抛物型方程差分法
用向后euler法求三维抛物型方程的adi差分格式
文章标题：向后Euler法在三维抛物型方程中的应用及ADI差分格式探讨在数学和科学计算领域，求解三维抛物型方程是一个重要且复杂的问题。
本文将从数值方法的角度出发，讨论如何使用向后Euler法来求解三维抛物型方程，并探讨ADI差分格式在该过程中的应用。
1. 三维抛物型方程的数值求解在数学建模和科学计算中，三维抛物型方程的数值求解是一个广泛应用的问题。
三维抛物型方程一般具有形如$\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot (D\nabla u) + f$的形式，其中$D$为扩散系数，$f$为源项函数。
由于方程复杂性，传统的解析方法难以得到精确解，因此需要借助数值方法来进行求解。
2. 向后Euler法向后Euler法是一种常用的数值方法，用于离散化时间导数。
其基本思想是将时间导数用差分近似替代，通过迭代计算得到时间步数上的解。
对于三维抛物型方程，可以将时间方向的偏导数用向后Euler法进行离散化，从而得到数值解。
3. ADI差分格式ADI（Alternating Direction Implicit）差分格式是一种常用的隐式差分方法，用于求解多维偏微分方程。
其核心思想是将多维偏微分方程拆分为一维方程的求解，通过交替方向隐式差分得到整体方程的数值解。
在三维抛物型方程的求解中，ADI差分格式能够有效地提高计算效率和数值稳定性。
4. 主题回顾与总结通过本文的介绍，我们了解了向后Euler法在三维抛物型方程求解中的重要性和应用。
ADI差分格式作为一种高效的数值方法，为复杂方程的求解提供了可行的途径。
对于三维抛物型方程，我们可以利用向后Euler法结合ADI差分格式，得到高质量、深度和广度兼具的数值解。
5. 个人观点与理解在数值计算中，选择合适的数值方法对于求解复杂方程至关重要。
向后Euler法作为一种简单而有效的数值方法，为我们提供了一种直观且可行的思路。
而ADI差分格式则在多维问题的求解中发挥着重要作用，其交替方向求解的思想能够有效地提高计算效率和数值稳定性。
抛物型方程的有限差分法
令
L(h3
)
u
k j
uk1 j
u
k j
a
[
uk1 j1
2
2u
k j
1
h2
uk 1 j 1
uk j1
2u
k j
h2
uk j 1
]
将截断误差
R
k j
(u)
L(h3)u( x j , tk
)
[Lu]kj
于(
x
j
,
t
k
1
2
)(tk 1 2
(k
1 )
2
)展 开 ， 则 得
R
k j
(u)
0(
2
h2
).
(1.9)
j
k1
k1
k1
k
k
k
j1
j
j1
j1
j
j1
2
h2
h2
j
u0 ( x ), uk uk 0 ,
j
j
j
0
N
( 1.8 ) 2
( 1.8 ) 1
将(1.8)1改 写 为
r 2
uk1 j1
(1
r
)u
k j
1
r 2
uk 1 j 1
r 2
uk j1
(1
r
)u
k j
1
r 2
uk j 1
fj
(1.8)1
u(
t x,0)
a x2
(x),
f (x), 0 x
0 l
t
T (1.3)1
u(0,
t)
u(l, t)
0,
抛物型方程的差分方法
抛物型方程的差分方法抛物型方程是描述物理现象中的薄膜振动、热传导、扩散等过程的方程，具有非常重要的应用价值。
差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解微分方程，对于抛物型方程的数值求解也是非常有效的方法之一、本文将介绍抛物型方程的差分方法，并具体讨论用差分方法求解抛物型方程的一些具体问题。
首先，我们来介绍一下抛物型方程的一般形式。
抛物型方程一般可以表示为：∂u/∂t=α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u(x,y,t)是待求函数，t是时间，x和y是空间变量，α是常数。
这个方程描述的是物理过程中的扩散现象，如热传导过程、溶质的扩散过程等。
差分方法的基本思想是将求解区域离散化为一个个网格点，然后在每个网格点处用近似的方式来计算待求函数的值。
差分方法的求解步骤主要包括以下几个方面：1.选择适当的网格和步长。
在求解抛物型方程时，需要确定空间变量x和y所在的网格点以及步长，同时也需要确定时间变量t所在的网格点和步长。
通常，我们会选择均匀网格，步长选择合适的值。
2.建立差分格式。
差分格式是差分方法的核心部分，它包括对方程进行近似处理和离散化。
对于抛物型方程，常用的差分格式有显式差分格式和隐式差分格式等。
其中，显式差分格式的计算速度快，但是有一定的稳定性限制，而隐式差分格式的稳定性较好，但是计算量较大。
因此，在具体问题中需要根据实际情况选择适当的差分格式。
3.编写计算程序。
在建立差分格式后，需要编写计算代码来求解离散方程。
具体编写的过程包括定义初始条件、建立迭代计算过程、以及计算结果的输出等。
4.计算结果的验证与分析。
求解方程后，需要对计算结果进行验证和分析，主要包括对数值解和解析解的比较、对误差的估计和控制等。
