成比例线段ppt课件
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平行线分线段成比例ppt课件
,
2 3 2 3
=
=
1 2 1 2
,
2 3 1 3
1 2 1 2
,
2 3 1 3
=
=
1 2 1 2
,
1 3 1 3
1 2 1 3
,
1 3 2 3
=
=
1 2 1 3
,
1 3 2 3
1 3
.
2 3
=
1 3
C,D,E,F.
(1)如果AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长;
解:∵直线l1∥l2∥l3,
4
∴ =
= =
8
1
1
1
.
∴DE=
EF= ×12=6.
2
2
2
图4-2-4
探
究
与
应
用
2
(2)如果AB= AC,DF=9,求EF的长.
5
2
解:∵AB= AC,
5
∴
=
2
.∴
5
=
究
与
应
用
应用二 利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求
线段的长
例2 (教材典题)如图4-2-7,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上
的点,且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?
解:∵EF=7,EB=5,FC=4,
·
∴AF=
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
计算
实例
探究
计算或证明
平行线分线段成 图形变换
2 3 2 3
=
=
1 2 1 2
,
2 3 1 3
1 2 1 2
,
2 3 1 3
=
=
1 2 1 2
,
1 3 1 3
1 2 1 3
,
1 3 2 3
=
=
1 2 1 3
,
1 3 2 3
1 3
.
2 3
=
1 3
C,D,E,F.
(1)如果AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长;
解:∵直线l1∥l2∥l3,
4
∴ =
= =
8
1
1
1
.
∴DE=
EF= ×12=6.
2
2
2
图4-2-4
探
究
与
应
用
2
(2)如果AB= AC,DF=9,求EF的长.
5
2
解:∵AB= AC,
5
∴
=
2
.∴
5
=
究
与
应
用
应用二 利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求
线段的长
例2 (教材典题)如图4-2-7,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上
的点,且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?
解:∵EF=7,EB=5,FC=4,
·
∴AF=
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
计算
实例
探究
计算或证明
平行线分线段成 图形变换
《平行线分线段成比例》PPT课件
BE AE BF AF AB 1. BC AD BA AB AB
即 AE BE 1. AD BC
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中 点，DE∥BC交AC于点E，CF∥BA交DE的延长线于点F.
求证：DE＝EF.
证明：∵DE∥BC，∴ AD AE .
DB EC ∵点D为AB 的中点，∴AD＝DB，即
归纳
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)， 所得的对应线段成比例.
1.数学表达式：如图，
∵DE∥BC，
∴
AD AE ，AD AE ，BD＝ CE . DB EC AB AC AB AC
2.要点精析：
(1)本推论实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中
的一条过三角形一顶点，一条在三角形一边上的一种特殊情况．
知识点 3 平行线分线段成比例的基本事实推论2
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所 截得的三角形与原三角形的对应边成比例．
例3 如图，在△ABC中，EF∥BC，
则
AF AC
和EF 分别是( A )
A. 1 ，3 3
B. 1 ，6 3
C. 1 ，9 2
D．无法确定
AE 1 ，BC＝9，
D. 2cm、3cm、4cm、6cm
2.两地实际距离是500 m，画在图上的距离是25 cm，若在此图上量得A、
B两地相距为40 cm，则A，B两地的实际距离是( A )
A. 800m
B. 8000m C. 32250cm
D. 3225m
3.如图，AD//BE//CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和 点D、E、F.若AB=4.5，BC=3，EF=2，则DE的长度是( B )
4.2平行线分线段成比例 课件(共16张PPT) 北师大版数学九年级上册
AF交BC于点D，若BF=3EF，则 =
.
.
（ B）
.
.
点拨：过点E作 //交 BC 于点H,则
=
.
∵BE 是 △ 的中线， ∴ = , ∴ = .
∵ //, = , ∴
=
= , ∴
1 2 1 2
3 .计算
与
的值，你有什么发现？
2 3 2 3
如果不通过测量，我们要将一条长为5厘米的细线分成两部
分，使得这两部分之比为2：3.我们如何运用所学知识解决
这个问题呢？
知识讲解
自主探究
1.请同学们阅读课本82-83页内容.
2.思考并完成课本82页导入的内容中的问题可以得出什么结论？
例2：如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE//AB交
AC于E，如果
= ，那么BD：BC等于（
D
）
A.3:5 B. 5:3 C.8:5 D. 3:8
点拨: ∵ //, ∴
=
=
,∴
=
.
