初中数学学习中的解题技巧——数形结合

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以形助数-以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用

以形助数，以数解形—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。

笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合初中数学数学应用数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。

因此,笔者结合数学教学实际，探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。

”［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。

利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。

数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形问题，借助几何知识加以解决，使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。

正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。

数形结合思想在初中数学解题中的应用

数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。

在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。

本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。

1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。

数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。

例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。

2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。

例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。

3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。

4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。

结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。

教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。

数形结合思想在初中数学中的解题应用

数形结合思想在初中数学中的解题应用初中数学是学生转变学习方式的重要阶段，其中数形结合思想在解题过程中发挥着重要的作用。

数形结合思想是指通过几何形状和图形来解决数学问题，它能够帮助学生更好地理解抽象的数学概念，提高解题的效率和准确性。

本文将探讨数形结合思想在初中数学中的具体应用。

一、面积与周长的关系数形结合思想常常被用来解决与面积和周长相关的问题。

例如，给定一个矩形的周长为24厘米，问它的面积最大是多少？通过数形结合思想，我们可以设矩形的长为x厘米，宽为（24-x）/2厘米，然后利用矩形的面积公式（长乘以宽）求解。

这个例子清晰地展示了数形结合思想在解决面积和周长问题时的运用。

二、图形的相似性质数形结合思想还可以帮助我们研究图形的相似性质。

例如，两个三角形的高相等，我们能否得出它们的底的比例相等？通过数形结合思想，我们可以构建出两个相似的三角形，然后根据相似三角形的性质得出结论。

这个例子展示了数形结合思想在研究图形相似性质时的应用。

三、立体图形的体积计算除了平面图形，数形结合思想也可用于解决立体图形的体积计算问题。

例如，给定一个长方体的体积为216立方厘米，问其边长是多少？通过数形结合思想，我们可以设长方体的边长为x厘米，然后利用长方体的体积公式（长乘以宽乘以高）求解。

这个例子展示了数形结合思想在立体图形体积计算中的运用。

四、数据的统计分析数形结合思想还可用于数据的统计分析。

例如，在一组数据中，标准差较大是否意味着数据的波动性较大？通过数形结合思想，我们可以构建出一个以数据点为顶点的折线图，然后根据折线图的形状和曲线的趋势进行统计分析。