在具体求解抛物型方程时，还会遇到一些问题，例如边界条件的处理、稳定性和收敛性的分析等。
下面将对其中一些问题进行详细讨论。
1.边界条件的处理。
边界条件对差分格式的求解结果有着重要的影响，常见的边界条件包括固定端（Dirichlet）边界条件和自由端（Neumann）边界条件等。
10_抛物型方程的有限差分方法
10_抛物型方程的有限差分方法抛物型方程是一类常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学和工程学的领域中。
有限差分方法是一种常用的数值求解抛物型方程的方法之一、本文将介绍抛物型方程的有限差分方法（II）。
有限差分方法主要基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，进而求解差分方程的数值解。
对于抛物型方程，其一般形式可以表示为：∂u/∂t=Δu+f(x,t)其中，u(x, t)是未知函数，表示空间位置x和时间t上的解，Δu表示Laplace算子作用于u的结果，f(x, t)是已知函数。
有限差分方法的基本思想是将空间和时间域进行离散化，将连续的空间和时间划分为有限个网格点，然后使用差分近似代替偏导数，得到差分方程。
假设空间域被划分为Nx个网格点，时间域被划分为Nt个网格点，对于每个网格点(i,j)，可以表示为(x_i,t_j)，其中i=0,1,...,Nx，j=0,1,...,Nt。
在有限差分方法中，我们使用中心差分近似来代替偏导数。
对于时间导数，可以使用向前差分或向后差分，这里我们使用向前差分，即：∂u/∂t≈(u_i,j+1-u_i,j)/Δt对于空间导数，可以使用中心差分，即：∂^2u/∂x^2≈(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2将上述差分近似代入抛物型方程中，可以得到差分方程的离散形式：(u_i,j+1-u_i,j)/Δt=(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2+f_i,j其中，f_i,j=f(x_i,t_j)。
重排上式，可以得到递推关系式：u_i,j+1=αu_i-1,j+(1-2α)u_i,j+αu_i+1,j+Δt*f_i,j其中，α=Δt/Δx^2通过设置初始条件和边界条件，可以利用以上递推关系式得到抛物型方程的数值解。
总结来说，抛物型方程的有限差分方法（II）是一种常用的数值求解抛物型方程的方法。
它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，然后利用中心差分近似代替偏导数，得到差分方程的离散形式。
一类二维抛物型方程的有限差分方法
２０１３ 正 ５月
高 师 理 科 学 刊
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
文章编 号 ：１００７—９８３１（２０１３）０３—０００７—０２
Ｖｏ１．３３ ＮＯ．３ Ｍａｙ ２０１３
一 类二维抛物 型方程 的有 限差分方法
０ｕ ａ Ｕ ａ Ｕ
＿ — ＋’ — ＋‘ ＣＵ
， Ｙ，ｆ）∈
ｕ（ｘ，Ｙ， ０）＝ｏ（ｘ， ） ０ ，Ｙ≤ １ ｕ（Ｏ，Ｙ，ｆ）＝ （ｙ，ｆ） ０ Ｙ≤１： ０ ｔ Ｔ ｕ（１，Ｙ，ｆ）＝ｒＰ２（Ｙ，ｆ） ０≤ Ｙ １： ０≤ｔ Ｔ ｕ（ｘ， ０，ｆ）＝ｏ）１（ ，ｆ） ０ ≤１： ０≤ｔ Ｔ ｕ（ｘ， １，ｆ）＝ ！（ ，ｆ） ０ ≤１： ０≤ ｔ≤Ｔ
其中：Ｕ ｏ＝ ； 最 ＝ 一 ； ：， ＝仍； ＝ｑ； ＝ ．
２ 稳定性分析
采用 Ｖｏｎ Ｎｅｗｍａｎｎ方法ｕｐ 对式 （３）进行稳定性分析． ＼、 ●● ＿、、
令 ＝ ｅ ‘属肌岛 ＋ ，代人差分格式 （３），得
Ｄ ，Ｊ ＿
［１＋２ｒ一一ｌ２ｃｋ １ ｒ、２（ｌ ， ｅ堋）］箭 ＝ｆ１＿２ｒ＋＿１ 十＿１ｒ（
收 稿 日期 ：２０１３－－０１—２０ 基金项 目：安徽省教育厅 自然科学基金重点项 目 （ＫＪ２０１０Ａ２２４）；安庆师范学院青年科研基金项 目 （ＫＪ２０１０２０） 作 者 简介 ：舒 阿秀 （１９７７一），女 ，安徽 旌德 人 ，副教 授 ，硕 士 ，从 事偏 微分 方程 数值 解 研究 ．Ｅ—ｍａｒｌ
Ａ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｔｗｏ－ｄｉｍ ｅｎｓｉｏｎａｌ ｐａｒａｂｏｌｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ
偏微分方程数值解法抛物型方程差分法PPT课件
C-N 格式矩阵形式
[(1 ra2 )I ra 2 C]uk1
2 [(1 ra2 )I
ra 2
C ]uk
(fk
f k1 )
2
2
H [(1 ra2 )I ra2 C]1[(1 ra2 )I ra2 C]
2
2
特征值
j
(1 (1
ra2 ) ra2 )
ra 2 ra 2
cos(j cos(j
j
/
2(n
1))
|
(H) 1
C-N 格式是无条件稳定的.