【题型三】平行线分线段成比例与三角形中位线的综合应用
例3：如图，BE是△BC的中线，点F在BE上，延长
平行的直线，用它们截两条直线，然后测量被截
的每段线段的长度，观察并计算是否满足本节课
所学的基本事实.
清楚哪些线段是对应的，切勿写反.
注意：在应用基本事实和推论时，我们需要注意的是：对应线段成比例，一
平行线分线段成比例定理 课件
求证:AF=CF.
分析:关键是条件
其中x 是某条线段.
1
2
= 的应用,通过作平行线,证明
= ,
证明:过点 D 作 DH∥AC,交 BF 于点 H,如图.
∵D 是 BC 的中点,
1
∴
=
= .
2
1
∵
= ,∴
=
.
2
1
又 ∵DH∥AF,∴
+
+
=
.
= (其中b+d+…+n≠0),那么
②合比性质:如果 = , 那么
③等比性质:如果 = = ⋯
++…+
= .
++…+
(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的
比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的
虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的
中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来证明.
证明:如图,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N.
∵AE=AF,∴AM=AC.
∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.
延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG,CG,
则四边形ABGC为平行四边形.∴AB=GC.
要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它
们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条
数还可以更多.
平行线分线段成比例ppt
三角形相似判定定理
在两个相似三角形中，若一对对应边平行，则一对对应边上的对应高对应成比例，从而可以推出这两个三角形 相似。
02
平行线分线段成比例定理的 证明
定理的直接证明
准备知识
平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形相似的定义。
证明过程
过任意一点作平行线，利用相似三角形的性质，证明分线段成比例。
定理证明方法
可以用梅涅劳斯定理或赛瓦定理证明该定理。
定理的历史背景
早期发现
平行线分线段成比例定理最早由希腊数学 家欧几里得在其著作《几何原本》中提出 并证明。
VS
后续发展
此后，该定理在欧洲文艺复兴时期得到了 重新发现和发展，并被广泛应用在实际问 题解决中。
定理的等价形式
平行线等比中项定理
若三条直线两两平行，则三条直线与第四条直线相交所得的三个交点连成的线段对应成比例，即若AC//BD, BC//AD, 则BD/AC=AD/BC。
谢谢您的观看
在科研方面，平行线分线段成比例定 理可以作为一个基础工具用于解决更 为复杂的问题。
对未来学习和研究者的寄语
对于未来的学习者，应该不断深入学习和研究，进一步探索 这个定理的各种应用和推广。
对于未来的研究者，应该注重研究这个定理与其他数学概念 的关联和拓展应用，为推动数学的发展做出更多贡献。
THANKS
定理的逆命题不成立
定理的逆命题并不总是成立。
例如，如果两条线段被一组平行线所截，截 得的对应线段成比例，但两条线段并不一定
平行。
06
总结
平行线分线段成比例定理的重要性和应用价值
01
02
03
平行线分线段成比例定理是平面几何 中一个基础而重要的定理，它揭示了 平行线与线段比例之间的关系。
在两个相似三角形中，若一对对应边平行，则一对对应边上的对应高对应成比例，从而可以推出这两个三角形 相似。
02
平行线分线段成比例定理的 证明
定理的直接证明
准备知识
平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形相似的定义。
证明过程
过任意一点作平行线，利用相似三角形的性质，证明分线段成比例。
定理证明方法
可以用梅涅劳斯定理或赛瓦定理证明该定理。
定理的历史背景
早期发现
平行线分线段成比例定理最早由希腊数学 家欧几里得在其著作《几何原本》中提出 并证明。
VS
后续发展
此后，该定理在欧洲文艺复兴时期得到了 重新发现和发展，并被广泛应用在实际问 题解决中。
定理的等价形式
平行线等比中项定理
若三条直线两两平行，则三条直线与第四条直线相交所得的三个交点连成的线段对应成比例，即若AC//BD, BC//AD, 则BD/AC=AD/BC。
谢谢您的观看
在科研方面，平行线分线段成比例定 理可以作为一个基础工具用于解决更 为复杂的问题。
对未来学习和研究者的寄语
对于未来的学习者，应该不断深入学习和研究，进一步探索 这个定理的各种应用和推广。
对于未来的研究者，应该注重研究这个定理与其他数学概念 的关联和拓展应用，为推动数学的发展做出更多贡献。
THANKS
定理的逆命题不成立
定理的逆命题并不总是成立。
例如，如果两条线段被一组平行线所截，截 得的对应线段成比例，但两条线段并不一定
平行。
06
总结
平行线分线段成比例定理的重要性和应用价值
01
02
03
平行线分线段成比例定理是平面几何 中一个基础而重要的定理，它揭示了 平行线与线段比例之间的关系。
成比例线段ppt课件
∵ + − = ，
∴ + − = .
