攻克圆锥曲线解答题的策略
圆锥曲线中切线问题的秒杀策略
圆锥曲线中切线问题的秒杀策略圆锥曲线中的切线问题是高考压轴题的一大类型，共分下面四种题型，在高考中主要以考查重要结论为主，且重要结论的证明步骤固定，所以要求考生熟记下面的步骤，在高考中直接套用即可。
『秒杀策略』：当抛物线开口向上或开口向下时（此时抛物线可看作函数），主要利用导数解决，当抛物线开口向左或开口向右时利用解决。
椭圆利用解决。
【题型一】：过曲线上一点作曲线的切线。
『秒杀策略』：秒杀公式：熟记：①过椭圆上一点作切线，则切线方程为：。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过的切线方程为：，与椭圆方程联立，利用。
熟记：②过抛物线上一点作切线，则切线方程为：。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过的切线方程为：，与抛物线方程联立，利用。
若为开口向上或开口向下的抛物线，求导，代点，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程 。
〖母题〗抛物线上到直线的距离最小的点的坐标是 ( )A. B. C. D.0=D 0=D 12222=+by a x ()00,y x P 12020=+byy a x x ()00,y x P ()00x x k y y -=-0=D px y 22=()00,y x P )(00x x p y y +=()00,y x P ()00x x k y y -=-0=D 2y x =24x y -=11,24æöç÷èø()1,139,24æöç÷èø()2,4【解析】：法一：设P ，则，当时最小，选B 。
法二：设切点为，则切线方程为：，，即切点为，由点到直线的距离可求得，选B 。
法三：设P ，过P 的切线与直线平行，切点为所求的点，，，选B 。
1.(高考题)抛物线上的点到直线距离的最小值是 ( ) A. B. C. D.3 【解析】:法一：设抛物线上的点，到直线的距离为，，当时，最小值为。
圆锥曲线的综合问题突破策略
圆锥曲线综合问题之重点突破类型1：关于弦的中点以及弦的垂直平分线问题的策略这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程,往往是利用点差法或者韦达定理．．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M, 结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数,写出弦的垂直平分线L 的方程,然后解决相关问题.有时候题目的条件比较隐蔽,要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题,比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形即|DA|=|DB|、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等.题1 椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为1F 、2F ,点P 在椭圆C 上,且211F F PF ⊥,341=PF ,3142=PF . 1 求椭圆C 的方程；2 若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ,交椭圆C 于A 、B 两点,且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程.题1 解：1 6221=+=PF PF a ∴3=a …………1分 又202122221=-=PF PF F F∴c F F 25221== ∴5=c …………3分 故4222=-=c a b …………4分∴椭圆C 的方程为14922=+y x …………5分 2 圆的方程可化为：5)1()2(22=-++y x ,故圆心)1,2(-M所求直线方程为1)2(++=x k y ………… 7 分联立椭圆方程,消去y ,得0273636)1836()94(2222=-+++++k k x k k x k …………9分∵A 、B 关于M 对称∴29491822221-=++-=+kkk x x …………12分 ∴98=k :89250l x y ∴-+=…………14分点评点关于点对称的问题,实质是“中点弦”问题,还可以用“点差法”,请同学们尝试体会,并且比较两种解法的特点.题2知椭圆2212x y +=的左焦点为F,O 为坐标原点.设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G,求点G 横坐标的取值范围.题2解：设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F,∴方程有两个不等实根.记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.212121242G k k k x x ky k k k k =+=-+=-=-+++++ ∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-点评 注意AB 中点M 以及两直线的垂直关系求出“线段AB 的垂直平分线”.题3设1F 、2F 分别是椭圆22154x y 的左、右焦点.1若P 是该椭圆上的一个动点,求21PF PF ⋅的最大值和最小值；2是否存在过点A5,0的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D,使得|F 2C|=|F 2D|若存在,求直线l 的方程；若不存在,请说明理由.题3解：1易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===,设P x ,y , 则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF =3511544222+=--+x x x]5,5[-∈x ,0=∴x 当,即点P 为椭圆短轴端点时,21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ,即点P 为椭圆长轴端点时,21PF PF ⋅有最大值4点评本小题体现“消元”的思想和“函数”的思想,注意定义域[x ∈. 2假设存在满足条件的直线l ,易知点A5,0在椭圆的外部,当直线l 的斜率不存在时,直线l 与椭圆无交点,所在直线l 斜率存在,设为k,直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得依题意220(1680)0k k ∆=-><<，得 设交点C ),(),(2211y x D y x 、,CD 的中点为R ),(00y x ,则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F∴20k 2=20k 2－4,而20k 2=20k 2－4不成立, 综上所述,不存在直线l ,使得|F 2C|=|F 2D|点评要注意从判别式得到k 的范围,对于条件“|F 2C|=|F 2D|”不要轻易将点F 2和C 、D 的坐标用两点间距离公式表示,否则陷入计算繁杂的圈套. 类型2：关于定点和定值问题策略题4已知点P 与点F2,0的距离比它到直线x ＋4＝0的距离小2,若记点P 的轨迹为曲线C. 直线L 与曲线C 相交于A 、B 两点,且OA ⊥OB. 1求曲线C 的方程.2求证：直线L 过定点,并求出该定点的坐标.题41解法1：点P 与点F2,0的距离比它到直线x ＋4＝0的距离小2,所以点P 与点F2,0的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等. 由抛物线定义得：点P 在以F 为焦点直线x ＋2＝0为准线的抛物线上, 抛物线方程为28y x =. 解法2：设动点(,)P x y ,|4|2x =+- 当4x ≤-时,222(2)(6)x y x -+=--,化简得：28(2)y x =+, 显然2x ≥-,而4x ≤-,此时曲线不存在.当4x >-时,222(2)(2)x y x -+=+,化简得：28y x =.点评解法1巧妙地利用圆锥曲线的定义判断曲线轨迹,解法2直接利用题目的条件建立等量关系,体现了“分类讨论”的思想方法.2设直线L ：y=kx+b 与抛物线交于点1122(,)(,)x y x y 、, ①若直线的斜率存在设为k220,880,864320y kx bk ky y b y x kb +≠⎧-+=⎨=-≥⎩=则{,222211121212222288,648y x y y bb y y x x k k y x =====所以又{，得,1212,1y y OA OB x x ⊥=-由得,即81k b =-,8b k =-, 直线为(8)y k x =-,所以(8,0)L 过定点 ②若直线L 的斜率不存在,则直线OA 或OB 的斜率为128,(80)8y xx y x==={得直线L 过定点、 综上所述,直线恒过定点(8,0).点评直线过定点问题,要将直线方程求出来利用直线方程的点斜式或者直线系方程判断是否经过定点.题5已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中1F 也是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且15||3MF =. 1求椭圆1C 的方程.2已知点(1,3)P 和圆O :222x y b +=,过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点,A B ,在线段AB 上取一点Q ,满足:AP PB λ=-,AQ QB λ=,0λ≠且1λ≠±.求证: 点Q 总在某定直线上.题51方法一：由22:4C x y =知1(0,1)F ,设000(,)(M x y x 分因M 在抛物线2C 上,故2004x y =…①又15||3MF =,则0513y +=……②, 得0x =023y =.…………4分 椭圆1C 的两个焦点1(0,1)F ,2(0,1)F -,点M 椭圆上,由椭圆定义得122||||4a MF MF =+= ……6分∴2a =,又1c =,∴2223b a c =-=, ∴椭圆1C 的方程为22143y x +=. …………8分 方法二：由22:4C x y =知1(0,1)F ,设000(,)(0)M x y x <, 因M 在抛物线2C 上,故2004x y =…① 又15||3MF =,则0513y +=……②,由①②解得03x =-,023y =.……………4分 而点M 椭圆上,故有22222()(331a b +=即2248193a b +=…③,又1c =,则221b a =-…④由③④可解得24a =,23b =,∴椭圆1C 的方程为22143y x +=.………………8分 2设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)Q x y , 由AP PBλ=-可得:1122(1,3)(1,3)x y x y λ--=---,即121213(1)x x y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩…10分 由AQ QB λ=可得:1122(,)(,)x x y y x x y y λ--=--,即1212(1)(1)x x xy y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩故得:222212(1)x x x λλ-=- 2222123(1)y y y λλ-=- ……………12分 两式相加得2222221122()()(1)(3)x y x y x y λλ+-+=-+………………………14分又点,A B 在圆223x y +=上,且1λ≠±,所以22113x y +=,22223x y += 即33x y +=, ∴点Q 总在定直线33x y += ………点评 关键是向量AP PB λ=-,AQ QB λ=的条件“坐标化”,要证点Q 总在某定直线上,则点Q 的坐标(,)Q x y 满足一个固定的二元一次方程. 题6已知椭圆C 以过点A1,32,两个焦点为－1,01,0.（1） 求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.题6解：1由题意,c ＝1,可设椭圆方程为2222114x y b b+=+ 因为A 在椭圆上,所以2219114b b +=+,解得2b ＝3,2b ＝34-舍去 所以椭圆方程为 22143x y +=． ．．．．．．4分2设直线ＡＥ方程：得3(1)2y k x =-+,代入22143x y +=得设ＥE x ,E y ,ＦF x ,F y ．因为点Ａ1,32在椭圆上,所以2234()12234E k x k--=+, 32E E y kx k =+- ．．．．．．．8分 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数,在上式中以k -代k ,可得2234()12234F k x k +-=+, 32F Fy kx k =-++. 所以直线EF 的斜率()212F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--即直线EF 的斜率为定值,其值为12．．．．．．．12分点评圆锥曲线中有关定值的问题,关键要利用相关参数将式子的表达式求出,再利用“整体”的思想,消去参数得到定值.题7已知抛物线C:)0(22>=p px y 上横坐标为4的点到焦点的距离为5. 设直线b kx y +=与抛物线C 交于两点),(11y x A ,),(22y x B ,且a y y =-||210>a ,且a 为常数.过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交抛物线于点D ,连结AD 、BD 得到ABD ∆.求证：① )1(1622kb k a -=； ②ABD ∆的面积为定值.题7依题意得：452p+=,解得2p =. 所以抛物线方程为24y x = . 由方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x 得：2440ky y b -+=.※依题意可知：0k ≠. 由已知得124y y k+=,124b y y k=. 由12y y a -=,得221212()4y y y y a +-=, 即221616b a k k-=,整理得221616kb a k -=. 所以2216(1)a k kb =- . 可以求出AB 中点222(,)bk M k k -, 所以点212(,)D k k ,依题意知12211122ABDbk SDM y y a k -=-=⨯⨯. 又因为方程※中判别式16160kb =->,得10kb ->. 所以2112ABDbkS a k-=⨯⨯ ,由Ⅱ可知22116a k bk -=, 所以23121632ABDa a Sa =⨯⨯=. 