4.2.1直线与圆的位置关系之弦长问题(课件)
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4.2.1《直线与圆的位置关系》PPT课件
巩固练习：
①判断直线４x－３y=50与圆 x 2 y 2 100的位置关系．如
果相交，求出交点坐标．
解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50
| 0 0 50 |
的距离d=
5
= 10
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
解方程组
4x 3x
3 4
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
A2 B2
直线与圆的位置关系
在2009年08月08日台凤莫拉克袭击宝岛台湾时，
一艘轮船在沿直线返回泉州港口的途中，接到气象台
的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响
的范围是半径长为30km的圆形区域．已知泉州港口位
于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，
那么它是否会受到台风莫拉克的影响？ y
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
为解决这个问题，我们以台
港口
风中心为原点 O，东西方向为
x 轴，建立如图所示的直角坐 标系，其中取 10km 为单位长
O
轮船 x
度．
直线与圆的位置关系
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆
2024届新高考一轮复习人教B版 主题三 第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(36张)
条数
4
3
2
.
.
1
0
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为
x0x+y0y=r2.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两
(-) + ( + ) = ,r1+r2=3,r2-r1=1,所以 r2-r1<|O1O2|<r1+r2,即两圆的
位置关系为相交.
5.圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-2)2=4的公共弦所在直线的方程为
解析:根据题意(x-2)2+y2=4,
即x2+y2-4x=0,①
x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.②
|-+-| |+|
+
=
+
=
++
+
=
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
弦长问题
[例2] 过点(-4,0)作直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,求
直线l的方程.
解:圆(x+1)2+(y-2)2=25 的圆心坐标是(-1,2),半径 r=5.
4
3
2
.
.
1
0
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为
x0x+y0y=r2.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两
(-) + ( + ) = ,r1+r2=3,r2-r1=1,所以 r2-r1<|O1O2|<r1+r2,即两圆的
位置关系为相交.
5.圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-2)2=4的公共弦所在直线的方程为
解析:根据题意(x-2)2+y2=4,
即x2+y2-4x=0,①
x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.②
|-+-| |+|
+
=
+
=
++
+
=
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
弦长问题
[例2] 过点(-4,0)作直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,求
直线l的方程.
解:圆(x+1)2+(y-2)2=25 的圆心坐标是(-1,2),半径 r=5.
高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
k2＋1· x1＋x22－4x1x2＝ k2＋1|x1－x2|.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
返回
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
返回
题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
返回
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
返回
题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
高一数学人教版A版必修二课件：4.2.1 直线与圆的位置关系
|2＋1－1| 圆心到直线 y＝x－1 的距离为 d＝ 2 ＝ 2. 又直线 y＝x－1 被圆截得的弦长为 2 2， 即半弦长为 2， 所以r2＝2＋2＝4，r＝2， 所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的 弦长为4 5 ，求l的方程.
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了 吗
总是
比别人
学得慢
一看就懂 一做就错 看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方 式
案例式
位置关系 公共点个数
相交 相切 相离 2个 1个 0个
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 定
方 法
代数法： Ax＋By＋C＝0， 由 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
_d_<_r_ _d_＝__r _Δ_>_0_ Δ_＝__0_
_d_>_r_ Δ__<_0_
|k＋1| 即 k2＋1≤1， 解得k≤0.
解析答案
规律与方法
1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法 较为简单. (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则 用代数法较简单. 2.过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的 斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的 弦长为4 5 ，求l的方程.
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了 吗
总是
比别人
学得慢
一看就懂 一做就错 看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方 式
案例式
位置关系 公共点个数
相交 相切 相离 2个 1个 0个
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 定
方 法
代数法： Ax＋By＋C＝0， 由 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
_d_<_r_ _d_＝__r _Δ_>_0_ Δ_＝__0_
_d_>_r_ Δ__<_0_
|k＋1| 即 k2＋1≤1， 解得k≤0.
