勾股定理全章复习与巩固(相当经典_不容错过)

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八年级数学勾股定理单元复习与巩固

八年级数学勾股定理单元复习与巩固

勾股定理单元复习与巩固一、知识网络二、目标认知学习目标:1、了解勾股定理的历史,经历勾股定理的探索过程;2、理解并掌握直角三角形中边角之间的关系;3、能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题.重点:勾股定理及其逆定理的应用难点:勾股定理及其逆定理的应用三、知识要点梳理知识点一、勾股定理及其逆定理1.勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

(即:a2+b2=c2)2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

知识点二、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系。

区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。

知识点三、如何用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形(1)首先确定最大边(如:C,但不要认为最大边一定是C)(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的三角形。

(若c2>a2+b2则△ABC是以∠C为钝角的三角形,若c2<a2+b2则△ABC是以∠C为锐角三角形)四、规律方法指导1.勾股定理的证明实际采用的是前面接触过的利用图形面积与代数恒等式的关系转化证明的。

大家注意总结体会。

2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁是直角边,这是这个定理在应用过程中易犯的主要错误。

4.勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a,b,c有下列关系:a2+b2=c2,•那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出一个三角形是否是直角三角形的判定方法.5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解.。

勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解(1)

勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解(1)

勾股定理全章复习与巩固(基础)责编:杜少波【学习目标】1.了解勾股定理的历史,掌握勾股定理的证明方法;2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容;3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】 要点一、勾股定理 1.勾股定理:直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.(即:222a b c +=) 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用是:(1)已知直角三角形的两边,求第三边;(2)利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题;(3)求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a b c 、、,满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤: (1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c ;(2)验证2c 与22a b +是否具有相等关系,若222a b c +=,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形,反之,则不是直角三角形. 3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数:①3、4、5; ②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数,当t 为正整数时,以at bt ct 、、为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数,它们具有以下特征: 1.较小的直角边为连续奇数;2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、,且a b c <<,那么存在2a b c =+成立.(例如④中存在27=24+25、29=40+41等)要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,两者互为逆定理,都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8,求第三边的长. 【答案与解析】 解:设第三边为x .当x 为斜边时,由勾股定理得22268x =+. 所以2268366410010x =++==. 当x 为直角边时,由勾股定理,得22268x +=. 所以228664362827x =--== 所以这个三角形的第三边为10或7【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边,应分类讨论,本题容易误认为所求的第三边为斜边. 举一反三:【变式】在△ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12.求△ABC 的周长. 【答案】 解:在Rt △ABD 和Rt △ACD 中,由勾股定理,得22222151281BD AB AD =-=-=. ∴ 819BD ==.同理22222131225CD AC AD =-=-=.∴ 255CD ==.①当∠ACB >90°时,BC =BD -CD =9-5=4.∴ △ABC 的周长为:AB +BC +CA =15+4+13=32. ②当∠ACB <90°时,BC =BD +CD =9+5=14.∴ △ABC 的周长为:AB +BC +CA =15+14+13=42. 综上所述:△ABC 的周长为32或42.2、如图所示,△ABC 中,∠ACB =90°,AC =CB ,M 为AB 上一点. 求证:2222AM BM CM +=.【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2,自然想到了用勾股定理证明,因此需要作CD ⊥AB . 【答案与解析】证明:过点C 作CD ⊥AB 于D . ∵ AC =BC ,CD ⊥AB , ∴ AD =BD .∵ ∠ACB =90°, ∴ CD =AD =DB .∴ ()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+在Rt △CDM 中,222CD DM CM +=, ∴ 2222AM BM CM +=.【总结升华】欲证明线段平方关系问题,首先联想勾股定理,从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形,利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证. 举一反三:【变式】已知,△ABC 中,AB =AC ,D 为BC 上任一点,求证:22AB AD BD CD -=⋅.【答案】解:如图,作AM ⊥BC 于M ,∵AB =AC ,∴BM =CM,则在Rt △ABM 中:222AB AM BM =+……①在Rt △ADM 中:222AD AM DM =+……②由①-②得:22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+-= (MC +DM )•BD =CD ·BD 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、(2016•益阳)在△ABC 中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC 的面积. 某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.【思路点拨】根据题意正确表示出AD 2的值是解题关键. 【答案与解析】解:如图,在△ABC 中,AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x ,则CD=14﹣x ,由勾股定理得:AD 2=AB 2﹣BD 2=152﹣x 2,AD 2=AC 2﹣CD 2=132﹣(14﹣x )2, 故152﹣x 2=132﹣(14﹣x )2, 解之得:x=9. ∴AD=12.∴S △ABC =BC •AD=×14×12=84.【总结升华】此题主要是要读懂解题思路,然后找到解决问题的切入点,问题才能迎刃而解. 举一反三:【变式】如图所示,已知△ABC 中,∠B =22.5°,AB 的垂直平分线交BC 于D ,BD =62,AE ⊥BC 于E ,求AE 的长.【答案】解:连接AD .∵ DF 是线段AB 的垂直平分线,∴ AD =BD =62,∴ ∠BAD =∠B =22.5° 又∵∠ADE =∠B +∠BAD =45°,AE ⊥BC , ∴ ∠DAE =45°,∴ AE =DE 由勾股定理得:222AE DE AD +=,∴ 222(62)AE =,∴ 6262AE ==. 4、如图①所示,分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用123S S S 、、表示,则不难证明123S S S =+.(1)如图②,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形,其面积分别用123S S S 、、表示,那么123S S S 、、之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用123S S S 、、表示,请你确定123S S S 、、之间的关系并加以证明.【答案与解析】解:设Rt △ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a b c 、、,则222a b c +=. (1) 123S S S =+;(2) 123S S S =+.证明如下: 显然,2134S c =,2234S a =,2334S b =, 所以22223133()S S a b c S +=+==. 【总结升华】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等. 5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、,且满足222506810a b c a b c +++=++,判断ΔABC 的形状. 【答案与解析】解:由222506810a b c a b c +++=++,得 : 2226981610250a a b b c c -++-++-+= ∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=∵ 222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥,, ∴ 3,4, 5.a b c === ∵ 222345+=, ∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得:△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①,一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处,食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处,蚂蚁急于吃到食物,所以沿着长方体的表面向上爬,请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开,由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行,且长方体木块底面是正方形,故它爬行的路径有两种情况. 【答案与解析】解:如图②③所示.因为两点之间线段最短,所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度. 在图②中,由勾股定理,得222311130AB =+=. 在图③中,由勾股定理,得22268100AB =+=.因为130>100,所以图③中的AB 的长度最短,为10cm ,即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm . 【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图,把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线,再运用勾股定理求解. 举一反三:【变式】我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上'高二丈周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?,题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A 处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B 处.则问题中葛藤的最短长度是多少尺?【答案】解:如图所示,在如图所示的直角三角形中,∵BC=20尺,AC=5×3=15尺,∴AB==25(尺).答:葛藤长为25尺.。

