常微分方程的大致知识点上课讲义

常微分方程的大致知

识点

常微分方程的大致知识点

（一）初等积分法

1、线素场与等倾线

2、可分离变量方程

⎰⎰=⇒=dx x g dy y h y h x g dx dy )()

(1)()( 3、齐次方程（一般含有x

y y x 或的项） )(),(),(u g ux x f y x f dx

dy === 4、一阶线性非齐次方程

⇒+=)()(x b y x a dx

dy 常数变易法，或])([)()(⎰+⎰⎰

=-C dx e x b e y dx x a dx x a

5、伯努力方程 )()()()(1x b y x a dx

dy y y x b y x a dx dy n n n +=⇒+=-- 令n y z -=1，则dx

dy y n dx dz n

--=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程

0),(),(=+dy y x N dx y x M 若x

N y M ∂∂=∂∂，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若

x N y M ∂∂≠∂∂，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程

)(2

2x f dx y d = ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx

y d p dx dy ==22,则 ),(2

2dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族

（二）毕卡序列

⎰+=x x dx y x f y y 0),(001，⎰+=x x dx y x f y y 0),(102，⎰+=x

x dx y x f y y 0),(203，其余类推

（三）常系数方程

1、常系数齐次0)(=y D L

方法：特征方程

单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+=

单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+=

重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+=

重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=

2、常系数非齐次)()(x f y D L =

方法：三部曲。

第一步求0)(=y D L 的通解Y

第二步求)()(x f y D L =的特解*y

第三步求)()(x f y D L =的通解*y Y y +=

如何求*y ？

当x m e x P x f α)()(=时，=*y x m k e x Q x α)(

当vx e x Q vx e x P x f ux m ux m sin )(cos )()(+=时，=*y )sin )(cos )((vx x S vx x R e x m m ux k + 当)(x f 是一般形式时，=

*y ξξξξd f W x W x

x )()(),(0⎰，其中W(.)是郎斯基行列式

（四）常系数方程组

)()(t f X t A dt

dX +=

方法：三部曲。 第一步求

X t A dt

dX )(=的通解，C t )(Φ。利用特征方程0=-I A λ，并分情况讨论。 第二步求)()(t f X t A dt

dX +=的特解，⎰-ΦΦds s f s t )()()(1，（定积分与不定积分等价） 第三步求)()(t f X t A dt dX +=的通解，⎰-ΦΦ+Φds s f s t C t )()()()(1

（五）奇点与极限环

1、分析方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dy cx dt dy by ax dt dx 的奇点的性质，用特征方程：0=-I A λ

特征方程的根有3种情况：相异实根、相异复根、相同实根。 第一种情况：相异实根，21λλ≠

当0,021><λλ，鞍点，图像

当0,021<<λλ，稳定结点，图像

当0,021>>λλ，不稳定结点，图像

第二种情况：相异复根，βαλ+=1i ，βαλ-=2i

当0=α，中心，图像

当0<α，稳定焦点，图像

当0>α，不稳定焦点，图像

第三种情况：相同实根，λλλ==21

当c b ,同时为0时，如果0>λ，不稳定临界结点，图像 如果0<λ，稳定临界结点，图像

当c b ,不同时为0时，如果0>λ，不稳定退化结点，图像 如果0<λ，稳定退化结点，图像

2、方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x Y dt dy y x X dt dx 的奇点的性质，Perron 定理

3、方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x Y dt

dy y x X dt dx 的极限环的性质，引入极坐标⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 讨论