2-1倒易点阵
倒易点阵介绍
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )
相应的位向差为
2
2
( S S0 )
OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。
26
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl
2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
倒易点阵
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
当相邻原子的散射X射线光程差等于 入射X射线波长整数倍时发生衍射。
a(cosα-cosα0) = Hλ
一维原子列的衍射示意图
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
设空间点阵的三个平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α0，β0和γ0。 衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ 。根据上述讨论可知，衍射角α，β和γ在x, y, z三个轴上应满足以下条件：
单晶体电子衍射花样标定
• 确定零层倒易截面上各ghkl矢量端点(倒易阵点)的指数，定出零层倒易截面的 法向(即晶带轴[uvw])，并确定样品的点阵类型、物相及位向。 (1)测量靠近中心斑点的几个衍射斑点至中心斑点距离R1、R2、R3、R4…及 R1与R2、R1与R3等衍射斑点之间的夹角。 (2) 计算R12∶R22∶R32∶…=N1∶N2∶N3∶… 其中N = h2 + k2 + l2
故
于是，它们的点乘 根据倒易基矢定义式，显然有
和
都为0。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• „ 劳厄的一个科学假设
1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在 与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到 在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三 维晶体中的衍射。 在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4 后来 用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明 了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。
a*、b*、c*
即倒易基矢
1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例
倒易格子与衍射—1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例一、倒易格子概念及性质1. 倒易点阵的定义设有一正点阵，用三个基矢(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。
引入三个新基矢(a*,b*,c*)描述，记为S*=S(a*,b*,c*)。
二者之间的关系：a*•a=1a*•b=0 a*•c=0b*•a=0b*•b=1b*•c=0c*•a=0c*•b=0c*•c=1则S*称作S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。
2. 正倒格子的关系：a*=(b×c)/V b*=(c×a)/V c*=(a×b)/V其中V= a•(b×c)正格子的体积或为：a=(b*×c*)/V*b=(c*×a*)/V* c=(a*×b*)/V*其中V*=a*•(b*×c*)倒格子的体积亦有：V* = 1/V正倒格子的角度换算：|a*| = bcsinα/V|b*| = casinβ/V |c*|= absinγ/V或：|a| = b*c*sinα*/V* |b| = c*a*sinβ*/V* |c|= a*b*sinγ*/V*上式中：cosα* = (cosβcosγ-cosα)/sinβsinγcosβ* = (cosγcosα -cosβ)/sinγsinαcosγ* = (cosαcosβ -cosγ)/sinαsinβ当晶体的对称中，α=β=γ=90°时|a*| = 1/a|b*| =1/b|c*| = 1/c单斜晶系时，α=γ=90°，β≠90°，即：α*=γ*=90°，β*=180°-β则：|a*| =1/asinβ |b*| = 1/b |c*| =1/csinβ图1-1.三斜晶系的倒易点阵如图1-1所示为三斜晶系的倒易点阵，其中a*在与bc平面垂直的方向，b*与ac平面垂直，长度为1/b，c*与ab平面垂直，长度为1/c。
厄瓦尔德图解和倒易点阵课件
Ewald 反射球
2d sin
Ewald Transform
(1912)
2
1
sin
1 d
d
Lattice planes
反
射 球
晶体位 于反射 球中心
1
Bragg
plane 入
k'
k
射 线
Ag 倒易点阵原点
设一与晶
面垂直旳 矢量AB， 若其长度 等于1/d， 则OB方向 产生衍射
入
射 线
2 1 sin
1
1 d
A
倒易点阵
(reciprocal lattice)
倒易点阵是衍射措 施最主要旳理论基础：
若一种点旳方向矢 量垂直于同名指数旳晶 面，大小为1/d，此点便 是相应晶面旳倒易点。
1
由晶体全部倒 易点(不一定都落
在倒易球表面)构
成旳新点阵，称
入
为倒易点阵。
射
倒易点
线
Ag
倒易点阵也反应了 晶体旳周期性本质
正
点
➋正倒点
阵
阵相互倒
易，线、
倒
面互应，
易
互为付Al2里Ni3
点
叶变换。
阵
Silicon Wafer Laue Pattern
倒易点 阵虽是数 学抽象， 但却是实 实在在可 观察到旳 点阵。
90
正点阵 [001]方向 倒易点阵 旋转90º
(100)
正点阵
中旳一组 晶面，相 应倒易点 阵中旳一 种点。
正点阵 正点阵
倒易点阵 倒易点阵
倒易点与原点旳 连线垂直于晶面。
面间距
越大，倒 易点间距 越小。
第1章倒易点阵及电子衍射基础
1.1 晶体结构知识的简单回顾 1.1.1 点 阵 1.1.2 晶体学点群 1.2 倒易点阵 1.3. 正点阵与倒易点阵的指数互换 1.4. 晶面间距与晶面夹角公式 1.5 Bragg定理及其几何图解 1.6 晶带定律与零层倒易截面 1.7 结构因子与倒易点阵的结构消光及倒易点阵类型 1.8 倒易点阵与电子衍射图的关系
As interference effects occur in wave motions of all sorts, interference or diffraction patterns can also be formed with light.
