2011年高考理科数学(全国卷)(含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷．．．．上作答无效。

．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题 （1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i
（2）函数2(0)y x x =≥的反函数为
（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2
(0)4
x y x =≥
（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥
（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞
（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5
（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3
π
个单位长度后，所得
的图像与原图像重合，则ω的最小值等于
（A ）1
3 （B ）3 （C ）6 （D ）9
(6)已知直二面角α –ι- β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)
23 (B)33 (C)63
(D) 1
(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种
(8)曲线y=2x
e-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为
(A)1
3
(B)
1
2
(C)
2
3
(D)1
(9)设()
f x是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()
f x=2(1)
x x
-，则
5 ()
2
f-=
(A) -1
2
(B)
1
4
- (C)
1
4
(D)
1
2
(10)已知抛物线C：24
y x
=的焦点为F，直线24
y x
=-与C交于A，B两点．则cos AFB
∠=
(A)4
5
(B)
3
5
(C)
3
5
- (D)
4
5
-
(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成0
60二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为
(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π
(12)设向量a，b，c满足a=b =1，a b =
1
2
-，,
a c
b c
--=0
60，则c的最大值
等于
(A)2 (B)3 (c)2 (D)1
第Ⅱ卷
注意事项：
1、答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。

2、第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3、第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试卷上作答无效
．．．．．．．．)
(13)(1-x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为:
(14)已知a ∈(
2
π
，π)，sin α=55，则tan2α=
(15)已知F 1、F 2分别为双曲线C : 2
9
x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标
为(2，0)，AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = .
（16）己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .
三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
(17)(本小题满分l0分)
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知A —C =90°，a+c=2b ，求C.
(18)(本小题满分12分)
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；
(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。

求X 的期望。

（19）如图，四棱锥S ABCD -中，19291
()10p e AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为
等边三角形，2,1AB BC CD SD ====. （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥;
（Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.
（20）设数列{}n a 满足10a =且111
1.11n n
a a +-=--
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
1n n a b n
+-=，记1
n
n k k S b ==∑，证明：1n S <。

（21）已知O为坐标原点，F为椭圆
2
2
:1
2
y
C x+=在y轴正半轴上的焦点，过F且
斜率为-2的直线l与C交与A、B两点，点P满足0.
OA OB OP
++=
(Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. （22）（本小题满分12分）
（Ⅰ）设函数
2
()ln(1)
2
x
f x x
x
=+-
+
，证明：当0
x＞时，()0
f x＞；
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续
抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p＜（
9
10
）19＜
2
1
e
.
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)答案
（1）【思路点拨】先求出的共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。

【精讲精析】选B.
（2）【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y取值范围，它是反函数的定义域。

【精讲精析】选B.在函数中，且反解x得，所以的
反函数为.
（3）【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.
【精讲精析】选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。

（4）【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程即可。

思路二：利用直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

【精讲精析】选D.
（5）【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明是此函数周期的整数倍。

【精讲精析】选C. 由题,解得，令，即得.
(6)【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE，根据面面垂直的性质不难证明
平面，进而平面ABC,所以过D作于E，则DE就是要求的距离。

【精讲精析】选C.
如图，作于E，由为直二面角，得
平面，进而，又，于是平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离。

在中，利用等面积法得.
(7)【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。

所以要分类进行求解。

【精讲精析】选B.分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有种。

总的赠送方法有10种。

(8)【思路点拨】利用导数求出点（0，2）切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x的交点问题即可解决。

【精讲精析】选A.切线方程是：,在直角坐标系中作出示意图，即得。

(9)【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间[0,1]上进行求值。

【精讲精析】选A.
先利用周期性，再利用奇偶性得: .
(10)【思路点拨】方程联立求出A、B两点后转化为解三角形问题。

【精讲精析】选D.
联立，消y得，解得.
不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4,4),(1,-2),可求，利
用余弦定理.
(11)【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。

【精讲精析】选B.
作示意图如，由圆M的面积为4，易得，
中，。

故.
(12)【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC为直径时，最大.
【精讲精析】选A.如图，构造
，
所以A、B、C、D四点共圆，分析可知当线段AC为直径时，最大，最大值为2.
(13)【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意.
【精讲精析】0. 由得的系数为, x9的系数为,而.
(14)【思路点拨】本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围，再求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解。

【精讲精析】.由a∈(，)，sinα=得
,.
(15)【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。

【精讲精析】6.
由角平分线定理得：,故.
(16)【思路点拨】本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交，交点为P，则AP为面AEF与面ABC的交线.
【精讲精析】.延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为，所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。

(17)【思路点拨】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合A—C=90°,得到.即可求解。

【精讲精析】选D.由，得A为钝角且，
利用正弦定理，可变形为，
即有，
又A、B、C是的内角，故
或(舍去)
所以。

所以.
(18)【思路点拨】解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为p,利用乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，即可求出p=0.6.然后（ii）利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可.
【精讲精析】设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知：，解得。

（I）设所求概率为P1，则.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。

（II）对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为。

所以X的期望是20人。

（19）【思路点拨】本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明。

（II）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。

【精讲精析】计算SD=1，，于是，利用勾股定理，可知，
同理，可证
又，
因此，.
（II）过D做，如图建立空间直角坐标系D-xyz，
A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),
可计算平面SBC的一个法向量是
.
所以AB与平面SBC所成角为.
（20）【思路点拨】解本题突破口关键是由式子得到是等差数列，进而可求出数列的通项公式.（II）问求出的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和。

【精讲精析】 (I) 是公差为1的等差数列，
所以
(II)
.
（21）【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把
用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。

从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。

(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。

思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.
【精讲精析】 (I)设
直线，与联立得
由得
,
所以点P在C上。

（II）法一：
同理
所以互补，
因此A、P、B、Q四点在同一圆上。

法二：由和题设知，,PQ的垂直平分线的方程为…①设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为…②
由①②得、的交点为
,
,,
故.
所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.
（22）【思路点拨】本题第（I）问是利用导数研究单调性最值的常规题，不难证明。

第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。

【精讲精析】(I)
所以在上单增。

当时，。

（II）
由(I)，当x<0时，,即有
故
于是,即.
利用推广的均值不等式：
另解：，
所以是上凸函数，于是
因此
，故综上：。