又a 为常数,故ABDS 的面积为定值.类型3：关于不等式证明、求参数的取值范围问题.题8 已知点P 到0,的距离之和为4,设P 的轨迹是C,并交直线1y kx =+ 于A 、B 两点.1求C 的方程;2若以AB 为直径的圆过O 点,求此时k 的值; 3若A 在第一象限,证明：0k OA OB >⇒>.题81得P 的轨迹是椭圆,c =2a =,故21b =,故方程为：22214y x +=2依题意设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,∵以AB 为直径的圆过O 点,则OA OB ⊥ ∴0OA OB ⋅= ∴12120x x y y +=…………………4分联立：22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元得 4+22)230k x kx +-=∴12212202434k x x k x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪-⎪=⎪+⎩…………………7分 ∴212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x =++=+++ ………………8分=2222223244444k k k k k k --++-+=++ ………………9分 ∴2212122244314044k k x x y y k k -+--+===++ ………10分 ∴12k =± ………………11分点评将“AB 为直径的圆过点O ”巧妙地转化为0OA OB ⋅=,体现“以数论形”的思想.3 ∵2OA =2211x y +, 2OB =2222x y +∴2OA -2OB =2211x y +-2222x y +=12121212()()()()x x x x y y y y +-++- (12)分1212121221212122()()[()2][()]()[(1)()2]6()4x x x x k x x k x x x x k x x k kx x k =+-+++⋅-=-+++=-⋅+………………13分∵A 点在第一象限,∴120x x -> 又0k > ∴2OA -2OB =()()0OA OB OA OB +-> ∴0OA OB -> ∴OA OB >………………14分点评圆锥曲线与不等式证明的综合,注意作差比较法证明不等式的思路和步骤,利用曲线上点的坐标的范围讨论.题9椭圆C :2222by a x +=1a ＞b ＞0的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为23,求△AOB 面积的最大值.题9设椭圆的半焦距为c ,依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=,∴椭圆方程为2213x y +=．设11()A x y ，,22()B xy ，．1当AB x ⊥轴时,AB =．2当AB 与x 轴不垂直时, 设直线AB 的方程为y kx m =+．由已知2=,得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程,整理得222(31)6330k x kmx m +++-=,122631kmx x k -∴+=+,21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤． 当且仅当2219k k =,即k =时等号成立． 当0k =时,AB =综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时,AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 点评关于AOB △面积的最值问题,先用“弦长公式”求出AB 的长,根据面积的表达式的形式和特点,巧妙地利用基本不等式求出最值.题10已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上没一点到点F1,0的距离减去它到y 轴距离的差都是1.是否存在正数m,对于过点Mm,0且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有0FA FB ⋅<若存在,求出m 的取值范围；若不存在,请说明理由.题10设Px,y 是曲线上任意一点,那么,1x =化简可得到24(0)y x x =>点评本题对于过点Mm,0直线方程的设为x=ty+m 是简化计算的一个技巧,对不等式恒成立问题一般利用最值的方法处理.类型4：关于直线与圆锥曲线的综合问题中涉及线段分比的策略这类问题主要是研究过一个定点P 作直线与曲线产生两个交点AB,进而研究P 分两个交点AB 所成的比例关系. 往往是两种形式出现,一种是以比例：||||BP AP =λ,一种是向量：→-→-=PB AP λ,有时候是求直线方程,有时候是求分比λ的值或取值范围等等,这种问题主要是抓住分比λ与坐标)(2121y y x x 、、的关系,判断在联立方程时应该消去y x 或,以减少运算量,然后把问题转化到韦达定理的应用上.题11如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上,点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E. 1求曲线E 的方程；2若过定点F0,2的直线交曲线E 于不同的两点G 、H 点G 在点F 、H 之间,且满足FH FG λ=,求λ的取值范围.题111.0,2=⋅=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN∴动点N 的轨迹是以点C －1,0,A1,0为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x 2当直线GH 斜率存在时,设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设),,(),,(2211y x H y x G ,,2121x x x x =∴=∴λλ, 又当直线GH 斜率不存在,方程为.31,31,0===λFH FG x题12已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点,.1求椭圆C 的标准方程；2过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于M 点,若1MA AF λ=,2MB BF λ= ,求证：1210λλ+=-.题12设椭圆C 的方程为22221x y a b += a ＞b ＞0 抛物线方程化为24x y =,其焦点为(0,1),则椭圆C 的一个顶点为(0,1),即 1b =由5c e a ===, ∴25a =,椭圆C 的方程为 2215x y += 2证明：右焦点(2,0)F ,设11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ,显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为 (2)y k x =-,代入方程2215x y += 并整理,得2222(15)202050k x k x k +-+-= ∴21222015k x x k +=+,212220515k x x k-=+ 又110(,)MA x y y =-,220(,)MB x y y =-,11(2,)AF x y =--,22(2,)BF x y =--, 而 1MA AF λ=, 2MB BF λ=,即110111(0,)(2,)x y y x y λ--=--,220222(0,)(2,)x y y x y λ--=-- ∴1112x x λ=-,2222x x λ=-,所以121212*********()2102242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略解题策略：1. 理解问题：首先要仔细阅读题目，理解题目所给的信息和要求，并明确问题的解题思路和目标。
2. 画图：在解题过程中，可以先画出图形，帮助我们更加清晰地理解问题，进而分析解题的关键点。
3. 表达式的建立：根据题目所给的条件和要求，建立相关的数学表达式。
可以利用坐标系来表示点的位置，利用直线的方程来表示直线的性质等。
4. 求解：根据建立的数学表达式，利用数学方法进行求解。
可以使用代数方法（如方程的求解），几何方法（如直线的判定条件）等。
5. 检验：对求解得到的结果进行检验，确保其符合题目的要求。
6. 总结：对解题过程进行总结和归纳，使解题思路和方法更加明确，方便以后遇到类似问题的解决。
举例说明：问题：平面直角坐标系中，已知圆锥曲线的焦点为F(3,0)，准线方程为x=4，直线l通过点A(1,2)，与曲线交于点B，求点B的坐标。
1. 理解问题：题目给出了圆锥曲线的焦点和准线方程，要求求解通过点A与曲线交于点B的坐标。
2. 画图：首先在平面直角坐标系上画出焦点F和准线x=4，再画出点A(1,2)和直线l，观察图形，分析解题的关键点。
3. 表达式的建立：由于曲线的对称性，焦点F与准线上的点B的距离相等，即FB=FA，且AB的斜率与曲线在点B处的切线垂直，由此可以建立数学表达式。
- 设点B的坐标为(x,y)，则FB的距离为√((x-3)^2+y^2)；- 直线l的斜率为k，设直线l的方程为y=kx+b；- 点A(1,2)在直线l上，代入点A的坐标得到b=2-k。
- 直线l与曲线有交点B，即直线l和曲线的方程有解。
将直线的方程代入曲线方程得到一个二次方程。
4. 求解：将建立的数学表达式代入二次方程，求解该方程，得到点B的坐标。
5. 检验：将求解得到的点B的坐标代入直线的方程和曲线的方程中，检查是否满足题目的要求。
6. 总结：总结解题过程和方法，将解题策略应用到其他类似的问题中。
圆锥曲线问题的突破策略
圆锥曲线问题的突破策略
1.学生在解题方法的积累上存在问题,在解决问题中较少关注参数的引入方法,如直线方程的令法究竟是令成斜截式还是令成的形式,还是引入点的坐标,往往比较随意,造成算法复杂；
2.学生心态上存在畏惧心理,当试题的解题思路不够清晰以及运算算法复杂时,往往选择放弃；
3.对于直线的各种方程形式的局限性认识不够,特殊情况易被忽略,解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时,容易忽略判别式与零的关系；
4.常见的结论（椭圆的焦点三角形,抛物线的焦点弦）记忆不熟,
5.运算能力的欠缺,计算过程中的变形,通分,去括号,移项等基本运算容易出现马虎,看错抄错的情况；。
高中数学圆锥曲线解题技巧
高中数学圆锥曲线解题技巧（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考数学圆锥曲线类题目解题思路
高考数学圆锥曲线类题目解题思路2023高考数学圆锥曲线类题目解题思路高考数学解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。
这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。
如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向;如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。
下面小编为大家带来高考数学圆锥曲线类题目解题思路，希望对您有所帮助!圆锥曲线中的范围问题怎么答1.解题路线图①设方程。
②解系数。
③得结论。
2.构建答题模板①提关系：从题设条件中提取不等关系式。
②找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式。
③得范围：通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围。
④再回顾：注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约。
高考数学答题技巧当构造辅助元素：数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式;条件与结论(或问题)之间，也存在着多种联系方式。
因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论(或条件与问题)的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形(点、线、面、体)，构造算法，构造多项式，构造方程(组)，构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。
高考前数学的复习方法1、调整好状态，控制好自我。
保持清醒。
高考数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
2、提高解选择题的速度、填空题的准确度。
高考数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。
因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。
12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。
由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。
填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求“完整、严密”。
3、审题要慢，做题要快，下手要准。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略高中数学中，圆锥曲线定点问题是常见的一类问题，涉及到圆锥曲线的焦点、顶点等相关知识。
解决这类问题时，我们可以采用以下策略：1. 熟悉圆锥曲线的定义和性质：了解椭圆、双曲线和抛物线的定义，以及它们的焦点、顶点、直径等基本概念。
2. 根据题目给出的条件，确定所涉及的圆锥曲线类型：通过观察题目给出的条件，判断所给曲线的类型，是椭圆、双曲线还是抛物线。
确定曲线类型后，就可以根据相应的性质解决问题。
3. 求出圆锥曲线的方程：根据已知条件，建立相应的方程。
可以利用焦点和准线的性质，根据准线到焦点的距离和焦点到曲线上某一点的距离之和等于常数的性质，得到方程。
4. 利用焦准距性质求出定点的坐标：根据题目中给出的条件，利用圆锥曲线的焦点和准线的定义，求出焦准距，从而确定定点的坐标。
5. 求解定点的坐标：通过联立方程求解定点的坐标。
将定点的坐标代入方程中，求解方程组，得到定点的坐标。
6. 检验结果：将求得的定点的坐标代入所建立的方程，检验是否满足约束条件。
理论上，定点应该满足题目给出的条件，如果不满足，需要重新检查求解过程，找出错误。
7. 注意特殊情况：对于圆锥曲线定点问题，有时候会出现特殊情况。
题目给出的条件可能无解，此时需要特别处理。
还需要注意题目中所给出的条件是否充分，需要对题目进行分析。
