2023年全国高考乙卷理科数学第21题解答

2023年全国高考乙卷理科数学第21题解答题目描述：

（此处省略题目描述，因为具体的题目内容每年都会有所变动，但解题的思路和方法是相通的。因此，这里将提供一个假设性的题目和相应的解答。）

假设题目：已知函数f(x) = x^3 - ax^2 + bx + c (a, b, c ∈ℝ)，且f(x) 在x = 1 和x = -1 时取得极值。求a, b 的值，并讨论f(x) 的单调性。

一、求a、b的值

由题意知，函数f(x) = x^3 - ax^2 + bx + c 在x = 1 和x = -1 时取得极值。根据极值的性质，这两点处的导数应该为0。

首先求f(x) 的导数f'(x)：

f'(x) = 3x^2 - 2ax + b

将x = 1 和x = -1 分别代入f'(x) = 0，得到两个方程：

3(1)^2 - 2a(1) + b = 0

3(-1)^2 - 2a(-1) + b = 0

即：

3 - 2a + b = 0

3 + 2a + b = 0

解这个方程组，得到：

a = 0,

b = -3

二、讨论f(x)的单调性

已知f'(x) = 3x^2 - 3，我们需要讨论f'(x) 的正负来判断f(x) 的单调性。

令f'(x) = 3x^2 - 3 > 0，解得x < -1 或x > 1。这意味着在区间(-∞, -1) 和(1, +∞) 上，f(x) 是增函数。

再令f'(x) = 3x^2 - 3 < 0，解得-1 < x < 1。这意味着在区间(-1, 1) 上，f(x) 是减函数。

综上，f(x) 在(-∞, -1) 和(1, +∞) 上单调递增，在(-1, 1) 上单调递减。

三、结论

通过求解和讨论，我们得到a = 0, b = -3，并且得知f(x) 在不同的区间上具有不同的单调性。这种对函数性质的探讨在数学中非常常见，也是高考数学中的重要考点。通过对函数的导数进行分析，我们可以了解到函数的增减性、极值点等重要信息，从而更加深入地理解函数的性质和行为。

本题主要考察了学生对导数、极值和函数单调性的理解和应用能力。在解题过程中，学生需要灵活运用导数的基本性质和计算方法，结合题目的具体条件进行分析和求解。同时，学生还需要注意细节的处理和逻辑的严密性，确保解题过程的准确性和完整性。通过这类题目的练习和解答，学生可以进一步提高自己的数学素养和解题能力。