第一章 弹性力学的基本方程汇总

现在讨论后面的三个平衡条件。先利用
平衡条件 M x 0 ，以连接六面微分体
前后两个微分面中心的直线ee’作为矩轴，
这矩轴与X轴平行，于是 M x 0 等
同于
Mee' 0
则有
2001年6月1日
1-7
yz
yz
y
dy dxdz
dy 2
yzdxdz
dy 2
zy
zy
z
dz dxdy
x E x
其中E为材料的拉伸弹性模量。这就是人们熟知 的虎克定律。
2001年6月1日
1-17
一般地，描述物体中一点的应力状态需要六个独 立的应力分量，与之相应的应变状态也有六个独立 的应变分量。由基本假设可知，在弹性阶段，应力 与应变间仍是线性关系。对于各向异性的均匀弹性 体，这种关系一般可写为：
u x
dx
uwk.baidu.com
u x
dx
从而线段AB的正应变εx为
x
A1B1 AB AB
u dx x
dx
u x
同理线段AC的正应变εy为
2y001年6月1A 日 1CA 1 CAC
v
v y
dy v
dy
v 1-13 y
如果用同样的方法研究了微分体在xoz和yoz坐标 面上的投影的变形后，又可得出
z
w z
图1-5
1-10
微分体在xoy面上的投影是矩形ABCD(如图1-5)。变形前
线段AB和AC的长度分别为dx和dy。变形后A、B、C三点 分别移到 A1 、 B1 、C1 的位置，如图1-6所示。
图1-6
2001年6月1日
1-11
先求线段AB和AC的正应变（线应变）εz和εy,设A点的位 移分量为u和v，由于坐标x有一增量dx，从而B点的分量 为
dz 2
zydxdy
dz 2
0
全式除以dxdydz, 合并同类项，得
yz
1 2
yz
y
dy zy
1 2
zy
z
dz
0
略去微量项后，得下列方程的第一式。同理，利用其余 两个平衡条件，可得下列方程的第二式和第三式。
yz zy , zx xz, xy yz
这是剪应力互等定律。
2001年6月1日
u z
w x
1-15
至此，我们得到了六个应变分量与三个位移分量 间的全部关系式，一般称为几何方程。把它们合写 在一起，就是
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
2001年6月1日
1-16
§1.3 物理方程
弹性力学必须考虑静力（或运动）、几何、物理 三方面的条件，才能得到足够的基本方程。因此必 须研究应力与应变间的物理关系。由简单的轴向拉 伸试验已经知道，在单向应力状态下，处于弹性阶 段的物体中，应力与应变呈线性关系，即
X 0, Y 0, Z 0 Mx 0,M y 0,Mz 0.
利用第一个平衡条件，考虑平行于X轴的所有各力，并把它们 画在单独的图上，如图1-3所示。
图1-3
2001年6月1日
1-5
由 X 0 有
x
x
x
dx
dydz
x
dydz
yx
yx
y
dy dxdz
y
xdxdz
zx
zx
z
dz
dxdy
uB
u
u x
dx, vB
v
v dx x
同理，点C的位移分量为
uC
u
u y
dy, vC
v
v y
dy
2001年6月1日
1-12
在小变形的前提下，∠B1A1C1很小，可以认为
A1B1=A1B2，则线段AB位移后的绝对伸长，可以用 线段两端点沿X轴的位移之差来表示，即
A1B1
AB
A1B2
AB
uB
uA
u
有限单元法与优化设计
武汉科技大学 罗会信
第一章 弹性力学的基本方程
§1.1 平衡微分方程 物体受载荷后，为分析其内部的应力，从中 取出一个平行六面微分体加以研究（如图1-1）
2001年6月1日
图1-1
1-2
平行六面微分体的各面通常应分别与各坐
标面平行，设其棱长分别为dx,dy,dz,则其体积为 dv=dxdydz.这个平行六面体微分体受到它周围部 分物体的作用，将每个面上受到的作用分别用 三个应力分量（一个正应力，两个剪应力）表 示，这些应力可以视为六面微分体受到的外力。
dx
v
dx
u
u x
dx
u
v x
1 u x
1-14
上式分母中的 可简写为
u x
x
1
，可以略去。从而上式
同样可得
1
v x
2
u y
线段AB和AC间的剪应变γxy等于θ1与θ2之和：
xy
1
2
v x
u y
用同样方法在坐标面yoz和xoz上的投影，可得
yz
w y
u z
2001年6月1日
zx
zx
dxdy
Xdxdydz
0
上式经约简后，得下列方程的第一式。同理， 利用平衡条件
Y 0 和 Z 0
得下列方程的第二式和第三式。
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1-6
x yx zx X 0
x
y
z
xy y zy Y 0
x
y
z
xz yz z Z 0
x
y
z
上面三个方程称为平衡微分方程。
在三个坐标轴上的投影分别用u、v、w表示，称
为位移分量。它们都是坐标的连续函数。
2001年6月1日
1-9
为研究物体内某点M（x,y,z）处的变形，建 立位移分量与应变间的关系，同研究物体平 衡时一样，从M点处取出一个棱长为dx、dy、 dz的正六面微分体，如图1-5所示。
图1-4
2001年6月1日
1-8
§1.2 几何方程
一、几何方程——位移与应变的关系
在载荷、温度变化或其他因素作用之下，物体
内各点之间的距离将发生变化，这就形成了物体
的变形。变形时物体中各点的位移一般是互不相
同的，而是点的位置坐标的函数。取物体中任意
一点M（x,y,z），如图1-4所示，变形后该点移到
了
M
，矢量
1
MM
1
就是物体变形时点M的位移，它
物体中还存在有体积力。如前所述，单位体 积上所受的体积力沿坐标轴的分量为X、Y、Z， 则作用在物体上的体积力就为Xdv,Ydv,Zdv.它们 作用在六面微分体的中心。如图1-2所示。
2001年6月1日
1-3
2001年6月1日
图1-2
1-4
若所研究的整个物体处于平衡状态，从其中取出的任何微分 体也应当处于平衡状态，所以该微分体应满足六个平衡条件：
其次，求投影ABCD内线段AB和AC间所夹直角
的变化，即该投影面内的剪应力γxy。，由图1-6可
见，这个剪应变由两部分组成，一部分与x轴相平 行的AB向y轴方向的转角θ1;另一部分是与y轴相平 行线段AC向x轴方向的转角θ2。在小变形的情况下
1 tg1
2001年6月1日
B2 B1 A1B2
v
v x