应用数学基础
应用数学基础习题答案
应用数学基础习题答案应用数学基础习题答案数学作为一门基础学科，无论在学校还是在社会生活中，都扮演着重要的角色。
数学的应用范围广泛，涉及到各个领域，如工程、经济、物理等。
而在学习数学的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以巩固知识，提高解题能力。
下面将为大家提供一些应用数学基础习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
第一题：已知一架飞机以每小时600公里的速度飞行，计算飞机在5小时内所飞行的距离。
解答：飞机的速度为每小时600公里，所以在5小时内飞行的距离为600公里/小时× 5小时 = 3000公里。
第二题：一个长方形的长是5米，宽是3米，计算其面积和周长。
解答：长方形的面积可以通过长度乘以宽度来计算，所以面积为5米× 3米 = 15平方米。
周长可以通过将长度和宽度相加后乘以2来计算，所以周长为（5米 + 3米）× 2 = 16米。
第三题：已知一个正方形的边长是2厘米，计算其面积和周长。
解答：正方形的面积可以通过边长的平方来计算，所以面积为2厘米× 2厘米= 4平方厘米。
周长可以通过将边长乘以4来计算，所以周长为2厘米× 4 = 8厘米。
第四题：已知一个圆的半径是3米，计算其面积和周长（取π = 3.14）。
解答：圆的面积可以通过半径的平方乘以π来计算，所以面积为3米× 3米× 3.14 ≈ 28.26平方米。
周长可以通过将直径乘以π来计算，所以周长为2 × 3米× 3.14 ≈ 18.84米。
第五题：已知一个三角形的底边长是4厘米，高是3厘米，计算其面积。
解答：三角形的面积可以通过底边长乘以高再除以2来计算，所以面积为4厘米× 3厘米÷ 2 = 6平方厘米。
通过以上的习题解答，我们可以看到数学的应用在我们日常生活中无处不在。
通过解题，我们可以锻炼我们的逻辑思维能力，提高我们的数学素养。
应用数学基础知识点总结及课堂笔记
应用数学基础知识点总结及课堂笔记 1.函数、极限和连续 1.1函数1.1.1函数的概念 （1）函数的定义：设X ，Y 是两个非空实数集合，若存在对应法则f ，使得对于任给的x X ∈，存在唯一的y Y ∈与之对应，则称f 是X 到Y 的函数，记作()y f x =。
X 称为定义域，{|(),}W y y f x x X Y ==∈⊂，称为函数f 的值域。
（2）函数的表示法：a.公式法：如分段函数、隐函数、参数方程表示的函数；b.图形法：c.表格法：（3）分段函数：（4）要点：函数的定义的两个要素：定义域X 及对应法则f 。
当两个函数的定义域及对应法则均相同时，表示两个函数相同。
定义：设()f x 的定义域为X ，值域为W ，若对于任给y W ∈，在X 中只有一个数x 与之对应，使得()f x y =，把y 看作自变量，x 看作函数，得到的一个新函数，称为函数f 的反函数，记作1f-。
1()()fy x f x y -=⇔=原函数与反函数的图像关于直线y x =对称，原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。
复合函数：设函数()y f u =的定义域为U ，函数()u x ϕ=的定义域为X ，值域为*U ，且*U U ⊂，则称函数(())y f x ϕ=为定义在X 上的复合函数，u 为中间变量。
1.1.6初等函数 定义：由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所构成并可用一个式子表示的函数叫做初等函数。
一些简单实际问题的函数关系式：（1）长方形z 绕轴线L 旋转一周（如右图）的所得体积为：2V x y π=（2）将边长为a 的正方形的四角截取边长为x 的小正方形，并将小正方形折起所得的正方体（如右图）的体积为：2(2)V a x x =-（3）收益函数：R PQ =（P ：价格，Q ：数量）成本函数：()C Q 利润函数：L R C =- 1.2极限1.2.1数列极限的概念数列的极限lim n n x a →+∞=：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时，有n x a ε-<。
大一应用数学基础知识点
大一应用数学基础知识点本文将介绍大一学生需要掌握的应用数学基础知识点，包括数列与数列极限、函数与函数极限、导数与微分以及积分与定积分。
一、数列与数列极限数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
数列的极限是指当数列中的数趋于无穷时，数列整体的趋势或稳定的值。
大一学生需要了解以下几个重要的概念和性质：1. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个常数或者变量来表示数列中的每一项。
例如等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
2. 数列的极限数列的极限指的是当数列中的数趋于无穷时，数列整体趋于的稳定值。
例如，等差数列的极限为无穷或有限值，等比数列的极限为0或无穷。
3. 数列收敛与发散数列的极限存在且为有限值时，称为收敛；当极限不存在或为无穷时，称为发散。
4. 数列极限的性质常用的数列极限性质有唯一性、夹逼准则以及四则运算法则等，大一学生需要熟悉这些性质的应用和证明。
二、函数与函数极限函数是一种特殊的关系，将自变量和因变量联系起来。
函数极限则是指当自变量趋于某个值时，函数整体趋于的稳定值。
大一学生需要掌握以下几个重要的概念和性质：1. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的所有可能取值。
函数的值域是指所有因变量的可能取值。
2. 函数的极限函数的极限是指自变量趋于某个值时，函数整体趋于的稳定值。
例如，当自变量无穷趋近于某个值时，函数的极限可以是有限值、无穷大或无穷小。
3. 函数极限的性质常用的函数极限性质有唯一性、夹逼准则以及四则运算法则等，大一学生需要熟悉这些性质的应用和证明。
三、导数与微分导数是函数变化率的度量，描述了函数某一点的陡峭程度。
微分则是导数的几何解释，表示函数在某一点附近的线性近似。
大一学生需要了解以下几个重要的概念和性质：1. 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，用极限的方式表示。
