()M x a =有三个不同的实数根时，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)0x 可取[]3.5,3.75中的任一个值 (3)349,216⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据对数函数和二次函数的性质和图象即可得出答案； （2）因为()()0f x g x -=可以等价于()y f x =与()y g x =的交点问题，由图知，因为(3)(3)f g <，(4)(4)f g >，所以0[3,4]∈x ，再由二分法的定义即可求出函数()()()h x f x g x =-的零点0x ； （3）因为方程()M x a =可转化为()y M x =与y a =的交点问题，结合图象即可得出答案.【详解】（1）（注意画图象的细节，如ln(1)y x =-的渐近线，1ln62<<，2922y x x =-+-的最大值为1316，与x 轴的交点为1(,0)2，(4,0)，图象画得不够准确，适当扣分.） （2）因为()()0f x g x -=可以等价于()y f x =与()y g x =的交点问题，由上图知，因为(3)(3)f g <，(4)(4)f g >，所以0[3,4]∈x ，因为()3.5ln2.51f =<，()3.5 1.51g =>，即()()3.5 3.5f g <，所以[]0 3.5,4x ∈，又因为()3.75ln2.751f =>，()133.75116g =<， 即()()3.75 3.75f g <，所以[]0 3.5,3.75x ∈，而3.75 3.50.250.3-=<，所以0x 可取[]3.5,3.75中的任一个值. （3）因为方程()M x a =可转化为()y M x =与y a =的交点问题，如图，因为()312g =，323ln 2.75ln e 2=<==， 所以()()003ln 1ln2.752f x x =-≤<， 所以()()01g f x >，又()max 4916g x =，所以当349216a <<，()y M x =与y a =有三个交点， 所以实数a 的取值范围是349,216⎛⎫ ⎪⎝⎭.。