附加δ势垒对一维半无限深势阱影响的研究

附加δ势垒对一维半无限深势阱影响的研究

唐义甲，韩修林

【摘要】摘要：通过对添加δ势垒的一维半无限深势阱的薛定谔方程进行求解，得到了粒子运动的波函数和能级的相关公式，分析发现，δ势垒的添加以及它的强度与位置的变化对能级都有影响。对比不含δ势垒的一维半无限深势阱的能级，探究δ势垒的添加对原能级产生的影响，并利用Mathematica作图来直观显示这一影响。

【期刊名称】安庆师范学院学报（自然科学版）

【年(卷),期】2015(000)003

【总页数】4

【关键词】δ势垒；一维无限深势阱；能级

薛定谔方程大致可以分为两类：定态薛定谔方程和含时薛定谔方程。定态薛定谔方程的研究主要利用椭圆偏微方程理论和变分法理论，这方面的结果非常丰富[1-2]。含时薛定谔方程在上世纪70年代以后，随着调和分析手段的引入而发展迅速，尤以著名数学家J. Bourgain，T. T ao，C. Kenig和F. Merle等人的工作备受瞩目[3-4]。

由于δ函数的特殊性，δ(x)势在原子、分子、固体及多体等问题中均有广泛应用[5-6]，而在量子力学定态薛定谔问题中引入δ(x)势却鲜有报道[7-8]。本文在已有严格解的一维半无限深方势阱内引入δ(x)势，采用理论分析、数值计算与作图显示相结合的方法，对δ势引起的能级及波函数进行修正。

1 附加δ势的半无限深方势阱

设质量为m的粒子，作一维运动，在半无限深方势阱中附加δ势后，如图1

所示，势能为

(1)

其中，μ是描述势阱位置的无量纲参数，取值区间为(0，1)。

粒子的波函数与能量满足定态薛定谔方程：

(2)

由于势能不连续，定态薛定谔求解可分为四个区域：

(3)

由于束缚态粒子的能量有限性，在区域Ⅰ内波函数应为零，即波函数ψ0(x)=0。在区域Ⅱ，Ⅲ内，定态薛定谔方程为

(4)

上式可以简化为

(5)

其中，

(6)

在区域Ⅳ内，定态薛定谔方程为

(7)

由束缚态条件知E

ψ″-β2ψ=0

(8)

其中

(9)

由波函数的连续性，得到在边界x=0处

ψ1(0)=ψ0(0)=0

(10)

x=μa是方程(5)的奇点，ψ′(μα)不连续，利用波函数连续条件并对(5)式积分，得

ψ2(μa+0)+ψ1(μa-0)= ψ(μa)

(11)

在x=a处，由波函数一阶导数连续，可得到

(12)

2 半无限深方势阱中附加δ势的粒子的波函数与能级

2.1 定态波函数

方程(5)的通解为

ψ1(x)=Asin(kx)+A′cos(kx)

(14)

考虑到边界条件(10)，可得当A′=0，所以区域II内

ψ1(x)=Asin(kx)

(15)

由方程(8)，得到区域Ⅳ内的波函数为

ψ3(x)=Ce-βx+Deβx

(16)

当x→∞时，波函数应有限，所以

D=0

(13)

ψ3(x)=Ce-βx

(17)

方程(5)在区域Ⅲ内的通解为

ψ2(x)=Bsin(kx+φ)

(18)

结合衔接条件(12)得

kcot(kx+φ)=-β

(19)

为简单起见，假定λ=0，则衔接条件(11)变为

ψ′(μα+0)=ψ′(μα-0)

(20)

势阱过渡为半无限深方势阱，如果存在波函数在μα处为零，则(20)同样适用于λ≠0，因此假定先波函数在μα处为零，采用迭代法求解，易解得

(21)

A，C可由波函数连续性条件和归一化条件确定，参数k,β与能量有关，其他参数可由(19)和(20)式确定。

2.2 定态能量

将(21)式代入条件(11)，得到

(22)

在+nπ，(n=1,2,3,L)处对应λ=0，相应的能量处用牛顿迭代法解超越方程(22)，只取一级近似，可解得

(23)

λV1，由可求出相应的能量。将(21)式代入(19)式，取平方整理得

(24)

进一步化简得

(25)

或

|sin2k(α-2μα)|

(26)

令k(α-2μα)=ω，则k=ω/(α-2μα)，(26)式可化为

|sinω|，

(27)

解超越方程(27)可求出各能量，结果表明,若势阱内有束缚态能量是量子化的，势阱内至少有一个束缚态的基态能的条件是

或

作出函数y=|sinω|和函数y=Pω的图像，其交点即为超越方程(27)的解

3 运用mathematica作图显示δ势垒的影响

添加δ势垒后，能级的相关公式为

(29)

令n=log2H，取K1= 10不变，运用mathematica求解。

3.1 势垒位置的影响

当n为0，1，2，3，……，10，μ分别取0.1到0.9之间的数值时，计算K的数值解(只取基态值)，结果如图3所示。

由图3可以看出：当n=0时H=1，即(势垒很低时，μ值的变化对基态能级的影响并不大，随着n的增大，μ值的影响也越明显，当μ处于0.55左右时对基态能级的影响最大，两侧逐渐减小。

3.2 势垒强度的影响

当μ分别取0.1 ，0.2，……，0.9之间的数值，n为0，1，2，3，……，10时，计算K的数值解(只取基态值)如图4所示。

由图4知,在一定范围内K值随着n值的增大而增大，而当n增大到某个值或减小到某个值时K值达到稳定不再变化。K的最小值与μ无关约为2.85，而K 的最大值随着μ的不同而有所不同。

4 特殊情形

4.1 情形一

当n→-∞时H→0，此时模型变为一维半无限深势阱。由上文讨论的不含势垒的一维半无限深势阱的情况可知,与能级有关的表达式为

(36)

同样，取K1= 10，求得基态时K≈2.852 3，这与图4中n→-∞时所得结果一致。

4.2 情形二

当n→∞时H→∞，模型被分裂成一维无限深势阱和一维半无限深势阱两部分，其中无限深势阱的宽度为μa，半无限深势阱的宽度为(1-μ)a。由一维无限深势