第一章 弹性力学的基本方程汇总
弹性力学基本理论
15
1.1.3 应变的概念
(a) x方向的线应变
(b) y方向的线应变
(c) xy面内的剪应变
图 1-3 单元体应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
u x x
y
u y x
（1.9）
u y y
ux y
相应地，y轴方向的正应变为： x-y 平面内的剪应变：
tan 1
（1.10）
; tan 2
（1.11）
16
1.1.3 应变的概念
因此，剪应变 xy 为
xy
u x 1 2 x y u y
（1.12）
应变分量的矩阵型式
x xy ij yx y zx yy
2 2 Tn n n 2
m A
B T
G
P A
n
o
y
图1-1 物体内任意点处的应力
（1.6）
12
1.1.2 应力的概念 应力状态
在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有 同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面 上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。
x' ' y z'
=
0 1 0 cos 0 sin
0 x1 sin y1 cos z1
（b）
将第一式代入上式，可得
x ' 1 0 0 cos sin 0 x ' y y 0 cos sin = sin cos 0 z' z 0 sin cos 0 0 1
弹性力学徐芝纶版第一章ppt
03
应变分析
应变状态和应变分量
应变状态
描述物体在受力后形状的变化，包括 线应变和角应变。
应变分量
根据直角坐标系或极坐标系的选取， 将应变状态量分解为具体的应变分量 ，如正应变和剪应变。
土木工程
桥梁、隧道、高层建筑等土木 工程的设计和施工都需要考虑 材料的弹性和结构的稳定性。
弹性力学的基本假设和概念
连续性假设
均匀性假设
假设物质没有空隙或裂 纹，整个物质是连续的。
假设物质在各个方向上 的性质是均匀的，没有
局部变化。
各向同性假设
假设物质在各个方向上 假设
变形梯度和变形速率
变形梯度
描述物体在受力后形状变化的程度和 方向，由物质导数和变形梯度张量表 示。
变形速率
描述物体在单位时间内形状变化的程 度，由变形梯度的导数表示。
几何方程和应变边界条件
几何方程
描述物体在受力后形状变化的规律，包 括连续性方程、运动方程和几何方程。
VS
应变边界条件
描述物体在边界处的应变状态，包括位移 边界条件、应力边界条件和应变边界条件 。
弹性力学徐芝纶版第一章
• 引言 • 应力分析 • 应变分析 • 弹性本构关系 • 弹性力学的基本方程
01
引言
弹性力学的发展历程
古代弹性理论的萌芽
古希腊和中国的学者开始研究材料的弹性和 结构。
弹性力学理论的完善和发展
19世纪，科学家们开始深入研究弹性力学， 并取得了一系列重要成果。
弹性力学理论的初步形成
来。
弹性力学问题的求解方法
弹性力学基础知识
06
弹性力学的有限元法
有限元法的基本概念
有限元法是一种数值分析方法，通过将复杂的 物理系统离散化为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来近似求解复杂的物理问题。
这些简单元在节点处相互连接，形成一个离散 的系统，其行为可以通过物理定律和数学模型 进行描述。
有限元法的核心思想是将连续的求解域离散化， 将复杂的边界条件和应力状态转化为有限个单 元的组合。
弹性力学基础知识
• 弹性力学概述 • 弹性力学的基本假设 • 弹性力学的基本方程 • 弹性力学的基本问题 • 弹性力学的能量原理与变分原理 • 弹性力学的有限元法
01
弹性力学概述
定义与特点
定义
弹性力学是一门研究弹性物体在外力 作用下变形和内力的科学。
特点
弹性力学主要关注物体在受力后发生 的变形，以及这种变形如何影响物体 的内力和应力分布。
在声学领域，有限元法可以用于分析声音的传播、噪音的来源 等。
THANKS
感谢观看
有限元法的求解步骤
单元分析
对每个单元进行受力分析，建 立单元的刚度方程。
求解方程
使用数值方法（如直接法、迭 代法等）求解整体刚度方程， 得到节点的位移和应力。
分析模型建立
首先需要建立待分析系统的数 学模型，包括对系统进行离散 化、定义节点、建立方程等。
系统组装
将所有单元的刚度方程组装成 整体的刚度方程，同时引入边 界条件和载荷。
弹性力学的能量原理与变分原理
弹性力学的能量原理
总结词
弹性力学的能量原理是描述物体在外力 作用下能量变化的重要理论，它为解决 弹性力学问题提供了基础框架。
VS
详细描述
弹性力学的能量原理指出，一个弹性系统 在外力作用下，其能量变化等于外力所做 的功与物体形变所吸收的功之和。这个原 理在解决弹性力学问题时非常有用，因为 它可以将复杂的物理现象转化为数学上的 能量平衡问题。
弹性力学知识基础
上述6个方程称几何方程
u v w
唯一确定
{ε }
{f}
但
{ε }
不唯一确定
原因：刚体位移不能确定。
第三节 物理方程
当材料是均匀、连续、各向同性，应力与应变成正比 （小变形）,即广义虎克定律