这个例子展示了数形结合思想在数据的分析和解读中的应用。

总结起来，数形结合思想在初中数学中具有广泛的应用。

它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题的效率和准确性。

通过数形结合思想，学生可以在解决面积与周长的关系、图形的相似性质、立体图形的体积计算以及数据的统计分析等方面取得更好的成绩。

“数形结合”思想在初中数学解题中的运用技巧

２０２２年４月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀数形结合思想在初中数学解题中的运用技巧◉安徽省阜阳市临泉县兴业路实验学校㊀韦秀美◉安徽省阜阳市临泉县宋集中学㊀冯吉伟㊀㊀摘要:数形结合是通过以形助数,以数解形的思路,使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,帮助我们把握数学问题的本质．数形结合的思想是数学的规律性与灵活性的有机结合,运用这种思路,不仅能直观㊁快速地找到解题的方法,而且能够简化解题过程,避免复杂繁琐的计算与推理．关键词:数上构形;形中觅数;数形结合;运用技巧㊀㊀１引言数学是研究空间形式和数量关系的一门学科．数与形是数学的两大支柱,它们是对立的,又是统一的,辩证地以数表形和以形示数 ,是探索和解决数学问题的重要途径．忽视数与形的任何一个方面,都将使数学变得残缺不全．我国著名的数学家华罗庚认为数缺形时少直观,形缺数时难入微,这就是说,要用数形结合的思想和方法去看待和解决数学问题．数形结合的思想具有直观性㊁灵活性㊁综合性和深刻性等特点．在初中阶段的数学学习中,运用数形结合的教学思想能够有效地提高学生的灵活解题思维,降低解题的难度[１]．例如在解决与几何图形有关的问题时,可以将图形信息转换成代数的信息,将其化为代数问题;在解决与数量有关的问题时,可以根据数量的结构特征,构造出相应的几何图形,即化为几何问题．如果能够恰当地利用好数形可以互相转化的辩证统一性和各自的长处,就能够较快地找到解题的最佳思路和途径,不断提高分析问题和解决问题的能力．２数转化为形有些较复杂的代数计算类题型,我们可以根据给出的数式的结构特点,尝试构造出与之相应的几何图形,将代数问题转化为几何问题,使问题得到解决．核心思想是: 数上构形．例１㊀正数x,y,z满足方程组x２＋x y＋y２３＝２５㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀①y２３＋z２＝９②z２＋x z＋x２＝１６③ìîíïïïïïï试求x y＋２y z＋３x z的值．解:将原方程改写为x２＋y３æèçöø÷２－２x y３ c o s１５０ʎ＝５２㊀㊀㊀㊀④y３æèçöø÷２＋z２＝３２⑤z２＋x２－２x z c o s１２０ʎ＝４２⑥ìîíïïïïïï图１因为１５０ʎ＋９０ʎ＋１２０ʎ＝３６０ʎ,所以根据④~⑥式的几何意义,可作一个如图１的R tәA B C,使A B＝５,B C＝３,C A＝４,且形内有一点O,使øA O B＝１５０ʎ,øB O C＝９０ʎ,øA O C＝１２０ʎ．设O A＝x,B O＝y３,C O＝z．因为SәA B C＝SәA O B＋SәB O C＋SәA O C,所以６＝１２x y３ s i n１５０ʎ＋１２ y３ z＋１２ z x s i n１２０ʎ＝x y４３＋y z２３＋３４x z,等式两边同乘以４３即得x y＋２y z＋３x z＝２４３．运用技巧:本题是由三个二元二次方程组成的方程组,在初中阶段,如果想按照解方程组的常规方法求x,y,z的值,显然很困难．这时,如果仔细观察②５７Copyright©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２２年４月下半月㊀㊀㊀式,联想到勾股定理,以y ３,z ,３为边长,就可以构成以３为斜边的直角三角形;同理,可以将①式变形为x ２＋y ３æèçöø÷２－２x y ３c o s １５０ʎ＝５２,意味着以x ,y ３,５为其三边,可构成长为５的边所对的内角为１５０ʎ的三角形;将③式变形为x ２＋z ２－２x z c o s １２０ʎ＝４２,其几何意义是以x ,z 为两边,夹角为１２０ʎ,其第三边长为４的三角形．由于９０ʎ＋１５０ʎ＋１２０ʎ＝３６０ʎ,那么,将表示①~③式的三个三角形拼起来,恰好构成了一个边长分别为３,４,５的三角形,于是, 数转化为形的解题思路就这样形成了．从本题的解法中清楚地看到,方程组就是图中数的体现,如果改变O 点在әA B C 内的位置,或者改变әA B C 的形状(边长与角度大小),或者改变O A ,O B ,O C 的长度的表示形式,还可以得到一些其他形式的代数题型．例２㊀求１５ʎ的三角函数值．图２解法１:如图２．在R t әA B C 中,设A C ＝１,A B ＝２,øC ＝９０ʎ,则øA B C ＝３０ʎ,B C ＝３．在C B 的延长线上截取B D ＝A B ＝２,连接A D ,则øA D C ＝１５ʎ,A D ＝１２＋(２＋３)２＝６＋２,故有:s i n １５ʎ＝１６＋２＝６－２４,c o s １５ʎ＝２＋３６＋２＝６＋２４,t a n １５ʎ＝１２＋３＝２－３,c o t １５ʎ＝２＋３１＝２＋３．图３解法２:如图３,作R t әA B C ,使A C ＝１,A B ＝２,øC ＝９０ʎ,则øB ＝３０ʎ,B C ＝３．作øB 的平分线B D 交A C于D ,则øD B C ＝１５ʎ由角平分线的性质定理可得:C D D A ＝B C A B ＝３２⇒C D C D ＋D A ＝３２＋３⇒C DA C ＝２３－３,而A C ＝１,所以C D ＝２３－３,B D ＝(３)２＋(２３－３)２＝３２－６．故有:s i n １５ʎ＝２３－３３２－６＝－６－２４,c o s １５ʎ＝３３２－６＝６＋２４,t a n １５ʎ＝２３－３３＝２－３,c o t １５ʎ＝３２３－３＝２＋３．运用技巧:本题避开了三角函数值的直接计算,以数构形 ,通过构造平面几何图形(三角形),利用特殊角㊁角的平分线性质等知识,达到了简捷求值的目的;解题过程显得思路开阔,联想合理, 数形印证,立意新颖．３形转化为数有些不便于直接证明的几何类题型,我们可以根据图形寻求数量关系,将几何问题代数化[２],以数助形,使问题得证．解题的核心思路是: 形中觅数．图４例３㊀如图４,在әA B C 中,A B ＞A C ,C F ,B E 分别是A B 及A C 边上的高．试证:A B ＋C F ȡA C ＋B E ．证法１:因为０ɤs i n A ɤ１,所以A B －A C ȡ(A B －A C )s i n A ⇒AB ＋AC s i n A ȡA C ＋A B s i n A ⇒A B ＋C F ȡA C ＋B E (øA ＝９０ʎ时取等号)．证法２:由A B ＞A C ＞C F ,A B ＞B E ,由S әA B C ＝１２A B C F ＝１２A C B E ,得A B B E ＝A C C F ⇒A B －B EA B＝A C －C FA C ⇒AB －B E ＞AC －C F ⇒A B ＋C F ＞A C ＋B E ．运用技巧:本题证法１采用了三角函数法,证法２采用了代数法(利用了三角形面积公式和线段比例㊁不等式性质),比起用纯几何的方法证明要简捷得多．图５例４㊀如图５,设P 是定角øM A N 的平分线上一定点,过A ,P 两点任作一圆,与øM A N 的两边分别交于B ,C 两点．求证:A B ＋A C 为定值．证明:设øC A P ＝øB A P ＝α,A P ＝a ,根据余弦定理,有P B ２＝A P ２＋A B ２－２A B A P c o s α,即A B ２－２a c o s α A B ＋a ２－P B ２＝０⑦同理可得,A C ２－２a c o s α A C ＋a ２－P C ２＝０⑧因为P C ＝P B ,由⑦㊁⑧式可知,A B ,A C 为一元二次方程x ２－２a c o s α x ＋a ２－P B ２＝０的两根．由韦达定理可知,A B ＋A C ＝２a c o s α(定值)．运用技巧:从图示可以看出,定值有P A (可设为６７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２２年４月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀a ),及øC A B (可设为２øα),因此,我们可以尝试把A B ＋A C 用a 与α来表示．先讨论特殊情况:以A P 为直径作圆,则A C ＝A B ＝a c o s α,即A B ＋A C ＝２a c o s α;同样,定值A B ＋A C 在一般情况下,仍然存在A B ＋A C ＝２a c o s α的关系,这说明余弦定理与A B ,A C 以及a ,α间存在着密切的联系．于是,利用余弦定理将其转化为一元二次方程来证明的思路就形成了．４数形结合数形结合即用形研究数,用数研究形[３],相互结合,使问题变得直观㊁简捷,思路易寻．图６例５㊀如图６,已知在әA B C 中,øA ＝９０ʎ,A B ＝６,A C ＝８,点P 从点A 开始沿A C 边向点C 匀速移动,点Q 从点A 开始沿A B 边向点B ,再沿B C 边向点C 匀速移动,若P ,Q 两点同时从点A 出发,则可同时到达点C ．(１)如果P ,Q 两点同时从点A 出发,以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动,当点Q 移动到B C 边上(Q 不与C 重合)时,求以t a n øQ C A ,t a n øQ P A 为根的一元二次方程．(２)如果P ,Q 两点同时从点A 出发,以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动,当S әP B Q ＝１２５时,求P A 的长．解:在R t әA B C 中,A B ＝６,A C ＝８,则B C ＝１０．因为P ,Q 两点从点A 同时出发,可同时达到点C ,则S P S Q ＝８６＋１０＝１２．图７(１)如图７,设P 点移动的路程为x ,Q 点移动的路程为２x ,则C P ＝８－x ,B Q ＝２x －６,C Q ＝１６－２x ．作Q H ʅA C 于H ,因为øA ＝９０ʎ,所以Q H ʊA B ,由Q H A B ＝C Q C B ＝C H A C ．得Q H ＝６５(８－x ),C H ＝８５(８－x ),PH ＝C H －C P ＝３５(８－x )．则t a n øQ P A ＝Q H PH ＝２,t a n øQ C A ＝A B A C ＝３４,所以t a n øQ P A ＋t a n øQ C A ＝１１４,t a n øQ P A t a n øQ C A ＝３２．因此以t a n øQ C A ,t a n øQ P A 为根的一元二次方程为y ２－１１４y ＋３２＝０,即４y ２－１１y ＋６＝０．(２)当S әP B Q ＝１２５时,设P A ＝x ,点Q 的位置有以下两种情况．①如图７,当点Q 在B C 边上时,Q B ＝２x －６,作P G ʅB C 于G ,则әP C G ʐәB C A ,有P G B A ＝P CB C,所以P G ＝３５(８－x )．从而S әP B Q ＝１２Q B P G ＝１２(２x －６) ３５(８－x )＝１２５．即x ２－１１x ＋２８＝０,解得x １＝４,x ２＝７．图８②如图８,当点Q 在A B 边上时,A Q ＝２x ,B Q ＝６－２x ．则S әP B Q ＝１２P A B Q ＝１２x (６－２x )＝１２５,即x ２－３x ＋１２５＝０,而Δ＝９－４８５＜０,则此方程无实根．所以点Q 不能在A B 上．由⑦~⑧可知,当S әP B Q ＝１２５时,P A ＝４,或P A ＝７．运用技巧:本题就是数中有形㊁数形结合的典例,解一元二次方程时我们将其化为平面直角三角形来分析,而求解线段P A 的长度时又把它转化为解方程的问题来思考．由此我们可以看出数形结合的解题思想具有无可比拟的优势．参考文献:[１]罗毅．初中数学数形结合思想的渗透与应用[J ]．内江师范学院学报,２００８(B １２):１２８Ｇ１２９．[２]刘志强．初中数学数形结合思想方法应用例说[J ]．中学生数理化(教与学),２０２０(８):８０Ｇ８１．[３]闫雪．初中数学数形结合思想的运用策略[J ]．数学学习与研究,２０２１(３):１２５Ｇ１２６．Z７７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

