及中垂线有关的问题

与中垂线有关的问题

【基础知识精讲】

一条直线经过线段中点且与该线段垂直，则称该直线为线段的垂直平分线.线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 1.定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，2.逆定理：到线段两端距离相等的点在线段中垂线上.1的证明，利用了全等三角形，2的证明利用等腰三角形的“三线合一”的性质. 【重点难点解析】

例1 已知△ABC 中，AB ，B Ｃ，ＣＡ的中垂线分别为l 1,l 2,l 3（图1）.求证l 1,l 2,l 3三线共点.

图1

例2 若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

图2 例3 如图3,△ABC 中∠A=120° AB=AC,AB 的中垂线交AB 于D ，BC 于F. 则

BC

BE

= .

例4如图4，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于E，BC延长线于F，求证∠CAF=∠B.

图4

【难题巧解点拨】

例1 △A BC中，∠A=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD为EF中垂线，求证BF=2AD(图5).

图5

例2 如图6，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，BD=5，BC=20，求AB.

图6

【同步达纲练习】

一、判断

( )1.三角形两边的垂直平分线交在三角形一边上，该三角形为等边三角形. ( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形.

( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.

( )4.四边形ABCD中共有一点P，使PA=PB=PC=PD，则∠A+∠C=180°.

( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.

( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上.

二、选择题

1.到三角形三个顶点距离相等的是( )

A.三条中线交点

B.三条高的交点

C.三条角平分线的交点

D.三条中垂线的交点 2.线段AB 外有两点C ，D(在AB 同侧)使CA=CB ，DA=DB ，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( ) A.90° B.100° C.110° D.120° 3.BD 为CE 的中垂线，A 在CB 延长线上，∠C=34°,则∠ABE=( )

A.17°

B.34°

C.68°

D.136° 4.O 为△ABC 三边中垂线的交点，则O 称为△ABC 的( )

A.外心

B.心

C.垂心

D.重心 5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( )

A ．钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

图7

6.△ABC 中，∠ACB=90°, ∠A=30°AC 的中垂线交AC 于E.交AB 于D ，(图7)则图中60°的角共有( )

A ．6个 B.5个 C.4个 D3个 三、填空

1.△ABC 中，AB=AC ，P 为形一点，PB=PC ，则P 在 的中垂线上，P 还在∠ 的平分线上.

2.△ABC 中，AB=AC=14，腰AB 的中垂线交AC 于D ，△BCD 周长为4cm,则BC= .

3.△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°,AB 中垂线交BC 于E ，则

BC

BE

= . 4.正△ABC 一点O 到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= .

5.△ ABC 的边AC 、BC 的中垂线交于AB 上一点O ，且OC=BC ，则∠A= .

6.若PA=PB ，DA=DB ，则PD 是AB 的 . 四、解答

1.△ABC 中，∠C=90°,AB 的中垂线交AB 于D ，AC 于E.且∠EBC=40°,求∠A 及∠BED 的度数.

2.已知O为等边三角形三边中线交点，求证BO与CO的中垂线必三等分BC.

【素质优化训练】

1.AD为△ABC的角平分线，DE∥AC,交

AB于E.过E作AD的垂线交BC延长线于F(图8),求证

2

1

（∠BAC+∠AFC）=90°-∠B.

2.如图9，△ABC中，AB=AC，AE∥BC,D为直线AE上任一点.求证DB+DC

＞2AB.

【拓展训练】

例1：如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.

点评：此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，(如图2),对应的是△ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.

变式1：如图1，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，则∠A= .

变式2：如图3，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2，∠B =15°

求：AC的长。

B C

A

E

D

A

B

D

E

图2

例2: 如图5，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长.

(2) 求∠EAN 的度数.

(3) 判断△AEN 的形状.

变式1:如图6，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长.

(2) 求∠EAN 的度数.

(3) 判断△AEN 的形状.

变式2:如图7，在△ABC 中， BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的

垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数.

【课后练习】

1、如图，已知：AB =BC =14㎝，DE 垂直平分AB ，交BC 于E ，AC =8㎝。求△AEC 的周长。

A

E D

C B 图3 A B C

D

E M N

A B C

D E M N

A C