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )] E ε y = [σ y − µ (σ z + σ x )] E ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )] E = τ xy G , γ yz = τ yz G , γ zx = τ zx G
T
（1-2）
2、平衡微分方程 、
∂σ x τ yx τ zx + + + ∂y ∂z ∂x ∂ σ y τ xy τ zy + + + ∂x ∂z ∂y ∂ σ z + τ yz + τ xz + ∂y ∂x ∂z
F F F
Vx
=0 =0 =0
Vy
Vz
反映了物体内的应力场所须满足的静力关系， 或者应力分量的关系。
（1-9）
γ xy
其中： E
G
弹性模量 切变模量 泊松比
µ
G = E [2(1 + µ )]
解（1-9）式, 得物理方程：
{σ } = [D]{ε }
{σ } = σ xσ yσ zτ xyτ yzτ zx
T
（1-10）
{ε } = ε xε yε zγ xyγ yzγ zx
a、正应力虚功： 正应力 虚位移 虚功 b、切应力虚功
x方向
弹性力学公式
2°斜截面上的正应力：全应力矢量p N 在外法线方向n 上的投影即为斜截面上的正应力σN ：=r r m n ⋅r r r r r r nσ=n p n ⋅()()x y z p ip j p k li j k ++++(){}{}x T x y z y n p p l p m p n lmn p n p ⎧⎫⎪⎪=++==⎨⎬l zx yxx ττσ⎫⎧⎟⎞⎜⎛z p ⎪⎪⎩⎭}){(}{)(n n n m n ml ij Tzyzxzzy y xyσστττστ=⎪⎭⎪⎬⎪⎩⎪⎨⎟⎟⎠⎜⎜⎝=即}){(}{n n ij T N σσ=（2-15）j 3°斜截面上的切应力：全应力矢量p N 在斜截面内的投影即斜截面上的切应力分量为：||n n n p τ=×r r ++216或2222222()()n n n x y z x y z p p p p p l p m p n τσ=−=++−（2-16）τxσz4-4、弹塑性力学中常用的简化力学模型44、弹塑性力学中常用的简化力学模型σA B分析计算有困难与实际符合较好1、理想弹塑性模型：o εεsσ⎨⎧>=≤=ss sE E εεεσεεεσ当当s理想弹塑性力学模型⎩Bσ1tg −2、线性强化弹塑性力学模型As σ1E 计算复杂⎨⎧>−+=≤=ss s s E E εεεεσσεεεσ当当)(1εoEtg 1−sε⎩型线性强化弹塑性力学模3、幂强化力学模型：σ1=n 参数少想弹性模型n A n<<=εσ100=n 便于分析理想塑性模型当理想弹性模型当A n A n ====σεσ01ε1幂强化力学模型4、刚塑性力学模型（理想塑性模型）在应力到达屈服极限之前应变为零。
AσB分析计算容易oε刚塑性力学模型5σ（刚塑性力学模型）5.理想塑性力学模型σssσσ=ε6.σ6.理想弹性力学模型εσE =ε4－6、常用屈服条件：对屈服条件的研究已有两个世纪。
弹性力学基本方程
03
应变分析基础
应变概念及分类
应变定义
应变是指物体在外力作用下产生的局部 相对变形，描述了物体形状的微小改变 。
VS
应变分类
应变可分为线应变、切应变、体应变等多 种类型，分别描述了物体不同方向的变形 情况。
应变张量表示方法
应变张量定义
应变张量是描述物体变形状态的二阶张量，可用于全面描述物体的应变情况。
几何方程（应变-位移关系）推导
应变定义
应变是描述物体变形程度的物理量，包括线应变、切应变和体应变 等。
位移与应变关系
在弹性力学中，应变可以通过位移来表示。具体来说，线应变可以 通过位移的导数来表示，而切应变则可以通过位移的差分来表示。
推导过程
通过对应变和位移的定义进行分析，可以推导出应变与位移之间的关 系式，即几何方程。
应力状态。
影响分析
03
初始条件对弹性体的动态响应和稳定性有重要影响，
不合理的初始条件可能导致求解结果偏离实际情况。
边界条件和初始条件在求解中作用
确定解的唯一性
边界条件和初始条件是弹性力学 问题有定解的必要条件，只有给 定合适的边界条件和初始条件， 才能保证解的唯一性。
影响解的精度和稳定性
边界条件和初始条件的处理直接 影响求解精度和稳定性，不合理 的边界条件和初始条件可能导致 求解结果失真或不稳定。
目前，弹性力学已经广泛应用于各种工程领域，如机械、土木、航空、航天等 。同时，随着计算机技术的发展，数值计算方法在弹性力学中的应用也越来越 广泛。
弹性力学在工程领域应用
机械工程
土木工程
在机械工程中，弹性力学被广泛应用于机 构工程中，弹性力学被用于分析建筑 结构的稳定性、承载能力以及地震响应等 问题。
第2讲-第一篇 第1,2章 弹性力学 平衡方程
（3）一般求解过程
① 在弹性体区域V 内，根据微分体上力的平衡条件， 建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的 几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的 物理条件，建立物理方程。 ② 在弹性体边界s上，根据面力条件，建立应力边界 条件；根据约束条件，建立位移边界条件。 ③ 然后在边界条件下，寻求合适的求解方法求解区 域内的偏微分方程，得出应力、形变和位移。