例谈数形结合在初中数学解题中的应用

例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合是指将数学问题与几何图形结合起来，通过画图、建模等方式将问题形象化，从而更加直观地理解问题和分析解题思路，提高解题效率。

1. 已知等边三角形ABC的顶点A在圆O上，点D在弧BC上，连接AD，证明$∠BAC=∠BDC$。

解法：首先根据等边三角形ABC的性质可知，$∠BAC=60^\circ$。

接着连接BD并作DE⊥AC于E点，连接CE。

根据圆心角与弧长的关系可知，$∠BOC=2∠BDC$，又$∠BEC=90^\circ-∠BAC/2=45^\circ$，因此$∠CBD=180^\circ-∠BCE-∠BDC=75^\circ$。

再根据三角形BDE的性质可知$∠BDE=45^\circ$，因此$∠BAC=∠BDE+∠BDC=75^\circ$，即$∠BAC=∠BDC$。

通过画图和建立几何模型，我们更加清晰地理解了问题和解题思路。

2. 已知矩形ABCD中，$AB=6$，$BC=3$，点E在线段CD上且满足$CE:ED=2:1$，连接AE并交BC于F点，求$AF$的长。

3. 某废旧品回收中心的货车要把三个物品箱A、B、C，每个箱的尺寸分别为3米×2米×1.5米、4米×3米×2米、2米×2米×1米，运到物流园区，货车的车厢的尺寸为5米×2.5米×1.5米，问能否在不拆卸箱子的情况下，将三个箱子全部放入车厢？解法：我们可以将问题转化为对三个物品箱的体积和车厢的体积进行比较。

首先计算三个物品箱的体积分别为$V_A=3×2×1.5=9m^3$，$V_B=4×3×2=24m^3$，$V_C=2×2×1=4m^3$，因此三个物品箱的总体积为$V=V_A+V_B+V_C=37m^3$。

又因为车厢的体积为$V_c=5×2.5×1.5=18.75m^3$，因此无法同时将三个物品箱全部放入车厢中。

例谈数形结合在初中数学解题过程中的妙用

课程篇例谈数形结合在初中数学解题过程中的妙用张守军（山东省东营市垦利区郝家镇中学）数形结合思想是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观意义，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，让“形”变为“象”。

在初中数学教学中如果利用这种结合，寻找解题思路，可以让问题化难为易，化繁为简，从而轻易得到解决。

下面就以教学中的数学问题谈谈数形结合思想的渗透与妙用。

第一，利用数形结合解决物体运动位置、数的绝对值、二次根式等方面的问题：这类问题往往是确定大小、化去绝对值、判断二次根式的取值范围等，利用数形结合方法解决此类问题更直观准确。