通过以上的解题策略，我们可以较好地解决高中数学中的圆锥曲线定点问题。
但需要注意的是，这类问题需要对圆锥曲线的定义和性质有一定的了解，并掌握求解坐标方程和方程组的方法。
在解题过程中，要注意化简、代数运算和正确使用性质，辅助工具如图纸和计算器等也可以帮助解题。
解题时要思维敏捷，注意整体把握，避免陷入细节的纠结。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略解题策略：1. 了解基本概念：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，每种曲线都有特定的数学方程。
首先需要了解这些曲线的基本概念和方程形式。
2. 确定已知条件：阅读题目，找到已知条件，例如已知的点和方程等。
将这些已知条件以及需要求解的未知量明确写下来。
3. 判断题目类型：根据已知条件和需要求解的未知量，判断题目属于什么类型，是求点、直线、方程、焦点等。
根据题目类型确定解题方法。
4. 利用方程求解：根据已知条件和题目类型，使用合适的数学方法和技巧，利用方程进行求解。
可以代入已知条件，将未知量表示为方程的参数，或利用已知条件推导出新的方程。
5. 运用几何知识：对于圆锥曲线的点问题，可以运用几何知识进行解答。
根据题目中已知的几何性质，利用直线的斜率、两点间距离、垂直平分线等性质进行求解。
6. 检查答案：在求解出结果后，要仔细检查是否符合题目要求和已知条件。
特别是对于圆锥曲线问题，要检查结果的合理性，例如点是否在曲线上、方程是否满足曲线的性质等。
7. 练习题目：为了熟练掌握解题方法，需要进行大量的练习题目。
选择不同难度和类型的题目进行练习，不断提高解题能力。
8. 理解解题思路：通过解题过程，理解解题思路和方法的原理。
这将有助于对其他类型的题目进行类比，并且能够更好地应用数学知识解决问题。
9. 学会归纳总结：在解题过程中，将所学的方法和技巧进行归纳总结，形成自己的解题方法和思路。
这样可以提高解题的速度和效果，更好地解决数学问题。
总结：解决高中数学圆锥曲线定点问题的关键是掌握基本概念和方程形式，灵活运用方程进行求解，并结合几何知识进行验证。
通过大量练习和总结，加深对解题方法的理解和掌握，提高解题的能力。
数学圆锥曲线解题技巧
数学圆锥曲线解题技巧数学圆锥曲线解题技巧现阶段大家都开始学习圆锥曲线，高考难题排名第二位。
以下是店铺收集整理了，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
数学圆锥曲线解题技巧（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
（3）充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
（4）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。
（5）线段长的几种简便计算方法①充分利用现成结果，减少运算过程。
②结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。
③利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离。
圆锥曲线是数学中的难中之难，这已经成为几乎所有高三学生的心头痛。
其实，解析几何题目自有路径可循，方法可依。
只要经过认真的.准备和正确的点拨，完全可以让高考数学的圆锥曲线难题变成让同学们都很有信心的中等题目。
题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在两个选填（选择或填空）题，一个解答题上，分值约为25分，占总分值的近20%。
整体平衡，重点突出：解析几何部分19个知识点，一般会考查到其中的半数以上，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既要注意全面，更要注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。
能力立意，渗透数学思想：一些常见的基本题型，如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案，比死算要节省很多时间。
解答圆锥曲线最值问题的几个“妙招”
圆锥曲线最值问题侧重于考查圆锥曲线的定义、几何性质、方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系.圆锥曲线问题的命题形式较多，常见的有求某条线段的最值、图形面积的最值、参数的最值、离心率的最值、点到曲线的最小距离等.下面结合几道例题，来谈一谈解答此类问题的“妙招”.一、利用几何图形的性质圆锥曲线中的圆、直线、椭圆、双曲线、抛物线均为平面几何图形.在解答圆锥曲线最值问题时，可根据题意画出几何图形，并添加合适的辅助线，将问题看作平面几何问题，利用平面几何图形的性质，如圆锥曲线的几何性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，以及正余弦定理、勾股定理等来解题.例1.设F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，若椭圆上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=120°，求椭圆离心率e 的最小值.解：设P (x 1,y 1),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),由椭圆的焦点弦公式得，|PF 1|=a +ex 1,|PF 2|=a -ex 1，在ΔPF 1F 2中，由余弦定理可得：cos 120°=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2|PF 1|∙|PF 2|=(a +ex 1)2+(a -ex 1)2-4c 22(a +ex 1)∙(a -ex 1)=-12，可得：x 1=4c 2-3a 2e 2，由椭圆的范围可知-a ≤x 1≤a ，可得0≤4c 2-3a 2e2≤a 2，解得e =c a≥，即椭圆离心率的最小值为.解答本题，关键要抓住椭圆的几何性质：椭圆的范围为-a ≤x ≤a ，-b ≤y ≤b .在根据余弦定理和焦点弦公式求得x 1后，根据椭圆的范围建立关系式0≤4c 2-3a 2e2≤a 2，即可求得椭圆离心率的取值范围.例2.椭圆x 24+y 23=1的左焦点为F ，直线x =m与椭圆相交于A ,B 两点，当ΔFAB 的周长最大时，求ΔFAB 的面积.解：设椭圆的右焦点为E ，连接BE ，AE，如图所示.由椭圆的定义得：AF +AE =BF +BE =2a ，则C ΔFAB =AB +AF +BF =AB +(2a -AE )+(2a -BE )=4a +AB -AE -BE .在ΔAEB 中，AE +BE ≥AB ，所以AB -AE -BE ≤0，当AB 过点E 时取等号.所以AB +BF +AF =4a +AB -BE ≤4a ，即直线x =m 过椭圆的右焦点E 时，ΔFAB 的周长最大.将x =1代入椭圆x 24+y 23=1得y =±32，即AB =3.因此，当ΔFAB 的周长最大时，S ΔFAB =3.我们首先根据题意作图，并添加合适的辅助线，即可根据椭圆的定义建立线段AF 、AE 、BF 、BE 之间的几何关系；然后根据三角形的性质：两边之和大45。
2024届高考数学专项练习压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略(解析版)
压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略命题预测解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开． 高频考法（1）直线交点的轨迹问题（2）向量搭桥进行翻译（3）弦长、面积范围与最值问题（4）斜率之和差商积问题（5）定点定值问题01 直线交点的轨迹问题交轨法解决.【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线22:13y C x −=的左､右顶点分别是12,A A ，直线l 与C 交于,M N 两点（不与2A 重合），设直线22,,A M A N l 的斜率分别为12,,k k k ，且()126k k k +=−.(1)判断直线l 是否过x 轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.(2)若,M N 分别在第一和第四象限内，证明：直线1MA 与2NA 的交点P 在定直线上.【解析】（1）由题意可知12(1,0),(1,0),0A A k −≠，设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+.2024届高考数学专项练习由2213y x y kx m ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，可得222(3)230k x kmx m −−−−=， 则23k ≠，2212(3)0m k ∆=+−>，即223k m <+，212122223,33km m x x x x k k ++==−−−. 因为()121212*********()()211()1kx m kx m kx x m k x x m k k k k k x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+++−+−+=+= ⎪⎢⎥−−−++⎝⎭⎣⎦222222322()2336632133m kmk m k m k k k km kmm k k k ⎡⎤⎛⎫+−+−−⎢⎥ ⎪−−⎝⎭⎢⎥===−⎢⎥++−−+⎢⎥−−⎣⎦， 所以2m k =−，故直线l 的方程为(2)y k x =−，恒过点(2,0). （2）由题可知，直线1MA 的方程为11(1)1y y x x =++，直线2NA 的方程为22(1)1yy x x =−−，因为2121121212121212(1)(2)(1)2211(1)(2)(1)22y x x x x x x x x x y x x x x x x x +−+−+−+===−−−−−−+ 1212112121()322()2x x x x x x x x x x ++−−=−+++21221269333233k x k k x k −−−−==−++− 所以12x =，故点P 在定直线12x =上.【典例1-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅，PA PC⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上． 【解析】（1）由题意可得(1,)PA x y =−−，(,1)PB x y =−−，(1,1)PC x y =−−， 则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−+， 又2y 是PA PB ⋅，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+−−++−−+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =−+．（2）由（1）知2131:22C y x x =−+，又31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，∴平移公式为34116x x y y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫−=+−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2yx ．曲线2C 的方程为2yx ．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b −−=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b+=⎧⎨=−⎩， ()()21111,,OM x y x x ∴==，()()22222,,ON x y x x ==，又MON ∠为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅， 2212120x x x x ∴+>，又12x x b =−，2()0b b ∴−+−>，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x k x x b +=⎧⎨=−=−⎩，对2yx 求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x −=−，()2222:2N l y x x x x −=−， 由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧−=−⎪≠⎨−=−⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ． 满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，R ∴点在定直线=2y −上． 【变式1-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点2,3P，且离2. (1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程.【解析】（1）由椭圆过点2,3P，且离心率为22，所以2222223122a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩，故所求的椭圆方程为22184x y +=．（2）由题意得()0,2A ，()0,2B −，直线MN 的方程4y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221216240k x kx +++=，由()22Δ25696120k k =−+>，即232k >，所以1221612kx x k −+=+，1222412x x k =+. 由求根公式可知，不妨设218246k k x −−−，228246k k x −+−= 直线AN 的方程为2222y y x x −−=，直线BM 的方程为1122y y x x ++=， 联立22112222y y x x y y xx −⎧−=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x −++−===++++， 代入12,x x ，得222222241644628446112122324481246241246k k k y k k k k y k k k k k −−−−−−++===−+−+−−+−+， 解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上.