X光对晶体的衍射花样
电子衍射：
电子衍射是晶体物质对单色电子波产生的衍射现象。 下图 分别是单晶体、多晶体和非晶体的电子衍射花样。
组合。每种组合对应一种对称类型，即一个点群。
点群的表示符号有2种 1) Schonflies符号 2) 国际符号（或H-M符号）
Schonflies符号：
• Cn 表示n次旋转对称，取自循环群（Cyclic group）第1
字母
• D 表示二面体群（dihedral group），即n次旋转对称
轴，+ 与n次轴垂直的二次旋转对称
单晶C-ZrO2
多晶Au
非晶
准晶（quasicrystals）
FIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM: (A) amorphous carbon, (B) an Al single crystal, (C) polycrystalline Au, (D) Si illuminated with a convergent beam of electrons. In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear around the direct beam.
倒易点阵介绍
1
倒易点阵
❖ 倒易点阵概念及定义 ❖ 倒易点阵的物理意义 ❖ 倒易点阵的应用是一个假想的点阵.
❖ 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,就 得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其 结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒 易空间。
❖ 1860年法国结晶学家布拉菲提出并作为空间点 阵理论的一部分，但缺乏实际应用。
24
25
点阵中单胞的体积：V=a·(b×c)=b·(a×c) =c·(a×b)
5
倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
（仅当正交晶系）
6
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0;
a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
同名基矢点乘为1。
a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点
的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
7
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
8
晶带定理
❖ 在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。
向平行于（hkl）晶面的法线，则有K‘ –K= G，即为布拉格方程 14
的矢量形式。
倒易点阵的应用
倒易点阵使许多晶体几何学问题的解决变得简易。例如单胞体 积，晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等等。以 下是倒易点阵的应用。 1°由倒易点阵的基本性质可得： a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100 （a*=G100=1/d100） 在晶体点阵S 中，点之间或点阵平面之间的距离用Å 作单位， 因此，a*、b*、c*的单位为Å－1。在用图解法解决实际问题时， 用相对标度值表示相对大小即可。
倒易点阵
由满足这些条件的初基矢量a*, b*, c*决 定的点阵----倒易点阵
倒易点阵与正点阵的基本对应关系为
a * b a * c b * a b * c c * a c * b 0 a * a b * b c * c 1
*
： a 与a的夹角
*
： b*与b 的夹角 ： c 与c 的夹角
*
根据定义， a 与(b c )同方向 * 即： a 1 (b c )
*
倒易点阵的另一种表达方式
a a 1
*
* a a 1 (b c ) a 1 正点阵体积 V (b c ) a
bc a V
*
1 V 1
1 1 / V
a 1 (b c )
*
V a bc bc a c ab
bc bc a V a b c
*
ca ca b V bca
*
ab ab c V cab
*
给出了倒易点阵与正点阵之间的方向 关系和数值关系。