固体力学问题的研究主线： 固 体 力 学
均匀 介质 含缺 陷体 复合 材料
力学 分析s-e关系 源自系应力 应变物理 模型 强度 度 指标 破 坏 模 式
工程主线
破 坏 判 据 设计 准则
材料 性能
研究主线
★本 本章小结 结★
理论力学、材料力学、弹性力学区别
弹性力学研究内容、学习目的
弹性力学基本假设和基本方法
P点的应力
x , y , z , yz , zx , xy
yz
X zx O N
y
B
A
zy x
z
斜截面的应力在坐标方向的 分量： X N , YN , Z N
设斜截面 ABC 的面积为 S ， 四面体的体积为V ，
C
PBC 的面积为 l S ; PAC 的面积为 mS ; PAB 的面积为 nS 。
（4）主要解法
解析法─根据弹性体的静力学、几何学、物理学等条件， 建立区域内的微分方程组和边界条件 并应用数学分析 建立区域内的微分方程组和边界条件，并应用数学分析 方法求解这类微分方程的边值问题，得出的解答是精确 的函数解。 变分法（能量法）─根据变形体的能量极值原理 变分法（能量法） 根据变形体的能量极值原理，导出弹 导出弹 性力学的变分方程，并进行求解。这也是一种独立的弹性 力学问题的解法 由于得出的解答大多是近似的 所以常 力学问题的解法。由于得出的解答大多是近似的，所以常 将变分法归入近似的解法。 差分法─是微分方程的近似数值解法。它将弹力中导出的 微分方程及边界条件化为差分方程（代数方程）进行求解。 微分方程及边界条件化为差分方程（代数方程）进行求解
超声学-弹性力学的基本方程
三个应变主轴相互垂直
1. 广义虎克定律 17世纪, Hooke发现:
2.弹性常数个数
函数一阶近似
11 Ee11
ij ij (ekl ) ij Cijklekl eij Sijkl kl
Cijkl
81
斜 单斜 正交/斜方 四方 三角 六角 立方 各向同性
eij=eji
]
1 2 [ui, jui,k
u j,k
uk, j
jk
jk
]
1 2 [ui, jui,k
u j,k
uk, j ]
这两个式子请记住！
线性小位移: eij是对称的
eij
1 2 (ui, j
u j,i )
6个独立分量
e11
1 2
( u1 x1
u1 x1
)
u1 x1
,
e22
u2 x2
,
e33
u3 x3
1 (u2 2 x3
u3 ) x2
u 2 x3
tan 23
23
u3 x2
tan 32
32
e23
1 2
(
23
32 )
i j
面积(体积)不变,形状改变
X3
四边形，底、高不变
M
M’
du2
dx3
23
P P’
X2
x3
du2
P’
du3 x2
法向应变不为零,切向应变为零面 元的法向, 应变主轴, 主应变
1 2
dx2
( 32
32
x2
dx2 )dx2dx1
1 2
dx3
32dx2dx1
弹性力学基本方程及原理
因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 满足应力法的所有
方程，为真解
5）求应变分量：
由物理方程得应变
x
1 E
x
( y
z )
1 E
( p
2
p)
p(1 2 )
E
y
z
xy yz zx 0
6）求位移分量：
代入几何方程并积分可求位移
u
p(1 2 )
E
x
f1( y, z)
x
s
m
yx
s
n
zx
s
fx
xy
m
s
y
n
s
zy
s
fy
xz
s
m
yz
s
n z
s
fz
1、检查在柱体侧边（主要边界）X i 0 n3 n 0
l x m xy 0 zx 0
l xy m y 0 zx 0
满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（无体力时）
ij ,kk
1
1
Θ ,ij
0
满足
4）检查是否满足应力的边界条件 z
x
s
m
yx
s
n
zx
s
fx
xy
m
s
y
n
s
zy
s
fy
（A）
xz
s
m
yz
s
n z
s
fz
y
x=y=z=-p
xy=yz=zx=0
x
a）前、后面： 1 m n 0 前面面力：fx p f y 0 fz 0
应力法可归结为：在给定的边界条件下，求解下列方程
弹塑性力学讲义基本方程
平衡方程
σ x τ yx τ zx + + +X =0 x y z
几何方程
u εx = x
γ xy =
γ yz =
u v + y x
v w + z y
τ xy σ y τ zy + + +Y = 0 x y z
εy =
v y
τ xz τ yz σ z + + +Z =0 x y z
将 σz = τzx = τzy =0(平面应力) σz=σz (x,y),τzx =τzy =0(平面应变) σ , τ 代入空间问题的平衡方程式,得
σ x τ yx + + X =0 x y
τ xy σ y + +Y = 0 x y
平面问题几何方程
u εx = x
εy =
v y