【例1】对于正数a、负数b，若有|a|<|b|，试判断a、b、-a、-b的大小。

【观察与思考】根据正数a、负数b，|a|<|b|，可以在数轴上标记出四个数字所在的位置，如下图，故可以轻易判断a、b、-a、-b的大小。

b-a0a-b【归纳】此类问题由于引进了数轴，就把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”进行结合，二者相互补充，相辅相成，把复杂的问题转化为简单的问题。

因此，此类题中要注意渗透并运用数形结合思想。

第二，利用数形结合解决与方程相关的实际应用题：在研究实际应用问题的过程中，我们常常结合具体问题由数思形、由形化数，特别是在列方程解决应用题时，常采用画线段示意图和交叉列表关系图的方法展示问题中的数量关系，从而使我们更形象、更直观地理解问题。

【例2】某省甲、乙两个地区同时发生了灾害，恰好另外A、B 两地库存紧缺物资分别有2000吨、3000吨，现要把这些物资最快时间内全部运往甲、乙两地，从A地往甲、乙两个地区运送物资的费用分别是每吨200元和250元；从B地往甲、乙两个地区运送物资的费用分别是每吨1500元和2400元，现甲地需要物资2400吨，乙地需要物资2600吨，如果这两批物资让你来调运，怎样安排总运费最少？【观察与思考】从题意中可以看出，这是一道关于物资分配问题的应用题，那怎么去分配物资呢？数据太多，似乎看起来杂乱无章，无从下手。

例谈数形结合在初中数学解题中的应用

例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合是数学中一种重要的解题方法，尤其在初中数学中的应用更为广泛。

数形结合通过将数学问题与几何图形相结合，可以帮助学生更好地理解和解决问题。

下面就以几个具体的例题来说明数形结合在初中数学解题中的应用。

例题一：设正方形ABCD的面积为16平方厘米，点E是边AB的中点，连接DE交BC于点F。

如果BE的长度为2厘米，求△DEF的面积。

解析：首先根据题目中给出的信息，我们可以画出如下的图形：```A------F-------------B| || || |D------E-------------```根据平行四边形面积公式，△DEB的面积可以通过三角形的底边DE和高EB来计算，即：△DEB = 1/2 × DE × EB = 1/2 × 4 × 2 = 4平方厘米。

所以，△DEF的面积等于△DEB的面积的一半，即：△DEF = 1/2 × 4 = 2平方厘米。

△DEF的面积为2平方厘米。

通过这个例题，我们可以看到，数形结合的方法可以帮助我们更好地理解问题，并且能够直观地画出图形，从而更好地解决问题。

例题二：已知折线ABCDE是一个凸五边形，AB=BC=CD，∠BCD=108°，连接AC，求∠ABC 的度数。

解析：我们可以通过解题思路问自己：如果折线ABCDE是一个凸五边形，那么角ABC、角BCD、角CDE、角EDA的度数分别是多少？由于AB=BC=CD，所以∠ABC=∠CD E。

又因为折线ABCDE是一个凸五边形，所以∠BCD < 180°。

已知∠BCD=108°，所以∠BCD< 180°。

根据凸五边形内角和公式，我们可以得到：∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠EDA+∠DAB=360°。

将已知条件代入，即可得到：2∠ABC+2×108°=360°。

浅谈初中数学解题技巧之数形结合

浅谈初中数学解题技巧之数形结合数学是一门抽象而又具体的学科，它与许多其它学科所不同的地方在于，它既要求学生具备一定的逻辑思维能力，又要求学生具备一定的数形结合能力。

在初中数学中，数形结合是非常重要的一种解题技巧，它要求学生能够把抽象的数字与具体的形状相结合，通过分析形状的特征来解决数学问题。

本文将浅谈初中数学解题技巧之数形结合，希望对广大初中生能有所帮助。

数形结合是指直观的、具体的图象与抽象的数字结合在一起，共同解决问题。

数形结合能够帮助学生更好地理解数学问题，提高数学解题的效率。

对于初中生来说，数形结合在解决几何题目中尤为重要，因为几何问题是与形状和图像紧密相关的。

数形结合技巧在许多数学问题中都有应用，下面我们可以通过具体的例子来说明。

首先我们来看一个简单的例子：已知一条线段AB长8厘米，现在在AB线段上任取一点C，连接AC、BC两线段，假如AC : CB = 3:5，求AC长度。

这是一个求长度的问题，通过观察题目可以按照如下步骤来解决：首先我们可以利用形状来分析，假设线段AB为一根棒，点C为一点，连接AC和BC就是把这根棒分成了两部分，比例为3:5，我们可以通过这样的形状图像来直观地理解题目，然后我们可以通过代数的方式来解决这个问题，设AC长度为3x，BC长度为5x，那么由题意可得3x+5x=8，解得x=1，所以AC长度为3*1=3厘米，BC长度为5*1=5厘米。

通过这个例子我们可以看到，通过观察题目所给的形状图像，能够更好地帮助我们解决题目。

其次我们来看一个稍微复杂一点的例子：如图，已知正方形ABCD中，点E是线段BC 的中点，连线AE和DE相交于点F，求证：△BEF与△ABC全等。

这是一个证明题，通过观察题目，我们可以根据图形来分析：已知正方形ABCD中，点E是线段BC的中点，连线AE和DE相交于点F，我们可以通过观察图形，发现△BEF与△ABC 具有相同的形状，因为△BEF是△ABC的一部分，且△BEF与△ABC的对应边相等，所以可以认为△BEF与△ABC全等。

例谈数形结合在初中数学解题中的应用

例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合指的是将数学问题通过图形的方式来呈现，进而实现更加简洁和直观的解题方式。