【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C 的中心为坐标原点O ，C 的一个焦点坐标为()10,3F ，离3 (1)求C 的方程；(2)设C 的上、下顶点分别为1A ，2A ，若直线l 交C 于()11,M x y ，()22,N x y ，且点N 在第一象限，120y y >，直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上，证明：直线MN 过定点． 【解析】（1）由题意得3c =，3ca3a =2226b c a =−=， 故C 的方程为22136y x −=；（2）证明：由已知条件得直线MN 的斜率存在，设直线MN ：y kx t =+，联立2226y kx t y x =+⎧⎨−=⎩，消去y 整理得，()222214260k x ktx t −++−=， 由题设条件得2210k −≠，()()2222Δ16421260k t k t =−−−>，则122412kt x x k +=−，21222621t x x k −=−．由（1）得(13A ，(20,3A −， 则直线1A M ：1133y y −，直线2A N ：2233y y x +=， 11223333y y y y −−=++ 因为直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上，所以112233353335y y −=++因为2222136y x−=2222222233312y y y x −+−==，即()2222323y y x +=−所以(11211212122233323333523335y y y y y x x y −−−===+．又((()(221212123333y y k x x k t x x t =+++，(((2222222326433212121t t ktk k t t k k k −−=⨯−+=−−−，所以33353335t t −=+，解得5t =，所以直线MN 过定点()0,5．02 向量搭桥进行翻译将向量转化为韦达定理形式求解.【典例2-1】（2024·上海普陀·二模）设椭圆222:1(1)x y a a Γ+=>，Γ2倍，直线l 交Γ于A 、B 两点，C 是Γ上异于A 、B 的一点，O 是坐标原点. (1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 过Γ的右焦点F ，且CO OB =，0CF AB ⋅=，求CBFS的值；(3)设直线l 的方程为(,R)y kx m k m =+∈，且OA OB CO +=，求||AB 的取值范围. 【解析】（1）由Γ24倍，得212a −22(1)a a −=， 又1a >，则2a =故椭圆Γ的方程为2212x y +=.（2）设Γ的左焦点为1F ，连接1CF ， 因为CO OB =，所以点B 、C 关于点O 对称， 又0CF AB ⋅=，则CF AB ⊥， 由椭圆Γ的对称性可得，1CF CF ⊥，且三角形1OCF 与三角形OBF 全等，则1112CBFCF FSSCF CF ==⋅，又122211224CF CF CF CF F F ⎧+=⎪⎨+==⎪⎩，化简整理得， 12CF CF ⋅=，则1CBFS=.（3）设11(,)A x y ，11(,)B x y ，00(,)C x y ，又 OA OB CO +=，则012()x x x =−+，012()y y y =−+， 由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x mkx m +++−=， 222222168(12)(1)8(21)m k k m k m ∆=−+−=−+，由韦达定理得，122412mk x x k −+=+，21222212m x x k −=+，又121222()212my y k x x m k +=++=+，则02412mkx k =+，02212m y k −=+， 因为点C 在椭圆Γ上，所以222242()2()21212mk m k k −+=++， 化简整理得，22412m k =+，此时，22222218(21)8(21)6(21)04k k m k k +∆=−+=+−=+>，则2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =−+−=+−222224221()4()1212mk m k k k−−+−++ 226(21)1k k ++226612k k ++ 令212t k =+，即1t ≥，则(]2266333=33,612k t k t t ++=+∈+， 则AB 的取值范围是3,6.【典例2-2】（2024·贵州安顺·一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线方程为3y x =，右焦点F 3 (1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，()1,0A −．求AM AN ⋅的值．【解析】（1）由双曲线2222:1x y C a b −=的渐近线方程为3y =，可得3b a =又由焦点(c,0)F 32233(3)1c d ==+2c =，又因为222c a b =+，可得1,3a b =2213y x −=.（2）由（1）知2c =，可得(2,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，即:2l x =，将2x =代入2213y x −=，可得13y =或23y =−，不妨设(2,3),(2,3)M N −，又由(1,0)A −，可得(3,3),(3,3)AM AN ==−， 所以333(3)0AM AN ⋅=⨯+⨯−=； 当直线l 的斜率存在时，即:(2)l y k x =−，联立方程组22(2)13y k x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，整理得2222(3)4430k x k x k −+−−=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则2222(4)4(3)(43)0k k k ∆=+−+>，且22121222443,33k k x x x x k k ++==−−， 则222212121212(2)(2)2()4y y k x x k x x k x x k =−−=−++，且1122(1,),(1,)AM x y AN x y =+=+，则1212121212(1)(1)()1AM AN x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++ 22212121212()12()4x x x x k x x k x x k =++++−++2221212(12)(1)()41k x x k x x k =−+++++=2222222434(12)(1)4133k k k k k k k +=−⋅++⋅++−−242244222484343412303k k k k k k k k k −+++++−+−==−，综上可得：0AM AN ⋅=.【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）如图，已知抛物线()2:20E y px p =>，其焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，以FC 为直径的圆交抛物线于点B ，连接BF 并延长交抛物线于点A ，且4AF BF −=．(1)求E 的方程．(2)过点F 作x 轴的垂线与抛物线E 在第一象限交于点P ，若抛物线E 上存在点M ，N ，使得0MP NP ⋅=．求证：直线MN 过定点．【解析】（1）根据抛物线的性质可知CF p =．设直线AB 的倾斜角为θ，则在Rt CBF △中，cos BF p θ=． 由抛物线的定义知cos AF AF p θ=+，cos BF p BF θ=−， 所以1cos p AF θ=−，cos 1cos pBF p θθ==+，所以2sin cos θθ=． 所以222sin cos p p AB AF BF θθ=+==． 由24AF BF AB BF −=−=，得221cos 2cos 224cos cos p p p p θθθθ−−=⋅==，解得2p =． 所以E 的方程为24y x =．（2）由（1）知()1,2P ．设直线MN 的方程为x my n =+，()11,M x y ，()22,N x y ．联立抛物线方程，得2,4.x my n y x =+⎧⎨=⎩代入并整理，得2440y my n −−=．则124y y m +=，124y y n =−，且216160m n ∆=+>． 由0MP NP ⋅=，得()()11221,21,20x y x y −−⋅−−=，则()()()()()()()()12121212112211220x x y y my n my n y y ⎡⎤⎡⎤−−+−−=−+−++−−=⎣⎦⎣⎦，得()()()22121212250m y y mn m y y n n ++−−++−+=，所以()()()221424250m n mn m m n n +⨯−+−−⨯+−+=．整理得()()22341n m −=+．当()321n m −=−+，即21n m =−+时，直线MN 的方程为()21x m y =−+，则直线MN 恒过定点()1,2P ，不符合题意．当()321n m −=+，即25n m =+时，直线MN 的方程为()25x m y =++，则直线MN 恒过定点()5,2−．【变式2-2】（2024·山东聊城·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为26. (1)求C 的方程；(2)直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于,M N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，且,AM BM AN BN λμ==. （ⅰ）当12μλ==时，求k 的值；（ⅱ）当3λμ+=时，求点(0,3到l 的距离的最大值.【解析】（1）由题意得222226b c a b a a =⎧⎪⎨−==⎪⎩13b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以C 的方程为2213x y +=．（2）（ⅰ）由题意得()0,,,0m A m B k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，由12AM BM =，得2OM OA OB =−，即,2m M m k ⎛⎫⎪⎝⎭，由2AN BN =，得2ON OB OA =−，即2,m N m k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， 将,M N 的坐标分别代入C 的方程，得222413m m k +=和222413m m k+=，解得213k =，又0k >，所以3k =（ⅱ）由22,13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222316330k x kmx m +++−=， 其中()()()222222Δ361231112310k m k m k m =−+−=−+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222633,3131km m x x x x k k −−+==++，由(),,0,,,0m AM BM AN BN A m B k λμ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，得1122,m m x x x x k k λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121212112x x m m m m m k x x x x k k k k λμ⎛⎫ ⎪+=+=−+ ⎪ ⎪++++⎝⎭， 由3λμ+=，得()221212230k x x mk x x m +++=，即222222223312303131m k k m k m k k −−++=++， 所以222222223312930m k k m k m k m −−++=， 因此22k m =，又0,0k m >>，所以k m =. 所以l 的方程为()1y k x =+，即l 过定点()1,0−，所以点(0,3−到l 的最大距离为点(0,3−与点()1,0−的距离21(3)2d =+=， 即点(0,3−到l 的距离的最大值为2.03 弦长、面积范围与最值问题1、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．2、建立目标函数，使用基本不等式求最值．【典例3-1】（2024·浙江台州·二模）已知椭圆C ：229881x y +=，直线l ：=1x −交椭圆于M ，N 两点，T 为椭圆的右顶点，TMN △的内切圆为圆Q . (1)求椭圆C 的焦点坐标； (2)求圆Q 的方程；(3)设点()1,3P ，过P 作圆Q 的两条切线分别交椭圆C 于点A ，B ，求PAB 的周长.【解析】（1）椭圆的标准方程为2218198x y +=，因为819988−=，所以焦点坐标为320,⎛ ⎝⎭. （2）将=1x −代入椭圆方程229881x y +=得3=±y ，由对称性不妨设()1,3M −，()1,3N −−， 直线MT 的方程为()3313y x =−−−，即3490x y +−=， 设圆Q 方程为()222x t y r −+=，由于内切圆Q 在TMN △的内部，所以1t >−， 则Q 到直线MN 和直线MT 的距离相等，即223409134t t r +⨯−+==+，解得12t =，32r =，所以圆Q 方程为221924x y ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭.（3）显然直线PA 和直线PB 的斜率均存在， 设过P 作圆Q 的切线方程为()13y k x =−+，其中k 有两个不同的取值1k 和2k 分别为直线PA 和PB 的斜率.由圆Q 21132321k k ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭=+，化简得：2812270k k +−=，则121232278k k k k ⎧+=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，由()122139881y k x x y ⎧=−+⎨+=⎩得()()222111119816384890k x k k x k k ++−+−−=， 可得21121848989A P A k k x x x k −−==+，所以()221111112211848924182713138989A A k k k k y k x k k k ⎛⎫−−−−+=−+=−+= ⎪++⎝⎭()()()111113271218271833271291232k k k k k −−−+−===−−+−.