2011年港澳台联考数学真题(含答案)

绝密★启用前
2011年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试
数 学
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知tan cot 0θθ+<，那么角θ是 （ ）
（A ）第一或第二象限角 （B ）第三或第四象限角
（C ）第一或第三象限角
（D ）第二或第四象限角
（2） 设1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，则四面体11ACB D 的体积是（ ）
（A ）
1
2
（B ）
1
3
（C ）
1
4
（D ）
16
（3） 在△ABC 中，角A B C 、、的分别为a b c 、、，若2
2
2
a c
b =+-，则B ＝（ ）
（A ）
6
π
（B ）
3
π
（C ）
6π或56π （D ）3π或23
π （4） 若复数z 的虚部不为零，且310z z ++=，则（ ）
（A ）1z <
（B ）1z =
（C ）1z < <
（D ）z
（5）若2log 3a =，4log 6b =，6log 9c =，则 （ ）
（A ）a b c ==
（B ）a b c <<
（C ）b c a <<
（D ）c b a <<
（6）在四面体ABCD 中，AB =1，则二面角A CD B --的余弦值为（ ）
（A ）1
3
-
（B ）0
（C ）
13
（D ）
12
（7）设数列{}n a 的前n 项和1
121
n S n =-
+，则n a = （ ） （A ）121n - （B ） 1
21
n + （C ）1(21)(21)n n -+ （D ）
2(21)(21)n n -+
（8）圆的直角坐标方程为22
((1)4x y -+-=，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，
该圆的方程为 （ ） （A ）2ρ=
（B ）54cos()((,
])3
66π
ππ
ρθθ=-
∈-
（C ）24cos()((,])6
33
π
ππ
ρθθ=-∈-
（D ）4cos ((,])22
ππ
ρθθ=∈-
（9）函数1
1(1)1
y x x =
+ >-+的反函数为 （ ）
（A ）1
1(1)1
y x x =+ >- （B ）1
1(1)1
y x x =+ >-+ （C ）1
1(1)1
y x x =
- >-+
（D ）1
1(1)1
y x x =
- >- （10）设1F ,2F 为双曲线22
22:1x y C a b
-=的两个焦点，P 为C 上一点，若△12F F P 是等腰直角三角形，则C
的离心率为 （ ）
（A （B （C ）1 （D ）
12
+ （11）若函数2,1,
(),1
x x f x ax b x ⎧ ≤=⎨+ >⎩ 在1x =处可导，则a b -= （ ）
（A ）3
（B ）2
（C ）1
（D ）0
（12）点D E F 、、是△ABC 内三点，满足AD DE BE EF CF FD =，　=，　=，　设AF AB AC λμ=+　，　则
,)λμ =( （ ）
（A ）42(,)77 （B ）14
(,)77
（C ）41
(,)77
（D ）24(,)77
二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.
（13）若关于x 的方程320x x ax -+=有重根，则a =____________________． （14）已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出四个命题： ①若m ∥n ,m α⊥，则n α⊥ ②若α∥β,,m n αβ⊂⊂，则m ∥n ③若m ∥α,m β⊥，则αβ⊥
④若αβ⊥,m ∥α，则m β⊥
其中正确命题的序号是____________________．
（15）设等比数列{}n a 的各项都为正数，前n 项和为n S ．若627S S =，则其公比为____________________． （16）在空间直角坐标系O xyz -中，经过点(2,1,1)P 且与直线310,
32210
x y z x y z -++=⎧⎨
--+=⎩垂直的平面方程为
____________________．
（17）若多项式()p x 满足(1)1,(2)3p p = = ，则()p x 被232x x -+除所得的余式为_______________． （18）设有4张不同的卡片，若有放回地抽取4次，每次随机抽取一张，则恰好有两张卡片未被抽到的概
率为____________________．
三、解答题：本大题共4小题；每小题15分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （19）设函数()232f x x x =-++．
（Ⅰ）把()f x 写成分段函数，并求()f x 的最小值； （Ⅱ）解不等式()5f x <．
（20）设△ABC 为锐角三角形．证明
（Ⅰ）sin sin 1cos A B C +>+；（Ⅱ）2sin sin sin A B C <++