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数值实验题 用三种差分格式求 初边值问题数值解
ut uxx , 0 x 1, t 0
u( x,0) si nx, 0 x 1
u(0, t ) u(1, t ) 0, t 0
并与准确解比较
u(x, t) exp( 2t)sin x
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感谢您的观看！
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显格式 隐格式
1
[ukj
1
ukj ]
a2 h2
2 x
ukj
1
[ukj
1
ukj ]
a2 h2
u2 k1 xj
C-N格式
1
[ukj
1
ukj ]
a2 2h2
2 x
(ukj
1
ukj )
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数值计算实验
显格式: input T:=1 error = 7.9443e-006 k = 200
其中 M 与 无关. k > k0
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简单显式差分格式
uk1 j
(1
抛物方程的向前向后差分格式例题
抛物方程的向前向后差分格式例题抛物方程是描述物体受重力影响下的运动的数学模型，它在物理学和工程学中有着广泛的应用。
而求解抛物方程的数值方法中，向前差分和向后差分是最常用的两种格式之一。
向前差分格式是一种一阶时间导数的数值逼近方法，它将时间上的变化分为离散的小步长，并根据当前时刻的值和之前时刻的值来逼近下一个时刻的值。
其数值逼近公式可以表示为：u_i^{n+1} = u_i^n + alpha(u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n)其中，u_i^{n+1}表示网格点(i,n+1)处的解值，u_i^n表示网格点(i,n)处的解值，u_{i+1}^n和u_{i-1}^n分别表示网格点(i+1,n)和(i-1,n)处的解值，alpha是时间步长与空间步长的比值。
向后差分格式则是一种一阶时间导数的数值逼近方法，它与向前差分格式相比，将当前时刻的值和之后时刻的值来逼近下一个时刻的值。
其数值逼近公式可以表示为：u_i^{n+1} = u_i^n + alpha(u_{i+1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} +u_{i-1}^{n+1})其中，u_{i+1}^{n+1}和u_{i-1}^{n+1}分别表示网格点(i+1,n+1)和(i-1,n+1)处的未知解值，而u_i^{n+1}表示网格点(i,n+1)处的解值。
为了更好地理解这两种差分格式的应用，下面举一个例题：考虑一个一维热传导问题，其抛物方程可以表示为：frac{partial u}{partial t} = kfrac{partial^2 u}{partialx^2}其中，u是温度分布关于时间和空间的函数，k是热导率。
假设我们要求解在0≤x≤1的区域上的温度分布，且边界条件为u(0,t)=u(1,t)=0。
初始条件为u(x,0)=f(x)，其中f(x)是已知的初始温度分布。
我们可以使用向前差分或者向后差分格式来求解该问题。
有限差分法求解抛物型方程说明
有限差分法求解抛物型方程偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例.§1 差分方法的基本思想有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组.有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式.泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式.首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记0()(), =0,1,2,i i u x u x ih u i =+=图1 单变量函数离散化函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++++ （1）或23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''-=-+-+ （2）式(1)和(2)重新整理可得2()()()()()2!3!i i i i i u x h u x u x u x u x h h h '''''+-'=---（3）和2()()()()()2!3!i i i i i u x u x h u x u x u x h h h '''''--'=+++（4）于是给出在点i x 处函数u 的一阶导数的两个近似公式1()()()i i i ii u x h u x u u u x h h ++--'≈= （5）1()()()i i i i i u x u x h u u u x h h----'≈= （6）因为级数被截断，这两个近似公式肯定要产生误差，此误差与h 同阶，形式分别为()(), ,2()(), .2i i i i i i hE u O h x x h hE u O h x h x ξξξξ''=-=≤≤+''==-≤≤ 若把式(3)和(4)相加并求()i u x '，可得11()()()22i i i i i u x h u x h u u u x h h+-+---'≈= （7）其截断误差与2h 同阶，形式为22()(), ,6i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+若把式(3)和(4)相减并求()i u x ''，可得1122()2()()2()i i i i i i i u x h u x u x h u u u u x h h +-+-+--+''≈= （8）其截断误差与2h 同阶，其形式为22()(), ,12i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+我们可继续用这种方式来推导更复杂的公式，类似的公式还有很多，这里不再一一列举.公式（5）、（6）分别称为一阶向前、向后差分格式，这两种格式具有一阶计算精度，公式（7）、（8）分别称为一阶、二阶中心差分格式，这两种格式具有二阶计算精度.图2 二维区域网格剖分上面的结果可直接推广使用于导出二元函数(,)u x y 的许多有限差分近似公式.如图7.2，把求解区域进行网格剖分，使12(,)(,), ,=0,1,2,i j ij u x y u ih jh u i j ==其中x 方向的网格间距为1,h y 方向的网格间距为2,h 整数i 和j 分别表示函数(,)u x y 沿x 坐标和y 坐标的位置.二元函数(,)u x y 对x 求偏导时y 保持不变，对y 求偏导时x 保持不变，根据向前差分公式（7.5）可以给出在点(,)i j x y 处函数(,)u x y 的一阶偏导数的两个近似公式1,,1(,)i j i j i ju x y u u xh +∂-≈∂ （9）,1,2(,)i j i j i ju x y u u yh +∂-≈∂ （10）相类似地，根据二阶中心差分格式（8）可以得到函数(,)u x y 的二阶偏导数的近似公式21,,1,221(,)2i j i j i j i ju x y u u u x h +-∂-+≈∂ （11）2,1,,1222(,)2i j i j i j i j u x y u u u yh+-∂-+≈∂ （12）下面我们推导函数(,)u x y 的二阶混合偏导数2ux y∂∂∂在(,)i j x y 的有限差分表达式.