a ,b ,c
* * *
2.3.1 倒易点阵的定义及倒易点阵参数 定义
c* b* 引入倒易点阵初基矢量 c b
令a * a 1, b * b 1; c * c 1
* 令a b , c * b a, c * c b, a
a
a*
*
V abc
bc sin sin a abc a sin 90 1 a a
*
1 b b
*
1 c c
*
1 a b c a
2011 固表 Chap 3 XRD-1-2 晶体学知识-晶面指标-倒易点阵
第三章X射线衍射法（X-Ray Diffraction：XRD）一晶体学知识晶体对X-射线的衍射二X-射线的本质、产生与探测三X-射线衍射法原理四X-射线粉末衍射（实验方法）五X-射线衍射法在物相分析中的应用晶胞的指标化晶体中最小的结构重复单元，形状为平行六面体，其三边长度a,b,c不一定相等，也不一定垂直。
整个晶体是由晶胞并置堆砌而成。
划分晶胞2原则：一是尽可能反映晶体内结构的对称性；二是尽可能小。
晶胞的两个基本要素1.晶胞的大小和形状，可以用晶胞参数表示。
2.晶胞中原子的位置，通常用分数坐标表示，原子的位置可用向量OP = xa+ yb+ zc。
---CsCl晶体中，Cs+ (O点)（0，0，0）Cl-（P点）（1/2，1/2，1/2）XY ZOPCsCl晶胞abca bc 1/k 1/l1/h平面在三个坐标轴的截距a/h, b/k, c/l ，点阵平面的指数定义为hkl （hkl 为整数且无公约数）。
坐标原点到hkl 平面的距离d hkl 称晶面间距（d hkl ）。
从原点发出的射线在三个坐标轴的投影为ua, vb, wc ，（uvw 为整数且无公约数）称为点阵方向或晶向[uvw]。
[uvw]点阵平面的指数晶面指标---米勒指数（Miller indices）的定义晶面在三个晶轴上的倒易截数的互质整数之比。
截距：h’a, k’b, l’c截数：h’, k’, l’倒易截数：1/h’, 1/k’, 1/l’倒易截数之比化为一组互质的整数比：1/h’:1/k’:1/l’~（h*:k*:l*）(h* k* l*) 称晶面指标，abc右图晶面：1/3:1/2:1/1~2:3:6，则晶面指标(236)。
倒易点阵一、布拉格方程的另一种表示方法2d h*k*l*sin θ= n λn:晶面间距为d h*k*l*的晶面（h*k*l*）进行着n 级反射。
此式可以化为2d h*k*l*sin θ/n = λ如果用d hkl 代替d h*k*l*/n ，则2d hkl sin θ= λ式中d hkl 是假想的（hkl ）晶面的面间距。
倒易点阵
倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。
暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。
衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。
二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。
透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。
结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。
这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。
焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。
焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。
透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。
弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。
倒易点阵
材料现代研究方法X射线衍射方法 综合热分析 紫外光谱 红外光谱 XPS光电子能谱2倒易点阵1. 倒易点阵的定义； 2. 倒易点阵与正点阵的倒易关系； 3. 倒易点阵参数；倒易点阵Questions: 1. 什么是倒易点阵？天下本无事，庸人自扰之？ ☺ 非常有用!2. 倒易点阵有用吗？ 3. 为什么要引入倒易点阵概念?能简化（1）晶面与晶面指数表达；（2）衍射原理的表 达；（3）与实验测量结果直接关联，尤其是电子衍射部 部分。