勾股定理全章复习课ppt课件

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BD的长.
D B
C
A
2.如图,小明和小方分别在C处同时出发,小明 以每小时40千米的速度向南走,小方以每小时
30千米的速度向西走,2小时后,小明在A处,小
方在B处,请求出AB的距离.
B C
A
D D
10-x
x
E
6
C
A
10
E
C
A
10-x
10
探究3: 应用拓展二
2.长方形ABCD如图折叠,使点D落 在BC边上的点F处,已知AB=8, BC=10,求折痕AE的长.
A 8 10 D E 8 A 8 10 10
?
x 10
D x E 8 8-x 4
B
10
F
C
B
6
F
C
应用拓展三 3.折叠长方形纸片,先折出折痕对角线BD, 在绕点D折叠,使点A落在BD的E处,折痕 DG,若AB=4,BC=3,求AG的长.
勾股定理应用一 1.已知直角三角形ABC中,
A
C
(1)若AC=8,AB=10,则 周长 = ____.
B
S ABC =______ (2)同上题,
2.一个直角三角形的面积54,且其中一条直角边 的长为9,则这个直角三角形的斜边长为_____ 3.如上图,直角三角形的面积为24,AC=6,则它 的周长为________
10 . 如图:在 Rt ABC 中, AD 是斜边的高 AB 24 , AC 7 ,求 AD 的长。 .
B
D A C
勾股定理在特殊三角形中的应用 11.如图:一工厂的房顶为等 ABC, AB=AC, AD=5米,AB=13米,求跨度BC的长.
A
B

(完整版)精心整理勾股定理复习资料

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第十八章 勾股定理 复习 定理:经过证明被确认为正确的命题叫做定理。

1、勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,也就是说在Rt △ABC 中,设∠C =90°,∠C 、∠A 、∠B 所对的边分别为c 、a 、b ,则c 、a 、b 满足关系a²+b²=c²。

在我国古代,人们将直角三角形中短的直角边叫做勾,长的直角边叫做股,斜边叫做弦。

注意:由于直角三角形的斜边最长,故运用勾股定理时,一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和,避免出现这样的错误:在△ABC 中,∠B =90°,则a²+b²=c²。

2、勾股定理的证明:勾股定理的证明方法很多,可以用测量计算,可以用代数式的变形,可以用几何证明,也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明,这是最常见的一种方法。

验证如下:现有四块直角边长为a 、b ,斜边长为c 的直角三角形纸板,请从中取出若干块拼图,证明勾股定理。

证法1:∵S 大正方形=4S 三角形+S 小正方形∴c ²=4×12ab +(b −a)²∴c ²=a ²+b ²证法2:∵S 梯形=2S 小三角形+S 大三角形∴12(a +b )2=2×12ab +12c²∴a²+b²=c²证法3:∵S 大正方形=4S 三角形+S 小正方形∴(a +b )2=4×12ab +c²∴a²+b²=c²3、勾股定理的作用:勾股定理揭示了直角三角形的三边关系,其作用有:(1)已知直角三角形的任两边,求第三边问题;(2)证明三角形中的某些线段的平方关系; a a b bc c(3)作长为无理数的线段.注意:若已知直角三角形的两边求第三边时,先确定是直角边还是斜边。

勾股定理全章知识点总结大全

勾股定理全章知识点总结大全

勾股定理全章知识点总结大全一.基础知识点: 1:勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

(即:a 2+b 2=c 2) 要点诠释:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ∆中,90C ∠=︒,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =-)(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长:a 、b 、c ,则有关系a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c ;(2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系,若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形(若c 2>a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形;若c 2<a 2+b 2,则△ABC 为锐角三角形)。

(定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边)3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。

4:互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。

5:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证6:勾股数cba HG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)二、规律方法指导1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