同理22222848989B k k x k −−=+，32B y =−，所以直线AB 的方程为32y =−， 所以AB 与圆Q 相切，将32y =−代入229881x y +=得7x =所以7AB =P 到直线AB 的距离为92，设PAB 的周长为m ，则PAB 的面积1319272222ABC S m =⨯=⨯△， 解得67m =.所以PAB 的周长为67.【典例3-2】（2024·高三·浙江金华·阶段练习）设抛物线()2:20C y px p =>，直线=1x −是抛物线C 的准线，且与x 轴交于点B ，过点B 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，()1,A n 是不在直线l 上的一点，直线AM ，AN 分别与准线交于P ，Q 两点． (1)求抛物线C 的方程； (2)证明：BP BQ =：(3)记AMN △，APQ △的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求直线l 的方程． 【解析】（1）因为=1x −为抛物线的准线，所以12p=，即24p =， 故抛物线C 的方程为24y x = （2）如图，设l ：1x ty =−，()()1122,,,M x y N x y ， 联立24y x =，消去x 得2440y ty −+=，则()2Δ1610t =−>，且121244y y t y y +=⎧⎨=⎩，又AM ：()1111y ny n x x −−=−−，令=1x −得()1121,1y n P n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭， 同理可得()2221,1y n Q n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭，所以()()()()12121212222221122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤−−−−+=−+−=−+⎢⎥−−−−⎣⎦()()()()()()1221122222222y n ty y n ty n ty ty −−+−−=−−⋅−，()()()212122212124248882202444ty y nt y y nn nt n n t y y t y y t −−++−=−=−=−++−，故BP BQ =.（3）由（2）可得：()()1222122222221nt y n y n S PQ ty ty t −−−==−=−−−22212211141212221nt S MN d t t t nt t −==++=−−+，由122S S =，得：212t −=，解得3t = 所以直线l 的方程为310x +=．【变式3-1】（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆221:14x C y +=和抛物线()22:20C x py p =>，2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的直线交2C 于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S △、OABS．(1)求p 的值； (2)求OM ON ⋅的值； (3)求OMNOABS S 的取值范围. 【解析】（1）椭圆221:14x C y +=的上顶点坐标为()0,1，则抛物线2C 的焦点为()0,1F ，故2p =.（2）若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不符合题意， 所以直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩可得2440x kx −−=，216160k ∆=+>恒成立，则124x x =−，221212121241344x x OM ON x x y y x x ⋅=+=+=−+=−.（3）设直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，其中10k >，20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得2141x k =+ 点A 在第三象限，则2141A x k =+点B 在第四象限，同理可得2241B x k =+，且121212121164y y x x k k x x ===− 121222124141OMN OAB B AOM ONx x x x S S OB OA x x k k ⋅⋅⋅===⋅⋅++()()2221212114141424k k k k ++++2121124224k k ≥⋅+， 当且仅当112k =时，等号成立. OMNOABS S 的取值范围为[)2,+∞. 【变式3-2】（2024·辽宁·二模）已知点P 为双曲线22:14x E y −=上任意一点，过点P 的切线交双曲线E 的渐近线于,A B 两点． (1)证明：P 恰为AB 的中点；(2)过点P 分别作渐近线的平行线，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，判断PMON 的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；【解析】（1）由切线不可能平行于x 轴，即切线的斜率不可能为0， 设切线方程为:l x ty m =+，联立方程组2214x ty m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，整理得222(4)240t y tmy m −−+=+， 所以()()222Δ24(4)40tm t m =−−−=，可得2240t m +−=，即224m t =−，所以22220m y tmy t −++=，即2()0my t −=，所以t y m =，则2t x m m=+，所以点2(,)t tP m m m+，又由双曲线22:14x E y −=的渐近线方程为12y x =±，联立方程组12y xx ty m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，可得2,22m m x y t t ==−−，即2(,)22m m A t t −−， 联立方程组12y xx ty m⎧=−⎪⎨⎪=+⎩，可得2,22m m x y t t −==++，即2(,)22m m B t t −++，所以222222244422244m mm tm m tmm m t t t t m m+++−−+====−− 222224m mtm tm t t t t m m−+−+===−，所以AB 的中点坐标为4(,)t m m又因为2224t t m m m m m++==，所以4(,)t P m m ，所以点P 与AB 的中点重合.（2）由2(,)22m m A t t−−，2(,)22m mB t t −++， 可得2222225()()22(2)m m m OA t t t =+=−−−，2222225()()22(2)m m m OB t t t −=+=+++， 所以44422222425252525[(2)(2)](4)m m m OA OB t t t m ⋅====−+−，即5OA OB =， 又由22223322224m m m m m OA OB t t t t t−⋅=⨯+⨯==−+−+−，可得3cos 5OA OB AOB OA OB ⋅∠==， 所以24sin 1cos 5AOB AOB ∠=−∠=， 所以114sin 52225AOBSOA OB AOB =∠=⨯⨯=， 因为P 为AB 的中点，所以112122PMON AOBS S ==⨯=， 所以四边形PMON 的面积为定值1.04 斜率之和差商积问题1、已知00(,)P x y 是椭圆22221x y a b +=上的定点，直线l （不过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，且0PA PBk k +=，则直线l 斜率为定值2020b x a y ．2、已知00(,)P x y 是双曲线22221x y a b−=上的定点，直线l （不过P 点）与双曲线交于A ，B 两点，且0PA PBk k +=，直线l 斜率为定值2020b x a y −．3、已知00(,)P x y 是抛物线22y px =上的定点，直线l （不过P 点）与抛物线交于M ，N 两点，若0PA PB k k +=，则直线l 斜率为定值0p y −． 4、00(,)P x y 为椭圆222:x y a bΓ2+=1)0,0(a b >>上一定点，过点P 作斜率为1k ，2k 的两条直线分别与椭圆交于,M N 两点．（1）若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点2000222(,)y b x x y aλλ−−−； （2）若2122()b k k a λλ⋅=≠，则直线MN 过定点2222002222(,)a b a b x y a b a b λλλλ++−−−．5、设00(,)P x y 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P 作两条直线AB ，CD 交椭圆222:x y a b Γ2+=1)0,0(a b >>于A 、B 、C 、D ，直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，弦AB ，CD 的中点记为M ，N ．（1）若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点2002(,)y b x x aλλ−−；（2）若2122()b k k a λλ⋅=≠，则直线MN 过定点22002222(,)a x b y a b a b λλλ−−．6、过抛物线22(0)y px p =>上任一点00(,)P x y 引两条弦PA ，PB ，直线PA ，PB 斜率存在，分别记为12,k k ，即12(0)k k λλ+=≠，则直线AB 经过定点00022(,)y px y λλ−−．【典例4-1】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆22:143x y C +=，12A A 、分别为椭圆C 的左、右顶点，12F F 、分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M N 、两点（l 不过点2A ）.(1)若Q 为椭圆C 上（除12A A 、外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积； (2)若112NF F M =，求直线l 的方程；(3)若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是12k k 、，且1294k k =−，求证：直线l 过定点.【解析】（1）在椭圆 22:143x y C +=中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A −、，设点()000,(2)Q x y x ≠±，则12202000220000314322444QA QA x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0)F −，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y =−−−=，，由112NF F M =得2211(1,)2(+1,)−−−=x y x y ，化简得2121=322x x y y −−⎧⎨=−⎩代入2222143x y +=可得22114(32)(32)1−−−+=x y ，联立2211143x y +=解得117=435=x y ⎧−⎪⎪⎨⎪⎪⎩由112NF F M =得直线l 过点1(1,0)F −，73(,5)48−N ， 所以，所求直线方程为5=1)y x ±+.（3）设()()3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t =+（2t ≠），联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2223463120m y mty t +++−=，由2222364(34)(312)0m t m t ∆=−+−>，得2234t m <+.由韦达定理，得234342263123434，−+=−=++mt t y y y y m m .1294k k =−，34349224∴⋅=−−−y y x x . 可化为()()343449220y y my t my t ++−+−=， 整理即得()()223434499(2)9(2)0my ym t y y t ++−++−=，()222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m −⎛⎫∴+⨯+−−+−= ⎪++⎝⎭，由20t −≠，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m tt m m ++−+−=++，化简可得16160t −=，解得1t =， 直线MN 的方程为1x my =+，恒过定点(1,0).【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为()(),,2,2A B C a b D a b −，直线AC 的斜率为12，直线AC 与椭圆E 交于另一点G ，且点G 到x 轴的距离为43． (1)求椭圆E 的方程．(2)若点P 是E 上与点,A B 不重合的任意一点，直线,PC PD 与x 轴分别交于点,M N ． ①设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，求2112k k k k −的取值范围． ②判断22||AM BN +是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．【解析】（1）由题意知，(),0A a −．由直线AC 的斜率为12()2012b a −=，所以2a b =． 直线AC 的方程为()12y x a =+． 设(),G s t ，则0,0s t >>．由点G 到x 轴的距离为43，得43t =． 由点G 在直线AC 上，得()4132s a =+，所以83s a =−．由点G 在椭圆E 上，得2222843312a a a⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得2a =．所以2b =．所以椭圆E 的方程为22142x y+=．（2）①设()00,P x y （020y ≤<或002y < 由（1）知，()()2,2,2,2C D −， 则00120022,22PC PD y y k k k k x x −−====−+， 所以0021121200002211442222x x k k k k k k y y y y −+−−=−=−==−−−−． 