晶体X射线衍射的核心，是对晶体中各个晶面的研 究，如果能把晶面作为一个点来研究，何乐不为！5倒易点阵晶体XRD衍射图谱 晶体电子衍射花样我们所观察到的衍射花样（或者衍射图谱）实际上是满 足衍射条件的倒易阵点的投影。
61.倒易点阵的定义倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系 建立起来的空间几何图形。
每种空间点阵都存在着与其相对应的倒易空间点阵， 它是晶体点阵的另一种表达方式。
用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚， 数学推演简化。
晶体点阵空间称为正空间，结点为阵点。
倒易空间中 的结点称为倒易点。
71.倒易点阵的定义简单点阵001 101简单点阵的倒易点阵011 111010 100 110点阵: 原点、基矢量、 阵点、晶向、晶面倒易点阵: 原点、倒易基矢量、 8 倒易点、倒易矢量、倒易面1.倒易点阵的定义1）倒易矢量倒易矢量的定义 从倒易点阵原点向任一倒易阵点 所连接的矢量叫倒易矢量，表示 为： r* = ha* + kb* + lc*2）倒易矢量的两个基本性质1）倒易矢量的方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。
2）倒易矢量的长度等于（hkl）晶面的晶面间距dhkl的倒数。
倒易阵点用它所代表的晶面的面指数(干涉指数)标定。
91.倒易点阵的定义晶面族所对应的倒易点a/2 上图画出了(100)、(200)晶面 (100) 族所对应的倒易阵点，因为 (200)的晶面间距d200 是d100 的一 半，所以(200)晶面的倒易矢量 长度为(100)的倒易矢量长度的 000 C* 二倍。
倒易点阵介绍
❖ 晶带定理：因为各倒易矢量都和
其晶带轴r=[uvw]垂直，固有
ghkl•r=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就
7
是晶带定理。
衍射条件
设:入射线波长为λ,入
射线方向为单位矢量S0,
衍射线方向为单位矢量S,
那么在S方向有衍射线的
条件是:在与S方向相垂
1
直的波阵面上,晶体中各
原子散射线的位向相同。
5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行） 的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
5
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
a*=b×c/V, b*=c×a /V, c*=a×b/V. 式中，V为正 点阵中单胞的体积： V=a·(b×c) =b·(c×a) =c·(a×b)
表明某一倒易基矢垂直于 正点阵中和自己异名的二基矢 所成平面
4
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0; a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
先计算原点O和任一原子 A的散射线在与S方向的 位向差。
ghkl
m
θ
A
θ
θ
n O
光程差 On Am OA S OA S0
OA (S S0 )
S2 (S-S0) (HKL)
S0
❖ 相应的位向差为 2 2 (S S0 ) OA
OA pa qb rc 其中p、q、r是整数
由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h、k、l 一定是整数。于是得到结论：
倒易点阵
厄瓦尔德图解:衍射矢量方程与倒易点阵结合, 厄瓦尔德图解:衍射矢量方程与倒易点阵结合,表示 衍射条件与衍射方向
反射球(衍射球, 反射球(衍射球,厄 瓦尔德球) 瓦尔德球):在入射线 方向上任取一点C为球 心,以入射线波长的倒 数为半径的球. 产生衍射的条件: 产生衍射的条件:若以入 射线与反射球的交点为原 点,形成倒易点阵,只要 倒易点落在反射球面上, 对应的点阵面都能满足布 拉格条件,衍射线方向为 反射球心射向球面上其倒 易结点的方向.
P1
SP1 / λ
r
* P1
SP2 / λ
S0 / λ
C
O*
r
* P2
P2
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 1,劳埃法:单晶体试样固定不动,采用连续X射线
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 2,旋转晶体法:单晶体绕与入射线垂直的轴转动.