初二数学勾股定理全章复习与巩固

初二数学勾股定理全章复习与巩固

勾股定理全章复习与稳固学习目标1.认识勾股定理的历史,掌握勾股定理的证明方法;2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容;3.能应用勾股定理及逆定理解决相关的实质问题.知识网络重点梳理重点一、勾股定理1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.(即:)2.勾股定理的应用勾股定理反应了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用是:(1)已知直角三角形的两边,求第三边;(2)利用勾股定理能够证明相关线段平方关系的问题;(3)求作长度为的线段重点二、勾股定理的逆定理1.原命题与抗命题假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题 .假如把此中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的抗命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:假如三角形的三边长,知足,那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判断一个三角形能否是直角三角形的基本步骤:( 1)第一确立最大边,不如设最大边长为;( 2)考证与能否拥有相等关系,若,则△ ABC是以∠ C为直角的直角三角形,反之,则不是直角三角形.3.勾股数知足不定方程的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),明显,以为三边长的三角形必定是直角三角形.常有的勾股数:①3、 4、 5;② 5、 12 、 13;③ 8、 15、 17 ;④ 7、 24、 25;⑤ 9、 40、41.假如 ()是勾股数,当t 为正整数时,以为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形.察看上边的①、②、④、⑤四组勾股数,它们拥有以下特点:1.较小的直角边为连续奇数;2.较长的直角边与对应斜边相差 1.3.假定三个数分别为,且,那么存在建立.(比如④中存在= 24+ 25、=40+41等)重点三、勾股定理与勾股定理逆定理的差别与联系差别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判断定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,二者互为逆定理,都与直角三角形相关 .典型例题种类一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为 6 和 8,求第三边的长.【变式】在△ABC 中, AB= 15, AC= 13,高 AD= 12.求△ ABC 的周长.2 、如下图,△ABC 中,∠ ACB= 90°,AC= CB,M 为 AB 上一点.求证:.【变式】已知,△ABC 中, AB=AC, D 为 BC 上任一点,求证:.种类二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如下图,在△ABC 中, AB= AC= 20 ,BC= 32, D 是 BC 上的一点,且AD⊥AC,求 BD 的长.【变式】如下图,已知△ABC 中,∠ B= 22.5°,AB 的垂直均分线交BC 于 D,BD=,AE⊥BC 于 E,求 AE 的长 .4 、如图①所示,分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用表示,则不难证明.表示,那么之间有什么关系?(不用证明 )(2)如图③,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用表示,请你确立之间的关系并加以证明.5、假如ABC 的三边分别为,且知足,判断ABC 的形状 .种类三、勾股定理的实质应用6、如图①,一只蚂蚁在长方体木块的一个极点 A 处,食品在这个长方体上和蚂蚁相对的极点 B 处,蚂蚁急于吃到食品,因此沿着长方体的表面向上爬,请你计算它从 A 处爬到 B 处的最短路线长为多少?【变式】如图,有一个圆柱体,它的高为20,底面半径为5.假如一只蚂蚁要从圆柱体下底面的 A 点,沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面 B 点,则蚂蚁爬的最短路线长约为______π.(取 3)稳固练习一 .选择题1.如图,一棵大树被台风刮断,若树在离地面 3 处折断,树顶端落在离树底部 4 处,则树折断以前高 ( )A.5B.7C.8D.102.如图,从台阶的下端点 B 到上端点 A 的直线距离为()A. B.C. D.3. 以下命题中是假命题的是()A.三个内角的度数之比为:3:4的三角形是直角三角形;B.三个内角的度数之比为::2的三角形是直角三角形;C.三边长度之比::2的三角形是直角三角形;D.三边长度之比::2的三角形是直角三角形;4.如下图,在△ ABC 中, AB=AC= 5, BC=6,点 E、 F 是中线 AD 上的两点,则图中暗影部分的面积是().A.6B.12C.24D.305.以下三角形中,是直角三角形的是()A.三角形的三边知足关系B.三角形的三边比为1∶ 2∶ 3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9, 40, 416.某市在旧城改造中,计划在市内一块如下图的三角形空地上栽种草皮以美化环境,已知这类草皮每平方米售价元,则购置这类草皮起码需要()A.450元B.225元C.150元D.300元7. 如下图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ ABC 是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对8. 已知,如图长方形ABCD 中, AB= 3,AD=9,将此长方形折叠,使点 B 与点 D 重合,折痕为EF,则△ ABE 的面积为()A.3B.4C.6D.12二 .填空题9.若一个三角形的三边长分别为6, 8, 10,则这个三角形中最短边上的高为.10.若等边三角形的边长为2,则它的面积为______.11.如图, B,C 是河岸边两点, A 是对岸岸边一点,测得∠ABC= 45°,∠ACB= 45°,BC= 60 米,则点A 到岸边 BC 的距离是米.12. 以下命题中,其抗命题建立的是.(只填写序号)①同旁内角互补,两直线平行;②假如两个角是直角,那么它们相等;③假如两个实数相等,那么它们的平方相等;④假如三角形的三边长知足,那么这个三角形是直角三角形.13. 长为 4的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如下图 ),则梯子的顶端沿墙面高升了______.14.在直角三角形中,一条直角边为11,另两边是两个连续自然数,则此直角三角形的周长为.15.如下图的图形中,全部的四边形都是正方形,全部的三角形都是直角三角形,若涂黑的四个小正方形的面积的和是10,则此中最大的正方形的边长为______.16.如图,△ ABC 中,∠ ACB= 90°,AC= BC=1,取斜边的中点,向斜边做垂线,画出一个新的等腰直角三角形,这样持续下去,直到所画直角三角形的斜边与△ABC的 BC边重叠为止,此时这个三角形的斜边长为.三 .解答题17.若直角三角形两直角边的比是3: 4,斜边长是 20,求此三角形的面积 .18.如图,两个乡村A、B 在河 CD 的同侧, A、B 两村到河的距离分别为AC= 1 千米,BD= 3 千米, CD= 3 千米.现要在河畔CD 上建筑一水厂,向A、B 两村送自来水.铺设水管的工程花费为每千米20000 元,请你在CD 上选择水厂地点O,使铺设水管的花费最省,并求出铺设水管的总花费W.19.如图,△ ABC 中,∠ A=90°,AC=20, AB= 10 ,延伸 AB 到 D,使 CD+ DB= AC +AB,求 BD 的长.20. 如图,四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片,为CD边上的点,=3.将纸片沿某条直线折叠,使点 B 落在点处,点A的对应点为,折痕分别与AD ,BC 边交于点 M,N.求 BN 的长 .。

勾股定理全章复习与巩固(相当经典,不容错过)

勾股定理全章复习与巩固(相当经典,不容错过)

