矿床统计预测2017-13-马尔可夫链分析地层剖面

13 地层柱的马尔可夫链分析
13.3 应用马尔可夫链分析地层柱
24 23 22 （2）计算转移频数矩阵 21 例如右图为胶东某地的地层柱，共43层岩 20 19 性，分为4个状态。 18 17 向上转移频数矩阵 16 15 A B C D 14 A 0 4 2 0 13 12 B 3 0 4 6 11 10 C 1 6 0 5 9 8 D 2 3 4 0 7 6 5 4 序列中状态由D变为A的次数=2 3 2 1
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13.2 随机过程基本知识
（3）随机过程的类型
二阶矩过程： 是指在任何时间点上均方值函数都存在的随机过程。 二阶矩过程的自相关函数都存在。因为（柯西-施瓦兹不等式）
{E[ X (t1 )]E[ X (t2 )]}2 E[ X 2 (t1 )]E[ X 2 (t2 )], t1, t2 T
值
0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
时间
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13.2 随机过程基本知识
（2）随机过程的数字特征
均方值函数：
2 X
(t ) E[ X 2 (t )]
能反映变化幅度。
方差函数：
2 X (t ) DX (t ) Var[ X (t )]
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13.2 随机过程基本知识
（1）基本概念
随机过程，也称随机函数，是指一族无穷多个随机变量，表示为
X (t ), t T
其中， T 表示一个无穷集合，称为参数集；
t 称为参数，一般代表时间或空间变量。
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13.2 随机过程基本知识
（1）基本概念
果（同一个常数）；自相关函数只要时差不变，也每次观测结果都一
样。有了遍历性，就可以用一次观测结果（即一个实现）估计出随机 过程的均值函数和自相关函数，避免了做大量试验的麻烦。
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13.3 应用马尔可夫链分析地层柱
为了研究地层剖面，可将它看作是一个离散 随机过程。观测数据看作一个样本函数；从 下到上顺序排列的层位可看作离散时间参数； 不同的岩性可看作该过程的离散状态。 可用一定方法检验该随机过程是否具有马尔 可夫性。如果是，就可以运用马尔可夫链的 有关理论对地层柱进行研究，发现其中岩性 变化的规律。
13.3.2 转移概率分析
D B C D C D C B C D B A D C D B D C D C A C B C
43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25
C D B A B A B C B D B C B A B D B C A
E{[ X (t ) X (t )]2 }
表示随机过程在各个时刻点上对于平均值的平均偏离程度。 自相关函数： RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] 其中 t1 , t2 T 为参数的两个任意值（如两个时间点）；
X (t1 ), X (t2 ) 是两个随机变量。
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13.2 随机过程基本知识 （3）随机过程的类型
平稳随机过程：
平稳过程的自相关函数只与间时差有关而与时间位置无关。
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (0) X (t2 t1 )] RX ( )
（这是因为根据平稳性定义，二维分布函数到处一样，即
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13.2 随机过程基本知识
（1）基本概念
对随机过程 X (t ), t T 进行一次试验（即在 T 上进行一次全程观 察），得到的是一个确定的、普通的函数，记为
x(t ), t T ，称为
随机过程的一个实现，也称为一个样本函数或样本曲线。 例1 一天内的气温，可看作是一个随机过程。对它进行一次观测，即记 录一天的温度，得到一天的温度变化曲线，是一个普通函数；给定一个 时间点（即固定时刻 t ），气温是一个随机变量（如中午12点的温度， 服从某个概率分布）。 例2 一天内操场上的人数。 例3 一个矿体范围内的矿石品位。
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13.2 随机过程基本知识
（3）随机过程的类型 平稳随机过程：统计特性不随时间而变（任一种有限维分布函数在整
个参数集上都一样）。如果参数集是离散的，也称平 稳随机序列或平稳时间序列。 平稳过程的均值函数若存在，必为常数。 平稳过程的均方值函数和方差函数若存在也必为常数。
酸性火山岩 中性火山岩 碎屑岩 基性火山岩
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13.3 应用马尔可夫链分析地层柱
13.3.2 转移概率分析
（3）计算转移概率矩阵 由频数矩阵计算行和、列和： A B C D 列和 A 0 3 1 2 6 B 4 0 6 3 13 C 2 4 0 4 10 D 0 6 5 0 11 行和 6 13 12 9 A B C D
给定一个 t T 的值，比如 t t1 ，X (t1 ) 是一个随机变量，称为随 机过程在该时刻 t1 的状态。 如果对 X (t1 ) 进行一次试验（观察）得到 X (t1 ) x（实数），就说 该随机过程在时刻 t t1 处于状态 x 。 对于一切 t T ， X (t ) 的所有可能取值的全体，称为该随机过程的 状态空间。
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13.1 概述
在沉积岩（或火山岩）发育地区的地表露头上，或钻探岩心中，常可 看到多种不同岩性的地层交替出现，构成一个由老到新顺序排列的岩 性地层剖面，有时简称地层柱。 地层剖面中的岩性变化往往有某些规律，如旋回性（周期性）。研 究这些变化特点，对于了解地层、岩石的形成环境、成因及地质历 史有重要意义。因此，对地层剖面的分析经常是地质学许多分支领 域（如沉积学、地史学、岩石学、大地构造学、石油地质学、矿床 学等）的重要研究内容。