根据一阶中心差分格式（7），112111,11,11,11,122121221,11,1(,)(,)(,)1()21 ()()222 i j i j i j i j i j i j i j i j i j i u x y u x y u x y O h x y h y y u u u u O h O h h h h u u u +-+++--+--+++-∂∂∂⎡⎤⎡⎤∂=-+⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦--⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦--≈1,11,1124j i j u h h -+--+二维有限差分近似可以直接推广到三维空间或三维空间加一维时间的情形.定义1 当步长趋于零时，差分方程的截断误差趋于零，则称差分格式与微分方程是相容的.定义2 当步长趋于零时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分格式是收敛的. 定义3 当差分方程的解由于舍入误差的影响，所产生的偏差可以得到控制时，则称差分格式是稳定的.§2 抛物型方程的有限的差分法为了说明如何使用有限差分法来求解偏微分方程，本节我们给出以下几个数值实例.算例1 考虑一维非齐次热传导方程的初边值问题：2212(,), 01,01,(,0)(), 01,(0,)(), (1,)(), 0 1.u ua f x t x t t x u x q x x u t g t u t g t t ⎧∂∂=+<<<≤⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==<≤⎪⎪⎩(7.13),其中2,a =函数11(,)[cos()2sin()],22xf x t e t t =--+-初始条件1()sin,2xq x e =左、右边界条件分别为11()sin(),2g t t =-21()sin()2g t e t =-.该定解问题的解析解为1(,)sin(),(,)[0,1][0,1].2xu x t e t x t =-∈⨯将求解区域{(,)|,0}x t a x b t T Ω=≤≤≤≤进行网格剖分，[,]a b 作m 等分，[0,]T 作n 等分，记,,b a Th m nτ-==则 ,0,,0i k x a ih i M t k k n τ=+≤≤=≤≤对该问题建立如下向前差分格式：11122, 11, 11,k kk k k k i i i i i i u u u u u a f i m k n hτ+-+--+=+≤≤-≤≤-（14） (,0)(),1,i i u x q x i m =≤≤ （15） 12(,)(), (,)(),1.k k k k u a t g t u b t g t k n ==≤≤ （16）令2r ah τ=，差分格式（7.14）整理得111(12), 11, 1 1.k k k k k i i i i i u ru r u ru f i m k n τ+-+=+-++≤≤-≤≤- （17）显然时间在1k t +上的每个逼近值可独立地由k t 层上的值求出。
二维抛物方程的有限差分法
二维抛物方程的有限差分法二维抛物方程的有限差分法摘要二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。
有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。
本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。
首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。
讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。
其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。
进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。
并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。
通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。
关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式FINITE DIFFERENCE METHOD FORTWO-DIMENSIONAL PARABOLICEQUATIONAbstractTwo-dimensional parabolic equation is a widely used class of partial differential equations. Because this kind of equation is so complex, we consider numerical methods instead of obtaining analytical solutions. finite difference method is the most simple and extremely important numerical methods for differential equations. The paper introduces the finite difference method fortwo-dimensional parabolic equation.Firstly, this paper introduces the background and common numerical methods for Parabolic Equation, Background and development of applications. Discusses the basement for the establishment of the finite difference method for parabolic equation And describes the convergence and stability for finite difference method.Secondly, Introduces some of the more common simple differential format,for example, the classical explicit scheme, the classical implicit scheme, Crank-Nicolson implicit scheme, Douglas difference scheme, weighted six implicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper focuses on the classical explicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper takes discusses the derivation convergence,and stability of the format . The paper takes And the heat conduction equation for the numerical example, using the differential method to solve. Through numerical examples, the classical explicit scheme