勾股定理全章复习与巩固(学习目标)1.了解勾股定理的历史,掌握勾股定理的证明方法;2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容;3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. (知识网络)(要点梳理)要点一、勾股定理1.勾股定理:直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.(即:222a b c +=)2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用是:(1)已知直角三角形的两边,求第三边;(2)利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题;(3)求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a b c 、、,满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤: (1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c ;(2)验证2c 与22a b +是否具有相等关系,若222a b c +=,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形,反之,则不是直角三角形.3.勾股数 满足不定方程222x y z +=的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数:①3、4、5; ②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数,当t 为正整数时,以at bt ct 、、为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数,它们具有以下特征:1.较小的直角边为连续奇数;2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、,且a b c <<,那么存在2a b c =+成立.(例如④中存在27=24+25、29=40+41等)要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,两者互为逆定理,都与直角三角形有关. (典型例题)类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =90°,AD =,AB =BC =E 是AB 上一点,且AE =E 到CD 的距离EF .(思路点拨)连接DE 、CE 将EF 转化为△DCE 一边CD 上的高,根据题目所给的条件,容易求出△CDE 的面积,所以利用面积法只需求出CD 的长度,即可求出EF 的长度,过点D 作DH ⊥BC 于H ,在Rt △DCH 中利用勾股定理即可求出DC . (答案与解析)解:过点D 作DH ⊥BC 于H ,连接DE 、CE ,则AD =BH ,AB =DH ,∴ CH =BC -BH ===AB =在Rt △CDH 中,22222625CD DH CH =+=+=,∴ CD =25, ∵ CDE ADE BCE ABCD S S S S =--△△△梯形111()222AD BC AB AD AE BC BE =+--111125222=⨯⨯⨯⨯=又∵ 12CDE S DC EF =△,∴ 1251252EF ⨯=,∴ EF =10.(总结升华)(1)多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积,利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法.(2)利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换. 举一反三:(变式)如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上的点,已知AB =13,AD =12,AC =15,BD =5,求DC 的长. (答案)解:在△ABD 中,由22212513+=可知:222AD BD AB +=,又由勾股定理的逆定理知∠ADB =90°.在Rt △ADC 中,9DC =.类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示,牧童在A 处放牛,其家在B 处,A 、B 到河岸的距离分别为AC =400米,BD =200米,CD =800米,牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水,所走路程最短?最短路程是多少? (思路点拨)作点A 关于直线CD 的对称点G ,连接GB ,交CD 于点E ,利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水,再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程,然后构造直角三角形,利用勾股定理可解决.(答案与解析)解:作点A 关于直线CD 的对称点G ,连接GB 交CD 于点E ,由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水,所走路程最短.说明如下:在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ,连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE . ∵ 点G 、A 关于直线CD 对称,∴ AI =GI ,AE =GE .由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI +BI >GB =AE +BE ,于是得证. 最短路程为GB 的长,自点B 作CD 的垂线,自点G 作BD 的垂线交于点H ,在直角三角形GHB 中, ∵ GH =CD =800,BH =BD +DH =BD +GC =BD +AC =200+400=600,∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=.∴ GB =1000,即最短路程为1000米.(总结升华)这是一道有关极值的典型题目.解决这类题目,一方面要考虑“两点之间线段最短”;另一方面,证明最值,常常另选一个量,通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明,如本题中的I 点.本题体现了勾股定理在实际生活中的应用. 举一反三:(变式)如图所示,正方形ABCD 的AB 边上有一点E ,AE =3,EB =1,在AC 上有一点P ,使EP +BP 最短.求EP +BP 的最小值. (答案)解:根据正方形的对称性可知:BP =DP ,连接DE ,交AC 于P ,ED =EP +DP =EP +BP , 即最短距离EP +BP 也就是ED .∵ AE =3,EB =1,∴ AB =AE +EB =4,∴ AD =4,根据勾股定理得:222223425ED AE AD =+=+= .∵ ED >0,∴ ED =5,∴ 最短距离EP +BP =5.3、等腰直角△ABC 中,∠ACB =90°,E 、F 为AB 上两点(E 左F 右),且∠ECF =45°,如图所示:问AE 、EF 、BF 之间有何关系?并说明理由.(思路点拨):由于∠ACB =90°,∠ECF =45°,所以∠ACE +∠BCF =45°,若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°,于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并,或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并,旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角,联想勾股定理而可得到AE 、EF 、BF 之间的关系. (答案与解析)解:(1)222AE BF EF +=,理由如下:将△BCF 绕点C 旋转得△ACF ′,使△BCF 的BC 与AC 边重合, 即△ACF ′≌△BCF ,∵ 在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,∴ ∠CAF ′=∠B =45°,∴ ∠EAF ′=90°.∵ ∠ECF =45°,∴ ∠ACE +∠BCF =45°. ∵ ∠ACF ′=∠BCF ,∴ ∠ECF ′=45°.在△ECF 和△ECF ′中: 45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF ′(SAS),∴ EF =EF ′.在Rt △AEF ′中,222AE F A F E ''+=, ∴ 222AE BF EF +=.(总结升华)若一个角的内部含有同顶点的半角,(如平角内含直角,90°角内含45°角,120°角内含60°角),则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角,然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题.4、已知:如图,△ABC 中,∠CAB =120°,AB =4,AC =2,AD ⊥BC ,D 是垂足,求AD 的长.(答案与解析)解:作CE ⊥AB 于E ,则∠CAE=180°-120°=60°,在Rt△ACE 中,∠CEA=90°,∵AC =2,∠ACE =30°∴由勾股定理可得1,AE CE =BE =AB +AE =4+1=5在Rt△ACE 中,BC =由三角形面积公式:1122AB CE BC AD ⨯⨯=⨯⨯∴AB CE AD BC ⨯===(总结升华)勾股定理要在直角三角形中才能应用,没有直角三角形要构造直角三角形.类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法:我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.5、如图所示,△ABC 是等腰直角三角形,AB =AC ,D 是斜边BC 的中点,E 、F 分别是AB 、AC 边上的点,且DE ⊥DF ,若BE =12,CF =5.求线段EF 的长.(答案与解析)解:连接AD .因为∠BAC =90°,AB =AC .又因为 AD 为△ABC 的中线,所以 AD =DC =DB .AD ⊥BC .且∠BAD =∠C =45°. 因为∠EDA +∠ADF =90°.又因为∠CDF +∠ADF =90°所以∠EDA =∠CDF .所以△AED ≌△CFD (ASA ). 所以 AE =FC =5.同理:AF =BE =12. 在Rt △AEF 中,由勾股定理得:,所以EF =13.(总结升华)此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题,我们可以知道:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解. 举一反三:(变式)已知凸四边形ABCD 中,∠ABC =30°,∠ADC =60°,AD =DC ,求证:(答案)解:将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°.由于DC =AD ,故点A 转至点C .点B 转至点E ,连结BE .∵ BD =DE ,∠BDE =60° ∴ △BDE 为等边三角形,BE =BD易证△DAB ≌△DCE ,∠A =∠2,CE =AB∵ 四边形ADCB 中∠ADC =60°,∠ABC =30°∴ ∠A +∠1=360°-60°-30°=270° ∴ ∠1+∠2=∠1+∠A =270°∴ ∠3=360°-(∠1+∠2)=90°∴∴2.方程的思想方法6、如图所示,已知△ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,,求、、的值.(答案与解析)解:在Rt △ABC 中,∠A =60°,∠B =90°-∠A =30°,则 ,由勾股定理,得.因为,所以,,,.(总结升华)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.举一反三:(变式)直角三角形周长为12cm ,斜边长为5cm ,求直角三角形的面积. (答案)解:设此直角三角形两直角边长分别是x y ,,根据题意得:由(1)得:7x y +=,∴()249x y +=,即22249x xy y ++= (3)(3)-(2),得:12xy =∴直角三角形的面积是12xy =12×12=6(2cm )(巩固练习) 一.选择题1. 在△ABC 中,若1,2,122+==-=n c n b n a ,则△ABC 是( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形2. 如图,每个小正方形的边长为1,A 、B 、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为( )A .90°B .60°C .45°D .30°3.在下列说法中是错误的( )A .在△ABC 中,∠C=∠A 一∠B,则△ABC 为直角三角形.B .在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC 为直角三角形.C .在△ABC 中,若35a c =,45b c =,则△ABC 为直角三角形.D .在△ABC 中,若a :b :c =2:2:4,则△ABC 为直角三角形.4.若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于( )A.7 B.7或41 C.24 D.24或75. 2,则此三角形的面积为( )A.26.如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,CD ⊥AB 于点D ,AB =13,CD =6,则AC +BC 等于( ) A.5 B.135 C.1313 D.597. 已知三角形的三边长为a b c 、、,由下列条件能构成直角三角形的是( ) A.()()2222221,4,1a m b m c m =-==+ B.()()222221,4,1a m b m c m =-==+ C.()()222221,2,1a m b m c m =-==+ D.()()2222221,2,1a m b m c m =-==+8. 如图,已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD =2,BC =DC =5,点P 在BC 上移动,则当PA +PD 取最小值时,△APD 中边AP 上的高为( ) C. D.3二.填空题9. 如图,平面上A 、B 两点处有甲、乙两只蚂蚁,它们都发现C 处有食物,已知点C 在A 的东南方向,在B 的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A 、B 两地出发爬向C 处,速度都是30cm /min.结果甲蚂蚁用了2 min ,乙蚂蚁2分40秒到达C 处分享食物,两只蚂蚁原来所处地点相距_______cm .10.如图,AB =5,AC =3,BC 边上的中线AD =2,则△ABC 的面积为______.11.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AB =6,BC =8,将直角边AB 折叠使它落在斜边AC 上,折痕为AD ,则BD =______.12.△ABC 中,AB =AC =13,若AB 边上的高CD =5,则BC =______.13.如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ,高为6cm .如果用一根细线从点A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B ,那么所用细线最短需要_____cm ,如果从点A开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B ,那么所用细线最短需要_____cm .14.已知:△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,BC=_______.15. 已知,如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为________.16. 如图所示,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,BC=________..三.解答题17.如图所示,已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点,且AE=AF,BE=BD,CF=CD,AB=4,AC=3,32BDCD,求:△ABC的面积.18.有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.19. 有一块直角三角形纸片, 两直角边AC = 6cm, BC = 8cm,①如图1,现将纸片沿直线AD折叠, 使直角边AC落在斜边AB上, 且与AB重合, 则CD =_________.图1 图2②如图2,若将直角∠C沿MN折叠, 使点C落在AB中点H上, 点M、N分别在AC、BC上, 则2AM、2BN与2MN之间有怎样的数量关系?并证明你的结论。