解析答案
规律与方法
1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法 较为简单. (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则 用代数法较简单. 2.过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的 斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
§4.直线与圆的位置关系PPT完美课件
§4.直线与圆的位置关系PPT完美课件
§4.直线与圆的位置关系PPT完美课件
思考4:设点M(x0，y0)为圆 x2＋y2=r2外一点，如何求过点 M的圆的切线方程？
y
M
o
x
§4.直线与圆的位置关系PPT完美课件
§4.直线与圆的位置关系PPT完美课件
题型 三:直线和圆的相切问题
例5、由点A（-2,4）作圆C：x2+y2=2的切线，求此切线的方程。 解： 设切线的斜 k，率 则为 过 A的 点切线方程为 y4k(x2).
3.直线和圆没有公共点时,叫做 直线和圆相离.
二、直线与圆的位置关系的判定方法：
探究二：直线l：Ax+By+C=0，圆O：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心到直线的距离d如何表示？直线与圆的位置关系 与距离d和半径r的大小关系是怎么一一对应的？
1.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
角三角形，由勾股定理来解决弦长问题．
(2)解答本题时易出现漏掉x＋4＝0的错误结果，导致这
种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不
透，从而思维不严密，分类不完整.
（3）
弦长公式：设直线 l：y＝kx＋b，与圆 两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入 圆的方程，消元后利用韦达定理得弦长
练一练：例
l＝
1＋k2 |x1 － x2| ＝
2及变式用
弦长公式怎 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
么解答？
§4.直线与圆的位置关系PPT完美课件
§4.直线与圆的位置关系PPT完美课件
四、圆的切线问题：
思考1:圆的切线有什么性质？
切线与圆只有一个交点；圆心与切点连线与切线垂直；
最新-2021秋数学人教A版必修2课件：4.2.1直线与圆的位置关系 精品
在 y 轴上，半径 r＝2.所以 OB＝4. 所以|OA|＝|OB|cos 30°＝4× 23＝2 3.
法二 直线 l 的方程为 y＝ 3x，代入圆 x2＋y2－4y ＝0，
得 x2－ 3x＝0，所以 x＝0 或 x＝ 3， 当 x＝0 时，y＝0，当 x＝ 3，y＝3， 所以 l 与圆的两个交点为(0，0)，( 3，3) 所以直线被圆所截得的弦长为 （ 3）2＋32＝2 3.
由已知条件得直线的斜率为 k＝
Байду номын сангаас
tan 135°＝－1，
所以直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 x＋y－1
＝0.
因为圆心为(0，0)，
|－1| 所以|OC|＝ 2 ＝
2 2.
因为 r＝2 2，所以|BC|＝ 所以|AB|＝2|BC|＝ 30.
8－ 222＝ 230，
法二(代数法) 当 α＝135°时，直线 AB 的方程为 y
（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]. 2．利用直线经过圆内一点则直线与圆相交．
[变式训练] 过原点且倾斜角为 60°的直线 l 被圆 x2 ＋y2－4y＝0 所截得的弦长为________．
解析：法一 数形结合．如图，直线与圆交于 O、A， 圆与 y 轴的交点为 O、B； 圆 x2＋y2－4y＝0 的圆心(0，2)
－2＝－(x＋1)，
即 y＝－x＋1，代入 x2＋y2＝8，
得 2x2－2x－7＝0.
7 所以 x1＋x2＝1，x1x2＝－2， 所以|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝
（1＋1）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝ 30.
(2)如图，当弦 AB 被点 P 平分时，OP⊥AB， 因为 kOP＝－2，所以 kAB＝12， 所以直线 AB 的方程为 y－2＝12(x＋1)， 即 x－2y＋5＝0.
法二 直线 l 的方程为 y＝ 3x，代入圆 x2＋y2－4y ＝0，
得 x2－ 3x＝0，所以 x＝0 或 x＝ 3， 当 x＝0 时，y＝0，当 x＝ 3，y＝3， 所以 l 与圆的两个交点为(0，0)，( 3，3) 所以直线被圆所截得的弦长为 （ 3）2＋32＝2 3.