γ xy =
u v + y x
物理方程
位移解法
以位移作为未知数
几何方程求应变
物理方程求应力
由位移表示的平衡微分方程 θ G 2u + (λ + G ) + X = 0 x
G 2 v + (λ + G ) θ +Y = 0 y
θ +Z =0 z
G 2 w + ( λ + G )
其中
2 2 2 = 2+ 2+ 2 x y z
2
Su
圆筒受内外水压力作用(静力边界问题)
静力边界条件 σxl+τyxm+τzxn= X τ τ = τxyl+σym+τzyn=Y σ τ = τxzl+τyzm+σzn= Z τ σ =
弹性力学----基本方程
ji, j Fbi 0
位移与应变几何方程 6个
ij
1 ui 2 x j
u j xi
应力与应变物理方程 6个
σ= Dε
第一节 基本方程
待解未知函数:
空间问题 应力分量 6个 应变分量 6个
未知函数15个，方程数 也为15个。位移和应力 还应该满足单值条件
位移分量 3个 边界条件 应力边界条件：在边界上给定外力，应力应满足 应力边界条件。
第四章 基本方程
弹性静力学的问题构成了偏微分方程组 的边值问题，根据应力或位移为求解的未知 函数进行简化，得到基本方程。直接求解一 般是十分困难的，还需要进一步简化为平面 问题和对称问题。基本方程还为弹性力学的 数值解法奠定了基础。
第一节 第二节
基本方程 基本方程的意义
第一节 基本方程
求解方程: 应力平衡方程 3个
2 2x
1 1
(
2
)
Fb x
x
Fb y y
Fb z z
(1 )2 y
2 2 y
1 1
(2
)
Fb y
y
Fb z z
Fb x x
(1 )2 z
2 2z
1 1
(2
)
Fb z
z
Fb x x
Fb y y
(1 )2 yz
2 yz
(1
)
Fb y
z
Fb y z
(1 )2 zx
2 zxBiblioteka (1 ) 2y
2v Fby
0
E 2(1
)
1
1
2
z
2
w
Fbz
0
其中 x y z 称为体积应变。
弹性力学
弹性力学网络课程第一章绪论内容介绍知识点弹性力学的特点弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务弹性力学的研究方法内容介绍：一. 内容介绍本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。
偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
本章介绍弹性力学分析的基本假设。
弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。
课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。
目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。
如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。
二. 重点1.课程的研究对象；2.基本分析方法和特点；3.弹性力学的基本假设；4.课程的学习意义；5.弹性力学的发展。
特点：弹性力学，又称弹性理论。
作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。
弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
数学弹性力学的基本方程
M z xf y yf x dV
2. 面力 作用在物质表面的力称为面力。令 S 上有任意一点 O ，作用在 O 点附近的表面力 的方向是各不相同的，作用在 S 面上的力可用作用在 O 点的合力 P 和力偶矩 G 来 代替。采用欧拉柯西应力假定[1]
S 0 G 0
V
则式(1.8)变为
pn p1 cos n, x p2 cos n, y p3 cos n, z (1.8) 记 pn pnx i pny j pnz k ， p1 x i xy j xz k ， p2 yx i y j yz k ， p3 zx i zy j z k ，
G P lim 0, lim p S 0 S S P 0
(1.4)
3. 应力矢量与应力张量以及两者之间的联系 设有如图 1 所示的微体元， AM / / Ox, MC / / Oy, MB / / Oz ， n 为微面元 ABC 之单位外法 线矢量。微面元 MBC , MAB, MCA, ABC 的面积分别记为 S1 , S2 , S3 , S 。
d (1.13) r v dV r fdV r pn dS V S dt V d d r v dV r v dV r a dV v v dV r a dV V V V V V dt dt pn dS r p1 cos n, x r p2 cos n, y r p3 cos n, z dS S r S r p1 r p2 r p3 dV V x y z
弹性力学公式大全-知识归纳整理