人教版八年级下册数学《勾股定理》教学说课复习课件巩固

人教版八年级下册数学《勾股定理》教学说课复习课件巩固

C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么数量关系?
AB C
S正方形A S正方形B S正方形C
一直角边2 +
另一直角边2 =
斜边2
等腰直角三角形三边的关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方。
探究新知
问题3 网格中为一般的直角三角形,以它的三边为 边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关 系?(每个小正方形的面积为单位1):
A C
、地面构成的两个直角三角形,
什么量没有发生变化?
O
BD
问题3 下滑后梯子底端外移的距离是哪条线段的长度?
如何计算?
解:可以看出,BD=OD-OB.
在Rt△ABC中,根据勾股定理,
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1. OB=1.
在Rt△COD中,根据勾股定理,
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
二 用勾股定理巧证明“HL”
思考 在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一 条直角边分别相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后 ,你能证明这一结论吗?
已知:如图,在Rt△ABC 和Rt△A ′ B ′ C ′ 中,∠C= ∠C ′=90°,AB=A′ B ′,AC=A′ C′ .
求证:△ABC≌△A ′B ′C′ .
12
3 4 5 ,…
1
12
3
4
5
“数学海螺”
归纳总结
利用勾股定理表示无理数的方法 (1)利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 整数的直角三角形的斜边. (2)以原点O为圆心,以无理数斜边长为半径画弧与数 轴存在交点,在原点左边的点表示是负无理数,在原点 右边的点表示是正无理数.