在初中数学中，数形结合被广泛应用于各种类型的数学题目中，尤其是图形题与实际问题，如代数式、几何题、函数图像等。

下面我们将就其中几个具体的例子来谈谈数形结合在初中数学解题中的应用。

1. 代数式代数式是初中数学的重点之一，相信许多同学都会有这样的困扰：看到一大长串的数字和符号，不知道该怎么下手。

这时，我们可以借助一些图形来进行解题。

例如，有一道题目：已知(a+b)²=a²+2ab+b²，请证明(a-b)²=a²-2ab+b²。

我们可以利用一个正方形来帮助我们理解。

(a+b)²表示正方形面积，而(a+b)²中心对称点(a-b)则可视为两个比这个正方形较小的正方形的面积相等。

则有(a-b)²=a²-2ab+b²。

2. 几何题几何题一般都会涉及到图形的位置关系，这里我们就可以充分发挥出数形结合的作用。

例如，下面这道题目：已知AB//DE, AC//DF，若AB=DE=5cm，AC=6cm，EF=8cm，则求DF的长度。

我们可以通过画一张图来解决。

我们可以将AD、BE两条线段连接起来，得到两个等腰梯形。

由于EF已知，故可以利用几何条件得出DF的长度为13cm。

3. 函数图像在初中数学中，函数图像不仅仅是一个区间上数值与自变量的关系图形，还可以通过它来更好地理解数学概念。

例如：已知y=x²，画出它的图像，并求解y=2x+1与y=x²的交点坐标。

可以发现它们的交点坐标为(-1, -1)和(2, 5)。

综上所述，数形结合在初中数学解题中的应用涵盖了各个领域，可以帮助我们更好地理解各种数学知识，提升解题效率。

浅谈初中数学解题技巧之数形结合

浅谈初中数学解题技巧之数形结合数形结合是指在解题过程中，利用数学知识和图形几何知识相结合，采用图形、图像来体现数学问题的解决方法。

这种方法在初中数学中具有重要的地位和作用，尤其在解决几何问题时，数形结合可以帮助我们更深刻地理解问题，更快速地找到解题思路，提高解题效率。

一、分类思维在解决几何题目时，往往会涉及到不同类型的图形，因此进行分类是很重要的。

分类可以让我们更好地了解题目，更明确地找到问题的特点和规律，准确选择所需的方法和技巧。

例如，在各种几何问题中，我们可以分为平面图形问题、立体图形问题以及投影图形问题等。

对于平面图形问题，可以再进行分为平行四边形、三角形、圆形、梯形等，而在不同类型的问题中，我们可以通过数形结合的方法选择合适的方法进行解答。

二、比例思维比例思维是指数学中常用的一种思维方式，也是数形结合的重要内容。

在几何问题中，常常需要判断图形的形状和大小之间的关系，这时使用比例思维可以更快速的找到问题的解决方法。

在比例思维中，我们需要确定一个基准尺寸，作为比照的标准，再根据题目中给出的等式关系来计算其他尺寸的大小。

例如，在解决一个长方形的面积问题中，我们可以将长和宽按一定的比例系数缩小或放大，求出面积与周长或其他尺寸的关系，进而推导出问题的解答方法。

三、对称思维在对称思维中，我们可以使用对称线把图形划分成两部分，通过对称的关系，直接推导出图形的各种性质和关系。

例如，在解决三角形的问题时，我们可以利用三角形顶点所在的直线作为对称线，找到三角形内部的各种对称关系，进而计算面积、角度、边长等问题。

四、逻辑思维逻辑思维是指在解题时，根据题目所给出的条件、结论和问题之间的语言逻辑关系进行推理、分析和演绎的一种思维方式。

在数学题目中，逻辑思维也是数形结合的一种重要思维方式。

我们需要通过对题意和语义的理解和把握，找到问题的本质和规律，进而确定问题的解决方案和方法。

例如，在解决一道多项式函数题目时，我们需要从题面中获取关于函数的信息，逐步推导出函数的表达式、边界值、导数和极限等问题，这都是需要使用逻辑思维的。

数形结合思想在初中数学解题中的应用

22教育版内容摘要：本文介绍了初中数学解题中的一种重要的思想方法——数形结合. 数形结合思想主要是利用了数的结构特征，绘制出同其相对应的数学图形，同时通过对图形特点及规律的运用，使数学问题得到解决，或是将图形转化为代数，无需进行推理，便将要解答的问题转变为数量关系.在数学教学中合理结合数形结合思想能够有效调动学生的积极性，让学生通过直观的视觉观察来理解数学的概念和知识，为学生解题提供一定的帮助.关键词：数形结合　初中数学　应用一、数形结合的本质和内涵：数形结合思想就是通过对数与形间关系的运用，对数学习题中的知识点及问题进行研究，从而使问题得到解决的一种方法.分析及研究数与形间的关系，学生会清晰地看到数与形之间在一定的状况之下是能实现转换的.它们之间具有一定的等量关联，能让学生更加深入地对知识进行理解，并解决相关问题.在初中数学中，数指的是方程、函数、指数等，形指的是函数图形与几何图形.学生若能把它们结合起来运用，就能使问题的解答更加容易，从而提升学生解题的能力。

二、数与形之间的转化：中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

三、数形结合思想在初中数学解题中的应用：（一）数形结合思想在数与式问题中的应用。

数形结合的教学思想可以把有理数和数轴紧密联系起来.所有的有理数都可以在数轴.上找到相对应的唯一的点，如果想要对比两个有理数的大小，就可以通过比较分析在数轴上两个有理数的位置关系来得出结果.同时，依据数轴上原点与点的位a 、b ．（图略）【分析】由上a ，b 的位置可以得到a <b．∴a =−，ab b a −=−【解】 ()a b a +−除此以外，数形结合思想还运用于一些图形类的规律题中，比如下面这个题目.【例2】如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴______根。

数形结合思想在初中数学解题中的应用

数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在数学解题中，通过将数学问题转化成几何形状，并结合图形的性质来解决问题的一种思维方式。