材料现代研究方法讲义
b×c b×c a*= = V a b × c
c×a c×a b* = = V bc× a a×b a×b c* = = V ca×b
aib * = bic * = cia * = 0
a* = 1 a , b* = 1 b , c* = 1 c
材料现代研究方法讲义
正点阵和倒易点阵中点,线,面的关系 点阵矢量 r * = ha * + kb * + lc * 倒易点阵基本平移矢量: 倒易点阵基本平移矢量:a *, b *, c *
为新的三个基矢, 以 a *, b *, c * 为新的三个基矢, 引入另一个点阵, 引入另一个点阵,显然该点阵 c×a 中的点阵矢量 r * = ha * + kb * + lc * b* = V 的方向就是晶面(hkl)的法线方 的方向就是晶面 的法线方 a×b 向,该矢量指向的点阵点指数 c* = V 即为hkl 即为 . 倒易点阵的一个结点对应空间点阵的一个晶面
倒易点阵
正点阵基矢间夹角和倒点阵 基矢间夹角间的关系
• 根据基矢之间的夹角的定义，有 • 把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得
• 最后得 • 同理得 • 按同样的方法，可用倒易点阵的α*、β*、γ*来表示正点阵的 α、β、γ。
正点阵与倒易点阵的关系
a
Hhkl
垂直关系（方向）
在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl]的 倒易矢量 Hhkl = ha* +kb* +lc* Hhkl必和正点阵的(hkl)面垂直， 即倒易点阵的阵点方向[hkl]*和正点阵的(hkl) 面垂直：[hkl]*⊥(hkl)。
晶体学基础
倒易点阵
Outline
• 倒易点阵的定义
• 倒易点阵的基本性质
• 由正点阵导出倒易点阵 • 倒易矢量在晶体学中几何关系的应用
倒易点阵引入（1）
• 1913-1921年Ewald根据Gibbs倒易空间概念提出了倒易点阵。 • 晶体学中最关心通常是晶体取向，即晶面的法线方向。 • 用3个基失a, b, c表示某晶面的法向矢量Shkl。
• 底心点阵的倒易点阵仍为底心点阵，如果是C面有 心化，倒易点阵单胞的棱长已不是a*, b*, c*，而是 2a*, 2b*, c* 。单胞体积变为正点阵单胞的4倍。
SUMMARY
• 倒易点阵的定义
• 倒易点阵的基本性质（垂直及倒数关系） • 如何由正点阵导出倒易点阵 • 求点阵平面的法线方向指数
倒易点阵定义
点阵参数分别为a, b, c和a*,b*,c* 的两个点阵的基矢存在如下关系：
则，这两个点阵互为倒易。 正点阵晶胞体积为V，则 V = a●b×c 因a ● a*=1，则 a* =(b×c)/V 同理 b* =(c×a)/V; c* =(a×b)/V 同理 a =(b* ×c*)/V*; b =(c* ×a *)/V*; c =(a* ×b)/V* 正点阵晶胞体积与倒易点阵晶胞体积之间也存在倒易关系，即 V● V*≡1
晶体学基础-倒易点阵
倒易点阵晶体学中最关心通常是晶体取向，即晶面的法线方向。
倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形（倒易空间），是晶体点阵的另一种表达形式。
将晶体点阵空间称为正空间。
倒易空间中的结点称为倒易点。
部分。
a a * = b把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得正点阵与倒易点阵的关系•O 点到(hkl)晶面的垂直距离就是晶面间距d hkl 。
倒数关系（大小）●d hkl =h a H H H1=•确定倒易矢量H ，就确定了正点阵晶面。
S hkl P 及Q ⊥•倒易矢量[hkl]的大小（模）就是其正点阵中相邻平行(hkl)晶面间距的倒数。
(倒—Reciprocal)进行矢量相乘并且展开。
a H hkl •在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl ]的倒易矢量H hkl = ha* +kb* +lc*•H hkl 必和正点阵的(hkl )面垂直，•即倒易点阵的阵点方向[hkl ]*和正点阵的(hkl )面垂直：[hkl ]*⊥(hkl )。
CBAx y z(010)(100)(001)a例：由单斜点阵导出其倒易点阵•单斜点阵：b轴垂直于a和c轴。
左图图面为（010）面。
•从作图可以看出，正点阵和其对应的倒易点阵同属一种晶系。
把上面三个式子写成矩阵形式：•同理，可按下式求出与方向指数为[uvw]的方向相垂直的面的面指数(hkl):•例如，对立方系而言，a*●a* = b* ●b* = c*●c *=1/a2;a*●b* = b* ●c* = c*●a *=0;•u:v:w=h:k:l。
所以(hkl)面的法线指数和面指数同名，即为[hkl]。
倒易点阵和布里渊区一定义二倒易点阵和晶体点阵的关系三倒