记作f'(x)或dy/dx。
2. 常见函数的导数常用函数的导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
《应用数学基础》 (谢政 著) 课后习题答案 国防工业出版社习题2解答
⎡λ + α ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
0 λ +α 0 0
1 0 λ +α 0
0 ⎤ 1 ⎥ ⎥． 0 ⎥ ⎥ λ +α ⎦
+ 3i ( −1)] 0 −8 ⎤ [[ 2 −(λ + 1) λ + 11⎤ ⎡ 1 ⎡λ − 3 2 i ( −1)] 1,2 ⎢ ⎥ [ ] 0 →⎢ −8 ⎥ 解：(1) ⎢λ − 3 ⎥ ⎢ −3 λ + 1 −6 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ λ λ − + − + 2 0 5 2 0 5 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(2) 设目前农村人口与城镇人口相等，即 ⎢
解 (1) ⎢
q ⎤ ⎡ xn ⎤ ⎡ xn +1 ⎤ ⎡1 − p =⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥. ⎣ yn +1 ⎦ ⎣ p 1 − q ⎦ ⎣ yn ⎦ −q q ⎤ λ −1+ p ⎡1 − p = = (λ − 1)(λ − 1 + p + q) , ⎥ −p λ −1+ q ⎣ p 1− q⎦
Aα = λα , A α = A
m
m −1
( Aα ) = Am −1λα = λ Am −1α = λ mα
7. 将下列矩阵酉对角化．
A−1α = λ −1α
− 2 ，对应的特征向量分别为 (0,1, −i ) T , ( 2i,1, i ) T , (− 2i,1, i ) T ，由于此三个向量分
(2)
λI − ⎢
λ1 = 1, λ2 = 1 − p − q, ξ1 = ( q, p ) T , ξ 2 = (1, −1)T ,因此
q ⎤ ⎡ q 1 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ q 1 ⎤ ⎡1 − p ⎢ p −1⎥ ⎢ p 1 − q ⎥ ⎢ p −1⎥ = ⎢ 0 1 − p − q ⎥ , ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣
应用数学基础上册(1-12章)全套课件
例1 用列举法或描述法表示下列集合.
（1）大于 3 小于 17 的偶数； （2）不等式 x2 4 0 的整数解
解 (1)用列举法可表示为:4,6,8,10,12,14,16 用描述
如果集合所包含的元素个数为有限个，称这个集合为 有限集合；如果集合所包含的元素个数为无限多个，称这 个集合为无限集合。
例如，实数集R，有理数集Q等都是无限集合，而上面的 例子中， (1) 、 (3) 、 (4) 、 (5) 都是有限集合.
二、集合的表示法
1、列举法 把某一集合的每个元素不重复、不遗漏、不 分次序地一一列举起来写在花括号 {}内表示集合的方法叫 做列举法。
Байду номын сангаас
例如,集合 1,2,3 与集合 1, 2,3, 4,5 ,由定义可知, 1, 2,3 是 1,2,3,4,5的子集, 记作1,2,3 1, 2,3, 4,5 或{1,2,3,4, 5} 1, 2,3 .
为方便起见,我们把至少含有一个元素的集合叫做非空集. 应该注意:
(1)空集“ ”与集{0}以及数“0”是三个不同概念；
(2)单元素集{ a }与单个元素 a 是两个不同的概念.{ a }表示 由 a 组成的集合，而 a 表示一个元素 a .
四、子集、真子集、集合的相等
对于两个集合 A 和B , 如果集合A的任何一个元素都是集 合B的元素,则称集合 A 为集合 B 的子集.记作 A B (也可 写成A B),或 B A (B A).读作" A包含于B "或" B包含A".
习惯上，我们用大写字母 A、B、C、…表示集合，而用小写字 母a、 b、 c…表示集合的元素。 如果a 是集合 A 的元素， 记为 “ aA” ， 读作 “ a 属于 A” ； 如果 a 不是集合 A 的元素， 则记为 “ aA”(或 “a” )， 读作“ a 不属于 A” 。
应用数学基础第四版教学设计
应用数学基础第四版教学设计一、引言应用数学基础课程是学习数学专业的基础课程之一，是为了培养学生的数学能力和逻辑思维能力。
本文将介绍应用数学基础第四版的教学设计，帮助教师更好地完成课程教学。
二、教学目标本课程的教学目标是：•培养学生具有分析和解决实际问题的数学能力•了解常见的数学方法和技巧，并能够灵活应用•熟悉数学基本概念和符号表示方法•建立数学思维和逻辑思维三、课程设置为了实现教学目标，本课程将分为以下几个模块：1.微积分基础知识：介绍微积分的基本概念和计算方法，包括求导、积分、微分方程等。
2.线性代数基础知识：介绍线性方程组的解法、矩阵和向量的基本计算法则以及线性变换等。
3.概率论与统计学基础知识：介绍概率和统计的基本概念，如随机变量、概率分布、可能性、分布参数、抽样方法、估计和假设检验等。
4.函数基础知识：介绍基本的函数概念和特点，如一元函数、多元函数、连续性、极限等。
四、教学方法为了更好地达成教学目标，本教学设计采取以下教学方法：1.理论课：通过正统教学方法讲解课程的基本理论知识。
2.实验课：通过实例分析案例来加深对理论知识的理解。
3.小组合作学习：通过小组合作学习来促进学生之间的相互交流和讨论，解决问题的能力提高。
4.课程设计：通过课程设计来激发学生学习和探索的积极性以及综合解决问题的能力。
5.教学反思：教师可以针对每一次教学进行反思和调整，提高自身教学水平。
五、教学评估为了评估教学效果和学生掌握情况，我们将采取以下方式：1.课堂测试：课后可安排小测试，测试学生对于本课程的基本理解和掌握情况。
2.小组讨论：课程设计可安排小组讨论，通过讨论和交流，提高学生对于知识的理解和综合解决问题的能力。
3.课程总结报告：学生可撰写课程总结报告，将自己所学知识进行总结并概括提炼，加深自己对课程内容的掌握。
六、结论应用数学基础是数学专业学科基础中的重要一课，既是学生学习智力的提高，也是学习数学专业的基石。
应用数学基础