is relatively simple for calculation, with more stringent stability conditions; and alternating direction implicit scheme is unconditionally stable.Keywords:Two-dimensional Parabolic Equation; Finite-Difference Method; Eclassical Explicit Scheme; Alternating Direction Implicit Scheme目录摘要........................................................................................................................... .. (I)Abstract .............................................................................................................. ............................ II 1绪论. (1)1.1课题背景 (1)1.2发展概况 (1)1.2.1抛物型方程的常见数值解法 (1) 1.2.2有限差分方法的发展 (2)1.3差分格式建立的基础 (3)1.3.1区域剖分 (3)1.3.2差商代替微商 (3)1.3.3差商代替微商格式的误差分析 (4) 1.4本文主要研究容 (5)2显式差分格式 (7)2.1常系数热传导方程的古典显式格式 (7) 2.1.1古典显式格式格式的推导 (7)2.1.3古典显式格式的算法步骤 (8)3隐式差分格式 (10)3.1古典隐式格式 (10)3.2 Crank-Nicolson隐式格式 (12)3.3 Douglas差分格式 (13)3.4加权六点隐式格式 (14)3.5交替方向隐式格式 (15)3.5.1 Peaceman-Rachford格式 (15) 3.5.2 Rachford-Mitchell格式 (15)3.5.3 Mitchell-Fairweather格式 (15) 3.5.4交替方向隐式格式的算法步骤 (16) 4实例分析与结果分析 (17)4.1算例 (17)4.1.1已知有精确解的热传导问题 (17) 4.1.2未知精确解的热传导问题 (19)4.2结果分析 (20)5稳定性探究与分析 (21)5.1稳定性问题的提出 (21)5.2 几种分析稳定性的方法 (21)5.3 r变化对稳定性的探究 (23)5.3.1 古典显式格式的稳定性 (23)5.3.2 P-R格式格式的稳定性 (24)结语 (26)参考文献 (27)附录P-R格式的C++实现代码 (28)致谢 (30)1绪论1.1课题背景抛物方程是一类特殊的偏微分方程，二维抛物方程的一般形式为u Lu t=? (1-1) 其中1212((,,))((,,))(,,)(,,)(,,)u u u u u u L a x y t a x y t b x y t b x y t C x y t x x y y x y=++++ 120,0,0a a C >>≥。
实验六 抛物型方程差分解法
1
五、实验结果 利用最简单显格式 求得结果为：当 h=0.1，r=0. 1 时，计算结果如下：
u ( 0 . 2 , 0 . 02 ) u ( 0 . 5 , 0 . 05 ) u ( 0 . 8 , 0 . 08 )
当 h=0.2，r=0. 1 时，计算结果如下：
u ( 0 . 2 , 0 . 02 ) u ( 0 . 8 , 0 . 08 )
r *u
k j 1
(1 2 r ) * u
k j
r *u
k j 1
2）编写程序，实现相应的算法，解出具体结果。 利用边界条件，程序同样最终转化为设计求解一个线性代数方程组的问题， 下面用 C 语言编写利用最简显格式来求解抛物型方程： 求解线性方程组的源代码。 四、实验源代码 #include<stdio.h> #include<math.h> main() { int i,j; double a[11][101]; for(i=0;i<=10;i++)
u t u
2
x
2
;
0 x 1的
微分方程数值解实验讲义 a[i][0]=sin(0.314159*i); for(j=0;j<=100;j++) { a[0][j]=0; a[10][j]=0; } for(j=1;j<=100;j++) for(i=1;i<=9;i++) a[i][j]=0.1*a[i+1][j-1]+0.8*a[i][j-1]+0.1*a[i-1][j-1]; printf("%lf &#算结果分析 利用向前差分格式求解初值问题的解程序设计比较简单，在程序设计时，向 前差分格式的源代码也比较简单。当步长取得比较小的情况下，能够达到精度的 要求，但是当步长变小时候计算量增大。
一类四阶半线性抛物型方程的有限差分方法
（ 器） ＋ （
ｃｌ ｌ
一） 。 ≤ ： 一］
Ｉ ×
ｌ ｌ ｌ ｆ＋ △ ｌｌ ｌ
ＲＩ （ “ ＋ｃ Ｉ
６ 一
＝∑ ｌ 一 ｌ ； ６ Ｊ １ ＝
Ｉ Ｉ ２ 靠ｌ ？ ＋ 一 Ｉ ｌｌ Ｉ
；Ｉ ；ｌ ２ 一 一 ～ Ｉ 。 ｌ
第 ８卷
第２ ３期
２０ ０８年 １ ２月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖｏ＿ Ｎｏ ２ ｌ８ ．３
Ｄｅ ． ２ ０８ ｃ ０
１７ —８ ９ ２０ ）３６ ２ —３ ６ １ １１ （０ ８ ２ —３ １０
Ｓ ｉｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｎ ｃ ｅ ｃ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ａ ｄ Ｅ ｇｎ ｅｉ ｇ
６＋ ＝ ＋ ６一 － Ｌ
，
＿ ， ， ， 一ｌ 『 ＝ｌ ２ … － ； ，
Ｇ ｌｋｉ ｖ和 Ｐ ｈ ｚｅ 讨 论 了 下 述 方 程 的 ａ ｔｎ ａ ｏ ｏｏａｖ
Ｃ ｕｈ （Ｚ ， ａ ｃｙ ／ ＞１Ｐ＞１ 问题 ： ／ ＇ ） 艿 ＝ √＝ ， ， ， 一 ； 。 ｌ … － ２ ，
关键词 四阶抛物方程
中图法分类号
Ｏ ４ ．２ ２ １８ ；
文献标志码
Ａ
本文研究 文献 ［ ］ ｕ＝ 时 的 四阶半 线 性抛 １ 中“ ” 物 型方程 的初 边值 问题 。 ｆ ＋ ｌ／ Ｉ， ｔ ∈ ×（ ， ］ ｚＺ ＝Ｉ （ ） ｐ ， ０Ｔ ，
区间［ ， ］ －等 分 ， 长 ＝ 满 足 △ ＝Ｏ（ ； ０１作 ， 步 ￡ ｈ ）
＋ ＝
＿ 。
，
＝
０， ， ， １… ． ，一１ ；
2.2 抛物型方程的差分解法
u ( j 1, n) 2u ( j , n) u ( j 1, n) u 2h 4 ( j , n) u ( j , n) 2 2 4 h 2 t 4! x
n
（8）
0
Lu j
n
Lh, u j R j n
式中：
2 4 2 2 h 2 Rn u ( j , n ) u ( j , n ) O ( h ) j 4 2 4! x 2 t
(backward space difference) (backward time difference)
u n j
（3）一阶中心差分（central difference）
hu
n j
un 1 un
j 2
j
1 2
h
u
n j
uj
n
1 2
uj
n
1 2
1 n 1 un u j j
n
（22）
n+1 n
j-1
j
j+1
注意：
① 泰勒展开点在格边上，不是在结点上，但在格式中未出现格边量。 ② ③
O( 2 h2 ) ——全二阶精度。 1 在 ( j, n ) 点展开时，用到了周围6个结点上的量，该格式又称为六点格式。 2 Rj