（21）设抛物线2
:4
x C y =与直线:1l y kx =+交于A B 、两点，P 为抛物线在这两点的切线的交点．
（Ⅰ）当1k =时，求点P 的坐标； （Ⅱ）当k 变化时，求点P 的轨迹．
（22）数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足111,n n a a S n += -=． （1）写出｛a n ｝的前三项
（2）设b n=S n +n+1，证明｛b n ｝是等比数列 （3）求｛a n ｝的通项公式
2011年港澳台联考数学真题答案
一、选择题：1—5：DBACD 6—10：ADCDC 11—12：AB 二、填空题：13．104或 14．①③ 15
16．857280x y z ++-= 17．21x - 18．21
64
三、解答题
19．解：（Ⅰ）当2x <-时，()32(2)13f x x x x =--+=-； 当3
22
x -≤≤
时，()32(2)5f x x x x =-++=-； 当3
2
x >
时，()23231f x x x x =-++=-； 所以13()531
x
f x x x -⎧⎪
=-⎨⎪-⎩
，故()f x 的最小值为72．
（Ⅱ）当2x <-时，4
()51353
f x x x <⇔-<⇒>-
，这与2x <-矛盾； 当322x -≤≤
时，()5550f x x x <⇔-<⇒>，此时解为302
x <≤； 当32x >
时，()53152f x x x <⇔-<⇒<，此时解为3
22
x <<． 综上所述，()5f x <的解为02x <<．
20．解：（Ⅰ）1cos 1cos()1sin sin cos cos C A B A B A B +=-+=+-，
1cos sin sin (1sin )(1sin )cos cos C A B A B A B +--=---，
因为A ，B 都是锐角，所以cos A ，cos B 均大于0，所以1cos sin sin 0C A B +--<， 所以sin sin 1cos A B C +>+．
（Ⅱ）因为sin sin 1cos A B C +>+，所以sin sin sin 1cos sin 2A B C C C ++>++>．
为证明sin sin sin A B C ++≤
3
C π
≥， 由于sin sin 2sin
cos 2cos 222A B A B C A B +-+=≤，所以sin sin sin sin 2cos 2
C A B C C ++≤+， sin 2cos
=sin[()]2cos[()]233626
C C C C ππππ
++-++-
1=
)]2cos()][sin()]2sin()]3262326
C C C C ππππ-+-+--- 注意到=cos()]2cos(
)33
26C C π
π-
+-≤，sin()]2sin()0326
C C ππ
---≤，
因此sin 2cos
22C C +≤
，sin sin sin 2
A B C ++≤ 21．解：设l 与抛物线的两交点坐标分别为(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，且A B x x <．
（Ⅰ）当1k =时，直线l ：1y x =+代入抛物线方程，得2
14
x x =+
，则2A x =-
2B x =+ 过A ，B 的抛物线的两条切线方程为：:()2A A A A x l y y x x -=
-，:()2
B B B B x
l y y x x -=-，联立解得2,1x y ==-，所以(2,1)P -．
（Ⅱ）将l 与C
的方程联立，解得2(A x k =
，2(B x k =+，将中两切线联立，解得
2,1x k y ==-，所以点P 的轨迹方程为：:1P l y =-．
22．解：（Ⅰ）由11a =，1n n a S n +-=，可得22a =，35a =．
（Ⅱ）由1n n a S n +-=得1()n n n S S S n +--=，即122(1)n n S n S n +++=++，即
1
2n n
b b +=，所以{}n b 是（Ⅲ）由（Ⅱ）得1111(11)232n n n S n S --++=++=⨯，1
321n n S n -=⨯--．
当2n ≥时，22
11321321n n n n a S n n n ---=+-=⨯-+-=⨯-，当1n =时，1n a =不适合上式．
所以 2
1,
13212
n n n a n -=⎧=⎨⨯-≥⎩，． 第3题解析：
方法1：估值法，31z z =+，3
11z z z -≤≤+，可以估计C 正确
方法2：三次方程若只有一个实数解，则必有两个共轭复根，设三个根依次为z1，z2，z3，不妨设z3为实数，则由韦达定理， 1231z z z =-，则22
12
123
1z z z z z ===-
， 构造函数3
()1f x x x =++，易知3
()1f x x x =++在R 上单调递增，由(1)10f -=-<，1
3()028
f -=>可知3
()1f x x x =++在1(1,)2--存在零点，且零点唯一，故3112
z -<<-
， 22
12123
1
(1,2)z z z z z ===-
∈，所以
1z < <。