应用数学基础应用数学是一门研究数学在实际问题中的应用的学科，它不仅仅是为了解决数学问题，更是为了解决现实世界中的各种实际问题。
应用数学基础是应用数学的基石，它包含了数学中的基本概念、原理和方法，为解决实际问题提供了重要的工具和思维方式。
应用数学基础的核心内容之一是数学模型的建立和求解。
数学模型是将实际问题抽象化、简化为数学形式的表示，通过对模型的求解来获取问题的解答。
在建立数学模型时，我们需要考虑问题的背景、目标和限制条件，选择合适的数学方法和工具进行求解。
例如，在物理学中，我们可以使用微分方程来描述物体的运动状态；在经济学中，我们可以使用优化方法来寻找最优的决策方案。
另一个重要的内容是概率论和统计学。
概率论是研究随机事件发生的规律性和不确定性的数学分支，统计学是通过对数据的分析和推断来研究总体特征和个体差异的学科。
概率论和统计学可以帮助我们理解和解释实际问题中的不确定性，如风险评估、市场预测、医学诊断等。
通过概率论和统计学的方法，我们可以对实际问题进行量化分析，为决策提供科学依据。
线性代数是应用数学中的另一个重要分支。
线性代数研究向量、矩阵和线性变换的性质和运算规律，它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用线性代数的方法来描述和处理图像的变换和渲染；在电力系统中，我们可以使用线性代数来分析电路的稳定性和功率流动等问题。
数值计算是应用数学中的一个重要分支，它研究通过数值方法来近似求解数学问题。
在实际问题中，往往无法通过解析方法得到精确解，这时就需要借助数值计算的方法来求解。
数值计算涉及到数值逼近、插值、数值积分、数值微分等技术，它在科学计算、工程设计、金融风险评估等领域发挥着重要作用。
优化理论和方法也是应用数学中的一大重要内容。
优化理论研究如何在给定的约束条件下，找到使某一指标达到最优的决策方案。
优化问题广泛存在于各个领域，如物流路径规划、生产调度、资源分配等。
应用数学基础第二版复习题
应用数学基础第二版复习题应用数学基础第二版复习题应用数学是一门研究数学在实际问题中的应用的学科。
它涉及广泛的领域，包括物理学、工程学、经济学等。
应用数学基础是学习应用数学的重要基础课程之一。
本文将对《应用数学基础第二版》的复习题进行讨论和解答，帮助读者更好地理解和掌握这门课程。
第一章：微积分基础第一章主要介绍了微积分的基本概念和方法。
复习题中涉及了导数、微分、极限等内容。
在解答这些题目时，我们需要熟练掌握导数的计算方法，理解极限的概念，并能运用微积分的基本原理解决实际问题。
第二章：微分方程第二章主要介绍了微分方程的基本概念和解法。
复习题中涉及了一阶和二阶微分方程的解法，以及常微分方程的应用。
在解答这些题目时，我们需要掌握微分方程的基本解法，了解常微分方程在物理学、生物学等领域的应用，并能灵活运用所学知识解决实际问题。
第三章：多元函数微分学第三章主要介绍了多元函数的导数和微分学。
复习题中涉及了多元函数的偏导数、全微分、梯度等内容。
在解答这些题目时，我们需要理解多元函数的导数和微分的概念，熟练掌握偏导数的计算方法，并能灵活运用所学知识解决实际问题。
第四章：多元函数积分学第四章主要介绍了多元函数的积分学。
复习题中涉及了二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等内容。
在解答这些题目时，我们需要熟练掌握多元函数积分的计算方法，理解积分的几何意义，并能运用所学知识解决实际问题。
第五章：级数第五章主要介绍了级数的基本概念和性质。
复习题中涉及了数项级数、幂级数、傅里叶级数等内容。
在解答这些题目时，我们需要理解级数的收敛性和敛散性，掌握级数求和的方法，并能灵活运用所学知识解决实际问题。
通过对《应用数学基础第二版》的复习题的讨论和解答，我们可以更好地理解和掌握应用数学的基本概念和方法。
同时，通过解决实际问题的例子，我们也能够更好地将所学知识应用到实际生活中。
因此，复习题的学习和解答是学习应用数学基础的重要环节，希望读者能够认真对待，并通过不断练习和思考提高自己的数学水平。
《应用数学基础》 (谢政 著) 课后习题答案 国防工业出版社习题1解答
: Y → X 存在的充要条件是 Tx = 0 ⇒ x = 0 ；
−1 −1
(2) 若逆映射 T 存在，则 T 也是线性算子． 证明 (1) 由于 T 是满射，则 R (T ) = Y ．
−1
必要性． 假设 T 的逆映射 T 以及 T 为单射可知 x = 0 ．
: Y → X 存在， 则 T 为单射． 若 Tx = 0 ， 则由 T 0 = 0
⎡0⎤ ⎢a ⎥ ⎢ ⎥, ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣c ⎦
⎡b ⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥, ⎢d ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
⎡0⎤ ⎢b ⎥ ⎢ ⎥， ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣d ⎦
案
⎡a ⎢0 ⎢ ⎢c ⎢ ⎣0
0 a 0 c
b 0 d 0
0⎤ b⎥ ⎥． 0⎥ ⎥ d⎦
9. 设 T 是三维线性空间 X 上的线性变换，它关于基 {e1 , e2 , e3 } 的矩阵是
2×2
⎧ ⎡1 ⎨⎢ ⎩ ⎣0
的矩阵． 解
⎡0 ⎢0 ⎣
2×2
1⎤ , 0⎥ ⎦
⎡0 ⎢1 ⎣
0⎤ , 0⎥ ⎦
⎡0 ⎢0 ⎣
0⎤ ⎫ ⎬ 1⎥ ⎦⎭
(1) 令 K = {TX |X ∈ ℝ
} ，则 K 为 ℝ 2×2 的线性子空间， T 为 ℝ 2×2 → K 上
的映射，且有 ∀X 1 , X 2 ∈ ℝ
0⎤ ⎡1 = b⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0
b⎤ ⎡0 = b⎢ ⎥ d⎦ ⎣0
即 TE11 , TE12 , TE 21 , TE 22 关于基 {E11 , E12 , E 21 , E 22 } 的坐标依次为
网
课
因此 T 关于基 {E11 , E12 , E 21 , E 22 } 的矩阵为
《应用数学基础》(陈冲)157-8课件 第一章 函数、极限与连续
1.1 函数的概念 2．函数的性质
3）单调性