勾股定理巩固复习

勾股定理巩固复习

复习巩固——勾股定理一、知识点1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

(即:a 2+b 2=c 2)2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:a 、b 、c 满足2a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。

3、满足222c b a =+的三个正整数,称为勾股数。

如:(1)3,4,5; (2)5,12,13; (3)6,8,10; (4)8,15,17 (5)7,24,25 (6)9, 40, 414、最短距离:将立体图形展开,利用直角三角形的勾股定理求出最短距离(斜边长)。

注意:(1)勾股数是一组数据,必须满足两个条件:①满足222c b a =+;②三个数都为正整数。

(2)11~20十个数的平方值:二、典型题型题型1、求线段的长度A 、已知直角三角形的两边求第三边例1、(1)若直角三角形的两边长为12和5,求以第三边为边长的正方形的面积是________。

(2) 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________。

B 、已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边。

例2、直角三角形中,斜边长为5cm ,周长为12cm ,则它的面积为 。

C 、利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题例3、(1)三角形的三边长为(a+b )2=c 2+2ab,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形.(2)在△ABC 中,∠C=90°,若AB =5,则2AB +2AC +2BC =__________.综合例4:如图,在△ABC 中,∠ACB=90º, CD ⊥AB ,D 为垂足,AC=6cm ,BC=8cm.求① △ABC 的面积; ②斜边AB 的长; ③斜边AB 上的高CD 的长。

练习1、等腰三角形的,腰长为25,底边长14,则底边上的高是 ,面积是 。

2、一个直角三角形的三边长为连续偶数,则它的各边长为 。

勾股定理复习巩固

勾股定理复习巩固

勾股定理复习巩固一、要点梳理要点一、勾股定理1.勾股定理:直角三角形两直角边ab、的平方和等于斜边c的平方.(即:a2+b2=c2)2.勾股定理的应用:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用是:(1)已知直角三角形的两边,求第三边;(2)利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题;(3)求作长度为√n的线段。

要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题:如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.。

2.勾股定理的逆定理:勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤:(1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c;(2)验证c2与a2、b2是否具有相等关系,若a2+b2=c2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形,反之,则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)。

常见的勾股数:①3、4、5;②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤9、40、41。

要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,两者互为逆定理,都与直角三角形有关。

二、典型例题题型一:勾股定理及逆定理的应用1.如图所示,在△ABC中,D是BC边上的点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求DC的长。

题型二、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法:我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.2.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC 边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.2.方程的思想方法:3.直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。

勾股定理全章复习课ppt课件

勾股定理全章复习课ppt课件

7.下列线段不能组成直角三角形的是( D )
A.a=8,b=15,c=17
B.a=9,b=12,c=15
C.a= ,b= ,c=
D.a:b:c=2:3:4
B
A.锐角三角形 C. 钝角三角形
B. 直角三角形 D. 等边三角形
9
9.如图,在东西方向的海岸线MN上有相距10海里的A、B两艘船,
均收到已触礁搁浅的船C的求救信号, 6分钟后同时到达C地.已
y
E
F
D
C
根据勾股定理列出方程即可解决此
类型问题.
A
x B
13
小结
1、你学到哪些数学知识?
理解原命题、逆命题与逆定理的概念及关系 掌握勾股定理及其逆定理并能运用其解决实际问题
2、你学到哪些数学思想方法?
在运用定理解决问题中,体会分类、方程与转化的思想方法
14
课堂检测
1.已知直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2.下列各组数中,不能作为直角三角形边长的是( )
A
A
利用勾股定理解决 实际问题:先转化 成数学问题, 找到 直角三角形, 最后 利用勾股定理解决 问题。
7
6.如图,长方体的长为6,宽为4,高为8,点B离点C的距离为2,一只妈蚁 如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?
展开(分类)
∴最短路径为10 8
知识运用
四、 勾股定理逆定理及其实际应用

5
3.已知一个直角三角形的两条边长是3cm和4cm,求第三条边的长.
答案: 5 cm或 cm.
4.已知在△ABC中, AB=15cm,AC=13cm,高AD=12cm,求BC

勾股定理复习考点全经典

勾股定理复习考点全经典

勾股定理复习考点(全)-经典————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:ﻩ勾股定理复习考点(全)-经典一、知识要点:1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c ,那么a2 + b2= c2。

公式的变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2 + b2=c2,那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,要注意处理好如下几个要点:①已知的条件:某三角形的三条边的长度.②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 +b2= c2的三个正整数,称为勾股数。

注意:①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。

常见勾股数有:(3,4,5)(5,12,13) ( 6,8,10 ) (7,24,25 )( 8,15,17) (9,12,15 )4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一:利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.S 3S 2S 12. 如图,以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系.3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S 1、S 2、S3,则它们之间的关系是( )A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S3=S 14、四边形ABCD 中,∠B =90°,AB=3,BC=4,CD =12,AD=13,求四边形ABCD 的面积。

勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)

勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)

AB Ca b c弦股勾勾股定理(知识点)【知识要点】1. 勾股定理的概念:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么 a 2+b 2=c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 有下面关系:a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边。

3. 勾股数:①满足a 2+b 2=c 2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a ,b ,c 、为勾股数,那么ka ,kb ,kc 同样也是勾股数组。

)②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25;8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数) 2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念:判断一件事情的语句,叫做命题。