2u idea：是将微分方程中的 2 项以 u ( x, t ) x
u j n1 u j n 1 2
u j 1n 2u j n u j -1n h2
0 (23)
(24)
u j n1 2r(u j 1n - 2u j n u j 1n ) u j n1
抛物型方程有限差分法
抛物型方程有限差分法1. 简单差分法考虑一维模型热传导方程(1.1) )(22x f xua t u +∂∂=∂∂，T t ≤<0 其中a 为常数。
)(x f 是给定的连续函数。
（1.1）的定解问题分两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：（1.2） ()()x x u ϕ=0,, ∞<<∞-x第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：()13.1 ()()x x u ϕ=0,,l x l <<-及边值条件()23.1 ()()0,,0==t l u t u ，T t ≤≤0假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h =为空间步长，MT=τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τk y y k ==, ()M k ,,1,0Λ=将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。
其中 ()j i y x ,表示网格节点；h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。
k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。
注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)kj k ju u x t t t ∂∂⎛⎫≡ ⎪∂∂⎝⎭）：可得到以下几种最简差分格式 （一） 向前差分格式()24.1 ()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=kN u =0其中1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ。
抛物型方程的差分方法
tn nk xm mh
n
0,1,2,
,
N;
N
T k
m 0,1,2,
在 t 0上的结点称为边界结点，属于 内的结点 称为内部结点。
对于初边值问题，设 (x,t) | 0 x 1,0 t T
，则网格是
tn nk xm mh
n
0,1,2,
,
N;
N
T k
m 0,1,2, , M ; Mh 1
u(0,t) 1(t),u(1,t) 2 (t) 0 t T (2.4)
2.1 差分格式建立的基础
为了构造微分方程(2.1)的有限差分逼近，首 先将求解区域用二组平行于t 轴和 x轴的直线构 成的网格覆盖，网格边长在方向 t为 t k，在 x 方向为x h (如图2.1所示)。h,k分别称为空间方向 和时间方向的步长，网格线的交点称为网格的结 点。对初值问题来说，网格是
4x
umn
2 x
3 x
11 12
3x
umn
2 x
1 12
4 x
1 90
6 x
umn
(2.19.1)
(2.19.2)
(2.19.3)
返回 返回 35 42
对于三阶、四阶偏导数的差分表达式为
h3
(
3u x3
)nm
3x 3x
3 2
4x
3 2
4 x
7 4 7 4
5x
5 x
umn umn
(2.20.1) (2.20.2)
)U
n m
代入
2 x
的表达式，则得差分方程
(2.28)
古典显式差分格式
U
n1 m
rU
抛物型和双曲型微分方程方程的差分方法
抛物型和双曲型微分方程方程的差分方法双曲型微分方程的解，对求解区域内一点(慜，惭)而言，在初值区域内有一个依赖域,差分方程也是如此,对于差分方程(6),点(jΔx,nΔt)的依赖域是初值线上区间【(j-n)Δx,jΔx】。
如令Δt/Δx=r=常数,慜=jΔx,惭=nΔt，则差分方程(6)在点(慜,惭)的依赖域为【慜-a惭/r，慜】,并且步长比r固定时，依赖域与Δx，Δt无关。
差分方程(9)在(慜,惭)的依赖域是【慜-a惭/r,慜+a惭/r】，而差分方程(11)的依赖域则是【慜，慜+│a│惭/r】,R.库朗等人曾经证明，差分格式收敛的一个必要条件是差分方程的依赖域应包含微分方程的依赖域，这个条件叫作"库朗条件"。
从图3中可以看到，对于差分方程(6)，这个条件是慜-a惭/r≤慜-a惭≤慜，即对于格式(9)，库朗条件是,两者不同。
对于格式(11),库朗条件是慜≤慜-a惭≤慜+│a│惭/r；在a>0时,显然不能成立,所以格式(11)当a>0时不收敛，因而也是无用的。
格式(6)a>0在而库朗条件满足时，的确是收敛的。
因为的离散化误差适合由此可知：又因差分格式与微分方程的初值相同，于是可知：这说明条件满足时，格式(6)收敛。
如果a<0，格式(6)不收敛。
但当时，格式(11)收敛。
这两个格式称为"迎风格式",因为a>0时，用向后差商代替,往上风取近似值；当a<0时则用向前差商代替,也是往上风取近似值。
可见作(1)的差分格式时，要考虑波的传播方向。
⑤差分格式的稳定性用一个差分格式计算时，初值的误差必然要影响到以后各层。
通常希望这误差的影响不会越来越大，以致完全歪曲了差分方法的真解，这便是稳定性问题。
讨论时，常把问题化简，设初值有误差ε，而以后的计算并不产生误差,由于误差ε，使变成了+ε，但+ε仍满足所适合的差分格式。
定义一种衡量t=tn层格点上ε的大小的所谓范数‖ε‖，若有常数K>0使当Δt、Δx→0而0≤t=nΔt≤T时，恒有‖ε‖≤K‖ε‖,则称此差分格式是稳定的。
3-抛物型方程的差分方法
，则退化为古典隐式格式；
(3)取 1/ 2 ，则退化为Crank-Nicholson六点格式
为了提高对时间的截断误差，可用中心差分
u
n 1 j
u
n 1 j
2
a
u
n j 1
2u u h
n j 2
n j 1
0
Richardson格式，它是二阶精度的三层显式格式。 通过将其化为等价的二层差分格式，可给出其增 长矩阵为
n u1n u1n 1 au0 n n 1 u2 0 u2 n n 1 u u 0 3 3 n n 1 a u N 2 u N 2 u n u n 1 au n 1 2a N 1 N 1 N
u 2u 0 x 1, t 0 t a x 2 , u ( x, 0) ( x), 0 x 1 u / x u t0 x0 g1 (t ), t0 u / x u x 1 g 2 (t ),
古典显式格式
u
截断误差是 增长因子是
n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
2u u h
n j 2
n j 1
0
T O( h2 )
kh G( , k ) 1 4a sin 2 其中网格比 / h2
2
稳定性条件是
1 a 2
古典隐式格式
n 1 un u j j
0
a 0 0
a 0
如用Crank-Nicholson六点格式 n n n n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 a u (1 a ) u a u u a ( u 2 u u j 1 j j 1 j j 1 j j 1 ) 2 2 2 可得如下代数方程组
偏微分方程数值解法(抛物型方程差分法)1
简单显式差分格式
1 k 2 k k k k uk u ra ( u 2 u u ) f j j j 1 j j 1 j 1 k 2 k k k uk ( 1 2 ra ) u ra ( u u ) f j j j 1 j 1 j
k k k k T uh [u1 u2 un ]
写成矩阵形式.