设函数 f (x) 在区间 I 上的任意两点 x1 ，x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称 y f (x) 在 区间 I 上为单调增加函数；反之，当 x1 x2 时， f (x1) f (x2 ) ，则称 y f (x) 在区间 I 上为单调
应用数学基础
第一章 函数、极限与连续
目录
ONTENTS
1 函数 2 函数的极限 3 无穷小量与无穷大量 4 极限的四则运算法则 5 两个重要极限 6 函数的连续性
01 函 数
1.1 函数的概念 1．函数的两个要素
➢ 函数的概念
定义 1 设 x 和 y 是两个变量， D 是一个给定的数集，如果对于给定的每个数 xD ，按照 某个法则 f 总有一个确定的 y 值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ，数集 D 称为这个 函数的定义域， x 称为自变量， y 称为因变量， y 的取值范围称为函数的值域，用 M 表示．
1.2 基本初等函数
（1）常数函数： y C ． （2）幂函数： y x （ 为常数）． （3）指数函数： y ax （ a 0 ， a 1， a 为常数）． （4）对数函数： y loga x （ a 0 ， a 1， a 为常数）． （5）三角函数： y sin x ， y cos x ， y tan x ， y cot x ， y sec x ， y csc x ． （6）反三角函数： y arcsin x ， y arccos x ， y arctan x ， y arccot x ． 这六种函数统称为基本初等函数．这些函数的定义、图像和性质在中学已经学过，今后会 经常用到．
．
经济管理专业应用数学基础
经济管理专业应用数学基础引言应用数学是经济管理专业的重要基础课程之一，它为学生提供了数学工具和方法，以解决经济学和管理学中的实际问题。
本文将介绍经济管理专业应用数学基础的重要性、主要内容以及对未来职业发展的影响。
重要性在现代经济和管理领域，数学的应用日益普遍和重要。
经济学和管理学研究中的许多问题都可以转化为数学模型，通过数学方法进行分析和解决。
应用数学为学生提供了工具和技巧，以更好地理解和解决这些实际问题。
应用数学能够提高学生的解决问题的能力和分析能力。
经济和管理问题通常具有复杂性和不确定性，需要通过数学模型进行建模和分析。
应用数学的学习可以培养学生的逻辑思维和数学建模能力，使他们能够灵活运用所学知识解决实际问题。
此外，应用数学还能够帮助学生建立数学思维和抽象思维能力。
经济和管理问题的数学建模过程需要学生从实际问题中抽象出数学模型，通过符号代表和数学运算来分析问题。
这种抽象思维能力对于学生的数学素养和创新能力的培养具有重要作用。
主要内容经济管理专业应用数学基础的主要内容包括以下几个方面：线性代数线性代数是应用数学的基础，并在经济和管理学中广泛应用。
线性代数涉及向量空间、矩阵理论、线性方程组和线性变换等内容。
学生通过学习线性代数可以掌握向量和矩阵的运算法则，理解线性方程组的解法以及线性变换在实际问题中的应用。
概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象的数学分支，也是经济和管理学中常用的工具。
学生通过学习概率论与数理统计可以了解随机变量、概率分布、假设检验等内容，掌握描述和分析经济和管理问题中的随机性和不确定性的方法。
微积分微积分是应用数学的核心内容，也是经济和管理学中最常用的工具之一。
学生通过学习微积分可以掌握函数的极限、导数和积分等概念，理解函数的性质和图形，应用微积分方法解决经济和管理问题。
线性规划线性规划是一种数学优化方法，被广泛应用于经济和管理领域。
线性规划通过建立数学模型和求解最优解，帮助决策者做出最优决策。
《应用数学基础》(陈冲)教学课件 预 备 知 识
由交集的定义可知，对于任何集合 A 与 B，都有 A A A， A B B A， A ．
特别地，如果两个集合 A，B 没有公共元素，则它们的交集等于空集，表示为 A B ．
1.3 集合的基本运算 1．交集
1.1 集合的概念与表示 2．集合的表示方法
1）列举法 对于有的集合，可以在大括号中将它的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，这种表示 集合的方法称为列举法． 例如，由大于 3 且小于 10 的所有偶数组成的集合可以表示为
{4，6，8} ； 方程 x2 9 0 的解集可以表示为
{ 3，3}． 由于集合是由一些对象组成的整体，因此在用列举法表示集合时，不必考虑元素的排列次序， 即{3， 3} 和{ 3，3}表示的是同一个集合．
1.1 集合的概念与表示 1．集合的概念
例 1 用符号“”或“”填空：
（1） 5 _____N，
2 _____N，
（2） 0 _____Z，
2.3 _____Z，
（3） π _____Q，
1.6 _____Q，
（4） 3 _____R，
2 _____R，
3.7_____N； 5 _____Z； 9.21_____Q； 4.7_____R．
（2）解方程 x2 2x 3 0 得
x1 3 ， x2 1，
所以该方程的解集为
{ 3，1} ．
1.1 集合的概念与表示 2．集合的表示方法
例 3 用描述法表示下列集合： （1）大于 3 的所有奇数组成的集合； （2）不等式 3x 1 0 的解集．
解 （1）该集合中元素的共同属性可以描述为 x 3 且 x 2 k 1， k Z ，
【研究生课件应用数学基础】第一章集合上的数学结构-PPT精选文档
证： ｜‖ｘ‖－‖ｙ‖｜≤‖ｘ－ｙ‖。
9
26. 设V是赋范线性空间。MＶ称为凸集， 如果ｕ,ｖ∈Ｍ,θ∈［０,１］，总有 ｗ＝θｕ＋（１－θ）ｖ∈Ｍ。 证明：开球Ｂ1(０)＝｛ｕ∈Ｖ／‖ｕ‖＜１}是 凸集。
27.设 则
u
是Banach空间V中无穷级数。
证明：如果‖ｕn‖≤Ｍn（ｎ＝１,２,…)
对矩阵的加法及数与矩阵的乘法。
(3)平面上不平行于某一向量的全体向量，对于
向量的加法和数与向量的乘法。
（4）主对角线上各元素之和为零的全体n阶实 矩阵的要合，对于矩阵的加法和数与矩阵的乘 法。
3
10.设向量组x1,x2, …,xm∈V(F)线性相关。证明：
向量组x1,x2, …,xm，xm+1, …,xn(n>m)∈V(F)也线 性相关。 11.设向量组x1,x2, …,xn∈V(F)线性无关。向量组 x1,x2, …,xn，x∈V(F)线性相关。证明：x可由 x1,x2, …,xn线性表示。 12.在向量空间Rn中，下列向量集合是否构成 Rn子空间？为什么？如果是子空间，它的维数