xyy x N ml m l τσσσ222++= x y N mp lp -=τ xy y x N lm m l γεεε++=22求切应力公式：()()xyx y N m l lm τσστ22++-= 几何方程在平面中的简化形式：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=y u x v y vx u xy y x γεε最大位移：()22maxv u uN +=平面应力方程（物理方程）：()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=-=-=xy xy x yy y xx EE E τμγμσσεμσσε1211 平面应变方程：()⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=xy xy x y y y x x E E E τμγσμμσμεσμμσμε12111122 应力边界问题中：()()()()⎪⎭⎪⎬⎫=+=+y s xy s y x s yx s x f l m f m l τστσ 位移边界：⎭⎬⎫==v v u u x x应力分量：()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xy xy x y y y xx E E E γμτμεεμσμεεμσ121122 弹性方程：()⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=y u x v E x u y v E y v x u E xy y x μτμμσμμσ121122 知识归纳整理平面问题的平衡微分方程：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y xy y x yx x f x y f x x τστσ 弹性方程简化：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂++∂∂-+∂∂-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂++∂∂-+∂∂-021211021211222222222222y x f y x u x v y v E f y x v y u x u E μμμμμμ位移表示平面微分方程：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-y ss x s s f y u x v l x u y v m E f x v y u m y v x u l E21121122μμμμμμ应变：y x x y xy y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 平面应力：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y f x f y x y x y x μσσ12222 平面应变：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y f x f y x y x y x μσσ112222 ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂Φ∂-=-∂Φ∂=-∂Φ∂=y x y f x x f y xy y y x x 22222τσσ 024422444=∂Φ∂+∂∂Φ∂+∂Φ∂yy x x ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++--=+-=022022v x x EI M y EI M v u y xy EIM u ωμω ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=-+-=+++-=x h q xy h q q y h q y h q K Hy y h q y x h q xy y x 2362232264623333323τσσ ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=-==0xy y x y EI M y EI M γμεε ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂0y ux v y EI M y v y EI Mx u μ ()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+-=+=x f y EI M v y f xy EI M u 2212μ ()()012=++dy y df x EI M dx x df ()()x EI M dx x df dy y df +=-21 求知若饥，虚心若愚。
第一章 弹性力学的基本方程
2001年6月1日
图1-7
1-23