自相关函数表示随机过程在不同时间点上的相互联系。
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13.2 随机过程基本知识
（2）随机过程的数字特征
自协方差函数： CX (t1 , t2 ) Cov[ X (t1 ), X (t2 )]
E{[ X (t1 ) X (t1 )][X (t2 ) X (t2 )]}
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13.1 概述
如果地层剖面较短、其中岩性种类较少，则常可以直观地发现其中的 岩性变化规律。 但是如果地层剖面很长，其中岩性种类较多，变化情况复杂，这时简 单直观的地质学研究方法就难以使用。这时可借助于应用数学中时间 序列分析的一些方法。其中马尔可夫键分析是较常用的一种。 马尔可夫链是随机过程的一种。为了解该方法，有必要先了解随机过 程的一些基本概念和理论。下面先介绍随机过程的一些初步知识。
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13.2 随机过程基本知识
（3）随机过程的类型
连续型随机过程：状态是连续型随机变量。 离散型随机过程：状态离散… 连续参数随机过程：参数是连续型变量 离散参数随机过程：参数是离散的。也称随机序列。
若随机过程依赖于2个或3个参数，则称二维或三维随机过程，有 时称为随机场。
13.3.2 转移概率分析
转移概率分析，就是计算序列中各种状态向前或向后转变为另一种不同 状态的概率，获得转移概率矩阵，进而研究岩性变化的特点或规律。 （1）准备工作：将所研究的地层柱做适当整理，包括：
1）去掉仅出现于序列头部或尾部的状态；
2）如果状态数很多，则可将相似的岩性合并，以适当减少状态总数，简 化分析； 3）明确各种状态的地质意义（如岩性所代表的沉积环境）以便对分析结 果进行地质解释。
一段假想的地层剖面
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13.3 应用马尔可夫链分析地层柱
13.3.1 检验一个地层柱是否具有马尔可夫性
2 用 检验方法：
在整个序列中计算统计量
2

i 1 j 1
2
m
m
(nnij nin j )2 nnin j
分布。其中，
该统计量服从自由度为 (m 1)2 的
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13.2 随机过程基本知识
（2）随机过程的数字特征 均值函数：给定随机过程 X (t ), t T ，称 X (t ) E[ X (t )]
为该随机过程的均 值函数。均值函数 表示了随机过程在 各个时刻点上的平 均值（摆动的中 心）。
1.2 1 0.8 实现1 实现2 实现3 实现4 实现5 平均值
正态过程：是指每个有限维分布都是正态分布的随机过程。 正态过程是二阶矩过程。 因为正态过程在所有时间点上都 存在均值，从而存在均方值。
有限维分布，是指在一个时间点上随机变量的概率分布， 或多个时间点上多个随机变量的联合分布。
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13.2 随机过程基本知识
（3）随机过程的类型
（即平稳过程在同一时间点（时间差为0）上，方差与协方差 一样，都等于自相关函数与均值函数平方的差）。
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13.2 随机过程基本知识
（3）随机过程的类型
宽平稳过程：二阶矩过程若均值函数为常数且自相关函数总是存在，
就称为宽平稳过程，或称广义平稳过程、二阶平稳过程。它比平稳过
程的要求低，所以常见于应用中。 平稳过程在有些条件下具有遍历性（或称各态历经性）。 所谓遍历性是指：过程的均值函数任何时间每次观测都得到一样的结
m 为状态的总数；nij 为状态 i 变为状态 j 的频数；
n nij
i 1 j 1
m
m
ni nij
j 1
m
n j nij
i 1
m
以上这些量的计算后面还会讲到。
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13.3 应用马尔可夫链分析地层柱
13.3.1 检验一个地层柱是否具有马尔可夫性
CX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) X (t1 ) X (t2 )
2 X (t ) C X (t , t ) RX (t , t ) X (t ) X (t )
E[ X 2 (t )] 2 X (t )
因有上述关系，故可认为均值函数和自相关函数是随机过程最主要的 数字特征，其它数字特征都可以用这两个表示出来。
F[ X (t1 ), X (t2 )] F[ X (0), X (t2 t1 )]
平稳过程的协方差函数也只与间时差有关而与时间位置无关。
CX ( ) E{[ X (t ) X ][ X (t ) X ]} RX ( ) 2 X
若
0 则 2 X CX (0) RX (0) 2 X
也简称协方差函数。也表示随机过程在不同时间点上的相互联系。
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13.2 随机过程基本知识
（2）随机过程的数字特征 几个数字特征的相互关系：
2 X (t ) RX (t , t )
同一时间点上的自相关函数=均方值函数。 协方差函数=自相关函数 减去两个均值函数的积 方差函数=同一点协方差函数； 方差=平方的均值-均值的平方
指定置信度
2 ，在 2 分布表中查出 ,(m 1) 值，
2
若计算出的 大于表列值，就可认为该序列具有马尔可夫性。
2
确认地层序列具有马尔ຫໍສະໝຸດ Baidu夫性后，就可以通过计算状态转移概率和极
限概率来分析岩性变化的趋势或特点，见下述。
13 地层柱的马尔可夫链分析
13.3 应用马尔可夫链分析地层柱
独立增量过程： 是指不同时间点上的增量互相独立的随机过程。
增量是指 X (t ) X ( s), 0 s t 。它也是个随机变量。
马尔可夫过程：具有无后效性（或称马尔可夫性）的随机过程。 无后效性也叫做马尔可夫性，是指在某一时刻状态已知的条 件下，该时刻之后的状态不依赖于该时刻以前的状态。 X(0)=0的独立增量过程是马尔可夫过程。 马尔可夫链：参数和状态都是离散的的马尔可夫过程。
向上转移概率矩阵： 每个频数除以行和
A 0 0.23
B C 0.67 0.33 0 0
D 0 0.42 0
0.31 0.46
0.08 0.50
0.22 0.33 0.44
0.22=2/9