32.设x1=(1,1,0)T,x2=(2,0,1)T,x3=(2,2,1)T∈R3,求一 组与x1,x2,x3等价的标准正交基。
12
33. 设M和N是Hilbert空间H中的闭子空间， 且M⊥Ｎ，证明：MN是H中的闭子空间。 34.设H是内积空间，证明：若wH,有 (u,w)=(v,w)(u,v∈H),则u=v。 35. 设H是［－１，１］上连续实函数空间， 定义内积： (f, g) fgdx ,
是多少？
（1）前两个分量之和为零的全体向量V。
4
(2)前两个分量之和不为零的全体向量V.
《应用数学基础》学习辅导与习题解答
《应用数学基础》学习辅导与习题解答
应用数学基础是一本关于数学基本原理及其在应用领域中的实际应用的书籍。
本书倡
导理论和实践相结合，可以激发读者学习数学的激情，使他们考虑到许多他们了解此领域
的方面。
本书是基于特定的应用领域，特别是社会科学，经济学，教育学，和商业，服务
的基础数学原理。
这些原理包括概率，统计，线性规划，成本-效益分析，控制系统设计，动态规划，灵活选择和优化技术，随机过程和搜索，及分析和数值技术。
本书涵盖了一系列经典主题和例子，更新了一系列概念和内容，它被设计为教授应用
数学课程以及其他专业的技术领域，这些领域可以使用现代数学工具，并用应用数学原理
来解决实际技术问题。
本书讲述的是一系列针对复杂系统的系统抽象，采用统一的单一数
学模型，清晰地反映了这些抽象的差异和复杂性。
书中还提供了一系列的课堂活动，以及
例子和习题解答，以便读者可以更好地理解并应用数学原理。
本书共分为14章，包括：绪论，线性代数，统计和随机现象，统计技术和精细方法，概率理论，搜索和优化技术，流程模型，灵活模型，可靠性，成本效益分析，控制系统，
动态规划，稳定，以及最优化算法。
每一章都从应用数学的层面介绍了数学的基本原理，
然后根据书后的习题解答，读者可以更好的掌握数学的基本原理。
本书既可以作为一本数学基础书学习数学，也可以作为一本工具书，解决复杂商业或
其他技术实际问题，使读者可以更好地理解并应用数学原理，提高学习数学的效率。
天津大学数学系《应用数学基础》编写组编
天津大学数学系《应用数学基础》编写组编《应用数学基础》是一部现代应用数学的综合性教程，本书是天津大学数学系编写组编写的，由胡晓光教授担任主编，主要重点介绍和讨论现代应用数学的基本概念、基础知识和基本方法。
全书共分为12章，包括线性代数、复变函数、计算几何学、数值分析、概率论及其应用等内容。
第一章介绍现代应用数学及其发展历史，主要讲解现代应用数学的概念、发展历史及其与自然科学、工程技术及管理等学科的关系。
第二章介绍线性代数，主要讲解线性代数的基础概念、矩阵性质、解线性代数方程组的方法等；第三章介绍复变函数，主要讲解复变函数的极限、导数、积分、泰勒级数等内容，以及复变函数的应用；第四章介绍计算几何学，主要讲解几何空间的基本概念、平面图形与空间图形的构造及其应用，以及向量微积分的基本概念及其应用。
第五章讨论数值分析，主要介绍数值分析的基本概念，讨论微分方程求解的解法，以及函数拟合、数值积分等内容；第六章介绍概率论及其应用，主要讲解概率论的基本概念及统计方法，以及最大似然估计、检验方法等。
本书的编写组以天津大学数学系的不同学术方向的学者为主，他们尽最大努力，使本书取得了很好的效果。
编写组成员以高质量、实用性为主要目标，通过严格的审核、耐心查找资料和翻新排版，以确保书中的内容准确无误。
同时，他们还通过反复推敲、改进和补充，使本书广受好评。
《应用数学基础》全书以实用性和实用价值为主，旨在提供一本系统、全面、具备较高可读性的教材，面向各种专业的学生，让他们以正确的思路深入研究应用数学，为现代社会发展提供有效的支持与推动力。
工程应用数学基础
工程应用数学基础工程应用数学是应用数学的一个重要分支，广泛应用于工程领域中的各种问题的处理和分析。
它涉及到的数学理论及方法非常丰富，如微积分、线性代数、概率论、随机过程和最优化理论等。
本文将从数学原理、应用场景和实际案例三个方面来介绍工程应用数学的基础知识。
一、数学原理1.微积分微积分是工程应用数学的重要基础，它包括微分和积分两个部分。
微分是研究函数的导数和微分方程的解法，而积分则是研究函数的积分和定积分的计算。
在工程中，微积分被广泛应用于分析变量的变化和工程系统的运动状态。
例如，在机械工程中，微积分可以用来计算机械结构的应力、变形和材料的疲劳等。
2.线性代数线性代数是研究向量和矩阵的性质和计算方法。
它广泛应用于各个领域，如工程、物理、经济学和计算机科学等。
在工程中，线性代数被广泛应用于控制系统、信号处理、图像处理和电路分析等。
例如，在电路分析中，线性代数可以用来计算电路中不同元件之间的关系和电流的分配情况。
3.概率论和统计学概率论和统计学是研究随机变量和概率的理论和方法。
它在工程应用数学中被广泛应用于风险评估、可靠性分析、质量控制和决策分析等。
在工程中，概率论和统计学可以用来分析不确定性因素对工程系统性能的影响，例如，在材料科学中，它可以用来分析材料的强度和寿命等。
4.最优化理论最优化理论是研究如何在给定的约束条件下，找到使特定目标函数最小或最大的优化方法。
在工程中，最优化理论被广泛应用于工程设计、生产规划、资源分配和控制系统等。
例如，在电力系统规划中，最优化理论可以用来确定最佳的发电和输电方案以满足不同的用电需求。
二、应用场景1.结构分析结构分析是指通过对结构体系进行数学模型的建立，通过数学计算，得到结构的受力分布和变形情况。
结构分析可以应用于建筑物、桥梁、挖掘机等领域，它的目的是为了确保结构的安全和可靠性。
在结构分析中，常用的数学工具有微积分、线性代数和有限元分析等。
2.电路分析电路分析是指通过对电路中不同元件之间的关系进行数学建模，然后通过数学计算，得到电路中电流、电压和功率等参数的变化情况。
应用数学基础教案模板范文
课时安排：2课时教学目标：1. 知识与技能：通过本节课的学习，掌握应用数学基础的基本概念、基本方法和基本原理，提高学生解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：通过课堂讨论、案例分析和实际操作，提高学生分析问题、解决问题和团队协作的能力。
3. 情感态度与价值观：通过本节课的学习，增强学生的学习兴趣，培养学生将数学知识应用于实际生活的意识，激发学生对数学的热爱。