由020y −<或002y <≤得02222y −<或02222y <−≤ 所以0442222y −<−或0424222y <≤+− 故2112k k k k −的取值范围是)(422,22,422⎡−⋃+⎣． ②由①知2200142x y +=，即2220004x y y +=−．设()()12,0,,0M x N x ． 因为,,P C M 三点共线， 所以00120222y x x −−=−−，得0001002422222x y x x y y −+−=+=−−．因为,,P D N 三点共线，所以00220222y x x −−=++， 得0002002422222x x y x y y −−−−=−=−−．所以()()222222000012002222222222y x x y AM BN x x y y ⎛⎫⎛⎫−−−+=++−=++−= ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭()220002008816822x y y y y +++=−−()()()()()2000220000848221616882222y y y yy y y y y −+−++=++=−−−−()0000821681622y y y y −+++=−−．故22||AM BN +为定值16．【变式4-1】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b −=>>2()3,1−在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)若()2,0M −，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由．(3)点()4,2P −，直线AP 交直线2x =−于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k −为定值．【解析】（1）由双曲线2222y :1x C a b −=2，且()3,1M −在双曲线C 上，可得222229112a b c e a c a b ⎧−=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得228,8a b ==，∴双曲线的方程为22188x y −=．（2）双曲线C 的左焦点为()4,0F −，当直线l 的斜率为0时，此时直线为0y =，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去； 当直线l 的斜率不为0时，设:4l x my =−，联立方程组2248x my x y =−⎧⎨−=⎩，消x 得()221880m y my −−+=，易得Δ0>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122288,011m y y y y m m +==<−−，可得11m −<<， ∵()()11222,,2,MA x y MB x y =+=+，则()()()()211212122222MA MB x x y y my my y y ⋅=+++=−−+()()()22212122281161244411m mm y y m y y m m +=+−++=−+=−−−，即0MA MB ⋅≠，可得MA 与MB 不垂直，∴不存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上． （3）由直线()1:24AP y k x −=+，得(12,22)Q k −+， ∴2121222222222y k y k k x my −−−−==+−，又11111224PAy y k k x my −−===+，∴()()()()12121121121212222222222y my my y k y y k k k my my my my −−−−−−−−−=−=−− ()2111112224222my y my mk y my my −−+++=−，∵1112y k my −=，∴1112k my y =−，且1212y y my y +=， ∴()()()1212121212122222m y y y y k k my my y y y −−−===−−+−，即12k k −为定值．【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：①点()32,1P −在双曲线C 上；②点Q 在双曲线C 上，1290QF F ∠=︒，且113QF =；③双曲线C 的一条渐近线与直线33y x =−垂直. (1)求双曲线C 的方程；(2)设,A B 分别为双曲线C 的左、右顶点，过点()0,1−的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，若AMBNk a k =−，求直线l 的斜率.【解析】（1）选①②，因为点()32,1P −在双曲线C 上，所以221811a b −=， 由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−，因为点Q 在双曲线C 上，所以22221Q y ca b−=，所以2Q b y a =±，又113QF =，所以213b a =，联立222181113a b b a ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=；选①③， 由①，得221811a b −=，由③，得31ba−⨯=−， 联立22181131a b b a⎧−=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩，解得3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=，选②③，由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−，因为点Q 在双曲线C 上，所以22221Q y ca b−=，所以2Q b y a =±，又113QF =，所以213b a =，又由③，得31ba−⨯=−，联立21331b a b a⎧=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩，解得3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=.（2）依题意可知()()3,0,3,0A B −，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =−，()()1122,,,M x y N x y ，联立22119y kx x y =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 并整理，得()221918180k x kx −+−=， 由()()()222Δ(18)4191836290k k k =−−⨯−=−>，且2190k −≠，得229k <且219k ≠，所以1212221818,1919k x x x x k k +=−=−−−， 又221119x y −=，即221199x y −=，则1111339y x x y −=+， 所以()()11121122122233339933AMBNy x x x k x y y y k y y x x −−−+===−−()()()()()121212122121212393991191x x x x x x x x kx kx k x x k x x −++−++==−−⎡⎤−++⎣⎦2222222218183996119193911818911919kk k k k k k k k k −+⨯+−+−−===−−⎛⎫−++ ⎪−−⎝⎭， 整理得218310k k −−=，解得16k =−或13k =（舍去），故直线l 的斜率为16−.05 定点定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x −=−或截距式y kx b =+来证明． 一般解题步骤：①斜截式设直线方程：y kx m =+，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k 和m 的关系：m =()f k ，等式带入消参，消掉m ． ③参数无关找定点：找到和k 没有关系的点．【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为23的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，点P 为椭圆C 上的动点，且12A PA 面积的最大值为35():20l x my m =−≠与椭圆C 交于,A B 两点，点()1,0D −，直线,AD BD 分别交椭圆C 于,G H 两点，过点2A 作直线GH 的垂线，垂足为M ． (1)求椭圆C 的方程．(2)记直线GH 的斜率为k ，证明：km 为定值．(3)试问：是否存在定点N ，使MN 为定值？若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由题意，得22235,2,3,ab c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2229,5,4.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22195x y +=． （2）证明：设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y G x y H x y ． 又()1,0D −，所以可设直线AD 的方程为1111x x y y +=−． 联立椭圆方程与直线AD 的方程，得112211,1.95x x y y x y +⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去x ，得()()222211111519101400x y y x y y y ⎡⎤++−+−=⎣⎦． 又2211195x y +=，所以22115945x y +=，可得()()2211115140x y x y y y +−+−=．由根与系数的关系，得2113145y y y x −=+，则13145y y x −=+，所以11131111459155x y x x y x x +−−−=⋅−=++，同理，得224422594,55x y x y x x −−−==++． 从而直线GH 的斜率()()()()()()2112214321214312212144454555595959559555y y y x y x y y x x k x x x x x x x x x x −−−+−+−++====−−−−−++−++−++()()()122112454516y x y x x x +−+−．又11222,2x my x my =−=−， 所以()()()()()1221121212434312316164y my y my y y k x x x x m +−+−===−−，即34km =，为定值． （3）由（2）可得直线GH 的方程为11114594355y x m x y x x ⎛⎫+=⋅+− ⎪++⎝⎭． 由椭圆的对称性可知，若直线GH 恒过定点，则此定点必在x 轴上， 所以令0y =，得()()()()()11111111116235916595135535353x x my x x x x x x x +−+++=−===++++．故直线GH 恒过定点T ，且点T 的坐标为1,03⎛⎫⎪⎝⎭．因为2A M GH ⊥，垂足为M ，且()23,0A ，所以点M 在以2A T 为直径的圆上运动．故存在点5,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，使21423MN A T ==．【典例5-2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的焦距为25点3)D 在C 上. (1)求C 的方程;(2)直线:1l x my =+与C 的右支交于A ，B 两点，点E 与点A 关于x 轴对称，点D 在x 轴上的投影为点G . （ⅰ）求m 的取值范围； （ⅱ）求证：直线BE 过点G .【解析】（1）由已知得222251631a b a b ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得224,1a b ==，所以C 的方程为2214x y −=.（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,E x y −，联立22144x my x y =+⎧⎨−=⎩， 消去x 得()224230m y my −+−=，则240m −≠，()()222Δ41241630m m m =+−=−>，解得||3m >||2m ≠.又l 与C 的右支交于A ，B 两点，C 的渐近线方程为12y x =±，则11||2m >，即0||2m <<， 所以|m 的取值范围为(3,2). （ii ）由（i ）得12224my y m +=−−，12234y y m −=−， 又点3)D 在x 轴上的投影为(4,0)G ，所以()224,GB x y =−，()114,GE x y =−−， 所以()()122144x y x y −+−()()122133my y my y =−+−()121223my y y y =−+，223223044mm m m −−=⋅−⋅=−−， 所以//GB GE ，又GB ，GE 有公共点G ，所以B ，G ，E 三点共线，所以直线BE 过点G .【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点23P ⎝⎭在椭圆E ，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB ，CD 分别交椭圆E 于A ，B 和点C ，D ，且点M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若()0,1D ，求以CD 为直径的圆的方程；(3)直线MN 是否过x 轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由． 【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23P ⎝⎭， 且1F ，2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形， 可得b c =，则22222a b c b =+=，所以2223122b b+=⨯，解得222,1a b ==， 所以椭圆E 的标准分别为2212x y +=.