斜微分面abc为其边界面的一部分，其外法线N与 各坐标轴夹角的余弦为cos(N,x)=1, cos(N,y)=m, cos(N,z)=n。微分体的其他三个微分面过M点且分 别与三个坐标面相平行。从M点到斜微分面abc的 垂直距离dh，是四面体的高。设斜微分面的面积 为dA，则其他三个微分面的面积为 Mac=dA*1, Mab=dA*m, Mcb=dA*n 1 dV dh dA 四面微分体的体积为 3 由于这些微分面很小，其面上作用的应力也可以 看作均匀分布。假定斜微分大面abc上作用的应力 在三个坐标 轴上的投影分别为 X , Y , Z ，体积分量 为X、Y、Z。整个物体处于平衡状态，这个四面 体也应满足平衡条件。
上式分母中的 可简写为
u x 1 x
，可以略去。从而上式
1
同样可得
2
v x u y
线段AB和AC间的剪应变γxy等于θ1与θ2之和：
xy
v u 1 2 x y
用同样方法在坐标面yoz和xoz上的投影，可得
2001年6月1日
yz
z
w z
其次，求投影ABCD内线段AB和AC间所夹直角 的变化，即该投影面内的剪应力γxy。，由图1-6可 见，这个剪应变由两部分组成，一部分与x轴相平 行的AB向y轴方向的转角θ1;另一部分是与y轴相平 行线段AC向x轴方向的转角θ2。在小变形的情况下
v v v dx v B2 B1 x 1 tg1 x A1 B2 1 u u dx u dx u x x 1-14 2001年6月1日
xy yz
zx
弹性力学平面问题2
i
ui
j
uj
o
x
（1）
单元及其位移表示
为待定常数
ui = a1 + a2xi + a3 yi vi = a4 + a5xi + a6 yi
（2）
位移(1)在结点上有： 位移 在结点上有： 在结点上有
uj = a1 + a2xj + a3 yj vj = a4 + a5xj + a6 yj uk = a1 + a2xm + a3 ym vm = a4 + a5xm + a6 ym
Ω SσΒιβλιοθήκη 对于平面问题：{ε * }T {σ }dxdy = ∫∫ {u * }T { f }dxdy + ∫ {u * }{ f }dS ∫∫
Ω Ω Sσ
相容位移：即为满足位移边界条件的位移。 相容位移：即为满足位移边界条件的位移。
最小势能原理 在一切可能位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取最小值； 在一切可能位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取最小值；反 使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。 之,使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。
弹性力学平面问题的有限元法
一 弹性力学的基本方程 二 弹性力学的变分原理 三 平面问题的三角形单元 四 平面问题的四边形等参单元
一 弹性力学基本方程
1、基本物理量
位移
{u} = {u( x, y, z), v( x, y, z), w( x, y, z )}
ui (i = 1, 2,3)
张量表示： 张量表示：
, ci =
1 xm ym
1 xj 1 xm
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现在讨论后面的三个平衡条件。先利用
平衡条件 M x 0 ，以连接六面微分体
前后两个微分面中心的直线ee’作为矩轴，
这矩轴与X轴平行，于是 M x 0 等
同于
Mee' 0
则有
2001年6月1日
1-7
yz
yz
y
dy dxdz
dy 2
yzdxdz
dy 2
zy
zy
z
dz dxdy
zx
dxdy
Xdxdydz
0
上式经约简后，得下列方程的第一式。同理， 利用平衡条件
Y 0 和 Z 0
得下列方程的第二式和第三式。
2001年6月1日
1-6
x yx zx X 0
x
y
z
xy y zy Y 0
x
y
z
xz yz z Z 0
x
y
z
上面三个方程称为平衡微分方程。
u x
dx
u
u x
dx
从而线段AB的正应变εx为
x
A1B1 AB AB
u dx x
dx
u x
同理线段AC的正应变εy为
2y001年6月1A 日 1CA 1 CAC
v
v y
dy v
dy
v 1-13 y
如果用同样的方法研究了微分体在xoz和yoz坐标 面上的投影的变形后，又可得出
z
w z
uB
u
u x
dx, vB
v
v dx x
同理，点C的位移分量为
uC
u
u y
dy, vC
v
v y
dy
2001年6月1日
1-12
在小变形的前提下，∠B1A1C1很小，可以认为
A1B1=A1B2，则线段AB位移后的绝对伸长，可以用 线段两端点沿X轴的位移之差来表示，即
A1B1
AB
A1B2
AB
uBBiblioteka uAu dxv
dx
u
u x
dx
u
v x
1 u x
1-14
上式分母中的 可简写为
u x
x
1
，可以略去。从而上式
同样可得
1
v x
2
u y
线段AB和AC间的剪应变γxy等于θ1与θ2之和：
xy
1
2
v x
u y
用同样方法在坐标面yoz和xoz上的投影，可得
yz
w y
u z
2001年6月1日
zx
X 0, Y 0, Z 0 Mx 0,M y 0,Mz 0.