1.4 倒易点阵和布里渊区(Reciprocal lattice; Brillouin zones)一. 定义二. 倒易点阵和晶体点阵的关系三. 倒易点阵的物理意义四. 倒易点阵实例五. 布里渊区一. 定义：假设是一个晶格的基矢，该点阵的格矢为：原胞体积是：现在定义另一晶格的3个基矢：，它们与的关系满足：123,,a a a 123()a a a Ω=⋅⨯ 123123n R n a n a n a =++ 123,,b b b 123,,a a a 2i j ij a b πδ⋅== 2,i j π=0,i j ≠,1,2,3i j =则称这两种格子互为正倒格子。
若基矢的格子为正格子，则的格子就是倒格子。
反之亦然。
123,,a a a 123,,b b b 位移矢量就构成了倒易点阵。
上面变换公式中出现的因子，对于晶体学家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极大的方便。
倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。
123hkl G hb kb lb =++ 2π4. 正点阵晶面族与倒易点阵格矢相互垂直，123(,,)h h h 123h h h G 123h h h 123123G =++ h b h b h b 且有：1231232h h h h h h d G π= 证明：先证明倒格矢与正格子的晶面系正交。
如图所示，晶面系中最靠近原点的晶面（ABC ）在正格子基矢的截距分别为：123,,123123h h h G h b h b h b =++ 123()h h h 123()h h h 123,,a a a 123123,,a a a h h h3 3)ah6. 同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性设α为正格子的一个点群对称操作，即当R n 为一正格矢时，αR n 也为正格矢，同样α－1R n 也是正格矢。
倒易点阵[整理版]
![倒易点阵[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/873958d159f5f61fb7360b4c2e3f5727a5e924bb.png)
倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。
暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。
衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。
二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。
透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。
结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。
这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。
焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。
焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。
透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。
弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。
固体物理倒格矢
2 2 2
a2 a3 V a3 a1 V a1 a2
V
正(2)点两阵个：点阵正格格矢矢之Rl间的l1a关1 系l2：a2
l3a3
l1、l2、l3 Z
倒易点阵：倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 h1、h2、h3 Z
则有：
Rl Gh＝2 Z
结论： 若两矢量点积为2的整数倍， 且其中一个矢量
固体物理倒格矢
1.9 1 倒格子(倒易点阵)*的定义：
1 正格矢与倒矢
S
原子可向空间任何方向散射X光线，只有一些固定 方向可形成衍射。
S0
P
点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲点阵中由原胞基矢a1，a2，a3构成的矢量，
S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍射后光程差为：
V
4
2
a
3
V倒易原胞
返回
面心立方晶格的第一布里渊区
—— 第一布里渊区为十四面体
—— 布里渊区中某些对称点和若干对称轴上的点能 量较为容易计算，这些点的标记符号
布里渊区原点 六方面的中心 四方面的中心
[000]
L ( , , )
aaa
X ( 2 , 0, 0 )
a
X 计为 轴 ——
二维正方晶格的布里渊区
二维长方晶格的布里渊区
二维六方晶格的十个布里渊区
(3) 三维晶格
a. 简立方晶格
倒易空间示意图
aaa321
ai aj ak
b1
b2
b3
2
a
2
a
2
a
i j k
b1
倒易点阵仍为简立方晶格
b3 b2 b1
倒易点阵
* b
* c
构成倒易点阵，
* * * * rhkl ha kb lc
又称波矢空间。 a ·a* = b ·b* = c ·c* =1，
a ·b* = a ·c* = b ·c* = 0，