∴ = .
∴ = ， = ， = ．
15.(2024周口期末改编)已知
+
解：∵
=
=
= ,
+
+
+
=
+
=
+
= ,则的值为多少？
∴ = + ， = + ， = + .
7.8
好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为____.（保留一位小数）
9.在△ 和△
+
′′′中，
′′+′′
18
则△ ′′′的周长为____．
10.(2024湖南郴州期末改编)若
=
=
′′
=
．若△
的周长为12，
��
+
，则 =__.
,
∴ 线段，，，不成比例.
（2）线段，，，是否成比例？
解：∵
∴ = .
=
,
= =
,
∴ 线段，，，成比例．
比例的基本性质
5.若 =
，则
A.
=( C )
B.−
C.
D.−
6.已知四条不相等的线段，，，满足关系式 = ，则下列式子
+ = −, =
∴ + − = .
∴ = .
∴ = ， = ， = ．
15.(2024周口期末改编)已知
+
解：∵
=
=
= ,
+
+
+
=
+
=
+
= ,则的值为多少？
∴ = + ， = + ， = + .
7.8
好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为____.（保留一位小数）
9.在△ 和△
+
′′′中，
′′+′′
18
则△ ′′′的周长为____．
10.(2024湖南郴州期末改编)若
=
=
′′
=
．若△
的周长为12，
��
+
，则 =__.
,
∴ 线段，，，不成比例.
（2）线段，，，是否成比例？
解：∵
∴ = .
=
,
= =
,
∴ 线段，，，成比例．
比例的基本性质
5.若 =
，则
A.
=( C )
B.−
C.
D.−
6.已知四条不相等的线段，，，满足关系式 = ，则下列式子
+ = −, =
北师大九年级数学上册《成比例线段》课件
2b d 5f 3
2ac5e 2(等比的性）质
2bd5f 3
2ac5e 2 18 3
3(2ac5e)182 2ac5e12
点拨：在处理等比问 题时将分式的基本性 质和等比的性质结合 起来解题非常方便。
活动四：尝试练习 巩固新知
填空：
1、若4 12，x__7_5 __.___
25 x
2、若2a3b0,则a_
4.1 成比例线段
两条线段的比：
如果选用同一个长度单位，量得两条线段AB，CD的长度分别是
m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB:CD=m:n,或
写成 AB m 其中,线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后
CD
项。如果把
nm
n
表示成比值k,那么 AB k ,或AB=k·CD。 CD
比例线段：
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
比, 即 a c ,那么这四条线段叫做成比例线段， bd
简称比例线段．
比例的基本性质
活动一 活动二 活动三 活动四 活动五 活动六 活动七
活动一：探索比例的基本性质
问题：如果四条线段a、b、c、d成比例线段，即：
（或aa：b=cc：d） bd
3
3
3
2a c 5e 2 2 b 2 d 5 2 f
3
3
3
2 (2b d 5 f ) 3
2 18 12 3
点拨：遇到等比问题时，常设 辅助未知数比值k，题中的比
值为 2 ，利用这种方法思
3
路简捷。
活动三：方法点拨 应用新知
解法二：由已知得：
2a c 5e 2(分式的基本）性质
2ac5e 2(等比的性）质
2bd5f 3
2ac5e 2 18 3
3(2ac5e)182 2ac5e12
点拨：在处理等比问 题时将分式的基本性 质和等比的性质结合 起来解题非常方便。
活动四：尝试练习 巩固新知
填空：
1、若4 12，x__7_5 __.___
25 x
2、若2a3b0,则a_
4.1 成比例线段
两条线段的比：
如果选用同一个长度单位，量得两条线段AB，CD的长度分别是
m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB:CD=m:n,或
写成 AB m 其中,线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后
CD
项。如果把
nm
n
表示成比值k,那么 AB k ,或AB=k·CD。 CD
比例线段：
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
比, 即 a c ,那么这四条线段叫做成比例线段， bd
简称比例线段．
比例的基本性质
活动一 活动二 活动三 活动四 活动五 活动六 活动七
活动一：探索比例的基本性质
问题：如果四条线段a、b、c、d成比例线段，即：
（或aa：b=cc：d） bd
3
3
3
2a c 5e 2 2 b 2 d 5 2 f
3
3
3
2 (2b d 5 f ) 3
2 18 12 3
点拨：遇到等比问题时，常设 辅助未知数比值k，题中的比
值为 2 ，利用这种方法思
3
路简捷。
活动三：方法点拨 应用新知
解法二：由已知得：
2a c 5e 2(分式的基本）性质
成比例线段优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
做一做
如图(1)和(2)都是故宫某宫殿照片，(2)是 由(1)缩小得到.