这种思想可以帮助学生更好地理解数学概念，并能够将抽象的数学问题转化为具体的图形形状，通过观察和分析图形的特点，解决问题。

在初中数学解题中，数形结合思想可以运用在很多方面，下面就介绍几个典型的例子来说明。

对于如何求解一条线段的长度，数形结合思想非常有效。

对于一个线段，可以通过将它画成一个直角三角形来求解。

我们可以利用勾股定理或平行线性质，根据图形的特点来解决问题。

比如给定一条不在坐标轴上的线段AB，我们可以通过在平面直角坐标系上描绘出这个线段，并在两点连接垂直于坐标轴的直线，从而构成一个直角三角形，通过计算三个边的长度，利用勾股定理可以求出线段AB的长度。

对于解决面积和体积问题，数形结合思想也非常有用。

在计算一个图形的面积时，可以将图形进行分割，将其转化为若干个简单的几何形状，分别计算每个简单形状的面积，然后相加得到整个图形的面积。

比如计算一个梯形的面积，可以将其分割为一个矩形和两个直角三角形，分别计算它们的面积后相加即可得到梯形的面积。

对于体积问题，也可以通过数形结合思想来解决。

比如计算一个三棱柱的体积，可以将其看作由一个底面积为A的正三角形和一个高为h的矩形组成，根据体积的定义，体积等于底面积乘以高，所以可以计算出三棱柱的体积为A*h。

对于解决几何相似的问题，数形结合思想也非常重要。

通过观察和分析图形的特点，可以发现几何形状之间存在着很强的相似性，从而可以利用相似三角形的性质来解决问题。

比如在一个等腰三角形内切一个圆，可以发现三角形的三条边与圆的切点之间存在着相似关系，通过利用相似三角形的比例关系，可以计算出圆的半径和三角形的边长之间的关系。

数形结合思想在初中数学解题中的应用

数形结合思想在初中数学解题中的应用数学是一门抽象而又具体的科学，数形结合思想是数学中的一种重要解题方法。

在初中数学中，数形结合思想的应用非常广泛，能够帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。

下面将从几何、代数和应用题三个方面来探讨数形结合思想在初中数学解题中的应用。

一、几何问题在初中数学中，几何问题是学生们比较容易遇到的难题，而数形结合思想可以帮助学生更好地理解和解决几何问题。

在计算多边形的面积时，可以利用数形结合思想将多边形分解为若干个简单的几何形状，然后计算每个几何形状的面积再相加即可。

又在计算三角形的面积时，可以利用数形结合思想将三角形划分为两个简单的图形，然后计算每个简单图形的面积再相加即可。

这种数形结合的思想不仅能够帮助学生更好地理解几何问题，还能够使计算更加简便和直观。

二、代数问题在代数问题中，数形结合思想也能够派上用场。

在解决一元二次方程时，可以利用图形的对称性来帮助理解和解决问题。

当一元二次方程的图像是抛物线时，通过观察抛物线的对称轴和顶点，可以很容易地找到一元二次方程的解。

又在解决函数图像的性质问题时，可以利用图形的变化来推导函数的变化规律。

通过将函数的图像与数学公式相结合，可以更加清晰地理解函数的性质和规律。

三、应用题在应用题中，数形结合思想也能够帮助学生更好地理解和解决问题。

在解决速度、时间、距离之间的关系问题时，可以利用图形表示速度、时间和距离的关系，从而更加直观地理解三者之间的关系。

通过将问题抽象成图形，再结合数学方法来解决问题，能够使学生更快地找到解题的方法和规律。

又在解决物体的测量问题时，可以利用图形来帮助理解和解决问题。

通过将物体的形状抽象成图形，再结合几何和代数的方法来解决问题，能够使学生更好地掌握物体测量的方法和技巧。

初中数学教学中数形结合思想的应用--以“全等三角形的判定”为例

初中数学教学中数形结合思想的应用--以“全等三角形的判定”为例摘要：数学是一门将数字和图形有机结合的学科，它将数字和图形紧密联系起来，从而使得数学问题的解决更加有效。

“全等三角形”的内容清晰地表明，在课堂教学中，三角形可以作为一个重要的实例，帮助学生更好地理解数学概念，并将其应用到实际生活中，从而更好地掌握数学知识，提高学习效率。

“数量关系”和“相等是否全等”都是推理的基础，它们的结合使得数形结合的例证更加完整，这样的推理模式有助于培养学生的逻辑思维能力，使他们更好地理解和应用知识。

关键词：数形结合；全等三角形；教学思想引言研究表明，推理能力的培养受到了广泛的重视，这主要体现在两个方面：首先，传统的初中数学课堂上，学生们通过构建自身的知识体系，可以更好地锻炼他们的推理能力；其次，中学生正处于抽象思维的快速发展阶段，他们也更容易运用推理思维去解决实际的数学问题；最后，这也是核心素质的体现。

在初中数学课堂上，逻辑推理是必不可少的，它不仅仅是推理的一部分，而且还起到了规范作用。

因此，我们应该充分利用这个机会，积极探索和实践，以提高学生的逻辑思维能力，从而更好地培养他们的数学核心素养。

通过我的教学经验，我想分享一些关于数学课堂的感受。

一、数形结合的概念在初中数学课堂上，数形结合是一种将代数概念与几何概念有机地结合起来的方法，也就是说，通过分析代数概念，揭示几何概念，将数量关系和空间形式融为一体，从而形成正确的解题思路，最终达到解决数学问题的目的。

数学和形的关系历史悠久，它们之间的紧密联系不仅是数学思想的核心，而且也是普遍应用的数学技术。

在数学教学研究中，将数学和形结合起来，不仅能够更好地理解和掌握数学知识，而且还为解决实际问题提供了坚实的理论基础。

二、初中数学教学中数形结合思想的重要意义(一)数形结合思想在初中数学中的地位数形结合思想在数学理论和思维中扮演着至关重要的角色，它的实施方式既灵活又实际，能够有效地将几何概念、图像、函数、方程等融入到数学课堂上，从而发挥出它的最大价值。