（2）由（1）得1(1,0),(0,1)F D −，所以直线CD 的方程为1x y +=，联立方程组22112x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得41,33x y ==−或0,1x y ==，所以41(,)33C −， 则CD 的中点为21(,)33N 且423CD =CD 为直径的圆的方程为22218()()339x y −+−=. （3）设直线AB 的方程为1x my =+，且0m ≠，则直线CD 的方程为11x y m=−+， 联立方程组22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)210m y my ++−=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则0∆>且12122221,22y y y y m m +=−=−++， 所以12121224(1)(1)()22x x my my m y y m +=+++=++=+， 由中点坐标公式得222(,)22mM m m −++， 将M 的坐标中的用1m −代换，可得CD 的中点为2222(,)2121m mN m m ++，所以232(1)MN mk m =−，所以直线MN 的方程为22232()22(1)2m m y x m m m +=−+−+，即23(1)12m y x m =−−，则直线MN 过定点2(,0)3. 【变式5-2】（2024·浙江·二模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>左右焦点分别为1F ，2F ，点()3,2P 在双曲线上，且点()3,2P 到双曲线两条渐近线的距离乘积为65，过1F 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，已知1l 与C 双曲线左支交于A ，B 两点，2l 与C 左右两支分别交于E ，F 两点. (1)求双曲线C 的方程；(2)若线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标. 【解析】（1）设双曲线C 的两渐近线方程分别为b y x a=，by x a =−，点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22294323265b a b a b a ccc −−+⨯==，由题意可得：222222229465941a b c b a c a b ⎧+=⎪⎪−⎪=⎨⎪⎪−=⎪⎩，解得23a =，22b =， 所以双曲线C 的方程为22132x y −=.（2）设直线1l 的方程为(5y k x =， 由1l ，2l 互相垂直得2l 的方程(15y x k=−， 联立方程得(225132y k x x y ⎧=⎪⎨⎪−=⎩，消y 得()222223651560k x k x k −−−−=，0∆>成立，所以212352M x x k x +=，(255M M ky k x == 所以点M 坐标为23525k k ⎝⎭，联立方程得(2215132y x k x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，所以34352N x x x +==(1255N N k y x k −=−=， 所以点N 坐标为223525,2323k k k ⎛⎫− ⎪ ⎪−−⎝⎭，根据对称性判断知定点在x 轴上， 直线MN 的方程为()N MM M N My y y y x x x x −−=−−，则当0y =时，222223525352523232323351252525M N N M N M k k kx y x y k k k k x y y kk k −−−−−−===−−−−−−所以直线MN 恒过定点，定点坐标为()35,0−.1．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的上顶点为()0,1A ，离心率3e =()2,1P −的直线l 与椭圆Γ交于B ，C 两点，直线AB 、AC 分别与x 轴交于点M 、N .(1)求椭圆Γ的方程；(2)已知命题“对任意直线l ，线段MN 的中点为定点”为真命题，求AMN 的重心坐标；(3)是否存在直线l ，使得2AMN ABC S S =△△？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.（其中AMNS、ABCS分别表示AMN 、ABC 的面积）【解析】（1）依题意1b =，3c e a ==222c a b =−， 解得2a =，所以椭圆Γ的方程为2214x y +=；（2）因为命题“对任意直线l ，线段MN 的中点为定点”为真命题，。
高中数学高分秘籍圆锥曲线的解策略
高中数学高分秘籍圆锥曲线的解策略在高中数学的学习中，圆锥曲线无疑是一个重点和难点。
它不仅在高考中占据着重要的地位，而且对于培养我们的数学思维和解题能力也有着极大的帮助。
然而，很多同学在面对圆锥曲线问题时，常常感到无从下手，或者在解题过程中出现各种错误。
那么，如何才能在圆锥曲线这一板块取得高分呢？下面我将为大家分享一些实用的解题策略。
一、扎实掌握基础知识要想在圆锥曲线的题目中取得高分，首先必须扎实掌握相关的基础知识。
这包括圆锥曲线的定义、标准方程、性质等。
椭圆的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
其标准方程有两种形式：当焦点在 x 轴上时，方程为\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a＞ b ＞ 0\））；当焦点在 y 轴上时，方程为\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞b ＞0\））。
椭圆的性质包括范围、对称性、顶点、离心率等。
双曲线的定义是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的动点的轨迹。
其标准方程也有两种形式：当焦点在 x 轴上时，方程为\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）；当焦点在 y 轴上时，方程为\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
双曲线的性质包括渐近线、离心率等。
抛物线的定义是平面内到一定点和一条定直线的距离相等的动点的轨迹。
其标准方程有四种形式：＼（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\）），＼（y^2 ＝－2px\）（＼（p ＞ 0\）），＼（x^2 ＝ 2py\）（＼（p ＞0\）），＼（x^2 ＝－2py\）（＼（p ＞ 0\））。
抛物线的性质包括焦点、准线等。
只有对这些基础知识了如指掌，我们才能在解题时迅速准确地运用它们。
二、学会分析题目条件在面对圆锥曲线的题目时，我们要学会仔细分析题目所给出的条件。
数学圆锥曲线题解题技巧方法总结
数学圆锥曲线题解题技巧方法总结圆锥曲线最值问题从方程与曲线着手，反映了数学问题中的数与形的密切关系，这类问题涉及的数学知识较多，解题方法灵活。
下面是小编为大家整理的关于数学圆锥曲线解题技巧，希望对您有所帮助!圆锥曲线解题技巧题型一：求曲线方程<1>曲线形状已知,待定系数法解决<2>曲线形状未知，求轨迹方程题型二：直线和圆锥曲线关系把直线方程代入到曲线方程中，解方程，进而转化为一元二次方程后利用判别式、韦达定理，求根公式等来处理(应该特别注意数形结合的思想)题型三：两点关于直线对称问题求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。
题型四：两直线垂直斜率相乘等于-1题型五：中点弦问题点差法：设曲线上两点为(X1,Y1)，(X2,Y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(注意斜率不存在D的情况讨论)，从而消去四个参数。
题型六：焦点三角形椭圆或双曲线上一点和其两个焦点构成三角形，多用正余弦定理解决问题。
题型七：最值问题(求范围)<1>若命题条件和结论有几何意义，可用图形性质来解答。
<2>若命题条件和结论有函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。
圆锥曲线大题解题技巧首先，我们要知道直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用。
其次当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”。
典型例题1：研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题是数学中的一个重要知识点，涉及到直线与圆锥曲线的交点、定点问题等。
解题的策略一般包括以下几个方面：
1. 明确问题要求：首先要清楚问题要求求解什么，例如求交点的坐标、定点的坐标等，明确问题的目标是解决问题的第一步。
2. 寻找相关方程：根据问题所涉及的圆锥曲线类型，如抛物线、椭圆、双曲线等，
确定相应的方程。
对于抛物线可以使用一般方程y=ax^2+bx+c，对于椭圆可以使用标准方
程\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，对于双曲线可以使用标准方程
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1等。
寻找到相关方程是解题的基础。
3. 解方程求解：根据问题所给的条件和方程，利用数学方法解方程组，求解出未知
数的值。
根据具体的题目要求，可能会涉及到一元二次方程、二元一次方程、高次方程等，可以利用因式分解、配方法、根的判别式等方法求解。
4. 计算坐标值：根据求解出的未知数的值，可以得到所求点的坐标。
根据坐标的定义，可以通过具体的计算将结果转化为坐标值，例如将x和y值代入方程，计算出相应的
坐标点。
5. 检查答案：在得到结果后，需要对结果进行检查，确保所得答案符合原题要求，
并且满足数学上的要求。
对于涉及到图形的问题，可以通过作图验证答案的正确性。
解决高中数学圆锥曲线定点问题的关键是明确问题要求，寻找相关方程，解方程求解，计算坐标值，最后进行答案的检查。
通过多进行练习和实践，加强对数学知识的理解和掌握，可以提高解决此类问题的能力。
攻克圆锥曲线解答题的策略
攻克圆锥曲线解答题的策略第一、知识储备:1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
(2) 与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率k = tag ，工三［0,二)(3) 弦长公式直线y =kx 上两点A^,%), BXy)间的距离：AB =：匚1 k 2 -X 2(4) 两条直线的位置关系① h _ l 2 k i k 2=-1 ② IJ/Su k i 二 k 2 且 b i = b 22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式(三种形式)2 2标准方程： — —=1(m 0, n 0且 m = n)m n 距离式方程：、、、(x c)2 y 2 , (x _c)2 y 2 2a参数方程：x = acosr, y =bsin(2) 、双曲线的方程的形式(两种形式)2 2标准方程：——=1(m ： 0)m n距离式方程：| , (x • cf £ _、& -c)2 • y 2 \= 2a⑶、三种圆锥曲线的通径2 2椭圆：也；双曲线：生；抛物线:2pa a ⑷、圆锥曲线的定义2 2已知F 2是椭圆 亍专"的两个焦点，平面内一个动点 M 满足MF_, - MF 2| =2则动点M 的轨迹是()A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D —条射线②点到直线的距离“ Ax 册C ③夹角公式：tan _|£=(1 疋)[(为 X 2)2 rxN]或 AB y i 一 y 2⑸、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，S 号PF 2二b 2tan^2 日P 在双曲线上时，S ?1 PF ^ b cot-/廿宀|PF . |2 +| PF 2 |2 -4c 2 T T 、 （其中 F 1PF 2 卞却」1|詔|佳|，PF 1 -PF 2 T PF 1 11 PF 2|C0-）(6)、记住焦半径公式：(1)椭圆焦点在x 轴上时为a_ex );焦点在y 轴上时为a_ey °，可简记为 左 加右减，上加下减”。
圆锥曲线大题解题技巧
圆锥曲线大题解题技巧圆锥曲线是数学中一个重要的几何分支，它包括椭圆、双曲线和抛物线等曲线。
在解决圆锥曲线相关的大题时，掌握一些解题技巧是非常有帮助的。
以下是一些常见的解题技巧：1. 熟悉基本定义和性质：-掌握圆锥曲线的标准方程形式，了解它们的焦点、准线、偏心率等基本性质。
-理解直线与圆锥曲线的位置关系，包括相切、相交和相离。
2. 利用坐标法：-将圆锥曲线问题转化为代数问题，通过建立坐标系，将曲线方程转化为标准形式。
-利用坐标法求解直线与圆锥曲线的交点、弦长、面积等。
3.应用韦达定理：-韦达定理在解决圆锥曲线问题时非常有用，特别是在求解直线与圆锥曲线的交点问题时。
-利用韦达定理可以快速找到交点的坐标。
4. 利用参数方程：-对于某些复杂的圆锥曲线问题，可以尝试使用参数方程来简化问题。
-参数方程可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质。
5. 利用极坐标：-在处理与极点和极线相关的问题时，极坐标方法可以提供简洁的解决方案。
-极坐标方法特别适用于求解与焦点、准线相关的问题。
6. 利用图形工具：-利用几何画板等图形工具可以帮助我们直观地理解圆锥曲线的性质和问题。
-图形工具可以帮助我们验证答案的正确性。
7. 注意特殊情况：-在解决圆锥曲线问题时，要注意特殊点的存在，如顶点、焦点、准线等。
-特殊点的性质往往在解题中起到关键作用。
8. 练习和总结：-定期练习圆锥曲线相关的题目，总结解题方法和技巧。
-学习并掌握常见的解题模式和思路。
通过以上技巧的运用，可以大大提高解决圆锥曲线大题的效率和准确性。
重要的是要理解每个技巧背后的数学原理，这样才能在遇到不同问题时灵活运用。
高中数学圆锥曲线解题方法归纳
高中数学圆锥曲线解题方法归纳圆锥曲线是高中数学中的一个重要部分，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线通常通过平面截取圆锥的不同部分来形成。
为了更好地理解和解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解题方法。
1. 定义法：根据圆锥曲线的定义来解题。
例如，椭圆和双曲线的定义是两个焦点到曲线上任一点的距离之和或差为一个常数。
抛物线的定义是一个点到固定点（焦点）和固定直线（准线）的距离相等。
2. 参数方程法：对于一些复杂的圆锥曲线问题，我们可以使用参数方程来表示曲线上点的坐标。
这样可以将几何问题转化为代数问题，便于计算。
3. 切线法：对于一些与圆锥曲线切线相关的问题，我们可以使用切线性质来解题。
