2-1倒易点阵

正、倒格子之间的关系（二）
3. 正格矢 Rm=m1a1+m2a2+m3a3 和倒格矢Gn=n1b1+n2b2+n3b3之间满足下 列关系：
Rm·Gn=？
正、倒格子之间的关系（二）
3. 正格矢 Rm=m1a1+m2a2+m3a3 和倒格矢Gn=n1b1+n2b2+n3b3之间满足下 列关系：
Rm·Gn=2πμ，μ=0，±1， ± 2… • 推论：若两矢量点积为2π的整数倍，且其中一个矢量为正（倒）易点阵
V3
V
2
(2 )3
V
(2)V * V (2 )3
倒格基矢和正格基矢之间的几何关系？
5. 由定义可知：b1 a2 , a3;b2 a3, a1;b3 a1, a2;
• 推论：如果a1、a2、a3相互垂直，则b1、b2、b3分布平行于 a1、a2、a3，且有
2 2 2
• 在理论物理上：倒格子空间的矢量可以用来标识波矢k， 通常用波矢来描述电子在晶体中的运动状态或晶格的 振动状态。由倒易点阵基矢所张的空间称为倒易空间， 其可理解为状态空间（k空间）。
关键词
• 倒格子的定义 • 倒格子的性质(7个内容) 倒格子矢量
为
的晶面系
垂直于密勒指数
倒格子的意义
• 利用倒易点阵的概念可以比较方便地导出晶体几何学中各种重要 关系式
原胞中原子数是多少？如果黑点和白点代表同种原子，以上问题 如何回答？求其倒格子点阵。
b
a
例1：两种原子组成下图所示的二维正方格子，晶格沿水平和垂直方向的总长度分 为4cm和2cm。试回答下列问题 ： （1）在图1中画出原胞图形，取基矢；计算原胞的面积及此 晶格包含的原胞数。 （2）此晶格的倒格子基矢？画出倒格子图形，其对应的原胞面积？
2. 定义垂直于表面的单位矢量 av3
倒格子基矢
b1

2
a2 a3 a1 a2 a3
v
vv
二维倒格子矢量 Gn1n2 n1b1 n2b2
，则
b2

2
a1a3a2 a1a3
—— 所有倒格点的集合构成二维倒格子空间
—— 可以证明晶体表面二维周期性函数可以展开为
b1 a1 , b2 a2 , b3 a3 .
6. 推论：
7.
• 推出：指数小的晶面系，晶面间距较大， 原子也相应密集。这是因为单位体积中 原子数目是一定的。
• 例1：简单立方的倒易点阵是什么？ • 例2：面心立方的倒易点阵是什么？
• 例3：一维布拉伐格子的倒易点阵是什么？ • 例4：请问下图是简单格子还是复式格子，原胞是什么？基矢呢？
傅里叶级数，用二维倒格子空间来表示
周期性函数展开为傅里叶级数 V (xv)
V ev iGh1h2
xv
h1, h2
h1, h2
正、倒格子之间的关系（一）
1. 由倒格子的定义，可得基本关系：
?,i j,
ai
bj
?,i

(iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ j,
j
1,2,3)
正、倒格子之间的关系（一）
例2：六角晶系的倒格基矢？
倒格子的意义
• 利用倒易点阵的概念可以比较方便地导出晶体几何学 中各种重要关系式；
• 引入倒格子，可方便地把三维周期函数展开成傅里叶 级数；
• 在实验上：由晶体的X射线衍射图样（与晶面族亦即倒 格矢有关)-->可分析出倒格矢->倒格子结构->求出晶 体的(正格子)结构；
位矢，则另一矢量必为倒易（正）点阵的位矢。
4. 正格子原胞体积与倒格子原胞体积之积为?
A B C ( AC)B ( A B)C
(1)V


b1

(b2
b3 )

(2 )3
V3
{(a2

a3 )
[(a3

a1)
(a1

a2
)]}

(2 )3
1. 由倒格子的定义，可得基本关系：
2 ,i j,
ai bj

0,i
j,
(i,
j
1,2,3)
2. 正格子与倒格子互为对方的倒格子。每个正点阵都有一个与之 相对应的倒易点阵，两组基矢正交归一的关系。
• 例如：面心立方点阵的倒易点阵是体心立方；体心立方点阵的倒 易点阵是面心立方。
• 在实验上：由晶体的X射线衍射图样（与晶面族亦即倒格矢有关)->可分析出倒格矢->倒格子结构->求出晶体的(正格子)结构
• 在数学上：把任意周期函数Γ(r)进行傅里叶展开：
• 在理论物理上：倒格子空间的矢量可以用来标识波矢k，通常用波 矢来描述电子在晶体中的运动状态或晶格的振动状态。由倒易点 阵基矢所张的空间称为倒易空间，其可理解为状态空间（k空间）。
a3 a1 a1 [a2 a3 ]
b3

2
a1
a1 a2 [a2 a3]
• 称为倒格子基矢量。这三个基矢不共面，因而定义了一个称为 倒易点阵(reciprocal lattice)或倒格子的新点阵。
b1

2
a1
a2 a3 [a2 a3]
b2

2
a1
a3 a1 [a2 a3]
—— 晶体内部物理量：静电势能、电子云密度具有三维空 间周期性，可用傅里叶级数展开，用倒格子空间表示
—— 晶体表面上物理量具有二维空间周期性 同样可以用二维倒格子空间来表示
1. 二维倒格子与二维布拉伐格子的关系满足
avi
v bj

2ij

2
0
(i j 1, 2) (i j)
倒格子
韩琴 2010-3-8
Outline
• 倒格子:
• 定义 • 性质 • 例题
• 倒易点阵的意义
倒格子定义
• 晶体的几何结构形成一空间点阵，空间点阵可以由原胞的三个
基矢构建的坐标空间（r空间）来描述。由这套基矢还可以定义
三个新矢量：
b1

2
a1
a2 a3 [a2 a3]
b2

2
b3

2
a1
a1 a2 [a2 a3]
一套晶格，两个点 阵
基矢
正点阵 a1,a2,a3
量纲
[长度]
倒点阵 b1,b2,b3 [长度]-1
格矢 体积
Rm=m1a1+m2a2+m3a3
Gn=n1b1+n2b2+n3b3
V=a1·[a2×a3]
V*=b1·[b2×b3]=(2π)3/V
二维倒格子