教学重难点：1. 教学重点：（1）应用数学基础的基本概念；（2）应用数学基础的基本方法；（3）应用数学基础的基本原理。
2. 教学难点：（1）将数学知识应用于实际问题的解决；（2）培养学生分析和解决实际问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、案例材料、教学活动设计；2. 学生准备：提前预习教材相关内容，了解应用数学基础的基本概念、基本方法和基本原理。
教学过程：一、导入1. 复习上节课所学内容，引导学生回顾应用数学基础的基本概念；2. 提出本节课的学习目标，让学生明确学习方向。
二、新课讲解1. 讲解应用数学基础的基本概念，如集合、函数、极限、导数等；2. 讲解应用数学基础的基本方法，如数学建模、数学证明、数学分析等；3. 讲解应用数学基础的基本原理，如微积分原理、线性代数原理等。
三、案例分析1. 选择一个实际案例，引导学生分析问题，运用所学知识解决问题；2. 学生分组讨论，教师巡回指导，帮助学生解决实际问题；3. 各组汇报分析结果，教师点评并总结。
四、实际操作1. 设计一个实际操作活动，让学生运用所学知识解决实际问题；2. 学生分组进行实际操作，教师巡回指导，确保学生掌握操作技能；3. 各组展示操作成果，教师点评并总结。
五、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结应用数学基础的基本概念、基本方法和基本原理；2. 强调将数学知识应用于实际生活的意义；3. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、讨论和操作情况，评价其学习积极性；2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量，评价其掌握程度；3. 案例分析及实际操作：评价学生在案例分析及实际操作中的表现，评价其解决问题的能力。
应用数学基础上册课程设计 (2)
应用数学基础上册课程设计一、背景应用数学是一门涉及到多个学科的综合性学科，其研究内容主要包括数学在现实生活中的应用及其技术方法。
应用数学的基础课程就是应用数学基础。
应用数学基础课程的作用是为学生提供数学知识和方法，使他们在从事各种职业和行业中能够运用数学知识和方法解决实际问题，引导学生对数学研究问题的思维方式，提高学生的数学运算能力、逻辑分析能力和解决实际问题的能力。
二、课程目标1.掌握数学基本概念及相应的定理和推论；2.掌握基本的代数方法和初等函数的性质；3.熟悉数学常见的应用方法，如微积分的初步思想和方法、概率论与数理统计、线性代数等；4.培养学生的数学素养和实际运用数学的能力。
三、教学内容1. 数学基本概念1.集合，集合的表示方式，元素；2.数的表示及运算，实数，复数；3.函数的基本概念，基本性质，函数的图像。
2. 初等函数的性质1.幂函数，指数函数，对数函数；2.三角函数，反三角函数；3.限制函数，分段函数。
3. 微积分初步思想和方法1.重要的极限定理（无穷加减乘除等）；2.导数的定义及其基本公式、导数的应用、高阶导数、微分；3.不定积分和定积分的定义、基本公式、定积分的应用、变量代换积分法、分部积分法。
4. 概率论与数理统计1.随机事件、样本空间、概率、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式；2.随机变量、分布函数、随机变量的概率分布、特征数、常见分布；3.统计量、抽样分布、参数估计、假设检验。
5. 线性代数1.矩阵的基本概念、运算及性质；2.行列式及其性质，逆矩阵及其计算方法；3.线性方程组的解法。
四、教学方法1.前置知识引入：通过小组讨论、案例分析、问题解决等方式引导学生主动探究前置知识，将前置知识与所学内容进行联系，提高学生的学习兴趣；2.实验教学：通过实验教学、模拟操作等方式，让学生感受其中的数学原理和应用价值，培养学生的实际操作能力；3.课堂演示：通过展示故事、视频片段等形式加深学生对某些理论知识的理解和应用，创设与生活相联系的实际场景，激发学生对学习的兴趣和动力；4.互动讨论：通过课堂互动、讨论、小组项目等活动，培养学生的自主学习能力和合作精神。
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.. 《应用数学基础》试题一、选择题（10分）6.函数22)(xx x x f -=的定义域是_________.4.已知f (x )是2x 的一个原函数,且f (0)=2ln 1,则f (x )=( ) A.C x +2ln 2(C 是任意常数) B.2ln 2x C.2x ln2+C (C 是任意常数) D.2x ln212.不定积分=-⎰dx xx24_________. 14.设函数⎰=xdt t x f 202cos )(,则f ’(2)=_________.17.求曲线y =e x +x cos3x 在点(0,1)处的切线方程. 18.求极限12sin lim20--→x e xx x x .1．函数f (x )=2+x +ln(3-x )的定义域是( ) A ．[-3,2] B ．[-3,2) C ．[-2,3)D ．[-2,3]24.（1）设)(x y y =由方程1333=+-y xy x 确定，求x y d d 及0d d =x xy 。
7．函数f (x )=6512--+x x x 的间断点是_________. 12．定积分⎰--222d 4x x =_________.13．极限xtt xx ⎰→02d sin lim=_________.14．无穷限反常积分⎰∞-02d e x x =_________.4．对于函数f (x ),下列命题正确的是（ ） A ．若x 0为极值点，则0)(0='x f B ．若0)(0='x f ，则x 0为极值点 C ．若x 0为极值点，则0)(0=''x f. . D ．若x 0为极值点且)(0x f 存在，则0)(0='x f 8．设函数xey tan =,则='y ．9．曲线y=x 2+1在点（1，2）处的切线方程为 ． 10．函数x x x f +=3)(的单调增加区间为 ． 19．计算定积分⎰-=521dx x x I ．21．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-+=0,sin 0,10,11)(22x x ax x x b x x x f ，试确定常数a 和b 的值，使得)(x f 在x =0处连续． 