16/15
2. 分析对流-扩散方程解的性质
uxx bux 0
0 x1
边界条件: 理论解:
u(0) 0, u(1) 1 u( x ) [e xp( bx) 1] /[e xp( b) 1]
ut a uxx bux
3. 分析对流-扩散方程
差分格式 1 k 1 a k b k k k k [ u j u j ] 2 [ u j 1 2u j u j 1 ] [ u j 1 u k j 1 ] h 2h 的矩阵形式
k 1 / 2 j
( Dt aD )[u]
2 x
O( h )
2 2
[ Lu]
k 1 / 2 j
O( h )
2 2
1 / 2 k 1 / 2 2 2 Lh[u]k [ Lu ] O ( h ) j j
15/15
练习题与思考题
1.将传导方程
2 u u 2 a f ( x, t ) 2 t x
9/15
主对角优三对角矩阵
[(1 2ra ) I ra C ]
2 2
1 2ra 2 ra 2 2 2 ra 1 2ra
特征值
ra
2
ra 2
2 1 2ra nn
抛物型方程差分法
ui0 ( xi ), u0k (tk ), umk (tk ), 0 i m, 0 k n.
uk1 i
uik
r
(uik1
2uik
uk i 1
)
f
( xi , tk ),
a
r h2
课堂上完成。观察数值结果，分析其原因。
四、数值格式的理论分析
数值计算主要误差来源：
离散误差（相容性） + 稳定性
第三步，
循环：
uk1 i
uik
r
(
uk i 1
2uik
uk i 1
)
f
( xi , tk )
用时间渐进显格式求解时间层上的温度分布
第四步， 输出
三、数值算例（向前欧拉方法）
u 2u t x2 0 , 0 x 1, 0 t 1
u( x,0) ex , 0 x 1 u (0, t ) et , u (1, t ) e1t , 0 t 1 原方程的真解为 u( x, t ) e xt .
u
2u
t
a x2
f ( xi , tk ),
( xi , tk )
( xi , tk )
u( xi ,0) ( xi ),
0 i m,
0 i m,
0 k n.
u(0, tk ) (tk ), u(1, tk ) (tk ), 0 k n.
关于时间的一阶偏导数用向后差商近似，
t ( xi ,tk )
误差为 O( )
关于空间的二阶偏导数用中心差商近似，
2u x 2
u( xi1 , tk
)
2u( xi , tk h2
)
u( xi1, tk
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对 u r k 1 A u r k b r k递推可得
u r k A k u r 0 A k 1 b r 0 A k 2 b r 1 L A b r k 2 b r k 1
如果在初始时刻有误差 e r0u r0u r*0，则在第 k 个时 间层上，就有数值解
分布函数 u(x,满t)足以上方程。
二、建立差分格式——向前欧拉方法
1. 区域剖分(区域离散）
用两族平行线
xt txkikih ,,
0im1/h
0knT/
将原方程的求解区域分割成矩形一致网格。
t
tk1 tk
t k 1
t2 t1
O x1 x2
h — 空间步长， — 时间步长，
( xi , tk )
( xi , tk ) — 网格节点
用
u
k i
表示温度分布函
数 u( x , t ) 在点 ( xi , tk )
处的网格函数 , 相当于
x x i 1 x i x i 1
u( x , t ) 在该点的近似 .
2. 原方程弱化为节点处的离散方程
连续方程 离散方程
u 2u tax2f(x,t), 0x1 , 0tT
要使误差不增长，即保证数值格式稳定，其充分必要 条件是：正规矩阵 A 的特征值的模均小于等于1。
A为正规矩阵 AA AA
事实上， A 是一个三对角实对称矩阵，是正规矩阵，
1 2r r
r
1 2r r
0
O
A
O
0
r 1 2r r
r 1 2r
用时间渐进显格式求解时间层上的温度分布 第四步， 输出
三、数值算例（向前欧拉方法）
u 2u tx20, 0x1, 0t1
u (x ,0 )ex, 0x 1 u ( 0 ,t) e t, u ( 1 ,t) e 1 t, 0 t 1 原方程的真解为 u(x,t)ext.
5.编程实现的基本环节
第一步，参数设置，如剖分数，节点坐标，a, 已知函
数 (x), f (x, t ), 时间、空间步长等。
第二步， 初始和边界条件确定
第三步， 循环： u i k 1 u i k r ( u i k 1 2 u i k u i k 1 ) f ( x i,t k )
u (x ,0 )(x ), 0 x 1
u ( 0 ,t ) ( t ) ,u ( 1 ,t ) ( t ) ,0 t T
u
2u
t
ax2
f(xi,tk), 0im , 0kn .
(xi,tk)
(xi,tk)
u(xi,0)(xi), 0im,
u
2u
t
ax2
f(xi,tk), 0im , 0kn .
(xi,tk)
(xi,tk)
u(xi,0)(xi), 0im,
u ( 0 ,tk )( tk ) ,u ( 1 ,tk )( tk ) , 0kn.
关于时间的一阶偏导数用向后差商近似，
u u(xi,tk)u(xi,tk1)
可见上述格式的局部截断误差为 O( h2 )
4.差分格式的求解
u ik 1u ikau ik 12 h u 2 iku ik 1f(x i,tk),1 i m 1 , 0 k n .
u i 0 (x i)u ,0 k( tk )u ,m k( tk )0 , im , 0 kn .
