渐进法及其它算法简述

第八章渐进法和力矩分配法

超静定结构的计算方法: 力法(六)、位移法（七）

力法计算步骤

1、选取基本体系

2、列力法方程

3、计算系数及自由项

4、解方程

5、作内力图

位移法计算步骤

1、设基本未知量

2、列杆端弯矩方程

3、列位移法方程

4、解方程

5、求杆端弯矩

6、做内力图

为避免解力法和位移法方程，引入一种近似的计算方法，这种方法是位移法的延伸，在计算过程中进行力矩的分配与传递。

渐近法有力矩分配法、无剪力分配法等，它们都是位移法的变体，其共同的特点是避免了组成和解算典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架；无剪力分配法适用于刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件的情况，它是力矩分配法的一种特殊的形式。对于一般有结点线位移的刚架，可用力矩分配法和位移法联合求解。

§8.1 力矩分配法的基本概念

力矩分配法：

理论基础：位移法；

计算对象：杆端弯矩；

计算方法：逐渐逼近的方法；

适用范围：连续梁和无侧移刚架。

基本概念

转动刚度S

分配系数μ

传递系数 C

力矩分配法中符号规定

力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端转角、弯矩及固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号、对结点或附加刚臂逆时针旋转为正号。

一、转动刚度S：

表示杆端对转动的抵抗能力。

在数值等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。

转动刚度SAB 与杆的线刚度i （材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。

二、分配系数

设A 点有力矩M ，求M AB 、M AC 和M AD

如用位移法求解：

A A

B A AB AB S i M θθ==4

A AC A AC AC S i M θθ==

A AD A AD AD S i M θθ==3

0=∑A

M A AD AC AB

S S S

M θ)(++=

∑=++=

A

AD AC AB A S

M

S S S M θ

所以有

M S

S M A

AB

AB ∑=

M S S M A

AC AC ∑= M S S M A

AD AD ∑=

M M Aj Aj ⋅=μ ∑=

A

Aj

Aj S

S μ 1=∑μ

三、传递系数=远端弯矩/近端弯矩

M AB = 4 i ABθA

M BA = 2 i ABθA

在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。

单结点的力矩分配

用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架计算步骤:

第一，计算单跨超静定梁的固端弯矩；

第二，计算结点处各杆端的弯矩分配系数；将不平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后，在结点处按分配系数进行分配。

第三，计算各杆件由近端向远端传递的弯矩传递系数。在各杆上按传递系数进行传递。

第四，将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得各杆的最后弯矩。作内力图。【例】试用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。

§2 多结点的力矩分配

1、原理与方法

对于具有多个结点角位移但无结点线位移（简称无侧移）的结构，思路是，首先把所有结点锁住，然后依次逐个放松结点，使结构处于“单结点”状态，再使用力矩分配法消去结点上的不平衡力矩，如此反复进行，使结点不平衡力矩逐渐减小，直至可以忽略，因此，它是一种渐近法。

2、计算步骤

（1）计算各结点的分配系数；

（2）将所有中间结点固定，计算各杆固端弯矩；

（3）将各结点轮流放松，分配与传递各结点的不平衡力矩，直到传递弯矩小到可忽略为止；（4）把每一杆端历次的分配弯矩、传递弯矩和原有的固端弯矩相加，即为各杆端的最后弯矩。

例.用力矩分配法列表计算图示连续梁。

力矩分配法小结：

1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。

2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。

3）结点不平衡力矩要变号分配。

4）结点不平衡力矩的计算：

5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。

例. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。

§3 对称结构的计算

例、求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。

k当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i2>20i1),梁端弯矩接近于固端弯矩l2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。

k当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i1>20i2),梁端弯矩接近于零。此时竖柱对横梁起铰支座的作用。

k由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅决定于构造作法，也与相对刚度有关。

k如本例中只要横梁线刚度i1 超过竖柱线刚度i2的20倍时，横梁即可按简

支梁计算；反之只要竖柱i

2 超过横梁线刚度i

1

的20倍时，横梁即可按两

端固定梁计算。

k

§4 无剪力分配法

1、概述

1）两类刚架的区别

在位移法中，刚架被分为无侧移刚架与有侧移刚架两类，它们的区别在位移法的基本未知量。