1.函数f (x )=arcsin ⎪⎭⎫⎝⎛-21x 的定义域为（ ） A.[-1，1]B.[-1，3]C.（-1，1）D.（-1，3）3.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=1312)(3x xx x x f 在x =1处的导数为（ ） A.1 B.2C.3D.不存在6.设⎩⎨⎧≤->=0101)(x x x f ，g (x )=x 2+1,则f [g (x )]=_______________.7.1arctan lim2+∞→x x x =_______________.16.求极限xx xx x x sin cos lim--→.19.已知函数f (x )满足⎰+=C x xx f x e d )(，求⎰x x f d )(.25.证明：当x >0时，1+x x +>121. 2．极限=→xxx 62tan lim 0（ ）A ．0B ．31. . C ．21 D ．34．x =0是函数f (x )=xx +2e 的（ ）A ．零点B ．驻点C ．极值点D ．非极值点6．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.10函数f (x )=2x 3+3x 2-12x +1的单调减少区间为________. 11．函数f (x )=x 3-3x 的极小值为________.13．设f ＇(x )=cos x -2x 且f (0)=2，则f (x )=________. 17．求极限xx x x cos 12e e lim 0--+-→.五、应用题（本大题9分）24．设区域D 由曲线y =e x ，y =x 2与直线x =0，x =1围成. （1）求D 的面积A ；（2）求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积V x . 8.极限xx x 20)21(lim -→-=________________.9.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________. 13.设f (x )连续且⎰+=xx x t t f 022cos d )(，则f (x )=________________.19.计算定积分⎰π202d 2sin x x .20.求不定积分⎰++211x x d x .21.求函数f (x )=x 3-6x 2+9x -4在闭区间[0，2]上的最大值和最小值. 7.极限0lim →x xx 331⎪⎭⎫ ⎝⎛-=___________.8.当x →0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则a =___________.9.极限∞→x lim 1sin 2++x xx =___________.11.设y =x sin x ，则y ''=___________. 12.曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 17.求极限0lim→x )1ln(1sin e 2x x x +--.. . 18.求不定积分⎰.d ln x xx22.计算定积分221021xx -⎰d x.24.设曲线xy =1与直线y =2，x =3所围成的平面区域为D （如图所示）.求 （1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.4.⎰-=+116dx xsin 1xcos x （ ）A.2π B.π C.1D.07.=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n 1n lim ___________. 8.=→x t cos x lim 0x ___________.9.x 1x 1lim0x ∆-∆+→∆= _________13.⎰+∞=-22dx )1x (1 ___________.16．求极限30x x xsin x lim-→.2．当x →+∞时，下列变量中为无穷大量的是（ ）A ．x 1B ．ln(1+x)C ．sinxD ．e -x4．设f(x)可微，则d(e f(x))=（ ） A ．f’(x)dx B ．e f(x)dx C ．f’(x)e f(x) dxD ．f’(x)de f(x). . 7．设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤-0x ,x 0x ,1x 2，则极限)x (f lim 0x →________.9．不定积分⎰=dx x1cosx12________. 10．dxd⎰x20)dt 2tsin (=________. 11．设由参数方程x=dxdy ),x (y y t 1y ,2t 2则确定的函数为=-==________.16．求极限5x 4x 1lim 5x ---→.17.设y='y ,)3x (x 1x 3求--.18.求由方程y=1+xe y 所确定的隐函数y=y(x)的导数dxdy . 24．从一块边长为a 的正方形铁皮的四个角各截去一个大小相等的方块，做成一个无盖的盒子，问截去的方块边长为多少时，所做成的盒子容积最大？25．求由曲线y=x 3与直线x=2,y=0所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 3．当x →0时，x ln （x +1）是（ ） A ．与x sin x 等阶的无穷小 B ．与x sin x 同阶非等价的无穷小 C ．比x sin x 高阶的无穷小D ．比x sin x 低阶的无穷小4．下列反常积分中收敛的是（ ） A ．⎰+∞1321dx x B ．⎰+∞dx e xC ．⎰+∞edx xx ln 1D ．⎰+∞141dx x9．设xxy ln =，则dy =______________. 17．设22cos ln 1e x x y +++=，求y '.18．设由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==,1,22t y t x 确定的函数为)(x y y =，求.22dx y d19．求不定积分⎰++.)2)(1(1dx x x21．计算定积分⎰-1.dx xe x. . 25．证明⎰⎰-=-11)1()1(dx x xdx x xm nnm.1.