由已知条件得直线的斜率为 k＝
Байду номын сангаас
tan 135°＝－1，
所以直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 x＋y－1
＝0.
因为圆心为(0，0)，
|－1| 所以|OC|＝ 2 ＝
2 2.
因为 r＝2 2，所以|BC|＝ 所以|AB|＝2|BC|＝ 30.
8－ 222＝ 230，
法二(代数法) 当 α＝135°时，直线 AB 的方程为 y
（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]. 2．利用直线经过圆内一点则直线与圆相交．
[变式训练] 过原点且倾斜角为 60°的直线 l 被圆 x2 ＋y2－4y＝0 所截得的弦长为________．
解析：法一 数形结合．如图，直线与圆交于 O、A， 圆与 y 轴的交点为 O、B； 圆 x2＋y2－4y＝0 的圆心(0，2)
－2＝－(x＋1)，
即 y＝－x＋1，代入 x2＋y2＝8，
得 2x2－2x－7＝0.
7 所以 x1＋x2＝1，x1x2＝－2， 所以|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝
（1＋1）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝ 30.
(2)如图，当弦 AB 被点 P 平分时，OP⊥AB， 因为 kOP＝－2，所以 kAB＝12， 所以直线 AB 的方程为 y－2＝12(x＋1)， 即 x－2y＋5＝0.
导学案35(4.2.1直线与圆的位置关系)课件人教新课标
【反馈检测】
1、已知点 M(a,b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与
B 圆 D 的位置关系是(
)
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
2、以 C(1,3) 为圆心、且与直线 3x - 4y - 6 0
相切的圆的方程为 (x -1)2 ( y - 3)2； 9
3、过点 A(1, 2) 且与圆 x2 y2 =1
d | Ax0 By0 C | A2 B2
问题导学二
位置关系 d与r关系
相离 d>r
相切 d=r
相交 d<r
图形
r d
r d
r d
交点个数 0个
1个
2个
问题导学3：认真阅读例1，当直线与圆用方程表 示后，我们得到判断直线与圆的位置关系的方法 有：Ax＋By＋C＝0，
x－a2＋y－b2＝r2
O
x
所以，直线l与圆相切，有1个公共点
解上面的方程组得
x
2 5
y
-
4 5
切点为（2 ，- 4） 55
1、判断直线:3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位
置关系；若有交点，求出它们的交点坐标。
解法二（几何法）：
y
由（x -1)2 y2 1得
圆心（1,0），半径r=1
31 40 2
d
[分解析∵] 圆设心出C圆在心直 坐标线，l1利：用x－几3何y性＝质0 上列方，程求出圆心坐标，
再求出半径即可．
∴可设圆心为 C(3t，t)． 又∵圆 C 与 y 轴相切，∴圆的半径为 r＝|3t|.
再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形
可得(|3t－t|)2＋( 7)2＝|3t|2.解得 t＝±1. 2
2018_2019学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版
(2)求弦AB的长.
解:(2)圆心 C(1,0)到直线 x+2y+4=0 的距离为 d=
|1 0 4 | 1 2
2 2
= 5,
|AB|=2 r 2 d 2 =2 16 5 =2 11 .
题型三 直线与圆相切问题
【例 3】 (12 分)已知圆 O:x +y =4. (1)过点 P( 2 , 2 )作圆 O 的切线,求切线 l 的方程;
| Aa Bb C | A2 B2
代数法:
Ax By C 0 由 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r
Δ > 0
Δ = 0
Δ< 0
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
自我检测
1.(直线与圆的位置关系判定)直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关 系是( D ) (A)相交 (B)相切 (C)相交且过圆心 (D)相离
.
解析:点 Q 到圆心的距离为 22 42 = 20 ,所以切线长为 ( 20)2 4 =4.
