4.2.1直线与圆的位置关系之弦长问题(课件)

2
2
1 k | x1 x2 |
2
C
B(x2,y2)
2
1 k
2
( x1 x2 ) 4 x1 x2
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思路方法技巧
例1．已知直线 y=x+1 与圆 x 2 y 2 4 相交于A,B两点， 求弦长|AB|的值.
解：（弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）
O
M C
x
1 3
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思路方法技巧
【变式 2】过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y 2 4 y 21 0 所截
(2)求截得的最短弦所在的直线方程.
析： 当 l CM 时，弦心距d最大，
从而让所截得弦长最短. 直线CM的斜率为 kCM
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4.2.1直线与圆的位置关系
-----弦长问题
临澧一中数学组 林祖成
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
下午6时57分
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研究直线与圆位置关系的两种方法
位置
关系
相交
ຫໍສະໝຸດ Baidu图形
几 何特 征
方程特征 有两个不
判定方法 几何法 代数法 d<r △>0
有两个公共点
d
O
x
l
r=5
d
| 2 3k 3 | k 2 12

| 3k 1| k 2 1
所求直线方程为： x 2 y 9 0, 或2 x y 3 0.
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思路方法技巧
2 2
【变式 1】.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x y 4 y 21 0
析： C : ( x 3) ( y 6) 25 圆心C(3,-6)
2 2
半径r=5
当 l CM 时，所截得弦长最短. 弦长最小值为 2 r 2 | CM |2 2 15 当l过C 时，所截得弦长最长.且为10
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课堂小结，作业布置 （一）知识
1.掌握求直线被圆所截得的弦长的几何法和代数法； 2.灵活应用直线与圆的弦长公式.
过定点M(4,-3) 析 (1)l : y 3 2m( x 4) 因为 42 (3)2 6 4 12 (3) 20 15 0 所以M(4，-3)在圆内
从而过M的直线l总与圆C相交
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【练习】 已知直线 l : 2mx y 8m 3 0 和圆 C : x2 y 2 6 x 12 y 20 0 (1) m R 时，证明 l 与 C 总相交； (2) m 取何值时， l 被 C 截得弦长最值，求此弦长.
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 1 7 1 7 x1 , x2 2 2 1 7 1 7 y1 , y2 2 2 1 7 1 7 1 7 1 7 A( , ), B( , ) 2 2 2 2 | AB | 14
l
错因分析：遗漏了斜率不存在的情形而造成漏解。
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2 2
【变式 1】.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x y 4 y 21 0
所截得的弦长为 8 ,求直线 l 的方程.
x=-3
析：由42+d2=52.得d=3 思考：相交时，所求直线一定有两条？ （1）当斜率不存在时，直线方程x=-3, 若不是，与什么元素有关？ A 此时d=3,合题意 O
设直线l的方程为: （2）当斜率存在时， d=3 C M y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0. D | 3k 1| 由d 3得 | 3k 1| 3 k 2 1 k 2 1 4 4 l 所以所求直线方程： y 3 ( x 3) 所以k 3 3 即 4 x 3 y +21 0 综上所述，x=-3或4x+3y+21=0
同实根
相切 相
有且只有一个 有且只有 公共点 没有公共点 一个实根 无实根
d = r
△=0
离
d>r
△<0
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求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：
如图 1，直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点， 设弦心距 d,圆的半径 r，弦长为|AB|,
| AB | 2 2 则有 ， d r 2
d
| 6 4 17 | 3 4
2 2
3
2
8 2 （2）弦长 | AB | 2 r d , r d 25 2
2 2
2
C A D
所以圆的标准方程为 ( x 2)2 ( y 1)2 25
B
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2 2
例 3.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x y 4 y 21 0 所截得
x
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【变式 2】过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y 2 4 y 21 0 所截
(1)求截得的最长弦所在的直线方程； (2)求截得的最短弦所在的直线方程.
析：
(1)因为圆内直径是最长的弦， 所以直线被圆所截最长的弦过圆心 过M(-3,-3)，C(0,-2)的直线 kMC 所求直线方程为：x-3y-6=0
即 | AB| 2 r 2 d 2
2
C A D B
知二求一
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求直线与圆相交时弦长的两种方法 (2)代数法：
如图 2，将直线方程与圆的方程联立， 设直线与圆的两交点分别是 A(x1,y1) B(x2,y2)，则
A(x1,y1
l
| AB | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
y
B
(x 2 , y 2 )
A
O
x
(x 1 , y 1 )
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例1．已知直线 y=x+1 与圆 x 2 y 2 4 相交于A,B两点，
求弦长|AB|的值
解法三：（弦长公式-----韦达定理）
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2 | AB | (1 k 2 )[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ] 3 (1 1 )[(1) 4 ( )] 14 2
的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方程.
解 设直线l的方程为: y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
x y
2
2
2 2 x ( y 2) 25. 4 y 21 0，
圆心C(0,-2),半径r =5.
由题意知弦心距d 5.
又C到直线l的距离为
M(-3,-3) C
所求直线l方程
1 3
O
M C D
x
y 3 3( x 3)
即
3x y 12 0
| AB| 2 r d
2
2
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【练习】 已知直线 l : 2mx y 8m 3 0 和圆 C : x2 y 2 6 x 12 y 20 0 (1) m R 时，证明 l 与 C 总相交； (2) m 取何值时， l 被 C 截得弦长最值，求此弦长.
设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则
2 d 2 1 (1) 2
1
y
B
D
| AB | 2 r 2 d 2 14
d O
r
A
x
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例1．已知直线 y=x+1 与圆 x 2 y 2 4 相交于A,B两点，
求弦长|AB|的值.
解法二：（求出交点利用两点间距离公式）
2 2
y
B
(x 2 , y 2 )
A
O
x
(x 1 , y 1 )
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思路方法技巧
例 2.圆心为 (2, 1) 的圆截直线 l : 3x 4 y 17 0 所得
的弦长为 8,求圆的方程.
解（1）圆心 (2, 1) 到直线 3x 4 y 17 0 的距离
所截得的弦长为 8 ,求直线 l 的方程.
| 3k 1| 析： 由 d 3得 | 3k 1| 3 k 1 思考：满足题意的直线仅此一条？ k 1
2 2
x=-3
4 所以k 3
A M D
O d=3 C
x
所以所求直线方程：
4 y 3 ( x 3) 3
即 4 x 3 y +21 0
（二）方法
1.数形结合的思想； 2.分类讨论的思想.
作业
教材P128 3，4 P144 B组4
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