下列函数中是偶函数的为（ ） A.y =x 4+x 5 B.y =x x 5 C.y =e x -e -xD.y =21sin xxx + 2.设函数y = f(x)的定义域为[]1,0,则f (x+2)的定义域为（ ） A.[]1,2-- B.[]1,2- C.[]1,1-D.[]1,0 3.=++∞→1)11(lim x x x（ ） A.1 B.e C.e +1D.∞4.下列反常积分中发散的是（ ） A.⎰+∞e dx x - B.dx x 211⎰+∞C.dx xx eln 1⎰+∞D.dx x211+⎰+∞9.设y =lnsinx,则=''y ___________.10.曲线y =e 2x 在x = 0处的切线斜率是___________.11.若⎰+=,)()(C x F dx x f 则=--⎰dx e f e x x )(_______________. 12.设,1)(03⎰+=Φxtdt x 则=Φ')(x ___________.13.曲线y =e 2x -的拐点为___________.17.设方程xy-e x +e y =0确定了隐函数y = y(x),求)0(y '. 18.函数f (x ) =⎩⎨⎧<+≥1,12,1,3x x x x 在x =1处是否连续?是否可导?21.求不定积分dx e e xx⎰+12. 22.计算定积分⎰-++02222x x dx.. . 25.设)(x f ''是连续函数,证明⎰+-'=''.)()()(C x f x f x dx x f x1．下列函数中是奇函数的为（ ） A ．y =ln(x 2+1)-sec xB ．y =3x +1C ．y =lnxx+-11 D ．y =⎩⎨⎧≥+<-.0,1,0,1x x x x8．设)(x f 是可导函数，y =)(x f ,则dxdy=___________. 9．设)(x f =ln(1+x ),则='')0(f _________.10．设由参数方程x =a (t -sin t ),y =a (1-cos t )(其中a >0为常数)确定的函数为),(x y y =则dxdy=___________. 13．不定积分⎰=dx xx2cos12_________. 16．求极限)112(lim 22n +---+∞→n n n n .17．设y =+2xe x ln3,求y '.18．求由方程x -y +21sin y =0所确定的隐函数y =y (x )的一阶导数dxdy . 21．求不定积分⎰xdx ln .22．计算极限.cos 1)ln(lim 0xdt e t t x x -+⎰+→2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是( ) A.2x -1 (x →0) B.xxsin (x →0) C.2)1(1-x (x →1) D.2-x -1(x →1)4.下列反常积分收敛的是( ) A.⎰+∞02dx xB.⎰+∞dx e xC.⎰+∞xdx D.⎰+∞+0211dx x.. 12.dx xx ⎰-+1122=__________.19．设方程y 2-2xy +9=0确定了隐函数y =y (x )，求.dxdy 20．计算定积分⎰+212.1dx xx21．求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==-t t ey ex 23，所确定的函数y =y (x )的一阶导数dx dy 及二阶导数.22dx y d22．讨论函数y =x 2-6x +8的单调性.2.=→x x x 1sinlim 0（ ）A.0B.1C.∞D.不存在也不是∞13．设⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan ),1ln(2，则dx dy=_________.14．若无穷限反常积分⎰+∞=+0211dx x k，则常数k =_________. 25．求由直线y =x 与抛物线y 2=x 所围成的平面图形的面积.6．xx x πsinlim ∞→=________. 11．已知⎩⎨⎧-=-=),cos 1(7),sin (7t y t t x 则dxdy=________.12．如果⎰+=C x x dx x f ln )(，则f (x )________. 14．无穷限反常积分⎰+∞=edx xx 2ln 1________. 22．计算定积分⎰-π53.sin sin xdx x14.=⎰→xdt t xx 20cos 0lim_______.17.求曲线⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 在6π=t 处相应的点处的切线方程和法线方程.. . 20.已知⎪⎩⎪⎨⎧π≤<ππ-π≤≤-=,2,2,2,sin )(x x x x x x f 求⎰ππ-2.)(dx x f25.求由曲线xy =1与直线y=2,x =3所围成的平面图形的面积. 2.设,)(,2)(2x x g x f x ==则g [f (x )]=( ) A.22x B.xx 2 C.x 4D.x x 223.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是( ) A.12-x )0(→x B.xxsin )0(→x C.2)1(1-x )1(→xD.12--x )1(→x4.设曲线12-+=x x y 在点M 的切线的斜率为3，则点M 的坐标为( ) A.（0,1）B.(1,1)1．设函数y =f (x )的定义域为[0, 1]，则f (x +2)的定义域为（ ） A ．[0, 1] B ．[-1, 1] C ．[-2, 1]D ．[-2, -1]2．当x →0时，下面无穷小量中与x 等价的无穷小量为（ ） A ．3xB ．sin xC ．ln (1+x 2)D ．x +sin x6．=++∞→32)11(lim x x x_________.21．计算定积分⎰+41d 11x x.22．设y =2ex -cos3x , 求.y '2.若2)1()1(xx xf +=,则f (x )=（ ） A.2)1(+x x B.2)1(xx + C.(1+x )2D.(1-x )211.设1)(0='x f ，则=-+→hx f h x f h )()(lim 000_______________.22.计算定积分.cos 0xdx x ⎰π25.试证当x>0时，x>ln(1+x)...。