在照片(1)中任意取两个点P，Q，在照片(2) 中找出对应两个点P′，Q′，量出线段PQ， P′Q′长度.计算它们长度比值.
Q Q′
P P′
（1）
（2）
第2页
自主探究
普通地，假如选取同一长度单位量得两条线段 PQ，PQ 长度分别为m，n，那么把长度比 叫作mn 这 两条线段PQ与 比PQ，记作
长．
解：c
=
ad b
54810(cm
)
第15页
2. 人正常体温是37℃，对大多数人来说，体感 最舒适温度是22～23℃.你能解释吗？
解：
32720.6 32730.622
因为气温与体温比为0.6与0.622， 靠近黄金分割比0.618，所以感到较舒适.
第16页
3.上海东方明珠电视
塔高468m,上球体是
塔身黄金分割点,它到
46
塔底部距离大约是多
8
少米(准确到0.1m)?
?
468×0.618≈289.2m
在现实情境中应用概念，把新知识纳入已经有知识系
统之中，发展学生迁移、演绎能力．
第17页
第18页
能否将一条线段AB分成不相等两部分，使较短 线段CB与较长线段AC比等于线段AC与原线段AB比 ？
第8页
即，使得
CB AC
AC AB
成立？假如这能做到话，那么称线段 AB 被点 C 黄 金分割，点 C 叫作线段AB黄金分割点，较长线段 AC 与原线段 AB 比叫作黄金分割比.
第9页
动脑筋
你能必定能够把一条线段黄金分割吗？ 假如能够话，那么黄金分割比是多少呢？
如图(1)和(2)都是故宫某宫殿照片，(2)是 由(1)缩小得到.
在照片(1)中任意取两个点P，Q，在照片(2) 中找出对应两个点P′，Q′，量出线段PQ， P′Q′长度.计算它们长度比值.
Q Q′
P P′
（1）
（2）
第2页
自主探究
普通地，假如选取同一长度单位量得两条线段 PQ，PQ 长度分别为m，n，那么把长度比 叫作mn 这 两条线段PQ与 比PQ，记作
长．
解：c
=
ad b
54810(cm
)
第15页
2. 人正常体温是37℃，对大多数人来说，体感 最舒适温度是22～23℃.你能解释吗？
解：
32720.6 32730.622
因为气温与体温比为0.6与0.622， 靠近黄金分割比0.618，所以感到较舒适.
第16页
3.上海东方明珠电视
塔高468m,上球体是
塔身黄金分割点,它到
46
塔底部距离大约是多
8
少米(准确到0.1m)?
?
468×0.618≈289.2m
在现实情境中应用概念，把新知识纳入已经有知识系
统之中，发展学生迁移、演绎能力．
第17页
第18页
能否将一条线段AB分成不相等两部分，使较短 线段CB与较长线段AC比等于线段AC与原线段AB比 ？
第8页
即，使得
CB AC
AC AB
成立？假如这能做到话，那么称线段 AB 被点 C 黄 金分割，点 C 叫作线段AB黄金分割点，较长线段 AC 与原线段 AB 比叫作黄金分割比.
