控制系统的稳态误差(补充)

稳态误差计算（补充）
扰动作用下稳态误差的计算
动态误差系数法稳态误差计
算
系统在控制信号作用下的稳态误差
e (s) E(s) 1 R (s) 1 G(s)H(s)
E(s)
1 R (s) 1 G (s)H(s)
稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量
1 lim e(t ) lim sE ( s) lim s R( s ) t s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
例1
设控制系统如图1所示，其中
K1 G1 ( s ) 1 T1s
K2 G2 ( s ) s (1 T2 s )
给定输入 r(t ) R r (s) 1(t)，扰动输入 n(t) R n (t) 1(t ) （ Rr 和 Rn 均为常数），试求系统的稳态误差。
N(s) R(s)
系统总的稳态误差： eSS essr essn 0.6
稳态误差小结：
1.公式小结
（1）基本公式
E ( s ) R( s ) B( s )
m
（1） （2） 给 定 输 （3） 入 单 独 作 用 （4） 时
E s 1 er ( s) R s 1 G ( s) H ( s)
G(s) H (s)
K ( j s 1)
j 1
S (i s 1)
i 1
n
K lim s G( s) H ( s)
s 0

essr
sR( s ) （5） lime(t ) limsE ( s ) lim t s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
t s 0 s 0
1 R( s ) 1 G( s) H ( s)
e e e
ss ssr
ssn
从上式得出两点结论：