114rsin2 i 1
2m
从而要求 4rsin2i2, 1im1
2m
a 1
易见，只要 r h 2 2 就可以保证数值格式稳定。 称为稳定性条件
对于非齐次方程、非零边界条件的情形，其稳定性 分析仿上，只是差分格式现在变成
u r k 1 A u r k b r k r 其中向量 b k 依赖于方程的右端项和边界条件。
四、数值格式的理论分析
数值计算主要误差来源：
离散误差（相容性） + 稳定性
收敛性
即逼近误差
误差传播
考察差分格式的好坏
1. 局部截断误差（相容性） 2. 扩张矩阵的特征值（稳定性）
Lax等价定理：相容性成立，则稳定性等价于收敛性。
u i 0 (x i)u ,0 k( tk )u ,m k( tk )0 ,im , 0kn .
u i k 1 u i k r( u i k 1 2 u i k u i k 1 )f(x i,tk ) ,
a r h 2
t
时间渐进显格式
t k 1•
•
tk •
•
• — 已知结点
t k 1•
•
• •
t2 •
•
t1 •
•
x O • x•1 x•2 • x•i 1 x•i x•i 1 •l
若在初始时刻有误差为 e r0u r0u r*0，即初始时刻 我们用 ur *0 作为初值进行计算，则到第 k个时间步，
就有数值解 u r*kA ku r*0，这样误差传播的规律为
e r k u r k u r * k A k ( u r 0 u r * 0 ) A k e r 0
u i 0 (x i)u ,0 k( tk )u ,m k( tk )0 , im , 0 kn .
u i k 1 u i k r( u i k 1 2 u i k u i k 1 )f(x i,tk ) ,
a r h 2
课堂上完成。观察数值结果，分析其原因。
u ( x ,0 )( x ) ,0 x 1 初始条件
u ( 0 ,t ) ( t ) ,u ( 1 ,t ) ( t ) ,0 t T 边界条件
其中 a > 0 为常数。
物理意义：长度为 1，侧表面绝热的均匀细杆，初始 温度已知，细杆两端的温度已知，则杆内部的温度
u i k 1 u i k r( u i k 1 2 u i k u i k 1 )f(x i,tk ) ,
a r h 2
向前欧拉差分格式是显格式，则对于任意网比 r ， 均唯一可解的。此外，相容性可由局部截断误差保证 。接下来考察差分格式的稳定性。一个数值格式的稳定 性指的是当初始条件有微小误差时，如果用某数值格 式计算出的数值解与原来的解误差不大，则称此格式 稳定。如果初始小误差引起后来解的较大误差，则此 格式不稳定。所以，数值格式的稳定性是考察一个算 法优劣的重要评价标准之一。这里，我们先只考察齐 次方程、零边界条件的情形。
t (xi,tk)
误差为 O ( )
关于空间的二阶偏导数仍用中心差商近似，
2u x2
u (xi 1,tk)2u (h x 2 i,tk)u (xi 1,tk) 误差为 O ( h 2 )
(xi,tk)
u ( x i , t k ) u ( x i , t k 1 ) a u ( x i 1 , t k ) 2 u ( h x 2 i , t k ) u ( x i 1 , t k ) f ( x i , t k ) O ( h 2 ) 0im , 0kn .
考察以下带零边界条件的齐次抛物型方程初边值问题
u 2u
u(tx,0a)x2 (x0),,
0 x 1, 0 t T, 0 x 1,
u(0,t) u(1,t) 0, 0 t T.
则对应的向前欧拉数值格式为
u i0(x i), u 0 k 0 , u m k 0 , 0im , 0kn .
0
O
A
O
0
r 1 2r r
r 1 2r
于是，由定理可得 m 1阶矩阵A的特征值为
li12r2r1cosim (1im 1 ) 即 li12r(1cosim )14rsin 22 i m
于是，向前欧拉格式稳定 l i 1 , 即，
r 12r
0
r O
O r
0
12r r
1r2ruuuum m kkM 12kk12Auuuum m kkM 12kk12
也可以简写成 u rk1A u rk ，从而有
u r k 1 A ( A u r k 1 ) L A k 1 u r 0
抛物型方程差分法
一、研究对象
1. 研究的对象—— 抛物型方程.
一维问题： ut ax2u2 f(x,t)
二维问题：
u 2u 2u ta(x2y2)f(x,y,t)
物理意义：细杆、薄板的热传导现象
解决问题：方程 适当的初边值条件
考虑一维热传导方程：
u ta 2 x u 2f(x,t), 0x1 , 0tT
所以，本质上仍要求 A的特征值模小于等于1 才能保 证数值格式稳定。所以，今后我们都只对齐次方程、 零边界的情况进行稳定性分析即可。
从前面的分析可知，向前欧拉显格式由于稳定性的 限制，要求在计算时选取合适的步长，这给计算带来 了不便。
显格式 隐格式 向前欧拉显格式 向后欧拉隐格式
五、建立差分格式——向后欧拉方法
误差为 O ( )
关于空间的二阶偏导数用中心差商近似，
2u u (xi 1,tk)2u (xi,tk)u (xi 1,tk) 误差为 O ( h 2 )
x2
h 2
(xi,tk)
将上面的式子代入离散方程，可得
u ( x i , t k 1 ) u ( x i , t k ) a u ( x i 1 , t k ) 2 u ( h x 2 i , t k ) u ( x i 1 , t k ) f ( x i , t k ) O ( h 2 ) 0im , 0kn . u(xi,0)(xi), 0im, u ( 0 ,tk )( tk ) ,u ( 1 ,tk )( tk ) , 0kn.