第9页
动脑筋
你能必定能够把一条线段黄金分割吗？ 假如能够话，那么黄金分割比是多少呢？
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变式：已知x：y：z 3：4：5，x y z 24， 求x，y，z的值
课堂小结
1、合比性质：
a b
c d
a
b
b
c
d c
ab a-b
cd c-d
2、等比性质：
a c n a cn a
bd
m bdm b
b+d+···+m 0
问题的常用方法和技巧
证明：
设k法
方法1
∵a c bd
a 1 c 1 bd
即ab cd bd
方法2
设 a c k则a k b, c k d bd
a b kb b k 1
b
b
ab cd
c d kd d k 1
b
3
∵a 2 可设a 2k,b 3k b3
AB AD DB AD 1 设DB一份为kD或B者设比值D为B k的方 ∵法数从DA实看而DB质做都是是能EA统以够CEk一用为k的来基32，表本都示单是，位把达的未到数知， “可消设元A”D的效2k果, DB 3k
a b
bd f
n
则ac bd
e m f n
a b
等比性质的条件中，就是连续相等的比的形式，因而设比值为k， 就能够证明结论
等比性质的应用举例
1、若
a
m
2
, 那么
a
m
a ____;
m
____
bn3
bn
bn
（其中b n 0, b n 0)
2、若a c e 2,则 a c e ____; a 2c 3e ____
DC
HE
FG
BC
AD
EF
HG
所以 AB DC BC AD
如果 a c , 那么a b c d , a b c d .
bd
b db d
若或题 者目 设中比出例现 式特了 中比 每点例 一:式 个分， 比母尝的试比不将值变含为有k,后分比再的子变形形加式代的(入或代，数减也式是)进分解行决母拆求分比，值
9.1成比例线段（第二 课时）
考考你的记忆力
比例的基本性质是什么样的?
如果 a c ，那么 ad=bc bd
反之，如果ad=bc,那 么
(b,d≠0)
基本性质应用举例
1、若 2 3，则x ______ x4
2、若3, x 2, 4, x 1成比例，则x ______
3 4 3( x 1) 4( x 2) x 11
则△ABC的形状是 _______
5、若a b c 0,设 a b a c b c k,则k _______
c
b
a
6、若 a b c k,则k _______ bc ac ab
等比性质使用时必须有后项和不为零的条件.
例2（1）已知a 2 ，求 a b , a b 的值
x2 x1
3、若3x 2 y,则 x _____ 4、若mx ny,则 x _____
y
y
4、若2x 5y,则下列比例式成立的是 （ ）
A) x y B) x y
25
52
C) x 2 y5
D) x 5 3y
引例
我们把 得: 即:
的两边同时加上1,能得到什么?
d
d
d
合比性质的应用举例
1、若 a 2 ,则 a b ____, a b _____, a 2b ____
b3 b
b
b
2、 如 图 ， 已 知AE 2，EC 3且 AD AE DB EC
Ａ
Ｄ
Ｅ
则 AB ______ DB
Ｂ
Ｃ
∵a 2a 2 b
b3
对于比例 式，等式 的性质依
然成立
合作探究
在图中，已知 BD CE 1 ，
AD AE 2
你能求出BD AD 与CE AE
AD
AE
它们有怎样的关系？
的值吗？
如果
，那么
有怎样的关系？
AB AC
AB - BD 与 AC - CE
在求解BD过C程E 中，你有B怎D样的发CE现？
如图，AB
达标测试
•见导学案
=
c d
=
…=
m n
a+c+…+m a b+d+…+n = b .
证明： 设 a c m k
bd
n
则 a=bk, c=dk, … m=nk,
∴
a+c+…+m b+d+…+n
bk+dk+…nk = b+d+…n
=
(b+d+…n)k b+d+…n
=k
a b
等比性质：若 a c e m 且b d f n 0
bd f
bd f
b 2d 3 f
（其中b d f 0, b 2d 3 f 0)
3、若a c e 2 ,且a c e 4，则b d f ____ bd f 3
（其中b d f 0)
4、已知△ABC的三边分别为a、b、c，且满足 a b c bca
b3 b b
(2)在△ABC和△DEF中，若AB BC CA 3 ，
DE EF FD 4
且△ABC的周长为18cm，求△DEF的周长.
1.已知 x 3 ，求 x y 的值
y4
x y
变式：已知 x y 3，求 x 的值。 xy 4 y
2.已知x：y：z 3：4：5，求 x y 2z 的值 x y 2z