1. 稳态误差与系统输入信号r(t)或扰动信号n(t) 的形式有关；

2. 稳态误差与系统的结构及参数有关。
干扰信号作用下的稳态误差
扰动信号n(t)作用下 的系统结构图如图 所示
（10）
N(s)
e(t)
R(s) E(s)
+
r(t)
b(t)
B(s)
-
G1 ( s)
G2 ( s)
C(s)
H (s )
essr
sR( s ) lime(t ) limsE ( s ) lim t s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
essn
sG2 ( s ) H ( s ) lime(t ) lim N (s) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) s 0 s 0
essn
G2 ( s) H ( s) lim en (t ) lim sE ( s) lim s N ( s) s 0 s 0 s 0 1 G ( s )G ( s ) H ( s ) 1 2
essr lim er (t ) lim sE ( s) lim s
扰动信号n(t)作用下的误差函数为
G2 ( s ) H ( s ) E n ( s) N ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
稳态误差
essn
G2 ( s ) H ( s ) lim sE n ( s) lim s N ( s) s 0 s 0 1 G ( s )G ( s ) H ( s ) 1 2
Rn K1
为了分析系统中串联的积分环节对稳态误 差的影响，我们假设图1中
G1 ( s) K1 s(1 1 s)
K2 G2 ( s ) 1 2 s
给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按 上述相同的方法求出，即 ：
e ssr
essn
sR ( s ) lim 0 s 0 1 G1 ( s )G 2 ( s ) sG2 ( s) lim N ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) s 0 Rn s 2 K1 (1 2 s ) lim 0 s (1 1 s )(1 2 s ) K1 K 2 s s 0
1. 稳态误差与系统输入信号r(t)或扰动信号n(t)的形式有关； 2. 稳态误差与系统的结构及参数有关。
稳态误差系数和稳态误差
减小和消除稳态误差方法 提高系统的开环增益 增加开环传递函数中积分环节
系统的稳定性
例3
r (t ) sin t
e ( s) 1 1 1 Ts
R( s)
例2
解：给定信号下的稳态误差
1 s(0.1s 1)(s 1) 1 essr lim s R(s) lim s 0.1 2 s 0 1 G ( s )G ( s ) s 0 s (0.1s 1)(s 1) 10 s 1 2
扰动信号下的稳态误差
essn
G2 ( s) 5(0.1s 1) 1 lim s N ( s) lim s 0.5 s 0 1 G ( s )G ( s ) s 0 s (0.1s 1)(s 1) 10 s 1 2
essr
系统在扰动作用下的稳态误差
G 2 (s)H(s) E(s) N(s) 1 G1 (s)G 2 (s)H(s)
E(s)
G 2 (s)H(s) N(s) 1 G1 (s)G 2 (s)H(s)
稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量
G2 (s) H (s) essn l im sE (s) l im s N ( s) s 0 s 0 1 G ( s )G ( s ) H ( s ) 1 2
1 (i ) 定义 C 0 ;(i 0,1, 2,...) 为动态误差系数。 i i ! e
1 (i ) 定义 C 0 ;(i 0,1, 2,...) 为动态误差系数。 i i ! e
特别称C0为动态位置误差系数； C1为动态速度误差系数；
e ( 0) ( 0)
由上式计算可以看出，r(t)和n(t)同是阶跃信号， 由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误 差也不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见， 提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节G1(s) K 的放大系数（即1 ），可以减小系统的扰动稳态误 差。
该系统总的稳态误差为
ess essr essn
E ( s ) e ( s ) R( s ) 1 1 (n) e (0) R( s) e (0) sR( s) e (0) s 2 R( s) e (0) s n R( s) 2! n!
在零初始条件下，对上述级数求拉氏反变换，得稳态误差随时 间变化得函数关系如下：
E s e s R s
将误差传递函数Φe（s）在s=0的邻域内展开成泰勒级数，得
1 1 (n) 2 e ( s) e (0) e (0) s e (0) s e (0) s n 2! n!
得误差信号拉氏变换的一般表达式为：
系统总的稳态误差为
ess essr essn 0
比较以上两次计算的结果可以看出，若要 消除系统的给定稳态误差，则系统前向通 道中串联的积分环节都起作用。若要消除 系统的扰动稳态误差，则在系统前向通道 中只有扰动输入作用点之前G1(s)的积分环 节才起作用。因此，若要消除由给定输入 和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态 误差，则串联的积分环节应集中在前向通 道中扰动输入作用点之前(即G1(s)中） 。
e
1 e ( 0) C2为动态加速度误差系数。 2!
说明：
“动态”二字的含意是指这种方法可以完整描述系统稳 态误差ess(t)随时间变化的规律。
动态误差系数的计算方法：
多项式除法： 1）将分子多项式和分母多项式分别按升幂排列； 2）用多项式除法逐项求出C0，C1，C2，…
开环传递函数
K 1 b1s b2 s 2 bm s m M (s) G( s) H ( s) v 2 n s 1 a1s a2 s an s N ( s)
扰动单独作用时
E ( s) R( s) B( s) H ( s)C ( s) E s G2 ( s ) H ( s ) en ( s ) N s 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
essn
（6） （7）
sG2 ( s ) H ( s ) lime(t ) lim N ( s )（8） 1 G1 ( s )G2 ( s) H ( s) s 0 s 0
(n) 1 1 (n) ess (t ) e (0)r (t ) e (0)r (t ) e (0)(t ) e (0) r (t ) r 2! n! (i ) (i ) 1 (i ) e (0) r (t ) Ci r (t ) i 0 i! i 0
令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递 函数为
G2 ( s) en ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s)
所以扰动稳态误差为
Rn Rn sG2 (s) N (s) s K 2 (1 1s) essn lim lim 1 G1 ( s)G2 (s) s0 s(1 1s)(1 2 s) K1K 2 s K1 s 0
终值定理
e(t ) T cost T 2 2 sin t ...
动态误差系数方法
前面研究的稳态误差主要讨论的是典型输入信号下的稳 态误差，对于部分非典型信号（如正弦信号）下，求稳态误 差的极限计算方法可能不能用。另外，我们可能还需要了解 输出响应在进入稳态（t>ts)后变化的规律如何。这些问题用 前面介绍的方法都不方便。因此，下面再介绍一种适应范围 更广泛的方法：动态误差系数法（又称广义误差系数法）。 根据定义误差信号的拉氏变换式为：
给定输入和扰动共同作用时
来自百度文库
R s G2 ( s ) H ( s ) N s E ( s) er s R s s N s 1 G s H s 1 G1 ( s )G2 ( s) H ( s)
（9）
ess essr essn
若 lim G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1，则上式可近似为
s 0
essn
1 lim s N ( s) s 0 G ( s ) 1
G2 ( s ) H ( s ) lim s N ( s) s 0 1 G ( s )G ( s ) H ( s ) 1 2
干扰信号作用下产生的稳态误差essn除了与干扰信号 的形式有关外，还与干扰作用点之前(干扰点与误差 点之间)的传递函数的结构及参数有关，但与干扰作 用点之后的传递函数无关。
s s 1 T
s
s2 2
E ( s ) e ( s ) R( s )
1 s2 2 s
T
lim e(t ) lim sE (s) lim s 0 t s 0 s 0 1 s2 2 s
s T
sE(s)的极点不全部分布在[S]平面的左半部
+
-
G1 (s)
G2 (s)
C(s)
图1
解 当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其 稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。 令n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为
1 er (s) 1 G 1 (s)G 2 (s)
所以给定稳态误差为
essr
s R( s ) s 2 (1 1s)(1 2 s) Rr lim lim 0 s s 0 1 G1 ( s )G2 ( s ) s 0 s (1 s )(1 2 s ) K1 K 2 1