答案:4
方法技巧
(1)用点斜式求直线方程时要首先验证斜率不存在的情形.
(2)直线与圆相切用几何法列式计算比较简单,一般不用代数法(判别式法).
(3)求动点P的轨迹方程要用坐标变量表示P点,即P(x,y),然后利用条件列 出(x,y)满足的方程化简则得解.
1 1 |AB|= ³4 5 =2 5 , 2 2
则|OH|= | OA |2 | AH |2 = 5 ,故
| 5(1 k ) | k 1
2
= 5,
解得 k=
1 或 k=2, 2
故直线 l 的方程为 x-2y+5=0 或 2x-y-5=0.
2019年人教版高中数学必修二课件：4.2直线、圆的位置关系1
【解题指南】可根据切线与直线y=x+2平行，先设出
切线方程，然后根据圆心到切线的距离等于半径，求 出切线的截距，进而求出方程.
【解析】设直线的方程为y=x+m，即x-y+m=0.
(x-2)2+(y-3)2=8的圆心坐标为(2，3)，半径为2 2 . 由 2 3 m 2 2, 得m=5或m=-3，
5
【解题指南】(1)圆心C到直线l:mx-y+1+2m=0的距离
| 2m 1 2m 1 m2 || 1 1 m2 | 5，可得:对m∈R，直线l与圆
C总有两个不同的交点A、B. (2)设中点为M(x，y)，利用kAB·kMC=-1，即可求弦
AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.
(1)几何法:直线被圆截得的半弦长 l ，弦心距d和
2
圆的半径r构成直角三角形，即r2=
l ( )2 2
+d2.
所以弦长l= 2 r 2 d2 .
ax by c 0, (2)代数法:解方程组 2 2 2 x x y y ， 所以弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，
m 2 10 r，即 , 所以d= 2 2 5 解得m=± 5 2 . 2 故当m=± 5 2 时，直线与圆在两交点处的两条半径 2
互相垂直.
【补偿训练】已知圆x2+y2-12x=0的圆心为O，过点
P(0，2)且斜率为k的直线l与圆O相交于不同两点A，B，
1 k
则所求切线为y=3或y=- 3 x+3.
4
4
类型三
弦长问题
【典例3】已知圆C:x2+y2-2y-4=0，直线l:mx-y+1-m=0. (1)判断直线l与圆C的位置关系.
直线与圆的位置关系课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
8
综上所述，所求直线方程为 x＝4 或 15x＋8y－68＝0.
|－4k＋1|
52－
k 2＋1
2
求直线与圆相交时弦长的常用3种方法
(1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆
|AB| 2 2 2
)
+d
=r
,即|AB|=2
2
的半径为 r,弦长为|AB|,则有(
r2 -d2 .
图①
的方程为 − 1＝ − 2 ，
y
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，
得
|1 − 2|
2 + 1
解得＝0或
=1
4
.
3
因此，所求切线l的方程为＝1，或4 − 3 − 5＝0.
P.
O
x
例5.
过点(2,1)作圆: 2 + 2 = 1的切线l,求此切线l的方程.
2 + − 1 2 = 5.
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5 ，
点C （0，1）到直线 l 的距离
=
3×0+1−6
32 +12
=
10
<
2
5
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由垂径定理，得 = 2 2 − 2 ＝ 10 .
d
例2 如图，已知直线l：3 + − 6 = 0 和圆心为C的圆 2 + 2 − 2 −
4
解得＝0或 .
2
x
− 16 2 + 1 − 1 ＝0，
3
因此，所求切线l的方程为＝1，或4 − 3 − 5＝0.
综上所述，所求直线方程为 x＝4 或 15x＋8y－68＝0.
|－4k＋1|
52－
k 2＋1
2
求直线与圆相交时弦长的常用3种方法
(1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆
|AB| 2 2 2
)
+d
=r
,即|AB|=2
2
的半径为 r,弦长为|AB|,则有(
r2 -d2 .