2 1 / a * cos G* ab 0
cos * ab 1/ b2 0
h h c* k l
k
0 0 1/ c2
h l G * k l
（二）、倒易点阵与正点阵的关系
333, 511
521 440 433, 530 442, 600 532, 611 620 531 442, 600
440
620
541
622 631 444 533 622
444
Indexing of cubic reciprocal lattices
001 002 002
010
000 200 100
简单立方 100 110 111 200 210 211 220
体心立方 110
面心立方
1 2 3 4 5 6 8
111 200 211 220 220 200
立方系指数表 （续）
9 10 11 12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 24 221, 300 310 311 222 320 321 400 322, 410 330, 411 331 420 421 332 422 221, 300 310 311 222 320 321 400 322, 410 330, 411 331 420 421 332 422
倒易点阵的证明
例题2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明]选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示，()1ˆˆˆ2aa x y z =+- ()2ˆˆˆ2aa x y z =-++ ()3ˆˆˆ2aa x y z =-+ 其中a 是立方晶胞边长，ˆˆˆ,,xy z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。
初基晶胞体积()312312c V a a a a =⋅⨯=依照式(2．1)计算倒易点阵矢量123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ=⨯=⨯=⨯ ()2123ˆˆˆˆˆ22222222c x y zV a a a a b a a xy a a a π=⨯=-=+- ()2231ˆˆˆˆˆ22222222c xy z V a a a a b a a yz a a a π=⨯=-=+- ()2312ˆˆˆˆˆ22222222c xy zV a a a a b a a zx a a a π=⨯=-=+-于是有：()()()123222ˆˆˆˆˆˆ,,b x y b y z b z x a a aπππ=+=+=+ 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a π．同理，对面心立方点阵写出初基矢量()1ˆˆ2aa x y =+ ()2ˆˆ2aa y z =+ ()3ˆˆ2aa z x =+ 如下图。
初基晶胞体积()312314c V a a a a =⋅⨯=。
依照式(2．1)计算倒易点阵矢量()()()123222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,b x y z b x y z b x y z a a aπππ=+-=-++=-+ 显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a π．2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是()32/c V π，那个地址c V 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．[证明](a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ⋅⨯，现计算()123b b b ⋅⨯．由式(2．1)知，123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ=⨯=⨯=⨯ 此处()123c V a a a =⋅⨯ 而()()()(){}222331123121311222c c b b a a a a a a a a a a a a V V ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯⨯=⨯⋅-⨯⋅⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭那个地址引用了公式：()()()()A B C D A B D C A B C D ⨯⨯⨯=⨯⋅-⨯⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
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b
a
例1：两种原子组成下图所示的二维正方格子，晶格沿水平和垂直方向的总长度分 为4cm和2cm。试回答下列问题 ： （1）在图1中画出原胞图形，取基矢；计算原胞的面积及此 晶格包含的原胞数。 （2）此晶格的倒格子基矢？画出倒格子图形，其对应的原胞面积？