理解:命题的定义包括两层含义:(1)命题必须是个完整的句子;(2)这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类(按正确、错误与否分) 真命题(正确的命题) 命题假命题(错误的命题)所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理:人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。

⑷ 定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸ 证明:判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意,画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。

③ 经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。

5.判断直角三角形:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。

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勾股定理全章复习与巩固(学习目标)1.了解勾股定理的历史,掌握勾股定理的证明方法;2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容;3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.(知识网络)(要点梳理)要点一、勾股定理1.勾股定理:直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.(即:222a b c +=)2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用是:(1)已知直角三角形的两边,求第三边;(2)利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题;(3)求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a b c 、、,满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤:(1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c ;(2)验证2c 与22a b +是否具有相等关系,若222a b c +=,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形,反之,则不是直角三角形.3.勾股数 满足不定方程222x y z +=的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数:①3、4、5; ②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数,当t 为正整数时,以at bt ct 、、为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数,它们具有以下特征:1.较小的直角边为连续奇数;2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、,且a b c <<,那么存在2a b c =+成立.(例如④中存在27=24+25、29=40+41等)要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,两者互为逆定理,都与直角三角形有关. (典型例题) 类型一、勾股定理及逆定理的应用 1、如图所示,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =90°,AD =35,AB =105,BC 85=,E 是AB 上一点,且AE =45,求点E 到CD 的距离EF .(思路点拨)连接DE 、CE 将EF 转化为△DCE 一边CD 上的高,根据题目所给的条件,容易求出△CDE 的面积,所以利用面积法只需求出CD 的长度,即可求出EF 的长度,过点D 作DH ⊥BC 于H ,在Rt △DCH 中利用勾股定理即可求出DC .(答案与解析)解:过点D 作DH ⊥BC 于H ,连接DE 、CE ,则AD =BH ,AB =DH ,∴ CH =BC -BH =853555-= DH =AB =105,在Rt △CDH 中,22222(105)(55)625CD DH CH =+=+=,∴ CD =25,∵ CDE ADE BCE ABCD S S S S =--△△△梯形111()222AD BC AB AD AE BC BE =+-- 111(3585)10535458565125222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯= 又∵ 12CDE S DC EF =△,∴ 1251252EF ⨯=,∴ EF =10. (总结升华)(1)多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积,利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法.(2)利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换. 举一反三:(变式)如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上的点,已知AB =13,AD =12,AC =15,BD =5,求DC 的长. (答案)解:在△ABD 中,由22212513+=可知:222AD BD AB +=,又由勾股定理的逆定理知∠ADB =90°.在Rt △ADC 中,222215129DC AC AD =-=-=.类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示,牧童在A 处放牛,其家在B 处,A 、B 到河岸的距离分别为AC =400米,BD =200米,CD =800米,牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水,所走路程最短?最短路程是多少? (思路点拨)作点A 关于直线CD 的对称点G ,连接GB ,交CD 于点E ,利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水,再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程,然后构造直角三角形,利用勾股定理可解决.(答案与解析)解:作点A 关于直线CD 的对称点G ,连接GB 交CD 于点E ,由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水,所走路程最短.说明如下:在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ,连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE .∵ 点G 、A 关于直线CD 对称,∴ AI =GI ,AE =GE .由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI +BI >GB=AE +BE ,于是得证.最短路程为GB 的长,自点B 作CD 的垂线,自点G 作BD 的垂线交于点H ,在直角三角形GHB 中, ∵ GH =CD =800,BH =BD +DH =BD +GC =BD +AC =200+400=600,∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=.∴ GB =1000,即最短路程为1000米. (总结升华)这是一道有关极值的典型题目.解决这类题目,一方面要考虑“两点之间线段最短”;另一方面,证明最值,常常另选一个量,通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明,如本题中的I 点.本题体现了勾股定理在实际生活中的应用.举一反三:(变式)如图所示,正方形ABCD 的AB 边上有一点E ,AE =3,EB =1,在AC 上有一点P ,使EP +BP 最短.求EP +BP 的最小值.(答案)解:根据正方形的对称性可知:BP =DP ,连接DE ,交AC 于P ,ED =EP +DP =EP +BP ,即最短距离EP +BP 也就是ED .∵ AE =3,EB =1,∴ AB =AE +EB =4,∴ AD =4,根据勾股定理得:222223425ED AE AD =+=+= .∵ ED >0,∴ ED =5,∴ 最短距离EP +BP =5.3、等腰直角△ABC 中,∠ACB =90°,E 、F 为AB 上两点(E 左F 右),且∠ECF =45°,如图所示:问AE 、EF 、BF 之间有何关系?并说明理由.(思路点拨):由于∠ACB =90°,∠ECF =45°,所以∠ACE +∠BCF =45°,若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°,于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并,或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并,旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角,联想勾股定理而可得到AE 、EF 、BF 之间的关系. (答案与解析)解:(1)222AE BF EF +=,理由如下:将△BCF 绕点C 旋转得△ACF ′,使△BCF 的BC 与AC 边重合,即△ACF ′≌△BCF ,∵ 在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,∴ ∠CAF ′=∠B =45°,∴ ∠EAF ′=90°.