利用第一个平衡条件，考虑平行于X轴的所有各力，并把它们 画在单独的图上，如图1-3所示。
图1-3
2001年6月1日
1-5
由 X 0 有
x
x
x
dx
dydz
x
dydz
yx
yx
y
dy dxdz
y
xdxdz
zx
zx
z
dz
dxdy
其次，求投影ABCD内线段AB和AC间所夹直角
的变化，即该投影面内的剪应力γxy。，由图1-6可
见，这个剪应变由两部分组成，一部分与x轴相平 行的AB向y轴方向的转角θ1;另一部分是与y轴相平 行线段AC向x轴方向的转角θ2。在小变形的情况下
1 tg1
2001年6月1日
B2 B1 A1B2
v
v x
dz 2
zydxdy
dz 2
0
全式除以dxdydz, 合并同类项，得
yz
1 2
yz
y
dy zy
1 2
zy
z
dz
0
略去微量项后，得下列方程的第一式。同理，利用其余 两个平衡条件，可得下列方程的第二式和第三式。
yz zy , zx xz, xy yz
这是剪应力互等定律。
2001年6月1日
u z
w x
1-15
至此，我们得到了六个应变分量与三个位移分量 间的全部关系式，一般称为几何方程。把它们合写 在一起，就是
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
2001年6月1日
1-16
§1.3 物理方程
弹性力学必须考虑静力（或运动）、几何、物理 三方面的条件，才能得到足够的基本方程。因此必 须研究应力与应变间的物理关系。由简单的轴向拉 伸试验已经知道，在单向应力状态下，处于弹性阶 段的物体中，应力与应变呈线性关系，即
图1-5
1-10
微分体在xoy面上的投影是矩形ABCD(如图1-5)。变形前
线段AB和AC的长度分别为dx和dy。变形后A、B、C三点 分别移到 A1 、 B1 、C1 的位置，如图1-6所示。
图1-6
2001年6月1日
1-11
先求线段AB和AC的正应变（线应变）εz和εy,设A点的位 移分量为u和v，由于坐标x有一增量dx，从而B点的分量 为
x E x
其中E为材料的拉伸弹性模量。这就是人们熟知 的虎克定律。
2001年6月1日
1-17
一般地，描述物体中一点的应力状态需要六个独 立的应力分量，与之相应的应变状态也有六个独立 的应变分量。由基本假设可知，在弹性阶段，应力 与应变间仍是线性关系。对于各向异性的均匀弹性 体，这种关系一般可写为：
在三个坐标轴上的投影分别用u、v、w表示，称
为位移分量。它们都是坐标的连续函数。
2001年6月1日
1-9
为研究物体内某点M（x,y,z）处的变形，建 立位移分量与应变间的关系，同研究物体平 衡时一样，从M点处取出一个棱长为dx、dy、 dz的正六面微分体，如图1-5所示。
图1-4
2001年6月1日
1-8
§1.2 几何方程
一、几何方程——位移与应变的关系
在载荷、温度变化或其他因素作用之下，物体
内各点之间的距离将发生变化，这就形成了物体
的变形。变形时物体中各点的位移一般是互不相
同的，而是点的位置坐标的函数。取物体中任意
一点M（x,y,z），如图1-4所示，变形后该点移到
了
M
，矢量
1
MM
1
就是物体变形时点M的位移，它
物体中还存在有体积力。如前所述，单位体 积上所受的体积力沿坐标轴的分量为X、Y、Z， 则作用在物体上的体积力就为Xdv,Ydv,Zdv.它们 作用在六面微分体的中心。如图1-2所示。
2001年6月1日
1-3
2001年6月1日
图1-2
1-4
若所研究的整个物体处于平衡状态，从其中取出的任何微分 体也应当处于平衡状态，所以该微分体应满足六个平衡条件：
有限单元法与优化设计
武汉科技大学 罗会信
第一章 弹性力学的基本方程
§1.1 平衡微分方程 物体受载荷后，为分析其内部的应力，从中 取出一个平行六面微分体加以研究（如图1-1）
2001年6月1日
图1-1
1-2
平行六面微分体的各面通常应分别与各坐
标面平行，设其棱长分别为dx,dy,dz,则其体积为 dv=dxdydz.这个平行六面体微分体受到它周围部 分物体的作用，将每个面上受到的作用分别用 三个应力分量（一个正应力，两个剪应力）表 示，这些应力可以视为六面微分体受到的外力。