b1 a1 , b2 a2 , b3 a3 .
6. 推论：
7.
• 推出：指数小的晶面系，晶面间距较大， 原子也相应密集。这是因为单位体积中 原子数目是一定的。
• 例1：简单立方的倒易点阵是什么？ • 例2：面心立方的倒易点阵是什么？
• 例3：一维布拉伐格子的倒易点阵是什么？ • 例4：请问下图是简单格子还是复式格子，原胞是什么？基矢呢？
a3 a1 a1 [a2 a3 ]
b3
2
a1
a1 a2 [a2 a3]
• 称为倒格子基矢量。这三个基矢不共面，因而定义了一个称为 倒易点阵(reciprocal lattice)或倒格子的新点阵。
b1
2
a1
a2 a3 [a2 a3]
b2
2
a1
a3 a1 [a2 a3]
2. 定义垂直于表面的单位矢量 av3
倒格子基矢
b1
2
a2 a3 a1 a2 a3
v
vv
二维倒格子矢量 Gn1n2 n1b1 n2b2
，则
b2
2
a1a3a2 a1a3
—— 所有倒格点的集合构成二维倒格子空间
—— 可以证明晶体表面二维周期性函数可以展开为
• 在实验上：由晶体的X射线衍射图样（与晶面族亦即倒格矢有关)->可分析出倒格矢->倒格子结构->求出晶体的(正格子)结构
• 在数学上：把任意周期函数Γ(r)进行傅里叶展开：
• 在理论物理上：倒格子空间的矢量可以用来标识波矢k，通常用波 矢来描述电子在晶体中的运动状态或晶格的振动状态。由倒易点 阵基矢所张的空间称为倒易空间，其可理解为状态空间（k空间）。
例2：六角晶系的倒格基矢？
倒格子的意义
• 利用倒易点阵的概念可以比较方便地导出晶体几何学 中各种重要关系式；
• 引入倒格子，可方便地把三维周期函数展开成傅里叶 级数；
• 在实验上：由晶体的X射线衍射图样（与晶面族亦即倒 格矢有关)-->可分析出倒格矢->倒格子结构->求出晶 体的(正格子)结构；
正、倒格子之间的关系（二）
3. 正格矢 Rm=m1a1+m2a2+m3a3 和倒格矢Gn=n1b1+n2b2+n3b3之间满足下 列关系：
Rm·Gn=？
正、倒格子之间的关系（二）
3. 正格矢 Rm=m1a1+m2a2+m3a3 和倒格矢Gn=n1b1+n2b2+n3b3之间满足下 列关系：
Rm·Gn=2πμ，μ=0，±1， ± 2… • 推论：若两矢量点积为2π的整数倍，且其中一个矢量为正（倒）易点阵
V3
V
2
(2 )3
V
(2)V * V (2 )3
倒格基矢和正格基矢之间的几何关系？
5. 由定义可知：b1 a2 , a3;b2 a3, a1;b3 a1, a2;
• 推论：如果a1、a2、a3相互垂直，则b1、b2、b3分布平行于 a1、a2、a3，且有
2 2 2
傅里叶级数，用二维倒格子空间来表示
周期性函数展开为傅里叶级数 V (xv)
V ev iGh1h2
xv
h1, h2
h1, h2
正、倒格子之间的关系（一）
1. 由倒格子的定义，可得基本关系：
?,i j,
ai
bj
?,i
(i, j,
j
1,2,3)
正、倒格子之间的关系（一）
倒格子
韩琴 2010-3-8
Outline
• 倒格子:
• 定义 • 性质 • 例题
• 倒易点阵的意义
倒格子定义
• 晶体的几何结构形成一空间点阵，空间点阵可以由原胞的三个
基矢构建的坐标空间（r空间）来描述。由这套基矢还可以定义
三个新矢量：
b1
2
a1
a2 a3 [a2 a3]
b2
2
位矢，则另一矢量必为倒易（正）点阵的位矢。
4. 正格子原胞体积与倒格子原胞体积之积为?
A B C ( AC)B ( A B)C
(1)V
b1
(b2
b3 )
(2 )3
V3
{(a2
a3 )
[(a3
a1)
(a1
a2
)]}
(2 )3
b3
2
a1
a1 a2 [a2 a3]
一套晶格，两个点 阵
基矢
正点阵 a1,a2,a3
量纲
[长度]
倒点阵 b1,b2,b3 [长度]-1
格矢 体积
Rm=m1a1+m2a2+m3a3
Gn=n1b1+n2b2+n3b3
V=a1·[a2×a3]
V*=b1·[b2×b3]=(2π)3/V
二维倒格子
—— 晶体内部物理量：静电势能、电子云密度具有三维空 间周期性，可用傅里叶级数展开，用倒格子空间表示
—— 晶体表面上物理量具有二维空间周期性 同样可以用二维倒格子空间来表示
1. 二维倒格子与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ维布拉伐格子的关系满足
avi
v bj
2ij
2
0
(i j 1, 2) (i j)
• 在理论物理上：倒格子空间的矢量可以用来标识波矢k， 通常用波矢来描述电子在晶体中的运动状态或晶格的 振动状态。由倒易点阵基矢所张的空间称为倒易空间， 其可理解为状态空间（k空间）。
关键词
• 倒格子的定义 • 倒格子的性质(7个内容) 倒格子矢量
为
的晶面系
垂直于密勒指数
倒格子的意义
• 利用倒易点阵的概念可以比较方便地导出晶体几何学中各种重要 关系式
1. 由倒格子的定义，可得基本关系：
2 ,i j,
ai bj
0,i
j,
(i,
j
1,2,3)
2. 正格子与倒格子互为对方的倒格子。每个正点阵都有一个与之 相对应的倒易点阵，两组基矢正交归一的关系。
• 例如：面心立方点阵的倒易点阵是体心立方；体心立方点阵的倒 易点阵是面心立方。