图①
的方程为 − 1＝ − 2 ，
y
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，
得
|1 − 2|
2 + 1
解得＝0或
=1
4
.
3
因此，所求切线l的方程为＝1，或4 − 3 − 5＝0.
P.
O
x
例5.
过点(2,1)作圆: 2 + 2 = 1的切线l,求此切线l的方程.
2 + − 1 2 = 5.
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5 ，
点C （0，1）到直线 l 的距离
=
3×0+1−6
32 +12
=
10
<
2
5
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由垂径定理，得 = 2 2 − 2 ＝ 10 .
d
例2 如图，已知直线l：3 + − 6 = 0 和圆心为C的圆 2 + 2 − 2 −
4
解得＝0或 .
2
x
− 16 2 + 1 − 1 ＝0，
3
因此，所求切线l的方程为＝1，或4 − 3 − 5＝0.
4.2.1 直线与圆的位置关系
探究一
探究二
探究三
思想方法
解法二由
3������ + ������-6 = 0, ������2 + ������2-2������-4 =
0,
消去y,得x2-3x+2=0.
设两交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系, 得x1+x2=3,x1·x2=2.
∴|AB|= (������2-������1)2 + (������2-������1)2 = 10[(������1 + ������2)2-4������1������2 ] =
探究二
探究三
思想方法
课堂篇 探究学习
判断直线与圆的位置关系 例1 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为 何值时,直线与圆 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心 到直线的距离,通过与半径比较大小判断.
( 5)2-
10 2 =
2
210,所以弦长|AB|=
10.
探究一
探究二
探究三
思想方法
课堂篇 探究学习
反思感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半
径为r,
弦长为|AB|,则有
|������������|
2
+d2=r2,即|AB|=2
������2-������2.
方程 y= 1-������2表示单位圆在 x 轴上及其上方的半圆,
当 l 经过 A(-1,0),B(0,1)时,l 与曲线 C 有两个交点,此时 b=1,记直线 为 l1;当 l 与半圆相切时,b= 2,切线记为 l2;当 l 在 l1 与 l2 之间(包含 l1) 时,l 和曲线 C 有两个不同的公共点.因此 1≤b< 2.
高中数学(人教版必修二)课件： 直线与圆的位置关系
栏 目 链 接
自 测 自 评
1．直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是( A．相切 C．直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 D．相离
栏 目 链 接
)
|1| 1 解析：圆心(0,0)到直线的距离为 2 <1， 2＝ 2 1 ＋1 且(0,0)不在直线 y＝x＋1 上，故选 B. 答案：B
自 测 自 评
2．下列说法中正确的是( ) A．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切 B．与半径垂直的直线与圆相切 C．过半径外端的直线与圆相切 D．过圆心且与切线垂直的直线过切点
栏 目 链 接
解析：A 为相交，B、C 中的直线有无数条． 答案：D
跟 踪 训 练
2．若直线 y＝kx－2k 与圆(x－3)2＋y2＝1 恒有两个交点，则 实数 k 的取值范围为( A．R
6 6 C.－ ， 12 12
) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
1 1 D.－5，5
栏 目 链 接
|3k－2k| 解析：由题意可知 2 ＜1，即此不等式恒成立，故选 A. 1＋k 或直线 y＝k(x－2)过定点(2,0)，定点(2,0)在圆(x－3)2＋y2＝1 上．由于斜率 k 存在，故总有两个交点． 答案：A
栏 目 链 接
点评： 几何法判断直线与圆的位置关系的主要步骤 是： ①把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径 r. ②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 d. ③判断：当 d>r 时，直线与圆相离；当 d＝r 时，直线 与圆相切；当 d<r 时，直线与圆相交．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．直线 3x－4y＋6＝0 与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4 的位 置关系是( A．相离 C．相交且过圆心 ) B．相切 D．相交但不过圆心
003直线与圆的位置关系(弦长)
例
2 2 P ( 1 , 2 ) x y 8 于 A, B 两点，若直线 l l 2：过一点 作直线 交圆
135 的倾斜角为 ，求弦 AB
的长。
知识点 2 直线与圆相交的弦长公式
变式训练：求直线 x 3 y 2 3 0 的弦长。
被圆 x 2 y 2 4 截得
(2)直线 x－ky＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是( A．相交 B．相离 C．相交或相切