数形结合思想在初中数学教学中的运用研究

数形结合思想在初中数学教学中的运用研究一、数形结合思想是数学中一个重要的思维方式和方法论，在初中数学教学中，将这一思想运用到教学实践中，可以促进学生对数学知识的理解和掌握，提高数学思维能力和解决问题的能力。

本文将结合实例，论述数形结合思想在初中数学教学中的运用。

二、数形结合思想概述数形结合思想是指在解决数学问题时，将数学知识和几何图形结合起来，通过图形的特征和性质对问题进行分析和解答的思维方式。

数形结合思想可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念和定理，增强数学思维的感性认识和几何直觉。

三、数形结合思想在初中数学教学中的运用（一）代数和几何的结合初中数学中许多知识点都是代数和几何相互联系的，如平面图形的性质与面积公式的推导、速度、时间、距离等量的换算等。

这时，我们可以采用数形结合的方法，通过几何图形的形式引入代数式，让抽象的代数符号通过图形形象化。

例如，面积公式的推导就是典型的数形结合思想的应用，通过画出一个高为h、底为b的梯形，再将它划分成小矩形，用已经知道的面积公式求得所有小矩形的面积，然后将这些小矩形面积加起来，就得到了梯形的面积公式S=(a+b)h/2。

（二）解决几何问题初中数学中，学生需要掌握许多的几何定理，例如，勾股定理、相似的判定法等几何问题。

这些几何定理和知识对于学生来说可能会感到较抽象，难以理解。

但在实际操作时，我们可以通过数形结合思想的方式，将几何图形与代数运算结合起来，用更加直观的方式解决问题。

例如，在教学勾股定理时，可以将其对应于一个单位圆内一条斜率为k的直线与与x轴垂直的直线所围成的三角形，更加具体地理解未知边长所代表的具体数值，帮助学生直接用数值求解勾股数。

（三）提高解题能力通过数形结合思想，可以更加直观地帮助学生理解和掌握数学知识和技能，从而有助于提高学生解决数学问题的能力。

例如，在解决数列求和问题中，可以引入图形表示数列中每个数的大小和位置，从而帮助学生理解数列求和的规律和方法；在解决方程组问题中，也可以通过图形来表示方程组的解，从而帮助学生直观地理解方程组的解法。

例谈数形结合在初中数学解题中的应用

例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合在数学解题中是一种常见的策略，它能够帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。

