高等数学4.5广义积分

xc
a
c
收敛，则称这两个广义积分之和为 f ( x) 在区间[a,b]上
的广义积分，记为

b a
f
(
x)dx
，即
b
c
b
a f ( x)dx a f (x)dx c f (x)dx
⑥
这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
上述三种无界函数的广义积分，又称为瑕积分.其中函数
的无穷间断点称为瑕点.
b 0
b
此极限不存在. 故 f ( x)dx是发散的, 上面说法是错的.
例 2．计算广义积分

1
1 x
2
dx
.
简解： 解al:im11a011x1x21d2xdx2xdxa0brclit1man1xx20bd1x1x
lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x) 在无
b a
穷区间[a, ) 上的广义积分,记为 f ( x)dx ，即 a

b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
b a
①
这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
定义 2 设函数 f ( x)C(, b] ，取 ab ，若极限
例 6．计算 1 1 dx . 0 1 x2
上的广义积分，
记为

b a
பைடு நூலகம்
f
(
x)dx
，即
b
b
f ( x)dx lim
f ( x)dx
a
0 a
⑤
这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
定义 6 设函数 f ( x) 在区间[a,b]上除点 c(a,b) 外连续，
且 lim f ( x) ，若广义积分 c f ( x)dx 与 b f ( x)dx 都
4.5 广义积分
若
b
a
f
(
x)dx
满足条件：
（1）[a, b]是有限闭区间，
（2） f ( x) 是 [a,b] 上的有界函数，
则该积分称为常义积分.否则称为广义积分.
4.5.1 无穷区间上的广义积分
例
1．求曲线
y
1 x2
，
x
轴及直
“开口曲边梯形”的面积 S .
线x1
y
的右边所围成的
解： b1 ，在[1, b] 上
Sb
b 1
1 x2
dx
1 b 1 1, x1 b
则 S lim Sb
b
1 lim (1 )1.
b b
y

1 x2
Sb
o1b
x
1
S 1 x 2 dx

lim
b
b 1
1 x2
dx
定义 1 设函数 f ( x)C[a, ) ， 取 ba ，若极限
注意
只有当③式右端两个积分都收敛时，
f ( x)dx 才收敛，否则就发散.

试问:“ 因为sinx是奇函数, (,)是对称区间,
所以

sin

xdx

0
.” 这一说法是否正确?
由于

sin xdx lim
b sin xdx lim (1cosb),
0

0
2
2 dx
1
1 x2
( ) 2
dx

.
arcatalinmxarc应ta理nx解a0为xblliimmaarrctcatnanx x
blim
x0
arctan
x.
lim (0 arctana) lim (arctanb 0)
a
lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x) 在无
a a
穷区间 (, b]上的广义积分，记为 b f ( x)dx ，即
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx

a a
②
这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
定义 3 设函数 f ( x)C(, ) ， cR ，若广义积分
收敛的广义积分的计算有与定积分完全 类似的换元法和分部积分法.
4.5.2 无界函数的广义积分
定义 4 设函数 f ( x)C(a,b]，且 lim f ( x) ， 取 0 ，
xa
若 lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为 f ( x) 在区间(a,b] 0 a
例 4.讨论广义积分
a
dx xp
(a

0)
的敛散性.
解：当 p1 时，
dx a xp

x1 p 1 p


(
p

1 1)a
p1
,
p1 .
a
, p 1
当 P 1时,
dx
dx ln x .
a xp a x
c f ( x)dx 与 f ( x)dx 都收敛，则称两个广义积分之和

c
为 f ( x) 在 (, ) 内的广义积分，记为 f ( x)dx ，即

c

f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
③


c
这时也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散.
b
0 ( ) 0 .
22
例
3.计算

e
x
1 ln
dx x
.
解：

e
1 x ln
dx x


e
1 d(ln ln x
x)
ln lnx ,
e
故原广义积分发散.
广义积分和常义积分计算方法相同，广义 积分代限有三句话：“能代则代之，代不了则 取极限，极限不存在则积分发散.”
a
故
a
dx xp
当
p1 时收敛；当
p1 时发散.
例 5．计算
0

(1

1 x2
)2 dx
.
解：令 xtant ， dx sec2 tdt ，
0
(1
1 x
2
)2
dx


2
0
sec2 t sec4 t
dt


2
cos2
tdt


.
0
4
通过换元把广义积分化为常义积分.
上的广义积分，记为

b a
f
(
x)dx
，即
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx .
a
0 a
④
这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
定义 5 设函数 f ( x)C[a,b) ，且 lim f ( x) ， 取 0 ，
xb
若 lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为 f ( x) 在区间[a,b) 0 a