) D．相切
(3)过点 P(－ 3，－1)的直线 l 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则 直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是____________．
反思与感悟 直线与圆位置关系判断的两种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系 判断； (2)代数法： 根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判 断；
2个 1个 0个
d <r
d＝r d>r
消元
Δ>元二次方程的判别式 Δ
例 1：已知直线 l ： 3x y 6 0 和圆 C: x2 y 2 2 y 4 0 。判断直 线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标
变式 1 已知圆 C： x2＋y2＝1 与直线 y＝kx－3k， 当 k 为何值 时，直线与圆(1)相交；(2)相切；(3)相离．
直线与圆的位置关系(弦长)
知识点 1 直线 Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系及判断
位置关系 相交 相 切 相 离
公共点个数 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ 判 |Aa＋Bb＋C| 2 2 A ＋ B 定 方 法
Ax＋By＋C＝0， 代数法：由 2 2 2 x－a ＋y－b ＝r
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所截得的弦长为 8 ,求直线 l 的方程.
| 3k 1| 析： 由 d 3得 | 3k 1| 3 k 1 思考：满足题意的直线仅此一条？ k 1
2 2
x=-3
4 所以k 3
A M D
O d=3 C
x
所以所求直线方程：
4 y 3 ( x 3) 3
即 4 x 3 y +21 0
设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则
2 d 2 1 (1) 2
1
y
B
D
| AB | 2 r 2 d 2 14
d O
r
A
x
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思路方法技巧
例1．已知直线 y=x+1 与圆 x 2 y 2 4 相交于A,B两点，
求弦长|AB|的值.
解法二：（求出交点利用两点间距离公式）
过定点M(4,-3) 析 (1)l : y 3 2m( x 4) 因为 42 (3)2 6 4 12 (3) 20 15 0 所以M(4，-3)在圆内
从而过M的直线l总与圆C相交
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【练习】 已知直线 l : 2mx y 8m 3 0 和圆 C : x2 y 2 6 x 12 y 20 0 (1) m R 时，证明 l 与 C 总相交； (2) m 取何值时， l 被 C 截得弦长最值，求此弦长.
x
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思路方法技巧
【变式 2】过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y 2 4 y 21 0 所截
(1)求截得的最长弦所在的直线方程； (2)求截得的最短弦所在的直线方程.
析：
(1)因为圆内直径是最长的弦， 所以直线被圆所截最长的弦过圆心 过M(-3,-3)，C(0,-2)的直线 kMC 所求直线方程为：x-3y-6=0
析： C : ( x 3) ( y 6) 25 圆心C(3,-6)
2 2
半径r=5
当 l CM 时，所截得弦长最短. 弦长最小值为 2 r 2 | CM |2 2 15 当l过C 时，所截得弦长最长.且为10
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课堂小结，作业布置 （一）知识
1.掌握求直线被圆所截得的弦长的几何法和代数法； 2.灵活应用直线与圆的弦长公式.
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 1 7 1 7 x1 , x2 2 2 1 7 1 7 y1 , y2 2 2 1 7 1 7 1 7 1 7 A( , ), B( , ) 2 2 2 2 | AB | 14
y
B
(x 2 , y 2 )
A
O
x
(x 1 , y 1 )
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思路方法技巧
例1．已知直线 y=x+1 与圆 x 2 y 2 4 相交于A,B两点，
求弦长|AB|的值
解法三：（弦长公式-----韦达定理）
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2 | AB | (1 k 2 )[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ] 3 (1 1 )[(1) 4 ( )] 14 2
O
M C
x
1 3
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思路方法技巧
【变式 2】过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y 2 4 y 21 0 所截
(2)求截得的最短弦所在的直线方程.
