燕博园联考2020届高三年级综合能力测试(CAT一)理科(全国卷I)数学试题2020.3(解析版)

燕博园联考2020届高三年级综合能力测试（CAT）（一）

理科数学（全国卷）详解版

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．已知全集为R，集合

1

2

2

(1),{|20}

A x y x

B x x x

-

⎧⎫

⎪⎪

==-=-<

⎨⎬

⎪⎪

⎩⎭

，则()A B=

R

I

ð（）A．(0,2)B．(1,2]C．[0,1]D．(0,1]

1．答案：D

解析：

1

2

(1){|1},{|1}

1

A x y x x y x x A x x

x

-

⎧⎫⎧

⎪⎪

==-===>∴=

⎨⎬⎨⎬

-

⎪⎪⎩⎭

⎩⎭R

≤

ð，

2

{|20}{|(2)0}{|02}

B x x x x x x x x

=-<=-<=<<，()(0,1]

A B

∴=

R

I

ð．

2．复数满足48i

z z

+=+，则复数z在复平面内所对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．答案：B

解析：设i(,)

z a b a b

=+∈R，则22

i48i

z z a b a b

+=+++=+，

226

4

,68i

8

8

a

a a b

z

b

b

⎧=-

⎧

⎪++=

∴⇒∴=-+

⎨⎨

=

=⎩

⎪⎩

，所以复数z在复平面内所对应的点在第二象限．3．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，且28

2,10

a a

=-=，则

9

S=（）

A．45 B．42 C．25 D．36

3．答案：D

解析：1928

9

9()9()9(210)

36

222

a a a a

S

++⨯-+

====．

4．函数

x x

x

y

e e-

=

+

的图象大致为（）

4．答案：A

解析：设()

x x

x

f x

e e-

=

+

，则()()

x x

x

f x f x

e e

-

-

-==-

+

，所以函数()

f x是奇函数，其图象关于原点对

称，排除B，C，且当x→+∞时，()0

x x

x

f x

e e-

=→

+

，排除D，选A．

5．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ） A ．0.02sin 360000y t = B ．0.03sin180000y t = C ．0.02sin181800y t = D ．0.05sin 540000y t =

5．答案：C

解析：由12f T ωπ

==

，可知若12()f nf n *=∈N ，则必有12()n n ωω*

=∈N ，故选C ． 6．已知,a b r

r 为非零向量，“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．充分必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

6．答案：B

解析：若22a b b a =r r r r 成立，则22a b b a =r r r r ，则向量a r 与b r

的方向相同，且22a b b a =r r r r ，从而a b =r r ， 所以a b =r r ；若a a b b =r r r r ，则向量a r 与b r

的方向相同，且22a b =r r ，从而a b =r r ，所以a b =r r ．

所以“22a b b a =r r r r

”为“a a b b =r r r r ”的充分必要条件．

7．把函数2

()sin f x x =的图象向右平移12

π

个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题 ①()g x 的值域为(0,1]

②()g x 的一个对称轴是12

x π

=

③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫

⎪⎝⎭

④()g x 存在两条互相垂直的切线

其中正确的命题个数是（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．答案：C

解析：2

121cos 21cos 21112()sin ()cos 222262x x f x x g x x π

ππ⎛

⎫-- ⎪

-⎛⎫⎝⎭==

−−−−−−→==--+ ⎪⎝

⎭向右平移个单位， cos 2[1,1]6x π⎛

⎫-∈- ⎪⎝

⎭Q ，()g x ∴的值域为[0,1]，①错误；

当12

x π

=时，206x π

-

=，所以12

x π

=是函数()g x 的一条对称轴，②正确；

当3

x π

=

时，26

2

x ππ

-

=

，所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫

⎪⎝⎭

，③正确；