例如，切线到曲线上任一点的距离在切点处达到最小值。
4. 极坐标法：将问题转化为极坐标形式，利用极坐标的性质来解题。
例如，在极坐标下，距离和角度的关系可以简化为数学表达式。
5. 几何法：利用圆锥曲线的几何性质来解题。
例如，椭圆的焦点到椭圆中心的距离等于椭圆上任一点到椭圆中心的距离减去椭圆半径。
6. 代数法：通过代数运算来解题。
例如，解联立方程来找到满足多个条件的点的坐标。
7. 数形结合法：结合图形和数学表达式来解题。
通过观察图形，可以更好地理解问题的本质，从而找到合适的解题方法。
以上是高中数学中圆锥曲线解题的一些基本方法。
需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体问题选择合适的方法。
同时，这些方法也不是孤立的，有时需要综合运用多种方法来解决一个复杂的问题。
通过大量的练习和总结，我们可以提高解决圆锥曲线问题的能力。
圆锥曲线解题的万能套路
圆锥曲线解题的万能套路可以归纳为以下步骤：
1. 确定焦点位置：根据题目给定的条件，确定圆锥曲线的焦点位置，是位于X 轴上还是Y轴上。
2. 设而不求：设定圆锥曲线上的两点坐标，然后根据点在曲线上的性质，列出方程，但不求解。
3. 点差法：如果题目涉及弦的中点问题，可以使用点差法。
将两个点在曲线上的坐标分别带入方程，然后作差，化简后可以求得中点的坐标。
4. 联立方程：将题目给定的图形方程与圆锥曲线方程联立，形成一元二次方程组。
5. 使用韦达定理：利用韦达定理，将方程组的解用函数的k表示出来。
6. 求切线方程：如果需要求切线方程，可以通过图形的一个切点代入，求得切线斜率，进而得到切线方程。
7. 弦长公式：如果需要求弦长，可以使用弦长公式，将直线方程与图形方程联立，化简后得到一元二次不等式，通过韦达定理求解。
8. 求最值：根据题目给定的条件，利用函数关系或几何关系求出最值。
9. 求轨迹方程：根据题目给定的条件，利用待定系数法或定义法求出轨迹方程。
以上步骤可以作为圆锥曲线解题的万能套路，但具体解题过程中还需根据题目的具体情况进行灵活应用。
圆锥曲线解题技巧综合运用不同解题方法
圆锥曲线解题技巧综合运用不同解题方法圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，经常在各类考试中出现。
掌握圆锥曲线的解题技巧，可以帮助我们高效解答题目。
本文将介绍几种常见的圆锥曲线解题方法，并综合运用它们来解决各类题目。
一、直接法直接法是最常用的解题方法之一，它适用于给定了圆锥曲线的方程，要求我们找出特定点或确定一些性质的情况。
以二次曲线为例，我们可以通过将方程标准化，然后研究其各项系数的符号、平方项的系数与常数项的关系等来推导出特定点的坐标、曲线的类型等信息。
二、参数法参数法常用于求解曲线上的点的坐标或曲线的方程。
当我们遇到较复杂的曲线方程，难以直接分析时，可以通过引入参数的方法，将曲线的方程转化为参数方程进行处理。
例如，对于椭圆和双曲线，我们可以通过引入参数来表示曲线上的点的坐标。
设参数为θ，则椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ；双曲线的参数方程为x=asecθ，y=btanθ。
通过选取不同的参数值，我们可以得到曲线上的不同点，进而求解问题。
三、几何法几何法是通过几何图形的性质来解决问题的方法。
在圆锥曲线的学习过程中，我们会学到各种曲线的几何性质，如椭圆的离心率、焦点定理、双曲线的渐近线等。
利用这些性质，我们可以通过绘制几何图形，运用几何关系来解决问题。
四、导数法导数法常用于求解曲线的切线、法线以及曲率等问题。
对于给定的曲线方程，我们可以通过求导数来得到曲线的斜率，从而得到切线或法线的方程。
同时，导数还可以帮助我们研究曲线的凸凹性、极值等性质，进一步推导出曲线的特点。
五、解析法解析法是一种基于代数分析的方法，适用于较复杂的曲线方程求解。
通过对方程进行代数运算、化简等操作，我们可以得到曲线的一些基本性质或特定点的坐标。
在解析法中，我们常用的技巧包括配方法、消元法、代入法等，根据方程的特点和题目要求来灵活选择合适的方法。
此外，还需要注意方程中的各项系数和常数项之间的关系，以便得到准确的解答。
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摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高
考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。
关键词：知识储备 方法储备 思维训练 强化训练
第一、知识储备：
1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容
两点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，将这两点代入曲线方程得到 两个式子，然后 -
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ห้องสมุดไป่ตู้
，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系， 消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A、B、F 共线解决之。若有向 量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设
解法二：建系同解法一， AE a exE , AC a exC ，
xE
c c 2
1
2
2c 1
，又
AE AC
1
，代入整理
1
3 e2 1
，由题设
5 / 20
2 3 得， 2 1 3 3
3
4
3
e2 2 4
解得
7 e 10
所以双曲线的离心率的取值范围为 7 , 10
分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率，从而写出
直 线 BC 的 方 程 。 第 二 问 抓 住 角 A 为 900 可 得 出 AB⊥ AC， 从 而 得
x1x2 y1 y2 14( y1 y2 ) 16 0 ，然后利用联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方
(1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
或 AB
1
1 k2
y1 y2
（4）两条直线的位置关系
① l1 l2 k1k2 =-1 ② l1 // l2 k1 k2且b1 b2
2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）
标准方程： x2 y2 1(m 0, n 0且m n) mn
椭圆焦点在x轴上时为a ex0;焦点在y轴上时为a ey0
，可简记为“左加右减，上加下减”。
（2） 双曲线焦点在x轴上时为e | x0 | a
（3） 抛物线焦点在x轴上时为|
x1
|
p 2
, 焦点在y轴上时为 |
y1
|
p 2
(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？
第二、方法储备
1、点差法（中点弦问题）
(4 5k 2 )x 2 10bkx 5b2 80 0
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x1
x2
10kb 4 5k 2
， x1 x2
5b2 80 4 5k 2
y1
y2
8k 4 5k 2
, y1 y2
4b2 80k 2 4 5k 2
代入（2）式得
9b2 32b 16 4 5k 2
0
，解得 b
4(舍)
①倾斜角与斜率 k tan , [0, )
② 点 到 直 线 的 距 离 d Ax0 By0 C A2 B2
③ 夹 角 公 式 ： tan k2 k1 1 k2k1
（3）弦长公式 直线 y kx b 上两点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 间的距离： AB 1 k 2 x1 x2
距离式方程： (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
参数方程： x a cos , y b sin (2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程： x2 y2 1(m n 0) mn
距离式方程：| (x c)2 y2 (x c)2 y2 | 2a
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(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
为双曲线的半焦距，
h 是梯形的高
由定比分点坐标公式得
x0
c c 2
1
2c 2 1
，
y0
h 1
设双曲线的方程为 x2 y 2 1，则离心率 e c
a2 b2
a
由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 e c 代入双曲线方程得 a
e2 4
h2 b2
1，
①
e2 4
2 1
或b
4 9
直线过定点（0， 4) ，设 D（x,y） 9
则
y
4 9
y
4
1
x
x
即 9 y 2 9x 2 32 y 16 0
所以所求点 D 的轨迹方程是 x 2 ( y 16)2 ( 20)2 ( y 4) 。
9
9
4、设而不求法
例 2、如图，已知梯形 ABCD 中 AB 2 CD ，点 E 分有向线段
椭圆：2b2 ；双曲线：2b2 ；抛物线：2 p
a
a
(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？
如：已知
F1、F2 是 椭 圆
x2 4
y2 3
1的 两 个 焦 点 ， 平 面 内 一 个 动 点
M 满足
MF1 MF2 2 则动点 M 的轨迹是（
）
A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线
正，故 2(k 2 1) 2k kx 0 恒成立，于是 等价于
2
k 2 1 x2 2k 2(k 2 1) 2k x 2(k 2 1) 2k 2 0 .
由如上关于 x 的方程有唯一解，得其判别式 0 ，就可解得 k 2 5 . 5
点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与 整体思维的优越性.
合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草 图，不难想到：过点 B 作与 l 平行的直线，必与双曲线 C 相切. 而相切的代数表 现形式是所构造方程的判别式 0 . 由此出发，可设计如下解题思路：
l : y k(x 2) 0 k 1
直线 l’在 l 的上方且到直线 l 的距离为 2
l': y kx 2k 2 2 2k
把直线 l’的方程代入双曲线方程，消去 y，令判别式 0
解得k的值
解题过程略. 分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所
谓“有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ”，相当于化归的方程有唯一解. 据此 设计出如下解题思路：
(5)、焦点三角形面积公式： P在椭圆上时，SF1PF2
b2
tan
2
P在双曲线上时，SF1PF2
b2
cot
2
（其中 F1PF2
, cos
|
PF1 |2 | PF2 |2 | PF1 | | PF2
4c2 |
, PF1
PF2
|
PF1
| | PF2
|
cos
）
(6)、 记 住 焦 半 径 公 式 ： （ 1）
问题
kx 关于 x 的方程
解
2 x2 2k
2 0 k 1 有唯一
k 2 1 转化为一元二次方程根的问题
求解
简解：设点 M (x, 2 x2 ) 为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到直线 l 的距离为：
kx 2 x2 2k 2
0 k 1
k2 1
于是，问题即可转化为如上关于 x 的方程.
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由于 0 k 1 ，所以 2 x2 x kx ，从而有 kx 2 x2 2k kx 2 x2 2k.
于是关于 x 的方程
kx 2 x2 2k 2(k 2 1)
2
2 x2 (
2(k 2 1)
2k kx)2 ,
2(k 2 1) 2k kx 0
AC 所成的比为 ，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦
点当 2 3 时，求双曲线离心率 e 的取值范围。
3
4
分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、
运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 xOy ，如图，
若设
C c ,h ，代入
程；
解：（1）设 B（ x1 , y1 ）,C( x2 , y2 ),BC 中点为( x0 , y0 ),F(2,0)
则有 x12
y12
1,
x
2 2
y
2 2
1
20 16 20 16
两式作差有
(x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
20
16
x0 y0k 0 (1) 54
k 2 1 x2 2k
2(k 2 1) 2k x
2
2(k 2 1) 2k 2 0,
2(k 2 1) 2k kx 0.
由 0 k 1可知：
2
方 程 k 2 1 x2 2k 2(k 2 1) 2k x 2(k 2 1) 2k 2 0 的 二 根 同
由于点 Q(x, y) 的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直线 AB 的斜率
k 作为参数，如何将 x, y 与 k 联系起来？一方面利用点 Q 在直线 AB 上；另一方面
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就是运用题目条件：
来转化.由 A、B、P、Q 四点共线，不难得到
x 4(xA xB ) 2xAxB ，要建立 x 与 k 的关系，只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程，
直线为 y kx b ，就意味着 k 存在。
例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4x 2 5 y 2 80 上，且点 A 是椭圆短轴的一个
端点（点 A 在 y 轴正半轴上）. （1）若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程;
（2）若角 A 为 900 ，AD 垂直 BC 于 D，试求点 D 的轨迹方程.