∵ ∠ECF =45°,∴ ∠ACE +∠BCF =45°. ∵ ∠ACF ′=∠BCF ,∴ ∠ECF ′=45°.在△ECF 和△ECF ′中: 45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF ′(SAS),∴ EF =EF ′.在Rt △AEF ′中,222AE F A F E ''+=, ∴ 222AE BF EF +=.(总结升华)若一个角的内部含有同顶点的半角,(如平角内含直角,90°角内含45°角,120°角内含60°角),则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角,然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题.4、已知:如图,△ABC 中,∠CAB =120°,AB =4,AC =2,AD ⊥BC ,D 是垂足,求AD 的长.(答案与解析)解:作CE ⊥AB 于E ,则∠CAE=180°-120°=60°,在Rt△ACE 中,∠CEA=90°,∵AC =2,∠ACE =30°∴由勾股定理可得1,3AE CE ==∴BE =AB +AE =4+1=5在Rt△ACE 中,BC =()225327+=由三角形面积公式:1122AB CE BC AD ⨯⨯=⨯⨯∴43221727AB CE AD BC ⨯⨯===. (总结升华)勾股定理要在直角三角形中才能应用,没有直角三角形要构造直角三角形.类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法:我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.5、如图所示,△ABC 是等腰直角三角形,AB =AC ,D 是斜边BC 的中点,E 、F 分别是AB 、AC 边上的点,且DE ⊥DF ,若BE =12,CF =5.求线段EF 的长.(答案与解析)解:连接AD .因为∠BAC =90°,AB =AC .又因为 AD 为△ABC 的中线,所以 AD =DC =DB .AD ⊥BC .且∠BAD =∠C =45°.因为∠EDA +∠ADF =90°.又因为∠CDF +∠ADF =90°所以∠EDA =∠CDF .所以△AED ≌△CFD (ASA ). 所以 AE =FC =5.同理:AF =BE =12.在Rt △AEF 中,由勾股定理得:,所以EF =13.(总结升华)此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题,我们可以知道:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.举一反三:(变式)已知凸四边形ABCD 中,∠ABC =30°,∠ADC =60°,AD =DC ,求证:(答案)解:将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°.由于DC =AD ,故点A 转至点C .点B 转至点E ,连结BE .∵ BD =DE ,∠BDE =60° ∴ △BDE 为等边三角形,BE =BD易证△DAB ≌△DCE ,∠A =∠2,CE =AB∵ 四边形ADCB 中∠ADC =60°,∠ABC =30°∴ ∠A +∠1=360°-60°-30°=270°∴ ∠1+∠2=∠1+∠A =270°∴ ∠3=360°-(∠1+∠2)=90°∴∴2.方程的思想方法6、如图所示,已知△ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,,求、、的值.(答案与解析)解:在Rt △ABC 中,∠A =60°,∠B =90°-∠A =30°,则,由勾股定理,得. 因为 ,所以,,,. (总结升华)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.举一反三:(变式)直角三角形周长为12cm ,斜边长为5cm ,求直角三角形的面积.(答案)解:设此直角三角形两直角边长分别是x y ,,根据题意得:由(1)得:7x y +=, ∴()249x y +=,即22249x xy y ++= (3)(3)-(2),得:12xy =∴直角三角形的面积是12xy =12×12=6(2cm ) (巩固练习)一.选择题1. 在△ABC 中,若1,2,122+==-=n c n b n a ,则△ABC 是( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形2. 如图,每个小正方形的边长为1,A 、B 、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为( )A .90°B .60°C .45°D .30°3.在下列说法中是错误的( )A .在△ABC 中,∠C=∠A 一∠B,则△ABC 为直角三角形.B .在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC 为直角三角形.C .在△ABC 中,若35a c =,45b c =,则△ABC 为直角三角形. D .在△ABC 中,若a :b :c =2:2:4,则△ABC 为直角三角形.4.若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于( )A.7 B.7或41 C.24 D.24或75. 若三角形的三边长分别等于26、、2,则此三角形的面积为( )A.22B.2C.32D.3 6.如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,CD ⊥AB 于点D ,AB =13,CD =6,则AC +BC 等于( )A.5B.135C.1313D.597. 已知三角形的三边长为a b c 、、,由下列条件能构成直角三角形的是( )A.()()2222221,4,1a m b m c m =-==+B.()()222221,4,1a m b m c m =-==+C.()()222221,2,1a m b m c m =-==+D.()()2222221,2,1a m b m c m =-==+8. 如图,已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD =2,BC =DC =5,点P 在BC 上移动,则当PA +PD 取最小值时,△APD 中边AP 上的高为( )A.21717 B. C. D.3二.填空题9. 如图,平面上A 、B 两点处有甲、乙两只蚂蚁,它们都发现C 处有食物,已知点C 在A 的东南方向,在B 的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A 、B 两地出发爬向C 处,速度都是30cm /min.结果甲蚂蚁用了2 min ,乙蚂蚁2分40秒到达C 处分享食物,两只蚂蚁原来所处地点相距_______cm .10.如图,AB =5,AC =3,BC 边上的中线AD =2,则△ABC 的面积为______.11.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AB =6,BC =8,将直角边AB 折叠使它落在斜边AC 上,折痕为AD ,则BD =______.12.△ABC 中,AB =AC =13,若AB 边上的高CD =5,则BC =______.13.如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ,高为6cm .如果用一根细线从点A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B ,那么所用细线最短需要_____cm ,如果从点A 开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B ,那么所用细线最短需要_____cm .14.已知:△ABC 中,AB =15,AC =13,BC 边上的高AD =12,BC =_______. 15. 已知,如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,四边形OABC 是矩形,点A 、C 的坐标分别为A(10,0)、C (0,4),点D 是OA 的中点,点P 在BC 边上运动,当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为________.16. 如图所示,在△ABC 中,AB =5,AC =13,BC 边上的中线AD =6,BC =________..三.解答题17.如图所示,已知D 、E 、F 分别是△ABC 中BC 、AB 、AC 边上的点,且AE =AF ,BE =BD ,CF =CD ,AB =4,AC =3,32BD CD ,求:△ABC 的面积. 18.有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m ,8m .现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.19. 有一块直角三角形纸片, 两直角边AC = 6cm , BC = 8cm ,①如图1,现将纸片沿直线AD 折叠, 使直角边AC 落在斜边AB 上, 且与AB 重合, 则CD =_________.图1 图2② 如图2,若将直角∠C 沿MN 折叠, 使点C 落在AB 中点H 上, 点M 、N 分别在AC 、BC 上, 则2AM 、2BN 与2MN 之间有怎样的数量关系?并证明你的结论。

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