析： 当 l CM 时，弦心距d最大，
从而让所截得弦长最短. 直线CM的斜率为 kCM
设直线l的方程为: （2）当斜率存在时， d=3 C M y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0. D | 3k 1| 由d 3得 | 3k 1| 3 k 2 1 k 2 1 4 4 l 所以所求直线方程： y 3 ( x 3) 所以k 3 3 即 4 x 3 y +21 0 综上所述，x=-3或4x+3y+21=0
2 2
y
B
(x 2 , y 2 )
A
O
x
(x 1 , y 1 )
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思路方法技巧
例 2.圆心为 (2, 1) 的圆截直线 l : 3x 4 y 17 0 所得
的弦长为 8,求圆的方程.
解（1）圆心 (2, 1) 到直线 3x 4 y 17 0 的距离
同实根
相切 相
有且只有一个 有且只有 公共点 没有公共点 一个实根 无实根
d = r
△=0
离
d>r
△<0
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求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：
如图 1，直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点， 设弦心距 d,圆的半径 r，弦长为|AB|,
| AB | 2 2 则有 ， d r 2
（二）方法
1.数形结合的思想； 2.分类讨论的思想.
作业
教材P128 3，4 P144 B组4
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d
| 6 4 17 | 3 4
2 2
3
2
8 2 （2）弦长 | AB | 2 r d , r d 25 2
2 2
2
C A D
所以圆的标准方程为 ( x 2)2 ( y 1)2 25
B
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思路方法技巧
2 2
例 3.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x y 4 y 21 0 所截得
所求直线l方程
1 3
O
M C D
x
y 3 3( x 3)
即
3x y 12 0
| AB| 2 r d
2
2
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【练习】 已知直线 l : 2mx y 8m 3 0 和圆 C : x2 y 2 6 x 12 y 20 0 (1) m R 时，证明 l 与 C 总相交； (2) m 取何值时， l 被 C 截得弦长最值，求此弦长.
即 | AB| 2 r 2 d 2
2
C A D B
知二求一
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求直线与圆相交时弦长的两种方法 (2)代数法：
如图 2，将直线方程与圆的方程联立， 设直线与圆的两交点分别是 A(x1,y1) B(x2,y2)，则
A(x1,y1
l
| AB | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
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4.2.1直线与圆的位置关系
-----弦长问题
临澧一中数学组 林祖成
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
下午6时57分
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研究直线与圆位置关系的两种方法
位置
关系
相交
图形
几 何特 征
方程特征 有两个不
判定方法 几何法 代数法 d<r △>0
有两个公共点
l
错因分析：遗漏了斜率不存在的情形而造成漏解。
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思路方法技巧
2 2
【变式 1】.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x y 4 y 21 0
所截得的弦长为 8 ,求直线 l 的方程.
x=-3
析：由42+d2=52.得d=3 思考：相交时，所求直线一定有两条？ （1）当斜率不存在时，直线方程x=-3, 若不是，与什么元素有关？ A 此时d=3,合题意 O
2
2
1 k | x1 x2 |
2
C
B(x2,y2)
2
1 k
2
( x1 x2 ) 4 x1 x2
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思路方法技巧
例1．已知直线 y=x+1 与圆 x 2 y 2 4 相交于A,B两点， 求弦长|AB|的值.
解：（弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）
的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方程.
解 设直线l的方程为: y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
x
2
2
2 2 x ( y 2) 25. 4 y 21 0，
圆心C(0,-2),半径r =5.
由题意知弦心距d 5.
又C到直线l的距离为
M(-3,-3) C
d
O
x
l
r=5
d
| 2 3k 3 | k 2 12
| 3k 1| k 2 1
所求直线方程为： x 2 y 9 0, 或2 x y 3 0.
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思路方法技巧
2 2
【变式 1】.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x y 4 y 21 0