在初中数学学习中，数形结合不仅可以帮助学生更直观地理解数学问题，而且还可以提高他们的解题能力和逻辑思维能力。

本文将以具体的例子介绍数形结合在初中数学解题中的应用。

1. 长方形面积问题在初中数学学习中，计算长方形的面积是一个基本的数学问题。

传统的做法是通过公式S=长×宽来计算长方形的面积。

通过数形结合的方法，我们可以更生动地理解长方形的面积。

假设有一个长方形，长为3，宽为4，我们可以将这个长方形分成3行4列的小正方形，然后计算出其中小正方形的个数，即12个。

这样，我们就可以通过数形结合的方法更直观地理解长方形面积的计算过程。

2. 图形的相似性在初中数学学习中，图形的相似性是一个重要的概念。

通过数形结合的方法，我们可以更好地理解和应用图形的相似性。

有两个相似三角形，它们的对应边长比为3:4，我们可以通过数形结合的方法来证明它们是相似的。

我们可以用尺子测量两个三角形对应边的长度，然后比较它们的比值，如果两个比值相等，就可以得出这两个三角形是相似的结论。

3. 直角三角形的斜边长度假设有一个直角三角形，已知两条直角边的长度分别为3和4，我们可以通过画图的方式来计算斜边的长度。

我们可以在一个平面上画出两条互相垂直的线段，分别代表两条直角边，然后连接这两条线段的端点，就可以得到一个直角三角形。

通过这种方式，我们可以更直观地理解直角三角形的斜边长度。

4. 利用数形结合解决应用题5. 利用数形结合推导数学公式通过数形结合的方法，我们还可以更好地理解和推导各种数学公式。

我们可以通过数形结合的方法来推导直角三角形的勾股定理。

我们可以画出一个直角三角形的图形，然后利用几何的方法来证明勾股定理。

通过这种方法，我们可以更生动地理解和推导这个重要的数学公式。

希望这篇文章能够帮助到你，如果有其他问题，欢迎随时向我咨询。

数形结合思想在初中数学解题中的应用

数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想，顾名思义就是将数学中的概念与图形相结合起来。

在解题中，可以通过绘制图形来帮助学生更好地理解题目，找到解题的思路。

以代数方程为例，通过将代数方程所描述的问题用图形表示出来，就可以更加直观地理解问题并找到解题的方法。

在初中数学中，常见的数形结合思想的应用有几何问题的解题、函数图象的图示以及代数方程的图形解法等。

几何问题的解题是数形结合思想应用的一个重要方面。

在解决几何问题时，很多时候我们需要通过画图的方式来辅助理解和解题。

在求解几何问题中，我们经常需要通过画出图形，采用几何关系和几何变换等方法来解题。

通过画图，学生可以更加直观地理解题目，找到几何关系，从而更好地解决问题。

解决关于三角形的面积、周长、角度等问题时，通过画出三角形的图形，可以帮助学生更好地理解题目并找到解题的方法。

函数图象的图示也是数形结合思想应用的一个典型例子。

在学习函数概念时，通过画出函数的图像，可以帮助学生更好地理解函数的性质和特点。

对于一元一次函数y=kx＋b，通过画出函数的图像，可以直观地看出函数的斜率k和截距b的意义，从而更好地理解函数的性质和特点。

通过数形结合思想，学生可以通过观察图像找到函数的最值、零点、单调性等性质，从而更好地掌握函数概念和性质。

在学生学习数学的过程中，老师应该引导学生在解题过程中灵活运用数形结合思想。

从课堂教学引导学生思考，通过实际问题与解题方法相结合，提升学生的解题能力和数学思维。

老师应该设计符合学生年龄特点和认知水平的数学问题，鼓励学生灵活运用数形结合方法解题，通过丰富多样的训练提高学生的数学素养。

数形结合思想在初中数学解题中具有重要的作用。

通过数形结合思想的应用，可以帮助学生更好地理解数学问题，提高他们的解题能力和数学素养。

在教学中应充分发挥数形结合思想的作用，帮助学生更好地掌握数学知识，提高解题的能力。

【有道翻译】。

初中数学学习中的解题技巧——数形结合

初中数学学习中的解题技巧——数形结合数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.用数形结合的思想解题可分两类：(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.数形结合所涉及的热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n^2+2n．【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个；第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个；按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.故答案为n（n+2）=n2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n 个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．解：设第n个图形的棋子数为S1．第1个图形，S1=1；第2个图形，S2=1+4；第3个图形，S3=1+4+7；第n个图形，Sn=1+4+…+3n-2；第（n-1）个图形，Sn-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；则第n个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．2.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 .A.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路点拨】首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b＞0，c-b＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果．具体步骤为：① a,b,c的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果.【答案与解析】从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，故a+b＞0，c-b＜0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c．故选A．【总结升华】此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a±b)2，二次根式.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.3. 图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是A.B.C.D.【思路点拨】这是完全平方公式的几何背景，用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的“数形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分的面积是边长为（m+n）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积（m2+n2），即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．【答案】B.【解析】（m+n）2-（m2+n2）=2mn．故选B．【总结升华】本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2-（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．举一反三【变式】如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？（2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n）2、（m-n）2、mn之间的关系吗？解：（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于（m-n）；（2）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是_____.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____.②在AB上取一点P，可设AP= _____，BP= _____.最小值为 ___．【思路点拨】（1）利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值；（2）①延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求；②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形，进而利用勾股定理求出即可；（3）①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y；最小值利用勾股定理求出即可.【答案与解析】（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是4；（2）①如图所示，点P即为所求．（作法：延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求.说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接PA不扣分；（延长BD，同样的方法也可以得到P点的位置．）②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形．∴FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AF．∵AB=3，BD=2，∴BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，∴在Rt△ABF中，AF2=AB2-BF2=8，∴AF=2EG=2.∴在Rt△BEG中，BE2=EG2+BG2=17，∴BE=（cm）.∴PA+PB的最小值为cm.即所用水管的最短长度为cm.（3）图3所示，①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，③的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，∴作C点关于线段AB的对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E⊥DB，交BD延长线于点E，∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，∴DE=8，..∴最小值为10．故答案为：①4；②x，y；③PC，PD，10．【总结升华】此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理是解题关键．作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx即为所求”.5.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象过点(-1,2)和(1,0),且与y轴相交与负半轴.以下结论（1）a＞0；（2）b＞0；（3）c＞0；（4）a+b+c=0；（5）abc<0；（6）2a+b＞0;（7）a+c=1；（8）a＞1中,正确结论的序号是.【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案与解析】解：①由抛物线的开口方向向上，可推出a＞0，正确；②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=＞0，又因为a＞0，∴b＜0，错误；③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，错误；④由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确；⑤∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，错误；⑥由图象可知：对称轴x=＞0且对称轴x=＜1，∴2a+b ＞0，正确；⑦由图象可知：当x=-1时y=2，∴a-b+c=2， ---①当x=1时y=0，∴a+b+c=0， ---②①+②，得2a+2c=2，解得 a+c=1，正确；⑧∵a+c=1，移项得a=1-c，又∵c＜0，∴a＞1，正确．故正确结论的序号是①④⑥⑦⑧．【总结升华】考查二次函数的解析式、图象，及综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力．二次函数y=ax2+bx+c图象与系数之间的关系：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．存在着“左同右异”，即a,b同号.对称轴在y轴的左边，a,b异号，对称轴在y轴的右边.（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=±1时，ax2+bx+c就变成了a±b+c了.这道题的第7小题：当x=1时，a+b+c=0……①当x=-1时，a-b+c=2……②,①+②得，2a+2c=2，即a+c=1.举一反三【变式】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，x=是该抛物线的对称轴．根据图中所提供的信息，请你写出有关a，b，c的四条结论，并简单说明理由．解：①∵开口方向向上，∴a＞0，②∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，③∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，⑤当x=1时，y=a+b+c＜0，⑥当x=-1时，y=a-b+c＞0．结论有：a＞0，b＜0，c＜0，a+b+c＜0，a-b+c＞0等．。

初中数学解题思想解题方法——数形结合

解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。

在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。

数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。

二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2-的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。

【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（）A —b＞—aB —b＞aC —a ＞bD b＞a2.在不等式中的运用【例3】不等式组2030xx-⎧⎨-≥⎩p的正整数解的个数为（）A 1个B 2个C 3个D 4个【例4】关于x的不等式组521xx a-≥-⎧⎨-⎩f无解，则a的取值范围是。

3.在方程（组）中的运用【例5】利用图像法解方程组24212x yx y-=⎧⎨+=⎩4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。

已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。

给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。

则以上判断正确的是（）A （1）B （2）C （2）（3）D （1）（2）（3）【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（）A （1）（2）（3）（4）B （4）C（1）（2）（3）D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。

初中数学解题常用的数学思想方法

初中数学解题常用的数学思想方法数学学习分为好多个环节，比如预习、上课、作业、复习、考试等等，而上课的部分是非常关键的环节。

小编整理了初中数学解题常用的数学思想方法，欢迎参考借鉴。

初中数学解题常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。

2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。

数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。

在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。

如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。

3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查;这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。

4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。

为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。

5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。

配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。

6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。

换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。

7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然;则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。